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第一节　平面向量的概念及线性运算
[基础梳理]
1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量，常用a或表示．
(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的长度叫作向量的模，记作|a|或||.
(3)几个特殊向量：
特点名称　　 长度(模) 方向
零向量 0 任意
单位向量 1 任意
相等向量 相等 相同
相反向量 相等 相反
平行向量 相同或相反
2.向量的加法、减法与数乘
定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算　 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 向量a加上向量b的相反向量叫作a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
4．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
6．平面向量的坐标运算
向量的加法、减法 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量的数乘 设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
向量坐标的求法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
7.向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
1．与向量a共线的单位向量为±.
2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．
3．A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任一点，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1.
4．若＝λ，则A，B，C三点共线．
5．P为线段AB的中点 ＝(＋)．
6．G为△ABC的重心 ＋＋＝0 ＝(＋＋)(O是平面内任意一点)．
7．P为△ABC的外心 ||＝||＝||.
8．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
9．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
[四基自测]
1．(基础点：向量共线与三点共线)已知＝(－m，－5n)，＝(－2m，8n)，＝(3m，－3n)，则(　　)
A．A，B，D三点共线　　 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点不共线
答案：A
2．(基础点：向量减法的坐标运算)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．2
C．5 D．50
答案：A
3．(基础点：平面向量基本定理)已知△ABC，设D是BC边的中点，用与表示向量，则＝________.
答案：＋
4．(易错点：向量加减法的几何意义)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
答案：矩形
考点一　向量的基本概念
挖掘　判断向量有关概念的正确性/自主练透
[例]　(1)给出下列五个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③在 ABCD中，一定有＝；
④若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的个数是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
[解析]　两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，但a，b方向不确定，所以a，b不一定相等，故②不正确；③、④正确；零向量与任一非零向量都平行，当b＝0时，a与c不一定平行，故⑤不正确．
[答案]　B
(2)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　①错误．两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．
③错误．当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.
④错误．当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．
[答案]　C
[破题技法]　把握向量有关概念的关键点
(1)定义，方向和长度，二者缺一不可．
(2)非零共线向量，方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；与起点无关；非零向量的平行也具有传递性．
(3)相等向量，方向相同且长度相等，与共线向量不同；相等向量具有传递性．
(4)单位向量，方向没有限制，但长度都是一个单位长度；是与a同方向的单位向量．
(5)零向量，方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
(6)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量．解题时，不要把它与函数图像的平移混淆．
考点二　共线向量定理及其应用
挖掘1　判定点或向量共线/ 自主练透
[例1]　(1)已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
[解析]　由＋＋＝知：＋＋＝－，即＝－2，故点P在线段AC上．
[答案]　C
(2)已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则(　　)
A．λ＝0　　　　　　　　 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
[解析]　设a＝kb，
∴e1＋λe2＝2ke1，∴
当λ＝0时，a＝e1，∴b＝2e1.
a与b共线，
当e1∥e2时，a与b也共线．
[答案]　D
[破题技法]　两向量共线有两种应用形式：
(1)几何形式：a＝λb.
(2)代数形式：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b x1y2－x2y1＝0，其实质都是等式关系．故a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．
挖掘2　应用向量共线求参数/ 互动探究
[例2]　(1)已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足|λ－－|＝0且S△ABC＝3S△ABM，则实数λ＝________．
[解析]　如图，设D为BC的中点，
则＋＝2，
因为|λ－－|＝0，
所以λ－－＝0，
所以λ＝＋＝2，
于是A，M，D三点共线，且＝，
又S△ABC＝3S△ABM，所以＝，
又因为S△ABD＝S△ABC，且＝＝，
所以＝＝×，解得λ＝±3.
[答案]　±3
(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　由O是BC的中点，可得＝＋，由题意知
＝m＋n，因为O，M，N三点共线，
所以m＋n＝1，则m＋n＝2.
(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
[解析]　2a＋b＝(4，2)，因为c∥(2a＋b)，所以4λ＝2，得λ＝.
[答案]　
[破题技法]　共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具
解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使＝λ＋(1－λ)成立”．即与的系数和为1.
[拓展]　共线定比例
(1)坐标成比例，即若两向量共线，则它们的坐标对应成比例(假设其中一向量两坐标均不为零)；
(2)基底分解成比例，即已知a，b不共线，c＝pa＋qb，d＝ma＋nb，若c∥d，则＝(mn≠0)，即pn－mq＝0.
已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足＝λ(＋)(λ是实数)，且＋＋是单位向量，则这样的点M有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
解析：法一：由题意得，＝－λ(＋)，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(1－3λ)(＋)，设D为A2A3的中点，∴(1－3λ)(＋)是与共起点且共线的一个向量，显然直线A1D与以A1为圆心的单位圆有两个交点，故λ有两个值，即符合题意的点M有两个，故选C.
法二：以A1为原点建立平面直角坐标系(图略)，设A2(a，b)，A3(m，n)，则＋＝(a＋m，b＋n)，∴M(λ(a＋m)，λ(b＋n))，
∴＝(－λ(a＋m)，－λ(b＋n))，＝(a－λ(a＋m)，b－λ(b＋n))，＝(m－λ(a＋m)，n－λ(b＋n))，
∴＋＋＝((1－3λ)(a＋m)，(1－3λ)(b＋n))．∵＋＋是单位向量，
∴(1－3λ)2[(a＋m)2＋(b＋n)2]＝1，
∵A1，A2，A3是平面上三个不共线的定点，∴(a＋m)2＋(b＋n)2＞0，所以关于λ的方程有两解，故满足条件的M有两个，故选C.
答案：C
考点三　平面向量的线性运算与基本定理
挖掘1　数形结合法解决基本定理的应用/自主练透
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－　　　　　　 B．－
C.＋ D．＋
[解析]　作出示意图如图所示．
＝＋＝＋
＝×(＋)＋(－)
＝－.故选A.
[答案]　A
(2)(2020·南昌模拟)如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
[解析]　如图所示，构造平行四边形，∵∠OCD＝90°，||＝2，∠COD＝30°，
∴||＝2×＝2＝||＝|μ|，||＝＝|λ|＝4，∴λ＋μ＝6.
[答案]　6
(3)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，则x＋y的最大值是(　　)
A. B．1
C. D．2
[解析]　以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(1，0)，B，
C(cos θ，sin θ).
∵＝x＋y，
∴∴
∴x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝ sin θ＋cos θ＝2sin.
又知0≤θ≤π，∴sin∈，∴当θ＝时，x＋y取最大值2，故选D.
[答案]　D
[破题技法]　数形结合法适用于已知平面几何图形或向量等式，利用向量的模的几何意义，求解模的最值或取值范围的问题．破解此类题的关键点：
(1)借形研究，即利用条件并结合图形，将相关向量用基底表示，确定相关向量的几何意义，或将相关向量坐标化，在平面直角坐标系中表示出相关向量．
(2)用形解题，即利用图形的直观性，运用向量的运算法则、运算律等进行计算，即可求出向量模的最值或取值范围．
挖掘2　代数法(方程)求解向量/互动探究
[例2]　(1)(2020·河北武邑中学期中测试)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A. B．
C．3 D．2
[解析]　
如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1，0)，C点的坐标为(0，2)，因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m≠0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1，0)＋μ(0，2)＝(λ，2μ) λ＝m，μ＝m，则＝.故选A.
[答案]　A
(2)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
[解析]　设＝ma＋nb，
则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.
＝－＝－＝－a＋b.
又∵A，M，D三点共线，∴与共线．
∴存在实数t，使得＝t，
即(m－1)a＋nb＝t.
∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.
∴消去t得，m－1＝－2n，
即m＋2n＝1.①
又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，
＝－＝b－a＝－a＋b.
又∵C，M，B三点共线，∴与共线．
∴存在实数t1，使得＝t1，
∴a＋nb＝t1，
∴
消去t1得，4m＋n＝1.②
由①②得m＝，n＝，
∴＝a＋b.
[破题技法]　方程法是指利用平面向量共线或垂直的线性运算或坐标运算，建立关于参数的方程，从而求出参数值的方法．破解此类题的关键点：
(1)向量问题代数化，即利用平面向量平行或垂直的线性运算或坐标运算进行转化，得到含参数的方程；
(2)解决直角三角形、等边三角形、矩形等特殊图形中的向量问题时，建立合适的平面直角坐标系可以快速打开思路．
挖掘3　直线的方向向量/互动探究
[例3]　求过点P0(x0，y0)与向量a＝(a1，a2)平行的直线方程．
[解析]　当a1≠0时，则a＝a1(1，)，
则所求直线的斜率k＝，
∴直线方程为y－y0＝(x－x0)，
即a2x－a1y＋a1y0－a2x0＝0.①
当a1＝0时，直线∥y轴，方程为x＝x0，适合①.
综上，所求直线方程为a2x－a1y＋a1y0－a2x0＝0.
[破题技法]　运算遵法则，基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
PAGE第三节　平面向量的综合应用
[基础梳理]
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝ ，其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
3．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
4．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
1．向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
2．平面向量与三角函数综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图像与性质进行求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[四基自测]
1．(基础点：向量在平面几何中的应用)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)
A．锐角三角形　　　　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
解析：＝(2，－2)，＝(－4，－8)，＝(－6，－6)，
∴||＝ ＝2，||＝＝4，||＝＝6，
∴||2＋||2＝||2，
∴△ABC为直角三角形．
答案：B
2.(基础点：向量在物理中的应用)如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．6
解析：如题图所示，由已知得F1＋F2＋F3＝0，则F3＝－(F1＋F2)，
即F＝F＋F＋2F1·F2＝F＋F＋2|F1|·|F2|·cos 60°＝28.故|F3|＝2.
答案：A
3．(基础点：向量在平面解析几何中的应用)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是________．
解析：由·＝4，得(x，y)·(1，2)＝4，即x＋2y＝4.
答案：x＋2y－4＝0
4．(基础点：向量在三角函数中的应用)已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为________．
解析：因为m∥n，所以sin A(sin A＋cos A)－＝0，
所以2sin2A＋2sin Acos A＝3，
可化为1－cos 2A＋sin 2A＝3，
所以sin＝1，
因为A∈(0，π)，所以∈.
因此2A－＝，解得A＝.
答案：
考点一　向量在平面几何中的应用
挖掘　用向量表示三角形的“心”/自主练透
[例]　(1)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A．重心　外心　垂心　　　 B．重心　外心　内心
C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)
[解析]　由||＝||＝||知，O为△ABC的外心；由＋＋＝0知，N为△ABC的重心；因为·＝·，所以(－)·＝0，所以·＝0，所以⊥，即CA⊥PB，同理AP⊥BC，CP⊥AB，所以P为△ABC的垂心．
[答案]　C
(2)在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　)
A．－ B．－1
C. D．－
[解析]　设AC的中点为D，因为O为△ABC的重心，所以＝＝(＋)＝－＋×＝－＋，所以λ＝－，μ＝，所以λ－2μ＝－，故选D.
[答案]　D
[破题技法]　三角形“四心”的向量表示
(1)在△ABC中，若||＝||＝||或2＝2＝2，则点O是△ABC的外心；
(2)在△ABC中，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心；
(3)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若－＝λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP过△ABC的重心；
(4)在△ABC中，若·＝·＝·，则点H是△ABC的垂心；
(5)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若＝＋λ(＋)(λ＞0)，则直线AP过△ABC的内心．
1．设P是△ABC所在平面内的一点，若·(＋)＝2·且2＝－2·.则点P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
解析：由·(＋)＝2·，得·(＋－2)＝0，
即·[(－)＋(－)]＝0，
所以·(＋)＝0.
设D为AB的中点，
则·2＝0，故·＝0.
所以PD⊥AB，即点P在AB边的中垂线上．
因为2＝2－2·，所以(＋)·(－)＝2·，
所以·(＋－2)＝0，
设BC的中点为E，同上可知·＝0，
所以PE⊥BC，即点P在BC边的中垂线上．
所以P为AB与BC的垂直平分线的交点，即P是△ABC的外心．故选A.
答案：A
2．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O(　　)
A．在过点C且与AB垂直的直线上
B．在∠A的平分线所在直线上
C．在边AB的中线所在直线上
D．以上都不对
解析：由||2＋||2＝||2＋||2得||2－||2＝||2－||2，所以(＋)·(－)＝(＋)·(－)，即·(＋)＝(＋)·，所以·(＋＋＋)＝2·＝0，所以⊥.故点O在过点C且与AB垂直的直线上．
答案：A
考点二　向量在解析几何中的应用
[例]　(1)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．
C. D．
[解析]　如图，由||＝1知点P的轨迹是以A为圆心，以1为半径的圆．
由＝知，点M为PC的中点，取AC的中点N，连接MN，则|MN|＝|AP|＝，所以点M的轨迹是以N为圆心，以为半径的圆．
因为||＝3，所以||的最大值为3＋＝，
||2的最大值为.故选B.
[答案]　B
(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
[解析]　因为点P在圆O：x2＋y2＝50上，
所以设P点坐标为(x，±)(－5≤x≤5)．
因为A(－12，0)，B(0，6)，
所以＝(－12－x，－)或
＝(－12－x，)，
＝(－x，6－)或
＝(－x，6＋)．
因为·≤20，先取P(x, )进行计算，
所以(－12－x)·(－x)＋(－)(6－)≤20，即2x＋5≤ .
当2x＋5<0，即x<－时，上式恒成立．
当2x＋5≥0，即x≥－时，(2x＋5)2≤50－x2，
解得－≤x≤1，故x≤1.
同理可得P(x，－)时，x≤－5.
又－5≤x≤5，所以－5≤x≤1.
故点P的横坐标的取值范围为[－5，1]．
[答案]　[－5，1]
[破题技法]　向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．
1．(2020·重庆质检)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋3＝0，点A(0，m)(m>0)，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得·＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是(　　)
A. B．
C. D．
解析：由题意得圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，B(0，－m)．
设M(x，y)，由于·＝0，
所以(x，y－m)·(x，y＋m)＝0，
所以x2＋y2－m2＝0，所以m2＝x2＋y2，
由于x2＋y2表示圆C上的点到原点距离的平方，
所以连接OC，并延长和圆C相交，交点即为M，
此时m2最大，m也最大．
|OM|＝1＋2＝3，∠MOx＝60°，
所以xM＝3×sin 30°＝，
yM＝3×sin 60°＝.故选C.
答案：C
2．(2020·河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B．3－
C．－1 D．0
解析：由|a|＝|b|＝1，a·b＝，
可得〈a，b〉＝.
令＝a，＝b，以的方向为x轴的正方向建立如图所示的平面直角坐标系，
则a＝＝(1，0)，b＝＝，
设c＝＝(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，
则(a＋b)·(2b－c)＝2a·b－a·c＋2b2－b·c＝3－
＝3－sin，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为3－，故选B.
答案：B
考点三　向量的其他应用
挖掘1　平面向量的创新应用/自主练透
[例1]　已知O是坐标原点，点A(－1，2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1，0]　　　　　　　 B．[0，1]
C．[1，3] D．[1，4]
[解析]　作出点M(x，y)满足的平面区域如图阴影部分所示(含边界)，
设z＝·，因为A(－1，2)，M(x，y)，
所以z＝·＝－x＋2y，即y＝x＋z.
平移直线y＝x，由图像可知，
当直线y＝x＋z经过点C(0，2)时，截距最大，
此时z最大，最大值为4，
当直线y＝x＋z经过点B时，截距最小，
此时z最小，最小值为1，
故1≤z≤4，即1≤·≤4.
[答案]　D
[破题技法]　以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题的求解策略：
(1)准确转化：解决数量积中创新问题时，一定要读懂题目的本质含义．紧扣题目所给条件，结合题目要求恰当转化，切忌同已有的概念或定义混淆．
(2)方法选取：对于创新问题，要恰当选取解题方法，如数形结合，等价转化，特殊值，逐一排除等方法，并结合数量积性质求解．
对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin θ，其中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．若a*b＝a*c，则b＝c
B．(a*b)c＝a(b*c)
C．a*b＝(－a)*b
D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
解析：a，b，c为两两不共线向量，则a，b，c为非零向量，故A不正确；设a，b夹角为θ，b，c夹角为α，则(a*b)c＝|a||b|sin θc，a(b*c)＝|b||c|sin αa，故B不正确，同理D不正确；a*b＝|a||b|sin θ＝|－a||b|sin(π－θ)＝(－a)*b.故选C.
答案：C
挖掘2　平面向量与三角函数、解三角形的综合应用/互动探究
[例2]　(2020·衡阳模拟)在△ABC中，若||＝2，且·cos C＋·cos A＝
·sin B.
(1)求角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
[解析]　(1)因为＝＋，
所以·cos C＋·cos A＝·sin B
＝(＋)·sin B，
即(cos C－sin B)＋(cos A－sin B)＝0.
而向量，是两个不共线的向量，
所以所以cos C＝cos A，
因为A，C∈(0，π)，
所以A＝C.在等腰△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以2A＋B＝π，A＝－.
所以cos A＝cos＝sin ＝sin B，所以sin ＝2sin cos ，
因为sin ≠0，所以cos ＝.
综合0<<，所以＝，B＝.
(2)由(1)知，A＝C＝，
由正弦定理，得＝，所以||＝2，
S△ABC＝||||sin ＝×2×2×＝.
[破题技法]　利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、解三角形结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
解析：(1)因为m＝(cos B，cos C)，n＝(c，b－2a)，m·n＝0，
所以ccos B＋(b－2a)cos C＝0，
在△ABC中，由正弦定理得，
sin Ccos B＋(sin B－2sin A)cos C＝0，
sin A＝2sin Acos C，又sin A≠0，
所以cos C＝，而C∈(0，π)，所以∠C＝.
(2)由＝知，－＝－，
所以2＝＋，
两边平方得4||2＝b2＋a2＋2bacos∠ACB＝b2＋a2＋ba＝28.①
又c2＝a2＋b2－2abcos∠ACB，
所以a2＋b2－ab＝12.②
由①②得ab＝8，
所以S△ABC＝absin∠ACB＝2.
PAGE第四节　数系的扩充与复数的引入
[基础梳理]
1．复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位 a＋bi为实数 b＝0，a＋bi为虚数 b≠0，a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数a(a为实数)的共轭复数是a
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的模 向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z| |z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b) 向量.
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
运算名称 符号表示 语言叙述
加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i 把实部、虚部分别相加减
乘法 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 按照多项式乘法进行，并把i2换成－1
除法 ＝＝＝＋i(c＋di≠0) 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算
(2)复数加法的运算律：
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．复数a＋bi(a，b∈R)数系表
2．复数不能比较大小
3．几个重要运算结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)．
(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．
[四基自测]
1．(基础点：复数的几何意义)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．(基础点：复数的乘除法运算)复数的共轭复数是(　　)
A．2－i　　　　　　　　 B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
3．(易错点：纯虚数)若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．(基础点：复数的模)复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝________．
考点一　复数的概念
挖掘1　复数的认识/ 自主练透
[例1]　(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)
A．－3　　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．3
(2)已知i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
(3)已知(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，求实数m.
挖掘2　复数相等/ 互动探究
[例2]　(1)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
[破题技法]　1.明确复数的分类以及复数成为实数，虚数或纯虚数的充要条件．
2．(1)找准复数的实部和虚部．复数的相关概念都与实部和虚部有关．
(2)复数问题实数化．解决复数概念类问题，常从复数定义出发，把复数问题转化为实数问题处理．
[拓展]　利用复数相等，就是化“虚”为“实”，即实数化思想转化实部与虚部之间的方程关系．
若复数z满足2z＋z·＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z为(　　)
A．－1－i B．－1－2i
C．－1＋2i D．1－2i
考点二　复数的运算
挖掘1　求复数/ 互动探究
[例1]　(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)
A．1＋i　　　　　　　　 B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
挖掘2　共轭复数/互动探究
[例2]　(1)设复数z满足z＋i＝3－i，则复数z的共轭复数为(　　)
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
(2)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
[破题技法]　共轭复数的运算性质
(1)z＝||2＝|z|2.
(2)|z|＝1 z·＝1.
(3)非零复数z，则z为纯虚数 z＋＝0.
(4)＝，z1·z＝z·z.
1．若z＝1＋2i，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
2．(2020·河北唐山二模)已知复数z满足(1＋i)z＝2，则z的共轭复数为(　　)
A．1＋i B．1－i
C．i D．－i
挖掘3　求复数的模/自主练透
[例3]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．
C. D．1
(2)(2020·福建龙岩二模)已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝(　　)
A.　　　 B．5　　　　
C.　　　　 D.
[破题技法]　1.复数的加减法，合并实部，合并虚部．乘法运算：类似多项式展开，要把i2换为－1.除法运算类似多项式的分母有理化，而复数的除法需要分母实数化．对于乘方，注意运用i的乘方规律．
2．对于求复数，可利用方程思想：把z看作未知数，进行等价变形求解或利用实数化．
[拓展]　|z1·z2|＝|z1|·|z2|；||＝；
|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
考点三　复数的几何意义
挖掘　复数几何意义的应用/ 互动探究
[例]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1　　 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
(2)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
(3)复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋1＋i|的最值．
[破题技法]　1.已知复数对应点的位置求参数范围，可建立不等式求解．
2．已知复数对应的点进行运算时，可建立方程待定系数求解．
3．研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解．
4．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝r，点Z在以(0，0)为圆心，r为半径的圆上．
PAGE第二节　平面向量的数量积
[基础梳理]
1．向量的夹角
定义 图示 范围 共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180° a∥b，θ＝90° a⊥b
2.平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫作向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积
3.数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ．
(2)cos θ＝.
(3)a·b≤|a||b|．
4．数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
5．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
数量积 a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝__eq \r(x＋y)
夹角 cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y))
向量垂直的充要条件 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
1．向量的夹角问题
(1)“向量a与b的夹角为钝角”等价于“a·b＜0且a，b不共线”．
(2)“向量a与b的夹角为锐角”等价于“a·b＞0且a，b不共线”．
(3)向量的夹角首先使两个向量共起点，
在△ABC中，〈，〉＝π－B，而不是角B.
2．两种投影
a在b上的投影为.
b在a上的投影为.
3．几个结论，对于向量a，b
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a，b同向时，a·b＝|a||b|，
a，b反向时，a·b＝－|a||b|.
(4)O是△ABC的垂心 ·＝·＝·.
(5)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则·＝.
[四基自测]
1．(基础点：向量夹角)设a＝(，1)，b＝，则向量a，b的夹角为(　　)
A．30°　　　　　　　 B．60°
C．120° D．150°
答案：B
2．(基础点：数量积坐标运算)已知＝(2，3)，＝(3，3)，则·＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
答案：C
3．(易错点：向量的投影)已知a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为(　　)
A. B．
C. D．
答案：C
4．(基础点：求模)已知a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝__________．
答案：
考点一　平面向量数量积的运算
挖掘1　定义法、坐标法求数量积/ 自主练透
[例1]　(1)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　　　　　　 B．－2
C．2 D．3
[解析]　∵＝－＝(3，t)－(2，3)＝(1，t－3)，||＝1，∴＝1，∴t＝3，∴＝(1，0)，
∴·＝2×1＋3×0＝2.故选C.
[答案]　C
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
[解析]　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.
[答案]　B
(3)(2018·高考天津卷)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)
A. B．
C. D．3
[解析]　如图所示，以D为坐标原点建立直角坐标系．
连接AC，由题意知∠CAD＝∠CAB＝60°，
∠ACD＝∠ACB＝30°，则D(0，0)，A(1，0)，B(，)，C(0，)，设E(0，y)(0≤y≤)，则＝(－1，y)，
＝，
∴·＝＋y2－y＝＋，
∴当y＝时，·有最小值.
故选A.
[答案]　A
[破题技法]　1.定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)．
2．坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
挖掘2　用基底计算数量积/ 互动探究
[例2]　(1)在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)
A．－15　　　　　　　　 B．－9
C．－6 D．0
[解析]　
如图，连接MN.
∵＝2，＝2，
∴＝＝，
∴MN∥BC，且＝，
∴＝3＝3(－)，
∴·＝3(·－2)＝3(2×1×cos 120°－12)＝－6.故选C.
[答案]　C
(2)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________．
[解析]　法一：∵∠BAD＝30°，AD∥BC，∴∠ABE＝30°，又EA＝EB，∴∠EAB＝30°，
在△EAB中，AB＝2，∴EA＝EB＝2.
以A为坐标原点，直线AD为x轴建立如图所示的平面直角坐标系．
则A(0，0)，D(5，0)，E(1，)，B(3，)，
∴＝(2，－)，＝(1，)，
∴·＝(2，－)·(1，)＝－1.
法二：同法一，求出EB＝EA＝2，
以，为一组基底，
则＝－，＝＋＝－，
∴·＝(－)·(－)
＝·－2＋·－2
＝×5×2×－12－×25＝－1.
[答案]　－1
[破题技法]　基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
考点二　向量的模、夹角、垂直问题
挖掘1　向量的夹角/ 互动探究
[例1]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C. D．
[解析]　由(a－b)⊥b，可得(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2.
∵|a|＝2|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∵0≤〈a，b〉≤π，∴a与b的夹角为.故选B.
[答案]　B
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
[解析]　由题意，得cos〈a，c〉＝
＝＝＝.
[答案]　
(3)(2020·石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.
由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以a，b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，设向量a＋b与a的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝＝，
∵0≤θ≤π，∴θ＝，故选D.
[答案]　D
[破题技法]　求向量夹角的方法
方法 解读 适合题型
定义法 cos〈a，b〉＝ 适用于向量的代数运算
数形结合法 转化为求三角形的内角 适用于向量的几何运算
[拓展]　设〈a，b〉＝θ，当θ为锐角时，cos θ＞0，即a·b＞0，当θ为钝角时，cos θ＜0，即a·b＜0，反之不成立，要注意a∥b的情况．
已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n与tm－n夹角为钝角，则实数t的取值范围是(　　)
A．t＜4 B．t＜4且t≠0
C．t≤4 D．t≤4且t≠0
解析：n与tm－n夹角为钝角等价于n·(tm－n)＜0且n与tm－n不共线，所以tm·n－n2＜0且t≠0，
即t×n2×－n2＜0，且t≠0，解得t＜4且t≠0.
答案：B
挖掘2　向量模的计算/互动探究
[例2]　(1)在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若＝(1，2)，＝(2，t)，则||＝(　　)
A. B．5
C．2 D．20
[解析]　由题意知⊥，∴1×2＋2t＝0，
∴t＝－1，∴||＝＝.
[答案]　A
(2)(2020·湖北武汉模拟)已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为(　　)
A．12 B．10
C. D．2
[解析]　设a与b的夹角为θ.
由于b在a方向上的投影为－2，
所以|b|cos θ＝＝－2，所以a·b＝－8，
又|b|cos θ＝－2，所以|b|≥2，则|a－3b|＝＝≥＝10，即|a－3b|的最小值为10，故选B.
[答案]　B
(3)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　　)
A. B．
C．3 D．
[解析]　∵＝2，∴＝，
∵＝m＋，∴＝m＋，
∵C，P，D三点共线，
∴m＋＝1，即m＝，∴＝＋，
∴2＝2＋2＋·≥2×||||＋||||cos ＝||||，
∵S△ABC＝||||sin＝2，
∴||||＝8，∴2≥×8＝3，
∴||≥，故选B.
[答案]　B
[破题技法]　求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
挖掘3　向量的垂直问题/ 互动探究
[例3]　(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A. B．
C. D．
[解析]　设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，因为(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，解得m＝－，n＝－.所以c＝.
[答案]　D
(2)(2019·高考北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．
[解析]　∵a⊥b，∴a·b＝(－4，3)·(6，m)＝－24＋3m＝0，∴m＝8.
[答案]　8
[破题技法]　1.当已知两个向量的夹角为90°时，即a⊥b时，则a·b＝0.反之也成立，(a≠0且b≠0)．
2．如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
如图所示，||＝5，||＝，·＝0，且＝2，＝3，连接BE，CD交于点F，则||＝________．
解析：由三点共线可知，＝λ＋(1－λ)＝2λ＋(1－λ)(λ∈R)，①
同理，＝μ＋(1－μ)
＝μ＋3(1－μ)(μ∈R)，②
则①②，得解得
故＝＋.
∴||＝ ＝.
答案：
考点三　数量积运算的最值或取值范围
[例]　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2　　　　　　　 B．－
C．－ D．－1
[解析]　法一：几何法
第一步：画出图形，利用向量的平行四边形法则化简＋.
如图，＋＝2(D为BC中点)，则·(＋)＝2·，
第二步：确定P点的大致位置使·最小．
要使·最小，需，方向相反，即P点在线段AD上，所以(2·)min＝－2||·||，即求||·||最大值．
第三步：利用基本不等式求最值．
又||＋||＝||＝2×＝，则||·||≤＝＝，
所以(2·)min＝－2×＝－.故选B.
法二：坐标法．
第一步：建立平面直角坐标系．
以BC中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，则A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)．
第二步：设出P点的坐标(x，y)，将向量，，表示出来．
设P(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，第三步：用x，y表示·(＋)，转化为函数关系式求最值．
∴·(＋)＝2x2－2y＋2y2＝2，其最小值为2×＝－，此时x＝0，y＝.故选B.
[答案]　B
[破题技法]　求解平面向量数量积最值或取值范围问题的2个策略
(1)图形化策略
所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，借助图形思考解决问题．图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思想和函数与方程思想也深蕴其中．
利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，能起到事半功倍的作用．如果没有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷入“僵局”．
(2)代数化策略
所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决所面临的问题．代数化策略体现了化归与转化思想和函数与方程思想．通过平面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解决向量问题的一般方法．
平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　)
A．[－1，8] B．[－1，＋∞)
C．[0，8] D．[－1，0]
解析：由题意得·＝||·||·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝.以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(4，0)，C(5，)，D(1，)，因为点P在边CD上，所以不妨设点P的坐标为(a，)(1≤a≤5)，则·＝(－a，－)·(4－a，－)＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，则当a＝2时，·取得最小值－1，当a＝5时，·取得最大值8，故选A.
答案：A
PAGE第一节　平面向量的概念及线性运算
[基础梳理]
1．向量的有关概念
(1)向量的定义：既有大小，又有方向的量叫向量，常用a或表示．
(2)向量的模：向量的大小，即表示向量的有向线段的长度叫作向量的模，记作|a|或||.
(3)几个特殊向量：
特点名称　　 长度(模) 方向
零向量 0 任意
单位向量 1 任意
相等向量 相等 相同
相反向量 相等 相反
平行向量 相同或相反
2.向量的加法、减法与数乘
定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算　 三角形法则平行四边形法则 (1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 向量a加上向量b的相反向量叫作a与b的差 三角形法则 a－b＝a＋(－b)
数乘 实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 (1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μ a；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
4．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．
(2)基底：不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
5．平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫作向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.
6．平面向量的坐标运算
向量的加法、减法 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)
向量的数乘 设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)
向量坐标的求法 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)
7.向量共线的坐标表示
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
1．与向量a共线的单位向量为±.
2．两非零向量不共线求和时，两个法则都适用；共线时，只适用三角形法则．
3．A，B，C三点共线，O为A，B，C所在直线外任一点，则＝λ＋μ且λ＋μ＝1.
4．若＝λ，则A，B，C三点共线．
5．P为线段AB的中点 ＝(＋)．
6．G为△ABC的重心 ＋＋＝0 ＝(＋＋)(O是平面内任意一点)．
7．P为△ABC的外心 ||＝||＝||.
8．||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
9．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
[四基自测]
1．(基础点：向量共线与三点共线)已知＝(－m，－5n)，＝(－2m，8n)，＝(3m，－3n)，则(　　)
A．A，B，D三点共线　　 B．A，B，C三点共线
C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点不共线
2．(基础点：向量减法的坐标运算)已知向量a＝(2，3)，b＝(3，2)，则|a－b|＝(　　)
A.　　　　　　　　 B．2
C．5 D．50
3．(基础点：平面向量基本定理)已知△ABC，设D是BC边的中点，用与表示向量，则＝________.
4．(易错点：向量加减法的几何意义)在平行四边形ABCD中，若|＋|＝|－|，则四边形ABCD的形状为________．
考点一　向量的基本概念
挖掘　判断向量有关概念的正确性/自主练透
[例]　(1)给出下列五个命题：
①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若|a|＝|b|，则a＝b；
③在 ABCD中，一定有＝；
④若m＝n，n＝p，则m＝p；
⑤若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中不正确的个数是(　　)
A．2　　　　　　　　　　 B．3
C．4 D．5
(2)给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量．
②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小．
③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零．
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[破题技法]　把握向量有关概念的关键点
(1)定义，方向和长度，二者缺一不可．
(2)非零共线向量，方向相同或相反，长度没有限制，与直线平行不同；与起点无关；非零向量的平行也具有传递性．
(3)相等向量，方向相同且长度相等，与共线向量不同；相等向量具有传递性．
(4)单位向量，方向没有限制，但长度都是一个单位长度；是与a同方向的单位向量．
(5)零向量，方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线．
(6)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量．解题时，不要把它与函数图像的平移混淆．
考点二　共线向量定理及其应用
挖掘1　判定点或向量共线/ 自主练透
[例1]　(1)已知平面内一点P及△ABC，若＋＋＝，则点P与△ABC的位置关系是(　　)
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC外部
(2)已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则(　　)
A．λ＝0　　　　　　　　 B．e2＝0
C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0
[破题技法]　两向量共线有两种应用形式：
(1)几何形式：a＝λb.
(2)代数形式：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．a∥b x1y2－x2y1＝0，其实质都是等式关系．故a∥b等价于存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立．
挖掘2　应用向量共线求参数/ 互动探究
[例2]　(1)已知点M是△ABC所在平面内的一点，若点M满足|λ－－|＝0且S△ABC＝3S△ABM，则实数λ＝________．
(2)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
[破题技法]　共线向量定理是解决三点共线问题的有利工具
解题过程中常用到结论：“P，A，B三点共线”等价于“对直线AB外任意一点O，总存在非零实数λ，使＝λ＋(1－λ)成立”．即与的系数和为1.
[拓展]　共线定比例
(1)坐标成比例，即若两向量共线，则它们的坐标对应成比例(假设其中一向量两坐标均不为零)；
(2)基底分解成比例，即已知a，b不共线，c＝pa＋qb，d＝ma＋nb，若c∥d，则＝(mn≠0)，即pn－mq＝0.
已知A1，A2，A3为平面上三个不共线的定点，平面上点M满足＝λ(＋)(λ是实数)，且＋＋是单位向量，则这样的点M有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．无数个
考点三　平面向量的线性运算与基本定理
挖掘1　数形结合法解决基本定理的应用/自主练透
[例1]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－　　　　　　 B．－
C.＋ D．＋
(2)(2020·南昌模拟)如图所示，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．
(3)给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若＝x＋y，则x＋y的最大值是(　　)
A. B．1
C. D．2
[破题技法]　数形结合法适用于已知平面几何图形或向量等式，利用向量的模的几何意义，求解模的最值或取值范围的问题．破解此类题的关键点：
(1)借形研究，即利用条件并结合图形，将相关向量用基底表示，确定相关向量的几何意义，或将相关向量坐标化，在平面直角坐标系中表示出相关向量．
(2)用形解题，即利用图形的直观性，运用向量的运算法则、运算律等进行计算，即可求出向量模的最值或取值范围．
挖掘2　代数法(方程)求解向量/互动探究
[例2]　(1)(2020·河北武邑中学期中测试)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A. B．
C．3 D．2
(2)如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.
[破题技法]　方程法是指利用平面向量共线或垂直的线性运算或坐标运算，建立关于参数的方程，从而求出参数值的方法．破解此类题的关键点：
(1)向量问题代数化，即利用平面向量平行或垂直的线性运算或坐标运算进行转化，得到含参数的方程；
(2)解决直角三角形、等边三角形、矩形等特殊图形中的向量问题时，建立合适的平面直角坐标系可以快速打开思路．
挖掘3　直线的方向向量/互动探究
[例3]　求过点P0(x0，y0)与向量a＝(a1，a2)平行的直线方程．
[破题技法]　运算遵法则，基底定分解
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．一般将向量归结到相关的三角形中，利用三角形法则列出三个向量之间的关系．
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路：先选择一组基底，并运用该组基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每组基底下的分解都是唯一的．
PAGE第四节　数系的扩充与复数的引入
[基础梳理]
1．复数的有关概念
内容 意义 备注
复数的概念 设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b，i叫做虚数单位 a＋bi为实数 b＝0，a＋bi为虚数 b≠0，a＋bi为纯虚数 a＝0且b≠0
复数相等 a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数 a＋bi与c＋di共轭 a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R) 复数a(a为实数)的共轭复数是a
复平面 建立平面直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面，x轴叫作实轴，y轴叫作虚轴 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的模 向量的模叫作复数z＝a＋bi的模，记作|z| |z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b) 向量.
3．复数代数形式的四则运算
(1)运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
运算名称 符号表示 语言叙述
加减法 z1±z2＝(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i 把实部、虚部分别相加减
乘法 z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 按照多项式乘法进行，并把i2换成－1
除法 ＝＝＝＋i(c＋di≠0) 把分子、分母分别乘以分母的共轭复数，然后分子、分母分别进行乘法运算
(2)复数加法的运算律：
设z1，z2，z3∈C，则复数加法满足以下运算律：
①交换律：z1＋z2＝z2＋z1；
②结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
1．复数a＋bi(a，b∈R)数系表
2．复数不能比较大小
3．几个重要运算结论
(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi)．
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N＋)．
(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N＋)．
[四基自测]
1．(基础点：复数的几何意义)设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案：C
2．(基础点：复数的乘除法运算)复数的共轭复数是(　　)
A．2－i　　　　　　　　 B．2＋i
C．3－4i D．3＋4i
答案：C
3．(易错点：纯虚数)若复数z＝＋1为纯虚数，则实数a＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案：A
4．(基础点：复数的模)复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝________．
答案：
考点一　复数的概念
挖掘1　复数的认识/ 自主练透
[例1]　(1)设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a＝(　　)
A．－3　　　　　　　　　　 B．－2
C．2 D．3
[解析]　(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由题设知a－2＝1＋2a，解得a＝－3，故选A.
[答案]　A
(2)已知i是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数a的值为________．
[解析]　由(1－2i)·(a＋i)＝a＋i－2ai＋2＝a＋2＋(1－2a)i，且(1－2i)·(a＋i)为纯虚数，可得：a＋2＝0且1－2a≠0，所以a＝－2.
[答案]　－2
(3)已知(m2－1)＋(m2－2m)i＞0，求实数m.
[解析]　由题意得，∴m＝2.
挖掘2　复数相等/ 互动探究
[例2]　(1)已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析]　由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，得所以或故选A.
[答案]　A
(2)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________．
[解析]　由(1＋i)(1－bi)＝a得1＋b＋(1－b)i＝a，根据复数相等的条件可得解得所以＝2.
[答案]　2
[破题技法]　1.明确复数的分类以及复数成为实数，虚数或纯虚数的充要条件．
2．(1)找准复数的实部和虚部．复数的相关概念都与实部和虚部有关．
(2)复数问题实数化．解决复数概念类问题，常从复数定义出发，把复数问题转化为实数问题处理．
[拓展]　利用复数相等，就是化“虚”为“实”，即实数化思想转化实部与虚部之间的方程关系．
若复数z满足2z＋z·＝(2－i)2(i为虚数单位)，则z为(　　)
A．－1－i B．－1－2i
C．－1＋2i D．1－2i
解析：设z＝a＋bi 2(a＋bi)＋(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＋2a＋2bi＝3－4i a＝－1，b＝－2 z＝－1－2i.
答案：B
考点二　复数的运算
挖掘1　求复数/ 互动探究
[例1]　(1)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)
A．1＋i　　　　　　　　 B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[解析]　由已知等式可得z＝＝＝＝－1－i，故选D.
[答案]　D
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝(　　)
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
[解析]　由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.
[答案]　D
挖掘2　共轭复数/互动探究
[例2]　(1)设复数z满足z＋i＝3－i，则复数z的共轭复数为(　　)
A．－1＋2i B．1－2i
C．3＋2i D．3－2i
[解析]　由z＋i＝3－i得z＝3－2i，所以＝3＋2i，故选C.
[答案]　C
(2)若复数z满足2z＋＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
[解析]　设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，2z＋＝3a＋bi，又2z＋＝3－2i，所以3a＋bi＝3－2i，故可得a＝1，b＝－2，即z＝1－2i.故选B.
[答案]　B
[破题技法]　共轭复数的运算性质
(1)z＝||2＝|z|2.
(2)|z|＝1 z·＝1.
(3)非零复数z，则z为纯虚数 z＋＝0.
(4)＝，z1·z＝z·z.
1．若z＝1＋2i，则＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
解析：∵z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴＝＝i，故选C.
答案：C
2．(2020·河北唐山二模)已知复数z满足(1＋i)z＝2，则z的共轭复数为(　　)
A．1＋i B．1－i
C．i D．－i
解析：由(1＋i)z＝2，得z＝＝＝1－i，∴＝1＋i.故选A.
答案：A
挖掘3　求复数的模/自主练透
[例3]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设z＝，则|z|＝(　　)
A．2 B．
C. D．1
[解析]　法一：z＝＝＝－i，
∴|z|＝.法二：|z|＝＝＝.
[答案]　C
(2)(2020·福建龙岩二模)已知复数z满足(1＋2i)z＝－3＋4i，则|z|＝(　　)
A.　　　 B．5　　　　
C.　　　　 D.
[解析]　∵(1＋2i)z＝－3＋4i，
∴|1＋2i|·|z|＝|－3＋4i|，
则|z|＝＝.故选C.
[答案]　C
[破题技法]　1.复数的加减法，合并实部，合并虚部．乘法运算：类似多项式展开，要把i2换为－1.除法运算类似多项式的分母有理化，而复数的除法需要分母实数化．对于乘方，注意运用i的乘方规律．
2．对于求复数，可利用方程思想：把z看作未知数，进行等价变形求解或利用实数化．
[拓展]　|z1·z2|＝|z1|·|z2|；||＝；
|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|.
考点三　复数的几何意义
挖掘　复数几何意义的应用/ 互动探究
[例]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则(　　)
A．(x＋1)2＋y2＝1　　 B．(x－1)2＋y2＝1
C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1
[解析]　由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，
∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.
故选C.
[答案]　C
(2)已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－3，1) B．(－1，3)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)
[解析]　要使复数z对应的点在第四象限，需要满足解得－3＜m＜1，故选A.
[答案]　A
(3)复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋1＋i|的最值．
[解析]　由|z＋i|＋|z－i|＝2可知：复数z对应的点Z与点A(0，－1)，B(0，1)的距离之和为2，而|AB|＝2，所以复数z对应的点Z在以A，B为端点的线段上．
而|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|表示点Z到点C(－1，－1)的距离，因而所求问题的几何意义是求定点C到线段AB上的动点Z的距离的最大值与最小值，既
|z＋1＋i|max＝|BC|＝，
|z＋1＋i|min＝|AC|＝1.
[破题技法]　1.已知复数对应点的位置求参数范围，可建立不等式求解．
2．已知复数对应的点进行运算时，可建立方程待定系数求解．
3．研究复数模的问题，可利用数形结合法，考虑模的几何意义求解．
4．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝r，点Z在以(0，0)为圆心，r为半径的圆上．
PAGE第二节　平面向量的数量积
[基础梳理]
1．向量的夹角
定义 图示 范围 共线与垂直
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180° a∥b，θ＝90° a⊥b
2.平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ叫作a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫作向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积
3.数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ．
(2)cos θ＝.
(3)a·b≤|a||b|．
4．数量积的运算律
(1)交换律：a·b＝b·a.
(2)数乘结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c．
5．平面向量数量积的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则
数量积 a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝__eq \r(x＋y)
夹角 cos θ＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x＋y)\r(x＋y))
向量垂直的充要条件 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
1．向量的夹角问题
(1)“向量a与b的夹角为钝角”等价于“a·b＜0且a，b不共线”．
(2)“向量a与b的夹角为锐角”等价于“a·b＞0且a，b不共线”．
(3)向量的夹角首先使两个向量共起点，
在△ABC中，〈，〉＝π－B，而不是角B.
2．两种投影
a在b上的投影为.
b在a上的投影为.
3．几个结论，对于向量a，b
(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(3)a，b同向时，a·b＝|a||b|，
a，b反向时，a·b＝－|a||b|.
(4)O是△ABC的垂心 ·＝·＝·.
(5)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则·＝.
[四基自测]
1．(基础点：向量夹角)设a＝(，1)，b＝，则向量a，b的夹角为(　　)
A．30°　　　　　　　 B．60°
C．120° D．150°
2．(基础点：数量积坐标运算)已知＝(2，3)，＝(3，3)，则·＝(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
3．(易错点：向量的投影)已知a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的投影为(　　)
A. B．
C. D．
4．(基础点：求模)已知a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋b|＝__________．
考点一　平面向量数量积的运算
挖掘1　定义法、坐标法求数量积/ 自主练透
[例1]　(1)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，则·＝(　　)
A．－3　　　　　　　 B．－2
C．2 D．3
(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)
A．4 B．3
C．2 D．0
(3)(2018·高考天津卷)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　)
A. B．
C. D．3
[破题技法]　1.定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|cos θ(θ是a与b的夹角)．
2．坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
挖掘2　用基底计算数量积/ 互动探究
[例2]　(1)在如图所示的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，则·的值为(　　)
A．－15　　　　　　　　 B．－9
C．－6 D．0
(2)(2019·高考天津卷)在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则·＝________．
[破题技法]　基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
考点二　向量的模、夹角、垂直问题
挖掘1　向量的夹角/ 互动探究
[例1]　(1)(2019·高考全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．
C. D．
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－b，则cos〈a，c〉＝________.
(3)(2020·石家庄模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为(　　)
A. B．
C. D．
[破题技法]　求向量夹角的方法
方法 解读 适合题型
定义法 cos〈a，b〉＝ 适用于向量的代数运算
数形结合法 转化为求三角形的内角 适用于向量的几何运算
[拓展]　设〈a，b〉＝θ，当θ为锐角时，cos θ＞0，即a·b＞0，当θ为钝角时，cos θ＜0，即a·b＜0，反之不成立，要注意a∥b的情况．
已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n与tm－n夹角为钝角，则实数t的取值范围是(　　)
A．t＜4 B．t＜4且t≠0
C．t≤4 D．t≤4且t≠0
挖掘2　向量模的计算/互动探究
[例2]　(1)在等腰三角形ABC中，点D是底边AB的中点，若＝(1，2)，＝(2，t)，则||＝(　　)
A. B．5
C．2 D．20
(2)(2020·湖北武汉模拟)已知向量a，b满足|a|＝4，b在a方向上的投影为－2，则|a－3b|的最小值为(　　)
A．12 B．10
C. D．2
(3)如图，在△ABC中，∠BAC＝，＝2，P为CD上一点，且满足＝m＋，若△ABC的面积为2，则||的最小值为(　　)
A. B．
C．3 D．
[破题技法]　求向量的模的方法
(1)公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量模的运算转化为数量积运算．
(2)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解．
挖掘3　向量的垂直问题/ 互动探究
[例3]　(1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝(　　)
A. B．
C. D．
(2)(2019·高考北京卷)已知向量a＝(－4，3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________．
[破题技法]　1.当已知两个向量的夹角为90°时，即a⊥b时，则a·b＝0.反之也成立，(a≠0且b≠0)．
2．如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a⊥b x1x2＋y1y2＝0.
如图所示，||＝5，||＝，·＝0，且＝2，＝3，连接BE，CD交于点F，则||＝________．
考点三　数量积运算的最值或取值范围
[例]　已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)
A．－2　　　　　　　 B．－
C．－ D．－1
[破题技法]　求解平面向量数量积最值或取值范围问题的2个策略
(1)图形化策略
所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，借助图形思考解决问题．图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思想和函数与方程思想也深蕴其中．
利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，能起到事半功倍的作用．如果没有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷入“僵局”．
(2)代数化策略
所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助代数运算解决所面临的问题．代数化策略体现了化归与转化思想和函数与方程思想．通过平面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解决向量问题的一般方法．
平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，点P在边CD上，则·的取值范围是(　　)
A．[－1，8] B．[－1，＋∞)
C．[0，8] D．[－1，0]
PAGE第三节　平面向量的综合应用
[基础梳理]
1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝λb x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0
垂直问题 数量积的运算性质 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝ ，其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
2．向量在解析几何中的应用
向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．
3．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
4．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
1．向量与平面几何综合问题的解法
(1)坐标法
把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．
(2)基向量法
适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．
2．平面向量与三角函数综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图像与性质进行求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，求向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
[四基自测]
1．(基础点：向量在平面几何中的应用)已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(5，2)，C(－1，－4)，则该三角形为(　　)
A．锐角三角形　　　　　　　 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2.(基础点：向量在物理中的应用)如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为(　　)
A．2 B．2
C．2 D．6
3．(基础点：向量在平面解析几何中的应用)平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是________．
4．(基础点：向量在三角函数中的应用)已知向量m＝与向量n＝(3，sin A＋cos A)共线，其中A是△ABC的内角，则角A的大小为________．
考点一　向量在平面几何中的应用
挖掘　用向量表示三角形的“心”/自主练透
[例]　(1)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　)
A．重心　外心　垂心　　　 B．重心　外心　内心
C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心
(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)
(2)在△ABC中，O为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－2μ＝(　　)
A．－ B．－1
C. D．－
[破题技法]　三角形“四心”的向量表示
(1)在△ABC中，若||＝||＝||或2＝2＝2，则点O是△ABC的外心；
(2)在△ABC中，若＋＋＝0，则点G是△ABC的重心；
(3)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若－＝λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则直线AP过△ABC的重心；
(4)在△ABC中，若·＝·＝·，则点H是△ABC的垂心；
(5)对于△ABC，O，P为平面内的任意两点，若＝＋λ(＋)(λ＞0)，则直线AP过△ABC的内心．
1．设P是△ABC所在平面内的一点，若·(＋)＝2·且2＝－2·.则点P是△ABC的(　　)
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
2．已知O是△ABC所在平面内一点，且满足||2＋||2＝||2＋||2，则点O(　　)
A．在过点C且与AB垂直的直线上
B．在∠A的平分线所在直线上
C．在边AB的中线所在直线上
D．以上都不对
考点二　向量在解析几何中的应用
[例]　(1)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||＝1，＝，则||2的最大值是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．
C. D．
(2)在平面直角坐标系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
[破题技法]　向量在解析几何中的“两个”作用
(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．
(2)工具作用：利用a⊥b a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．
1．(2020·重庆质检)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋3＝0，点A(0，m)(m>0)，A，B两点关于x轴对称．若圆C上存在点M，使得·＝0，则当m取得最大值时，点M的坐标是(　　)
A. B．
C. D．
2．(2020·河南郑州模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|＝1，若a·b＝，则(a＋b)·(2b－c)的最小值为(　　)
A．－2 B．3－
C．－1 D．0
考点三　向量的其他应用
挖掘1　平面向量的创新应用/自主练透
[例1]　已知O是坐标原点，点A(－1，2)，若点M(x，y)为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是(　　)
A．[－1，0]　　　　　　　 B．[0，1]
C．[1，3] D．[1，4]
[破题技法]　以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题的求解策略：
(1)准确转化：解决数量积中创新问题时，一定要读懂题目的本质含义．紧扣题目所给条件，结合题目要求恰当转化，切忌同已有的概念或定义混淆．
(2)方法选取：对于创新问题，要恰当选取解题方法，如数形结合，等价转化，特殊值，逐一排除等方法，并结合数量积性质求解．
对于非零向量m，n，定义运算“*”：m*n＝|m||n|sin θ，其中θ为m，n的夹角，有两两不共线的三个向量a，b，c，下列结论正确的是(　　)
A．若a*b＝a*c，则b＝c
B．(a*b)c＝a(b*c)
C．a*b＝(－a)*b
D．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
挖掘2　平面向量与三角函数、解三角形的综合应用/互动探究
[例2]　(2020·衡阳模拟)在△ABC中，若||＝2，且·cos C＋·cos A＝
·sin B.
(1)求角B的大小；
(2)求△ABC的面积．
[破题技法]　利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、解三角形结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．
在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知向量m＝，n＝(c，b－2a)，且m·n＝0.
(1)求∠C的大小；
(2)若点D为边AB上一点，且满足＝，||＝，c＝2，求△ABC的面积．
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