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第四节　概率与统计的综合问题
考点一　概率与频率分布直方图的综合应用
[例]　为了调查某省高中男生身高情况，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5)，……，第六组[182.5，187.5]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)求该学校高三年级男生的平均身高；
(2)利用分层抽样的方式，从这50名男生中抽出20人，求抽出的这20人中，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；
(3)从(2)中选出的身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的男生中任意抽取2人，求此2人来自于不同组的概率．
[解析]　(1)由直方图可知该校高三年级男生的平均身高为160×0.1＋165×0.2＋170×0.3＋175×0.2＋180×0.1＋185×0.1＝171.5(cm)．
(2)由频率分布直方图知，后两组的频率和为0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为10，故抽出的20人中身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数为4.
(3)由(2)知，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的4人中有2人来自[177.5，182.5)，记作A1，A2，另外2人来自[182.5，187.5]，记作B1，B2，
从中选出2人共有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B1，B2)，6个基本事件．
其中有4种情况来自不同组，从而所求概率P＝.
[破题技法]　破解概率与统计图表综合问题的3步骤
　学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．
(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；
(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的频率．
解析：(1)由频率分布直方图可知，所求数学成绩的平均分为85×0.06＋95×0.1＋105×0.24＋115×0.28＋125×0.2＋135×0.08＋145×0.04＝113.6，
故该班级同学数学成绩的平均分约为113.6.
(2)由频率分布直方图可知，数学成绩不低于130分的人数为50×0.08＋50×0.04＝4＋2＝6，其中，分数在[130，140)的有4人，分别记作a，b，c，d，分数在[140，150]的有2人，分别记作m，n.
从该班级数学成绩不低于130分的同学中选出2人共有15个基本事件，列举如下：ab，ac，ad，am，an，bc，bd，bm，bn，cd，cm，cn，dm，dn，mn.其中，选出的两人在同一组的有7个基本事件，分别是：ab，ac，ad，bc，bd，cd，mn.
故选出的两人在同一组的概率P＝.
考点二　概率与茎叶图及数字特征综合
[例]　(2020·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
(1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X>182的概率；
(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
[解析]　(1)甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数为×(32＋33＋33＋38＋35＋36＋39＋33＋41＋40)＝36，众数为33.
(2)设a为乙公司员工B每天的投递件数，则
当a＝35时，X＝140，
当a>35时，X＝35×4＋(a－35)×7，
令X＝35×4＋(a－35)×7>182，得a>41，则a的取值为44，42，
所以X>182的概率P＝＝.
(3)根据题图中数据，可估算甲公司的每位员工该月所得劳务费为4.5×36×30＝4 860(元)，易知乙公司员工B每天所得劳务费X的可能取值为136，147，154，189，203，
所以乙公司的每位员工该月所得劳务费约为×(136＋147×3＋154×2＋189×3＋203)×30＝165.5×30＝4 965(元)．
[破题技法]　本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．
　(2020·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：
(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；
(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．
解析：(1)甲在比赛中得分的均值＝×(7＋8＋10＋15＋17＋19＋21＋23)＝15，方差s2＝×[(－8)2＋(－7)2＋(－5)2＋02＋22＋42＋62＋82]＝32.25.
(2)甲得分在20分以下的6场比赛分别为：7，8，10，15，17，19.
从中随机抽取2场，这2场比赛的得分如下：
(7，8)，(7，10)，(7，15)，(7，17)，(7，19)，(8，10)，(8，15)，(8，17)，(8，19)，(10，15)，(10，17)，(10，19)，(15，17)，(15，19)，(17，19)，共15种，
其中抽到2场都不超过均值的情形是：
(7，8)，(7，10)，(7，15)，(8，10)，(8，15)，(10，15)，共6种，所以所求概率P＝＝.
考点三　概率与回归分析的综合
[例]　某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x(吨)为该商品进货量，y(天)为销售天数)：
x/吨 2 3 4 5 6 8 9 11
y/天 1 2 3 3 4 5 6 8
(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；
(2)根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)在该商品进货量x(吨)不超过6(吨)的前提下任取2个值，求该商品进货量x(吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率．
参考公式和数据：b＝，a＝－.
x＝356，xiyi＝241.
[解析]　(1)散点图如图所示：
(2)依题意，得＝×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋9＋11)＝6，
＝×(1＋2＋3＋3＋4＋5＋6＋8)＝4，
b＝＝eq \f(\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))xiyi－8\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(8),\s\do4(i＝1))x－8\o(x,\s\up6(－))2)＝＝，
∴a＝4－×6＝－，
∴y关于x的线性回归方程为y＝x－.
(3)由题意知，该商品进货量不超过6吨的共有5个，从小到大依次设编号为1，2，3，4，5号，任取2个有(1，2)(1，3)(1，4)(1，5)(2，3)(2，4)(2，5)(3，4)(3，5)(4，5)，共10种情况，该商品进货量不超过3吨的是编号1，2号，超过3吨的是编号3，4，5号，该商品进货量恰有一次不超过3吨的有(1，3)(1，4)(1，5)(2，3)(2，4)(2，5)，共6种情况，
故该商品进货量恰有一次不超过3吨的概率为P＝＝.
[破题技法]　回归分析是重要的统计思想与分析方法，与概率结合，是对回归分析总体的一个补充与印证．
　最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．
(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；
(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：
年级号x 1 2 3 4 5
近视率y 0.05 0.09 0.16 0.20 0.25
根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率．
附：回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘法，估计公式分别为b＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝－b.
参考数据：xiyi＝2.76，x＝55.
解析：(1)由24∶24∶12＝2∶2∶1，得抽取的5所学校中有2所小学、2所初中、1所高中，分别设为a1，a2，b1，b2，c，
从这5所学校中随机抽取3所学校的所有基本事件为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，c)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，(b1，b2，c)，共10种，
设事件A表示“抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所”，则事件A包含的基本事件为(a1，b1，c)，(a1，b2，c)，(a2，b1，c)，(a2，b2，c)，共4种，故P(A)＝＝.
(2)由题中表格数据得＝3，＝0.15，n ＝2.25，52＝45，且由参考数据：xiyi＝2.76，x＝55，
得b＝＝0.051，a＝0.15－0.051×3＝－0.003，
得线性回归方程为y＝0.051x－0.003.
当x＝6时，代入得y＝0.051×6－0.003＝0.303，
所以六年级学生的近视率在0.303左右．
考点四　概率与独立性检验综合
[例]　2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15，35)和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19∶21.其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2∶1.
(1)求图中a，b的值；
(2)现采用分层抽样的方法在[25，35)和[45，55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率；
(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”.
关注 不关注 合计
青少年人
中老年人
合计
[解析]　(1)由题意得
解得
(2)由题意得在[25，35)中抽取6人，记为A，B，C，D，E，F，在[45，55)中抽取2人，记为1，2.
则从8人中任取2人的全部基本事件(共28种)列举如下：
AB，AC，AD，AE，AF，A1，A2，BC，BD，BE，BF，B1，B2，CD，CE，CF，C1，C2，DE，DF，D1，D2，EF，E1，E2，F1，F2，12，
记2人中至少有1个是“中老年人”为事件A，则P(A)＝.
(3)2×2列联表如下：
关注 不关注 合计
青少年人 40 55 95
中老年人 70 35 105
合计 110 90 200
χ2＝≈12.157＞10.828，
所以有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”．
[破题技法]　样本中的两个分类变量所提供的数据除了可以进行独立性检验之外，也可以具有某种特性的某事件的概率．对总体作进一步的分析．
　(2020·湖南郴州第三次质量检测)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示．
组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
男 2 3 5 15 18 12
女 0 5 10 10 7 13
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是不是“环保关注者”与性别有关；
非“环保关注者” 是“环保关注者” 合计
男
女
合计
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．
附表及公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，
P(χ2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
解析：(1)2×2列联表如下：
非“环保关注者” 是“环保关注者” 合计
男 10 45 55
女 15 30 45
合计 25 75 100
将2×2列联表中的数据代入公式计算得
χ2＝≈3.03＜3.841，
所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是不是“环保关注者”与性别有关．
(2)由题可知，利用分层抽样的方法抽得男“环保达人”3人，女“环保达人”2人．
设3个男“环保达人”分别为A，B，C；2个女“环保达人”分别为D，E.
从中抽取2人的所有情况为(AB)，(AC)，(AD)，(AE)，(BC)，(BD)，(BE)，(CD)，(CE)，(DE)，共10种情况．
既有男“环保达人”又有“女环保达人”的情况有(AD)，(AE)，(BD)，(BE)，(CD)，(CE)，共6种情况．
故所求概率P＝＝.
PAGE第四节　概率与统计的综合问题
考点一　概率与频率分布直方图的综合应用
[例]　为了调查某省高中男生身高情况，现从某校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于157.5 cm和187.5 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[157.5，162.5)，第二组[162.5，167.5)，……，第六组[182.5，187.5]，下图是按照上述分组方法得到的频率分布直方图．
(1)求该学校高三年级男生的平均身高；
(2)利用分层抽样的方式，从这50名男生中抽出20人，求抽出的这20人中，身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的人数；
(3)从(2)中选出的身高在177.5 cm以上(含177.5 cm)的男生中任意抽取2人，求此2人来自于不同组的概率．
[破题技法]　破解概率与统计图表综合问题的3步骤
　学校将高二年级某班级50位同学期中考试的数学成绩(均为整数)分为7组进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．观察图中信息，回答下列问题．
(1)试估计该班级同学数学成绩的平均分；
(2)现准备从该班级数学成绩不低于130分的同学中随机选出两人参加某活动，求选出的两人在同一组的频率．
考点二　概率与茎叶图及数字特征综合
[例]　(2020·太原八校联考)为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制图如下：
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：
甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内(含35件)的部分每件4元，超出35件的部分每件7元．
(1)根据图中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；
(2)为了解乙公司员工B每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X(单位：元)，求X>182的概率；
(3)根据图中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
[破题技法]　本题主要考查概率与数字特征，涉及频率分布直方图，平均数、中位数、分层抽样、古典概型的概率计算等知识．解决此类问题的关键是正确理解图表中各个量的意义，牢记相关定义和公式，在利用频率分布直方图求平均值时，不要与求中位数，众数混淆．
　(2020·唐山五校联考)某篮球队在本赛季已结束的8场比赛中，队员甲得分统计的茎叶图如下：
(1)求甲在比赛中得分的均值和方差；
(2)从甲比赛得分在20分以下的6场比赛中随机抽取2场进行失误分析，求抽到2场都不超过均值的概率．
考点三　概率与回归分析的综合
[例]　某商店为了更好地规划某种商品进货的量，该商店从某一年的销售数据中，随机抽取了8组数据作为研究对象，如下表所示(x(吨)为该商品进货量，y(天)为销售天数)：
x/吨 2 3 4 5 6 8 9 11
y/天 1 2 3 3 4 5 6 8
(1)根据上表数据在网格中绘制散点图；
(2)根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；
(3)在该商品进货量x(吨)不超过6(吨)的前提下任取2个值，求该商品进货量x(吨)恰有一个值不超过3(吨)的概率．
参考公式和数据：b＝，a＝－.
x＝356，xiyi＝241.
[破题技法]　回归分析是重要的统计思想与分析方法，与概率结合，是对回归分析总体的一个补充与印证．
　最近青少年的视力健康问题引起习主席的高度重视，某地区为了解当地24所小学，24所初中和12所高中的学生的视力状况，准备采用分层抽样的方法从这些学校中随机抽取5所学校对学生进行视力调查．
(1)若从所抽取的5所学校中再随机抽取3所学校进行问卷调查，求抽到的这3所学校中，小学、初中、高中分别有一所的概率；
(2)若某小学被抽中，调查得到了该小学前五个年级近视率y的数据如下表：
年级号x 1 2 3 4 5
近视率y 0.05 0.09 0.16 0.20 0.25
根据前五个年级的数据，利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并根据方程预测六年级学生的近视率．
附：回归直线y＝bx＋a的斜率和截距的最小二乘法，估计公式分别为b＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝－b.
参考数据：xiyi＝2.76，x＝55.
考点四　概率与独立性检验综合
[例]　2019年全国“两会”，即中华人民共和国第十三届全国人大二次会议和中国人民政治协商会议第十三届全国委员会第二次会议，分别于2019年3月5日和3月3日在北京召开．为了了解哪些人更关注“两会”，某机构随机抽取了年龄在15～75岁之间的200人进行调查，并按年龄绘制的频率分布直方图如图所示，把年龄落在区间[15，35)和[35，75]内的人分别称为“青少年人”和“中老年人”．经统计“青少年人”和“中老年人”的人数之比为19∶21.其中“青少年人”中有40人关注“两会”，“中老年人”中关注“两会”和不关注“两会”的人数之比是2∶1.
(1)求图中a，b的值；
(2)现采用分层抽样的方法在[25，35)和[45，55)中随机抽取8名代表，从8人中任选2人，求2人中至少有1个是“中老年人”的概率；
(3)根据已知条件，完成下面的2×2列联表，并根据此统计结果判断：能否有99.9%的把握认为“中老年人”比“青少年人”更加关注“两会”.
关注 不关注 合计
青少年人
中老年人
合计
[破题技法]　样本中的两个分类变量所提供的数据除了可以进行独立性检验之外，也可以具有某种特性的某事件的概率．对总体作进一步的分析．
　(2020·湖南郴州第三次质量检测)某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分(满分：100分)数据，统计结果如下表所示．
组别 [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
男 2 3 5 15 18 12
女 0 5 10 10 7 13
(1)若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是不是“环保关注者”与性别有关；
非“环保关注者” 是“环保关注者” 合计
男
女
合计
(2)若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”．现在从本次调查的“环保达人”中利用分层抽样的方法随机抽取5名市民参与环保知识问答，再从这5名市民中抽取2人参与座谈会，求抽取的2名市民中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率．
附表及公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d，
P(χ2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
PAGE第五节　随机抽样
[基础梳理]
1．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体．从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫作简单随机抽样．
(2)常用方法：抽签法和随机数法．
2．系统抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫作系统抽样(也称为机械抽样)．
(2)适用范围：适用于总体中的个数较多时．
3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)适用范围：适用于总体由差异明显的几部分组成时．
1．一条规律
三种抽样方法的共同点都是等概率不放回抽样．若样本容量为n，总体的个体数为N，则用这三种方法抽样时，每个个体被抽到的概率都是.
2．三种抽样方法的差异
(1)简单随机抽样：总体容量较少，尤其是样本容量较少．
(2)系统抽样：适用于元素个数很多且均衡的总体．
(3)分层抽样：适用于总体由差异明显的几部分组成的情形．
[四基自测]
1．(基础点：抽样的概念)2019年4月13日，某中学初三650名学生参加了中考体育测试，为了了解这些学生的体考成绩，现从中抽取了50名学生的体考成绩进行了分析，以下说法正确的是(　　)
A．这50名学生是总体的一个样本
B．每位学生的体考成绩是个体
C．50名学生是样本容量
D．650名学生是总体
答案：B
2．(基础点：分层抽样)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型号产品有15件，那么样本容量n为(　　)
A．50　　　　　　　　 B．60
C．70 D．80
答案：C
3．(基础点：随机数法抽样)假设从高一年级全体同学(500人)中随机抽出60人参加一项活动，利用随机数法抽取样本时，先将500名同学按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第8行第11列的数开始，按三位数连续向右读取，最先抽出的5名同学的号码是(下面摘取了此随机数表第7行和第8行)(　　)
84421　75331　57245　50688　77047　44767　21763　35025　83921　20676
63016　37859　16955　56719　98105　07175　12867　35807　44395　23879
A．455　068　047　447　176
B．169　105　071　286　443
C．050　358　074　439　332
D．447　176　335　025　212
答案：B
4．(基础点：系统抽样)设某校共有112名教师，为了支援西部教育事业，现要从中抽取12名组成暑期西部讲师团．若用系统抽样法，则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为(　　)
A．9，4 B．12，3
C．10，2 D．8，2
答案：A
授课提示：对应学生用书第182页
考点一　简单随机抽样
挖掘　随机抽样的实施/ 自主练透
[例]　(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的是(　　)
A．从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
[解析]　因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了．
[答案]　B
(2)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的有(　　)
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本；
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0个　　　　　　　　 B．1个
C．2个 D．3个
[解析]　①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样，因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样，因为不是等可能抽样．
[答案]　A
[破题技法]　1.能否用简单随机抽样，要注意：
(1)抽取的个体数较少．
(2)是逐个抽取．
(3)是不放回抽取．
(4)是等可能抽取．
只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样．
2．抽签法与随机数法的适用情况：
(1)抽签法适用于总体中个体数较少的情况，随机数法适用于总体中个体数较多的情况．
(2)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：
一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
考点二　系统抽样
挖掘　系统抽样的实施/ 互动探究
[例]　(1)(2020·石家庄模拟)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查，将学生从1～1 000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为(　　)
A．16　　　　　　　　　　 B．17
C．18 D．19
[解析]　因为从1 000名学生中抽取一个容量为40的样本，所以系统抽样的分段间隔为＝25，
设第一组随机抽取的号码为x，
则抽取的第18组编号为x＋17×25＝443，所以x＝18.
[答案]　C
(2)(2020·中山模拟)为了检查某超市货架上的饮料是否含有塑化剂，要从编号依次为1到50的塑料瓶装饮料中抽取5瓶进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5瓶饮料的编号可能是(　　)
A．5，10，15，20，25 B．2，4，8，16，32
C．1，2，3，4，5 D．7，17，27，37，47
[解析]　抽取5瓶，应将50瓶分5组．抽样间隔为＝10.
[答案]　D
(3)(2020·成都模拟)将参加冬季越野跑的600名选手编号为：001，002，…，600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，把编号分为50组后，在第一组的001到012这12个编号中随机抽得的号码为004，这600名选手穿着三种颜色的衣服，从001到301穿红色衣服，从302到496穿白色衣服，从497到600穿黄色衣服，则抽到穿白色衣服的选手人数为________．
[解析]　由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N＋)组抽中的号码是4＋12(k－1)．令302≤4＋12(k－1)≤496，得25≤k≤42，因此抽到穿白色衣服的选手人数为42－25＝17(人)．
[答案]　17
[破题技法]　1.系统抽样中所抽取编号的特点
系统抽样又称等距抽样，所以依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
2．抽样间隔不是整数的处理策略
系统抽样时，如果总体中的个数不能被样本容量整除时，可以先用简单随机抽样从总体中剔除几个个体，然后再按系统抽样进行．
考点三　分层抽样
挖掘1　分层抽样的实施/ 自主练透
[例1]　(1)(2020·昆明检测)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人，按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动，如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度，有1位对户外运动持“不喜欢”态度，有3位对户外运动持“一般”态度，那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有(　　)
A．36人　　　　　　　　　 B．30人
C．24人 D．18人
[解析]　设公司员工对户外运动持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x，x，3x，由题意可得3x－x＝12，x＝6，所以对户外运动持“喜欢”态度的有6×6＝36(人)．
[答案]　A
(2)(2020·滨州模拟)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名学生只参加一个小组)(单位：人)．
篮球组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________．
[解析]　由分层抽样知识，得12∶(45＋15)＝(30－12)∶(30＋10＋a＋20)，∴a＝30.
[答案]　30
(3)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．
[解析]　本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，所以＝，所以x＝200.
[答案]　200
[破题技法]　解决分层抽样问题的关键
先确定抽样比，然后把各层个体数乘以抽样比，即得各层要抽取的个体数．常用公式：
(1)抽样比＝＝；
(2)层1的容量∶层2的容量∶层3的容量＝样本中层1的容量∶样本中层2的容量∶样本中层3的容量．
挖掘2　传统文化中的抽样方法/ 互动探究
[例2]　(2020·吉林百校联盟高三联考)分层抽样是将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，组成一个样本的抽样方法．在《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题：“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱．欲以钱多少衰出之，问各几何？”其译文为：今有甲持560钱，乙持350钱，丙持180钱，甲、乙、丙三人一起出关，关税共100钱，要按照各人带钱多少的比例进行交税，问三人各应付多少税？则下列说法错误的有(　　)
①甲应付51钱；②乙应付32钱；③丙应付16钱；④三者中甲付的钱最多，丙付的钱最少．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[解析]　依题意，抽样比为＝.
由分层抽样知识可知，甲应付×560＝51钱，故①正确；
乙应付×350＝32钱，故②不正确；
丙应付×180＝16钱，故③正确．
显然51＞32＞16，④正确．故选B.
[答案]　B
PAGE第三节　几何概型
[基础梳理]
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 个．
(2)等可能性：试验结果在每一个区域内 分布．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝
.
1．一个概念一测度
几何概型的概率公式中的“测度(即构成事件的区域)”只与大小有关，而与形状和位置无关．
2．两种方法
判断几何概型几何度量形式的两种方法
(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．
(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能变化的区域．
[四基自测]
1．(基础点：面积型的几何概型)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)
2．(基础点：区间长度型的几何概型)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则 X≤1的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
3．(基础点：时间型几何概型)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间少于20分钟的概率为________．
4．(基础点：面积型的几何概型)求在半径为r的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率为________．
授课提示：对应学生用书第174页
考点一　与长度型有关的几何概型
挖掘1　与线段长度有关的几何概型/ 自主练透
[例1]　(2020·长春模拟)已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为________．
挖掘2　与角度有关的几何概型/ 互动探究
[例2]　如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
挖掘3　与时间有关的几何概型/ 互动探究
[例3]　某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
挖掘4　与不等式有关的几何概型/ 自主练透
[例4]　在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
[破题技法]　与长度型有关的几何概型的常见类型
题点 解读 适合题型
与线段长度有关 将已知总长度的线段截断型的概率 明显的线段长度
与角度有关 点的旋转、形成角度的概率 点(射线) 旋转问题
与时间有关 将某段时间进行分段的概率 时间分段问题
与不等式有关 解不等式其解集是一个变量的范围的概率 一元不等式问题
考点二　与面积有关的几何概型及模拟试验
挖掘1　与平面几何的面积有关/ 互动探究
[例1]　(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
(2)(2020·福州质检)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是________．
挖掘2　与解析几何有关的面积/ 互动探究
[例2]　(1)已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数y＝x3的图像如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，则该小米落入阴影部分的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
(2)(2020·湖南衡阳联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，在圆C内随机取一点M，直线OM交圆C于A，B两点(O为坐标原点)，则|AB|＜2的概率为________．
挖掘3　随机模拟的应用/ 互动探究
[例3]　(2020·安徽合肥模拟)如图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率π的值．随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N，落在正六边形内切圆内的豆子个数为M，则估计圆周率π的值为(　　)
A. 　　　 B. 　　　
C.　　　 D.
[破题技法]　与面积有关的几何概型：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积．必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
考点三　与体积有关的几何概型
[例]　(2020·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[破题技法]　与体积有关的几何概型：对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
PAGE第七节　变量间的相关关系与统计案例
[基础梳理]
1．相关关系与回归方程
(1)相关关系的分类
①正相关：从散点图上看，点分布在从 到 的区域内；
②负相关：从散点图上看，点分布在从 到 的区域内．
(2)线性相关关系：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在 附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫作 ．
(3)回归方程
①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的 最小的方法叫作最小二乘法．
②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为y＝bx＋a，则b＝＝eq \f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))　\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x－n\o(x,\s\up6(－))2)，a＝－b.其中，b是回归方程的 ，a是在y轴上的 ．
(4)样本相关系数
r＝，用它来衡量两个变量间的线性相关关系．
①当r>0时，表明两个变量 ；
②当r<0时，表明两个变量 ；
③r的绝对值越接近1，表明两个变量的线性相关性 ；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当|r|>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系．
2．独立性检验
(1)2×2列联表：假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
y1 y2 总计
x1 a b
x2 c d c＋d
总计 a＋c a＋b＋c＋d
(2)χ2统计量
χ2＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
1．两种关系——函数关系与相关关系
(1)区别
①函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系．
②函数关系是一种因果关系，相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
(2)联系：对线性相关关系求回归方程后，可以通过确定的函数关系对两个变量间的取值进行估计．
2．回归直线方程的两个关注点
(1)样本数据点不一定在回归直线上，回归直线必过(，)点．
(2)在回归直线方程y＝bx＋a中，b＞0时，两个变量呈正相关关系；b＜0时，两个变量呈负相关关系．
3．回归分析的意义
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．在线性回归模型y＝bx＋a＋e中，因变量y的值由自变量x和随机误差e共同确定，即自变量x只能解释部分y的变化，在统计中，我们把自变量x称为解释变量，因变量y称为预报变量．
4．独立性检验
利用独立性假设、随机变量χ2来确定是否有一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．
两个分类变量X和Y是否有关系的判断标准：
统计学研究表明：
当χ2≤2.706时，认为没有充分证据显示X与Y有关系；
当χ2＞3.841时，有95%的把握说X与Y有关；
当χ2＞6.635时，有99%的把握说X与Y有关；
当χ2＞10.828时，有99.9%的把握说X与Y有关．
[四基自测]
1．(基础点：回归分析的相关指数)两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是 (　　)
A．模型1的相关指数R2为0.98
B．模型2的相关指数R2为0.80
C．模型3的相关指数R2为0.50
D．模型4的相关指数R2为0.25
2．(基础点：回归直线方程的特征)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如下表：
x 6 8 10 12
y 2 3 5 6
则y对x的线性回归直线方程为(　　)
A．y＝2.3x－0.7　　　 B．y＝2.3x＋0.7
C．y＝0.7x－2.3 D．y＝0.7x＋2.3
3．(基础点：独立性检验)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科 文科
男 13 10
女 7 20
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2＝≈4.844.
则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．
4．(基础点：散点图与线性相关)为了研究某班学生的脚长x(cm)与身高y(cm)的关系，从该班中抽取10名学生，其脚长x和身高y的散点图如图所示，则y与x间________(有、没有)相关关系．
授课提示：对应学生用书第190页
考点一　回归分析
挖掘1　相关关系的判断/ 互动探究
[例1]　(1)(2020·镇江模拟)如图所示，有A，B，C，D，E 5组数据，去掉________组数据后，剩下的4组数据具有较强的线性相关关系．
(2)下列两变量中不存在相关关系的是(　　)
①人的身高与视力；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③某农田的水稻产量与施肥量；④某同学考试成绩与复习时间的投入量；⑤匀速行驶的汽车的行驶距离与时间；⑥商品的销售额与广告费．
A．①②⑤　　　　　　　　 B．①③⑥
C．④⑤⑥ D．②⑥
(3)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(　　)
A．r2C．r4[破题技法]　利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较简便的方法．
(1)在散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．
(2)如果所有的样本点落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．
(3)如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系．
(4)若呈圆形区域且分布较乱，则不具备相关性．
挖掘2　求线性回归方程及应用/ 自主练透
[例2]　(1)(2020·河南濮阳一模)根据下表中的数据，得到的回归方程为y＝bx＋9，则b＝(　　)
x 4 5 6 7 8
y 5 4 3 2 1
A.2 B．1
C．0 D．－1
(2)(2020·泰安模拟)某商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：
人数xi 10 15 20 25 30 35 40
件数yi 4 7 12 15 20 23 27
其中i＝1，2，3，4，5，6，7.
①以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图．
②求回归直线方程．(结果保留到小数点后两位)
(参考数据：xiyi＝3 245，＝25，＝15.43，x＝5 075，7()2＝4 375，7 ＝2 700)
③预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)
[破题技法]　线性回归分析问题的类型及解题方法
(1)求线性回归方程：
①利用公式，求出回归系数b，a.
②待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数．
(2)利用回归方程进行预测：把回归直线方程看作一次函数，求函数值．
(3)利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数b.
挖掘3　非线性回归分析/ 互动探究
[例3]　某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．
(xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)(yi－)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中wi＝，＝wi.
(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为
β＝，α＝－β.
[破题技法]　非线性回归分析问题的处理方法
(1)描点，选模：画出已知数据的散点图，把它与已经学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图像作比较，挑选一种跟这些散点拟合最好的函数．
(2)解模：先对变量进行适当地变换，再利用线性回归模型来解模．
(3)比较检验：通过回归分析比较所建模型的优劣．
考点二　独立性检验
挖掘　判断两个分类变量的独立性/ 自主练透
[例]　(1)(2020·南昌模拟)随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如表.
非一线 一线 总计
愿生 45 20 65
不愿生 13 22 35
总计 58 42 100
附表：
P(χ2≥k0) 0.050 0.010 0.001
k0 3.841 6.635 10.828
由χ2＝算得，χ2＝≈9.616，参照附表，得到的正确结论是(　　)
A．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
B．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关”
(2)(2019·高考全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
满意 不满意
男顾客 40 10
女顾客 30 20
①分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
②能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附：χ2＝.
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
[破题技法]　1.独立性检验的原理
独立性检验的基本思想类似于反证法，要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度，首先假设该结论不成立．即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．在该假设下构造的随机变量χ2应该很小．如果由观测数据计算得到的χ2的观测值k很大，则在一定程度上说明不合理．
2．独立性检验的两个关键
(1)根据样本数据列出2×2列联表．
(2)计算随机变量χ2.
PAGE第六节　统计图表、用样本估计总体
[基础梳理]
1．常用统计图表
(1)频率分布表的画法：
第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝；
第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．
如图：
横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．
(3)茎叶图的画法：
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列，写在左(右)侧；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．
2．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征 定义与求法 优点与缺点
众数 一组数据中重复出现次数最多的数 通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征
中位数 把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数) 是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
续表
数字特征 定义与求法 优点与缺点
平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝(x1＋x2＋…＋xn) 平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低
(2)标准差、方差
①标准差：表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，
s＝ .
②方差：标准差的平方s2叫作方差．
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中xi(i＝1，2，3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
1．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
[四基自测]
1．(基础点：频率分布表)某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：
日需求量n/件 14 15 16 18 20
频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
试估计该商品日平均需求量为(　　)
A．16件　　　　　　　　 B．16.2件
C．16.6件 D．16.8件
答案：D
2．(基础点：平均数与方差)甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为甲，乙，则下列结论正确的是(　　)
A.甲＜乙；乙比甲得分稳定
B.甲＞乙；甲比乙得分稳定
C.甲＞乙；乙比甲得分稳定
D.甲＜乙；甲比乙得分稳定
答案：A
3．(基础点：样本方差的计算)已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：B
4．(基础点：频率分布直方图)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中a的值为________．
答案：0.005
授课提示：对应学生用书第186页
考点一　简单统计图表的应用
挖掘　图与表的统计意义/ 自主练透
[例]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是(　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
[解析]　设新农村建设前，农村的经济收入为a，则新农村建设后，农村经济收入为2a.新农村建设前后，各项收入的对比如下表：
新农村建设前 新农村建设后 新农村建设后变化情况 结论
种植收入 60%a 37%×2a＝74%a 增加 A错
其他收入 4%a 5%×2a＝10%a 增加一倍以上 B对
养殖收入 30%a 30%×2a＝60%a 增加了一倍 C对
养殖收入＋第三产业收入 (30%＋6%)a＝36%a (30%＋28%)×2a＝116%a 超过经济收入2a的一半 D对
故选A.
[答案]　A
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是(　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
[解析]　根据折线图可知，2014年8月到9月、2014年10月到11月等月接待游客量都是减少，所以A错误．
[答案]　A
(3)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
[解析]　由题图可知，0 ℃在虚线圈内，所以各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A正确；易知B，C正确；平均最高气温高于20 ℃的月份有3个，分别为六月、七月、八月，D错误．故选D.
[答案]　D
[破题技法]　根据统计图表(或图像)分析其意义时
(1)明确图表(图像)中各数字的意义及作用．
(2)分析数字或图像的变化趋势对实际结果的影响．
(3)经常用到的有扇形图、条形图、频率分布直方图、茎叶图、频数(频率)折线图、等势线图等．
考点二　频率分布直方图及综合应用
挖掘1　作频率分布直方图/ 自主练透
[例1]　(2018·高考全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
[解析]　(1)如图所示．
(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.2×0.1＋1×0.1＋2.6×0.1＋2×0.05＝0.48，
因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.
(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为－x1＝×(0.05×1＋0.15×3＋0.25×2＋0.35×4＋0.45×9＋0.55×26＋0.65×5)＝0.48.
该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
－x2＝×(0.05×1＋0.15×5＋0.25×13＋0.35×10＋0.45×16＋0.55×5)＝0.35.
估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.48－0.35)×365＝47.45(m3)．
[破题技法]　频率、频数、样本容量的计算方法
(1)×Δxi＝fi.
(2)＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
挖掘2　应用频率分布直方图估计总体/ 互动探究
[例2]　(1)(2020·山西四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)
A．45　　　　B．50　　　　C．55　　　　D．60
[解析]　∵[20，40)，[40，60)的频率和为(0.005＋0.01)×20＝0.3，
∴该班的学生人数是＝50.故选B.
[答案]　B
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
①求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
②分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
[解析]　①由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，
故a＝0.35，
b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.
②甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.
[破题技法]　利用频率分布直方图估计样本的数字特征的思路
(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．
考点三　茎叶图及应用
挖掘1　茎叶图与样本数字特征/ 自主练透
[例1]　(1)(2020·湖北孝感模拟)某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则＋的最小值为(　　)
1 2 3 5 9 7
2 3 a 5 8 b
A.1　　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
[解析]　根据茎叶图知，这组数据的平均数是×[12＋13＋15＋19＋17＋23＋(20＋a)＋25＋28＋(20＋b)]＝20，∴a＋b＝8，∴＋＝(a＋b)＝≥＝2，当且仅当b＝3a＝6时取“＝”，∴＋的最小值为2.故选C.
[答案]　C
(2)(2020·河北石家庄教学质量检测)某学校A、B两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示，通过茎叶图比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差．
①A班兴趣小组的平均成绩高于B班兴趣小组的平均成绩；
②B班兴趣小组的平均成绩高于A班兴趣小组的平均成绩；
③A班兴趣小组成绩的标准差大于B班兴趣小组成绩的标准差；
④B班兴趣小组成绩的标准差大于A班兴趣小组成绩的标准差．
其中正确结论的编号为(　　)
A．①④ B．②③
C．②④ D．①③
[解析]　A班兴趣小组的平均成绩为＝78，
其方差为×[(53－78)2＋(62－78)2＋…＋(95－78)2]＝121.6，
则其标准差为≈11.03；
B班兴趣小组的平均成绩为
＝66，
其方差为×[(45－66)2＋(48－66)2＋…＋(91－66)2]＝175.2，
则其标准差为≈13.24.故选A.
[答案]　A
[破题技法]　茎叶图的绘制需注意：
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；
(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．
挖掘2　用茎叶图进行总体估计/ 互动探究
[例2]　(2020·唐山高三年级摸底考试)某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223，228]内(单位：mm)的零件为一等品，其余为二等品．在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示：
(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数；
(2)已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个，视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？
[解析]　(1)甲＝×(217＋218＋222＋225＋226＋227＋228＋231＋233＋234)＝226.1；乙＝×(218＋219＋221＋224＋224＋225＋226＋228＋230＋232)＝224.7.
(2)由抽取的样本可知，应用甲工艺生产的零件为一等品的概率为，二等品的概率为，故采用甲工艺生产该零件每天获得的利润为
w甲＝300××30＋300××20＝7 200(元)；
应用乙工艺生产的零件为一等品、二等品的概率均为，故采用乙工艺生产该零件每天获得的利润为
w乙＝280××30＋280××20＝7 000(元)．
因为w甲＞w乙，所以采用甲工艺生产该零件每天获得的利润更高．
[破题技法]　茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据，通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．
PAGE第三节　几何概型
[基础梳理]
1．几何概型的定义
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型．
2．几何概型的特点
(1)无限性：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个．
(2)等可能性：试验结果在每一个区域内均匀分布．
3．几何概型的概率公式
P(A)＝
.
1．一个概念一测度
几何概型的概率公式中的“测度(即构成事件的区域)”只与大小有关，而与形状和位置无关．
2．两种方法
判断几何概型几何度量形式的两种方法
(1)当题干是双重变量问题，一般与面积有关系．
(2)当题干是单变量问题，要看变量可以等可能到达的区域：若变量在线段上移动，则几何度量是长度；若变量在平面区域(空间区域)内移动，则几何度量是面积(体积)，即一个几何度量的形式取决于该度量是否在等可能变化的区域．
[四基自测]
1．(基础点：面积型的几何概型)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　)
答案：A
2．(基础点：区间长度型的几何概型)在区间[－2，3]上随机选取一个数X，则 X≤1的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
答案：B
3．(基础点：时间型几何概型)某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时间少于20分钟的概率为________．
答案：
4．(基础点：面积型的几何概型)求在半径为r的圆内随机撒一粒黄豆，它落在圆内接等腰直角三角形内的概率为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第174页
考点一　与长度型有关的几何概型
挖掘1　与线段长度有关的几何概型/ 自主练透
[例1]　(2020·长春模拟)已知线段AC＝16 cm，先截取AB＝4 cm作为长方体的高，再将线段BC任意分成两段作为长方体的长和宽，则长方体的体积超过128 cm3的概率为________．
[解析]　设长方体的长为x，宽为12－x，
由4x(12－x)>128，得x2－12x＋32<0，
∴4满足BD∈(4，8)，其概率为＝.
[答案]　
挖掘2　与角度有关的几何概型/ 互动探究
[例2]　如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
[解析]　因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝.
[答案]　
挖掘3　与时间有关的几何概型/ 互动探究
[例3]　某单位试行上班刷卡制度，规定每天8：30上班，有15分钟的有效刷卡时间(即8：15～8：30)，一名职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，则他能有效刷卡上班的概率是(　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　该职工在7：50到8：30之间到达单位且到达单位的时刻是随机的，设其构成的区域为线段AB，且AB＝40，职工的有效刷卡时间是8：15到8：30之间，设其构成的区域为线段CB，且CB＝15，如图，所以该职工有效刷卡上班的概率P＝＝，故选D.
[答案]　D
挖掘4　与不等式有关的几何概型/ 自主练透
[例4]　在区间[0，2]上随机地取一个数x，则事件“－1≤log≤1”发生的概率为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
[解析]　由－1≤log≤1，
得≤x＋≤2，∴0≤x≤，∴P＝＝.
[答案]　A
[破题技法]　与长度型有关的几何概型的常见类型
题点 解读 适合题型
与线段长度有关 将已知总长度的线段截断型的概率 明显的线段长度
与角度有关 点的旋转、形成角度的概率 点(射线) 旋转问题
与时间有关 将某段时间进行分段的概率 时间分段问题
与不等式有关 解不等式其解集是一个变量的范围的概率 一元不等式问题
考点二　与面积有关的几何概型及模拟试验
挖掘1　与平面几何的面积有关/ 互动探究
[例1]　(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
[解析]　设正方形边长为2，则圆半径为1，则正方形的面积为2×2＝4，圆的面积为π×12＝π，图中黑色部分的面积为，则此点取自黑色部分的概率为＝.
[答案]　B
(2)(2020·福州质检)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，以该菱形的4个顶点为圆心的扇形的半径都为1.若在菱形内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是________．
[解析]　依题意，菱形中空白部分的面积总和等于一个半径为1的圆的面积，菱形ABCD的面积为2×2×sin 60°＝2.所以该点落在阴影部分的概率P＝1－＝1－π.
[答案]　1－π
挖掘2　与解析几何有关的面积/ 互动探究
[例2]　(1)已知以原点O为圆心，1为半径的圆以及函数y＝x3的图像如图所示，则向圆内任意投掷一粒小米(视为质点)，则该小米落入阴影部分的概率为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
[解析]　由图形的对称性知，所求概率为＝.故选B.
[答案]　B
(2)(2020·湖南衡阳联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝2，在圆C内随机取一点M，直线OM交圆C于A，B两点(O为坐标原点)，则|AB|＜2的概率为________．
[解析]　由已知得C(2，0)，当|AB|＝2时，∠ACB＝90°，所以当|AB|＜2时，点M在如图所示的阴影部分，S阴影＝2＝π－2，所以|AB|＜2的概率P＝＝＝－.
[答案]　－
挖掘3　随机模拟的应用/ 互动探究
[例3]　(2020·安徽合肥模拟)如图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率π的值．随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N，落在正六边形内切圆内的豆子个数为M，则估计圆周率π的值为(　　)
A. 　　　 B. 　　　
C.　　　 D.
[解析]　设正六边形的边长为1，则其内切圆的半径为，依题意得，＝，解得π＝，故选D.
[答案]　D
[破题技法]　与面积有关的几何概型：求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积．必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以便求解．
考点三　与体积有关的几何概型
[例]　(2020·长沙模拟)在棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，点O为底面ABCD的中心，在正方体ABCD A1B1C1D1内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．
[解析]　V正＝23＝8，V半球＝×π×13＝π.
＝＝，
∴P＝1－.
[答案]　1－
[破题技法]　与体积有关的几何概型：对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
PAGE第六节　统计图表、用样本估计总体
[基础梳理]
1．常用统计图表
(1)频率分布表的画法：
第一步：求 ，决定组数和组距，组距＝ ；
第二步： ，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；
第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．
如图：
横轴表示样本数据，纵轴表示 ，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的 ．
(3)茎叶图的画法：
第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；
第二步：将最小茎与最大茎之间的数按 次序排成一列，写在左(右)侧；
第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．
2．样本的数字特征
(1)众数、中位数、平均数
数字特征 定义与求法 优点与缺点
众数 一组数据中重复出现次数最多的数 通常用于描述变量的值出现次数最多的数．但显然它对其他数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征
中位数 把一组数据按 排列，处在 位置的一个数据(或两个数据的平均数) 是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点
续表
数字特征 定义与求法 优点与缺点
平均数 如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数＝ 平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低
(2)标准差、方差
①标准差：表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，
s＝ .
②方差：标准差的平方s2叫作方差．
s2＝ ，其中xi(i＝1，2，3，…，n)是样本数据，n是样本容量，是样本平均数．
1．频率分布直方图中的常见结论
(1)众数的估计值为最高矩形的中点对应的横坐标．
(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)中位数的估计值的左边和右边的小矩形的面积和是相等的．
2．平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，则mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
[四基自测]
1．(基础点：频率分布表)某便利店记录了100天某商品的日需求量(单位：件)，整理得下表：
日需求量n/件 14 15 16 18 20
频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
试估计该商品日平均需求量为(　　)
A．16件　　　　　　　　 B．16.2件
C．16.6件 D．16.8件
2．(基础点：平均数与方差)甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的原始记录如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均得分分别为甲，乙，则下列结论正确的是(　　)
A.甲＜乙；乙比甲得分稳定
B.甲＞乙；甲比乙得分稳定
C.甲＞乙；乙比甲得分稳定
D.甲＜乙；甲比乙得分稳定
3．(基础点：样本方差的计算)已知一个样本中的数据为1，2，3，4，5，则该样本的方差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4．(基础点：频率分布直方图)某校100名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，则图中a的值为________．
授课提示：对应学生用书第186页
考点一　简单统计图表的应用
挖掘　图与表的统计意义/ 自主练透
[例]　(1)(2018·高考全国卷Ⅰ)某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是(　　)
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是(　　)
A．月接待游客量逐月增加
B．年接待游客量逐年增加
C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
(3)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是(　　)
A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上
B．七月的平均温差比一月的平均温差大
C．三月和十一月的平均最高气温基本相同
D．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个
[破题技法]　根据统计图表(或图像)分析其意义时
(1)明确图表(图像)中各数字的意义及作用．
(2)分析数字或图像的变化趋势对实际结果的影响．
(3)经常用到的有扇形图、条形图、频率分布直方图、茎叶图、频数(频率)折线图、等势线图等．
考点二　频率分布直方图及综合应用
挖掘1　作频率分布直方图/ 自主练透
[例1]　(2018·高考全国卷Ⅰ)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6) [0.6，0.7)
频数 1 3 2 4 9 26 5
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
日用水量 [0，0.1) [0.1，0.2) [0.2，0.3) [0.3，0.4) [0.4，0.5) [0.5，0.6)
频数 1 5 13 10 16 5
(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；
(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；
(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)
[破题技法]　频率、频数、样本容量的计算方法
(1)×Δxi＝fi.
(2)＝频率，＝样本容量，样本容量×频率＝频数．
挖掘2　应用频率分布直方图估计总体/ 互动探究
[例2]　(1)(2020·山西四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)
A．45　　　　B．50　　　　C．55　　　　D．60
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.
①求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；
②分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．
[破题技法]　利用频率分布直方图估计样本的数字特征的思路
(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高矩形的底边中点的横坐标．
考点三　茎叶图及应用
挖掘1　茎叶图与样本数字特征/ 自主练透
[例1]　(1)(2020·湖北孝感模拟)某校高三年级10个班参加合唱比赛得分的茎叶图如图所示，若这组数据的平均数是20，则＋的最小值为(　　)
1 2 3 5 9 7
2 3 a 5 8 b
A.1　　　　　　　　　　 B.
C．2 D.
(2)(2020·河北石家庄教学质量检测)某学校A、B两个班的兴趣小组在一次对抗赛中的成绩如茎叶图所示，通过茎叶图比较两个班兴趣小组成绩的平均值及标准差．
①A班兴趣小组的平均成绩高于B班兴趣小组的平均成绩；
②B班兴趣小组的平均成绩高于A班兴趣小组的平均成绩；
③A班兴趣小组成绩的标准差大于B班兴趣小组成绩的标准差；
④B班兴趣小组成绩的标准差大于A班兴趣小组成绩的标准差．
其中正确结论的编号为(　　)
A．①④ B．②③
C．②④ D．①③
[破题技法]　茎叶图的绘制需注意：
(1)“叶”的位置只有一个数字，而“茎”的位置的数字位数一般不需要统一；
(2)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏，特别是“叶”的位置上的数据．
挖掘2　用茎叶图进行总体估计/ 互动探究
[例2]　(2020·唐山高三年级摸底考试)某厂分别用甲、乙两种工艺生产同一种零件，尺寸在[223，228]内(单位：mm)的零件为一等品，其余为二等品．在两种工艺生产的零件中，各随机抽取10个，其尺寸的茎叶图如图所示：
(1)分别计算抽取的两种工艺生产的零件尺寸的平均数；
(2)已知甲工艺每天可生产300个零件，乙工艺每天可生产280个零件，一等品利润为30元/个，二等品利润为20元/个，视频率为概率，试根据抽样数据判断采用哪种工艺生产该零件每天获得的利润更高？
[破题技法]　茎叶图通常用来记录两位数的数据，可以用来分析单组数据，也可以用来比较两组数据，通过茎叶图可以确定数据的中位数，数据大致集中在哪个茎，数据是否关于该茎对称，数据分布是否均匀等．
PAGE第一节　随机事件的概率
[基础梳理]
1．事件的相关概念
(1)必然事件：在一定条件下，一定发生的事件；
(2)不可能事件：在一定条件下，一定不发生的事件；
(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 A发生 B发生 事件B包含事件A(事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 若B A且A B 事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件) A＋B(或A∪B)
交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥事件 AB为不可能事件 事件A与事件B互斥 AB＝
对立事件 AB为不可能事件，A＋B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 AB＝ ，P(A＋B)＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．
(2)必然事件的概率为1．
(3)不可能事件的概率为0．
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝1，P(A)＝1－P(B)．
1．辨析两组概念
(1)频率与概率．
①频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变；
②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；
③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)互斥事件与对立事件．
①两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件；
②两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
[四基自测]
1．(基础点：必然事件及概率)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．
答案：1
2．(基础点：对立事件的概率)甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为________．
答案：0.2
3．(基础点：互斥事件的概率)一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________．(结果用最简分数表示)
答案：
授课提示：对应学生用书第170页
考点一　随机事件的关系
挖掘　事件的关系与运算/ 自主练透
[例]　(1)(2020·孝感模拟)把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件　　　　　 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上都不对
[解析]　从红牌的去向来看，有4种可能，故事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．
[答案]　B
(2)(2020·临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
[解析]　根据互斥事件与对立事件的意义作答，AB＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥也不对立；BC＝ ，B＋C＝Ω，故事件B，C是对立事件．
[答案]　D
(3)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球．
其中互斥而不对立的事件共有(　　)
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
[解析]　对于①，“至少有1个白球”发生时，“至少有1个黄球”也会发生，比如恰好一个白球和一个黄球，故①中的两个事件不互斥．
对于②，“至少有1个黄球”说明有黄球，黄球的个数可能是1或2，而“都是黄球”说明黄球的个数是2，故这两个事件不是互斥事件．
③“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”，都表示取出的两个球中，一个是白球，另一个是黄球．故不是互斥事件．
[答案]　A
[破题技法]　1.准确把握互斥事件与对立事件的概念
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
考点二　随机事件的概率与频率
挖掘　用频率估计概率/ 自主练透
[例]　(1)从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的卡片的频率是(　　)
A．0.53　　　　　　　　 B．0.5
C．0.47 D．0.37
[解析]　取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为＝0.53.故选A.
[答案]　A
(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
[解析]　＝＝0.98.
则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98.
[答案]　0.98
(3)(2020·山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg的包裹收费10元；质量超过1 kg的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元．该公司对近60天每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450
天数 6 6 30 12 6
①某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；
②该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？
[解析]　①由题意，寄出方式有以下三种可能：
情况 第一个包裹 第二个包裹
礼物 质量(kg) 快递费(元) 礼物 质量(kg) 快递费(元) 需支付的总快递费(元)
1 A 0.3 10 B，C 3.3 25 35
2 B 1.8 15 A，C 1.8 15 30
3 C 1.5 15 A，B 2.1 20 35
所有3种情况中，有1种情况快递费未超过30元，根据古典概型概率计算公式，所求概率为.
②由题目中的天数得出频率，如下：
包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450
天数 6 6 30 12 6
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 350 450
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
平均揽件数 50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋350×0.2＋450×0.1＝260
故公司平均每日利润为260×5－3×100＝1 000(元)；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450
实际揽件数频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
平均揽件数 50×0.1＋150×0.1＋250×0.5＋300×0.2＋300×0.1＝235
故公司平均每日利润为235×5－2×100＝975(元)．
综上，公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润不利．
[破题技法]　1.计算简单随机事件频率或概率的解题思路
(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率与概率的关系得所求．
2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点
求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．
考点三　互斥事件、对立事件的概率
挖掘　互斥事件、对立事件/ 自主练透
[例]　(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3　　　　　　　　 B．0.4
C．0.6 D．0.7
[解析]　由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.
[答案]　B
(2)(2020·太原模拟)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为________．
[解析]　“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲胜”的概率为1－－＝.
设“甲不输”为事件A，则A可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的和事件，所以P(A)＝＋＝.
[答案]　，
(3)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：
①P(A)，P(B)，P(C)；
②1张奖券的中奖概率；
③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[解析]　①P(A)＝，P(B)＝＝，
P(C)＝＝.
②因为事件A，B，C两两互斥，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.
故1张奖券的中奖概率为.
③P(＋)＝1－P(A＋B)＝1－(＋)＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
[破题技法]　求互斥事件概率的方法
方法 解读 适合题型
直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算 根据互斥事件定义分析，正面分类较少的
间接法 利用古典概型、互斥事件或相互独立事件的概率计算公式计算此事件的对立事件的概率，运用公式P(A)＝1－P()求解 题设条件含有“至多”“至少”的题目
PAGE第二节　古典概型
[基础梳理]
1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)定义：具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称为古典概型．
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
②每个基本事件出现的可能性相等．
(2)计算公式：P(A)＝.
(3)如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝.
[四基自测]
1．(基础点：与数字有关的古典概型)一个盒子里装有标号为1，2，3，4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.
答案：D
2．(基础点：与数字有关的古典概型)从1，2，3，4这四个数字中任取两个数，这两个数恰为一奇一偶的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案：D
3．(基础点：与所取元素有关的古典概型)盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．
答案：
4．(基础点：与分配有关的古典概型)现从甲、乙、丙3人中随机选派2人参加某项活动，则甲被选中的概率为________．
答案：
授课提示：对应学生用书第172页
考点一　古典概型的简单应用
挖掘　基本事件的确定/ 自主练透
[例]　(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)
A.　　　　　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　记5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．
故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.
[答案]　B
(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
[解析]　设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树形图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．
由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.
故选D.
[答案]　D
(3)(2018·高考全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为(　　)
A．0.6 B．0.5
C．0.4 D．0.3
[解析]　设2名男同学为a，b，3名女同学为A，B，C，从中选出两人的情形有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女同学的情形有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为＝0.3.故选D.
[答案]　D
(4)(2020·深圳模拟)一个三位数，个位、十位、百位上的数字依次为x，y，z，当且仅当y＞x，y＞z时，称这样的数为“凸数”(如243)，现从集合{1，2，3，4}中取出三个不相同的数组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[解析]　根据题意，要得到一个满足a≠c的三位“凸数”，在{1，2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，由1，2，3组成的三位数有123，132，213，231，312，321，共6个；由1，2，4组成的三位数有124，142，214，241，412，421，共6个；由1，3，4组成的三位数有134，143，314，341，413，431，共6个；由2，3，4组成的三位数有234，243，324，342，423，432，共6个．所以共有6＋6＋6＋6＝24个三位数．
当y＝4时，有241，142，341，143，342，243，共6个“凸数”；当y＝3时，有132，231，共2个“凸数”．故这个三位数为“凸数”的概率P＝＝.
[答案]　B
[破题技法]　
方法 解读
列举法 此法适合基本事件较少的古典概型
列表法 此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法 树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件个数的探求
考点二　古典概型与复杂事件的综合
挖掘　古典概型与互斥事件、对立事件/ 自主练透
[例]　(1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(　　)
A.　　　　　　　　 B.
C. D.
[解析]　设正方形ABCD中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中等于正方形的边长的是AB，AD，BC，CD，大于正方形的边长的是AC，BD，共有6种．所以所求事件的概率P＝＝.
[答案]　C
(2)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.
①求“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率；
②求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．
[解析]　①由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1，1，1)，(1，1，2)，(1，1，3)，(1，2，1)，(1，2，2)，(1，2，3)，(1，3，1)，(1，3，2)，(1，3，3)，(2，1，1)，(2，1，2)，(2，1，3)，(2，2，1)，(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，1)，(2，3，2)，(2，3，3)，(3，1，1)，(3，1，2)，(3，1，3)，(3，2，1)，(3，2，2)，(3，2，3)，(3，3，1)，(3，3，2)，(3，3，3)，共27种．
设“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”为事件A，
则事件A包括(1，1，2)，(1，2，3)，(2，1，3)，共3种．
所以P(A)＝＝.
因此，“抽取的卡片上的数字满足a＋b＝c”的概率为.
②设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1，1，1)，(2，2，2)，(3，3，3)，共3种．
所以P(B)＝1－P()＝1－＝.
因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.
(3)(2020·武汉调研)一鲜花店一个月(30天)某种鲜花的日销售量与销售天数统计如下，将日销售量落入各个区间的频率视为概率．
日销售量/枝 0～49 50～99 100～149 150～199 200～250
销售天数 3 5 13 6 3
①试求这30天中日销售量低于100枝的概率；
②若此鲜花店在日销售量低于100枝的时候选择2天作促销活动，求这2天恰好是在日销售量低于50枝时的概率．
[解析]　①设日销售量为x，则P(0≤x<50)＝＝，P(50≤x<100)＝＝，
∴P(0≤x<100)＝＋＝.
②日销售量低于100枝的共有8天，从中任选2天作促销活动共有28种情况；日销售量低于50枝的共有3天，从中任选2天作促销活动共有3种情况．
故所求概率P＝.
[破题技法]　古典概型同时结合互斥事件、对立事件等公式进行求解．
PAGE第一节　随机事件的概率
[基础梳理]
1．事件的相关概念
(1)必然事件：在一定条件下， 发生的事件；
(2)不可能事件：在一定条件下， 发生的事件；
(3)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的 为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝ 为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作 ，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
名称 条件 结论 符号表示
包含关系 A发生 B发生 事件B 事件A(事件A 事件B) B A(或A B)
相等关系 若 事件A与事件B相等 A＝B
并(和)事件 A发生或B发生 事件A与事件B的并事件(或和事件)
交(积)事件 A发生且B发生 事件A与事件B的交事件(或积事件)
互斥事件 AB为 事件 事件A与事件B互斥 AB＝
对立事件 AB为 事件，A＋B为必然事件 事件A与事件B互为对立事件 AB＝ ，P(A＋B)＝1
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围： ．
(2)必然事件的概率为 ．
(3)不可能事件的概率为 ．
(4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A＋B)＝ ．
(5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A＋B为必然事件，P(A＋B)＝ ，P(A)＝
1．辨析两组概念
(1)频率与概率．
①频率是一个变量，随着试验次数的改变而改变；
②概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关；
③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．
(2)互斥事件与对立事件．
①两个事件是互斥事件，它们未必是对立事件；
②两个事件是对立事件，它们也一定是互斥事件．
2．概率加法公式的推广
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
[四基自测]
1．(基础点：必然事件及概率)一个袋子中有红球5个，黑球4个，现从中任取5个球，则至少有1个红球的概率为________．
2．(基础点：对立事件的概率)甲、乙二人下棋，甲不输的概率为0.8，则乙获胜的概率为________．
3．(基础点：互斥事件的概率)一副混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A＋B)＝________．(结果用最简分数表示)
授课提示：对应学生用书第170页
考点一　随机事件的关系
挖掘　事件的关系与运算/ 自主练透
[例]　(1)(2020·孝感模拟)把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是(　　)
A．对立事件　　　　　 B．互斥但不对立事件
C．不可能事件 D．以上都不对
(2)(2020·临沂模拟)一枚均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则(　　)
A．A与B是互斥而非对立事件
B．A与B是对立事件
C．B与C是互斥而非对立事件
D．B与C是对立事件
(3)从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球，以下给出了三组事件：
①至少有1个白球与至少有1个黄球；
②至少有1个黄球与都是黄球；
③恰有1个白球与恰有1个黄球．
其中互斥而不对立的事件共有(　　)
A．0组 B．1组
C．2组 D．3组
[破题技法]　1.准确把握互斥事件与对立事件的概念
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但可以同时不发生．
(2)对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．
2．判别互斥、对立事件的方法
判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
考点二　随机事件的概率与频率
挖掘　用频率估计概率/ 自主练透
[例]　(1)从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下：
卡片号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
取到次数 13 8 5 7 6 13 18 10 11 9
则取到号码为奇数的卡片的频率是(　　)
A．0.53　　　　　　　　 B．0.5
C．0.47 D．0.37
(2)(2019·高考全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．
(3)(2020·山西太原一模)某快递公司收取快递费用的标准如下：质量不超过1 kg的包裹收费10元；质量超过1 kg的包裹，除1 kg收费10元之外，超过1 kg的部分，每1 kg(不足1 kg，按1 kg计算)需再收5元．该公司对近60天每天揽件数量统计如下表：
包裹件数范围 0～100 101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数(近似处理) 50 150 250 350 450
天数 6 6 30 12 6
①某人打算将A(0.3 kg)，B(1.8 kg)，C(1.5 kg)三件礼物随机分成两个包裹寄出，求该人支付的快递费不超过30元的概率；
②该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用．前台工作人员每人每天揽件不超过150件，工资100元，目前前台有工作人员3人，那么公司将前台工作人员裁员1人对提高公司利润是否更有利？
[破题技法]　1.计算简单随机事件频率或概率的解题思路
(1)计算出所求随机事件出现的频数及总事件的频数．
(2)由频率与概率的关系得所求．
2．求解以统计图表为背景的随机事件的频率或概率问题的关键点
求解该类问题的关键是由所给频率分布表、频率分布直方图或茎叶图等图表，计算出所求随机事件出现的频数，进而利用频率与概率的关系得所求．
考点三　互斥事件、对立事件的概率
挖掘　互斥事件、对立事件/ 自主练透
[例]　(1)(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为(　　)
A．0.3　　　　　　　　 B．0.4
C．0.6 D．0.7
(2)(2020·太原模拟)已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为，乙胜的概率为，则甲胜的概率和甲不输的概率分别为________．
(3)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C.求：
①P(A)，P(B)，P(C)；
②1张奖券的中奖概率；
③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
[破题技法]　求互斥事件概率的方法
方法 解读 适合题型
直接法 将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算 根据互斥事件定义分析，正面分类较少的
间接法 利用古典概型、互斥事件或相互独立事件的概率计算公式计算此事件的对立事件的概率，运用公式P(A)＝1－P()求解 题设条件含有“至多”“至少”的题目
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