资源简介
直线和圆的方程作业题
作业题目难度分为 3档:三星☆☆☆(基础题目)
四星☆☆☆☆(中等题目)
五星☆☆☆☆☆(较难题目)
70-90 分同学请选取 1-3,6-11,13-15,17-19
90—120 分同学请选取 2,4-13,16-18,20-22
120+以上同学请选取 2,7,9,11-13,16,18,20-24
本套作业题目 1-6 题为三星,7-22 为四星,23、24 为五星。
1、若直线 的倾斜角为钝角,则实数 的取值范围是_____。
☆☆☆
答案与解析: ,倾斜角为钝角即 , ,解得 。
故本题正确答案为 。
2、若关于 , 的二元一次方程组 有无穷多组解,则 的取值为__。
☆☆☆
答案与解析:若关于 , 的二元一次方程组 有无穷多组解,则直线
与直线 有无数个交点,即这两条直线重合。
①当 时,两直线方程分别为 与 ,显然这两条直线不重合,故此情况
不成立。
②当 时,若这两条直线重合,则 ,解得 。
因此有无穷多组解时, 。
3、已知直线 , ,若 ,则 的值
为( )。 ☆☆☆
答案与解析:因为 ,得 ,解得 或 。
4、已知直线 : ,直线 : , , ,则直线 与
直线 没有公共点的概率为( )。 ☆☆☆
答案与解析:直线 与直线 没有公共点,即 且不重合。因为常数 ,所以
与 不会重合,所以只要 ,直线 与直线 平行且不重合,即没有公共点。
因为 所有可能的组合共有 个: , , , , , , ,
, , , , , , , , 。
由 得: ,所以满足该条件的 共有 个: , 。
所以直线 与直线 没有公共点的概率 。
5、设 ,则“ ”是“直线 与直线 平
行”的( )条件。 ☆☆☆
答案与解析:本题主要考查充分必要条件和解析几何中两直线平行的基本条件。
和 平行的条件为 且 ,由此可得 或 。则“ ”是“直线
与直线 平行”的充分不必要条件。
6、若圆 : 与直线 相交于 , 两点,则 ( )
☆☆☆
答案与解析:根据点到直线的距离公式,圆心 到直线 即 的距离
为 ,圆 的半径为 ,所以 。
7、已知函数 ( )在区间 上是单调函数,其中 是
直线 的倾斜角,则 的所有可能取值范围是_____。 ☆☆☆☆
答案与解析: 因为 是直线 的倾斜角,所以 。因为函数 在区间 上
是单调函数,所以 在区间 上恒成立,或
在区间 上恒成立。
①若 在区间 上恒成立,则 ,所以 。
②若 在区间 上恒成立,则 ,所以 。
综上所述, 的所有可能取值范围是 。
8、已知三角形 三顶点坐标分别为 , , ,直线 将三角
形 分成面积相等的两部分,若 ,则实数 的取值范围是 。
☆☆☆☆
答案与解析:直线 过点 ,且 ,当 时,可知 ,当
时, ,随着 增大,直线的斜率逐渐增大,因此 。
9、在平面直角坐标系 中,若曲线 ( , 为常数)过点 ,且该曲
线在点 处的切线与直线 垂直,则 的值是_____。 ☆☆☆☆
答案与解析:直线 的斜率为 ,因为曲线 在点 处的切线与
直线 垂直,所以该曲线在点 处的切线的斜率为 ,所以 。
因为 ,所以 , 。
又因为曲线过点 ,所以 ,联立 ,解得 , ,
所以 。
10、若直线 是曲线 的一条切线,则实数 ( )。
☆☆☆☆
答案与解析:因为函数 ,其定义域为 ,
设 与函数 的切点为 ,所以 ,则切线的斜率为 。
所以切线方程为 ,即 ,
又有 ,则 ,且 ,所以 ,即 ,则 。
11、设两条直线的方程分别为 , ,已知 , 是方程
的两个实根,且 ,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值
分别是( )。 ☆☆☆☆
答案与解析:由已知可得两条直线的距离是 ,有 ,
因为 , 是方程 的根,所以 , ,所以 ,
因为 ,所以 ,即 。
12、在平面直角坐标系 中,设直线 与圆 ( )交于 A
、B 两点, 为坐标原点,若圆上一点 满足 ,则 _____。
☆☆☆☆
答案与解析:设 , , ,
由 可得, , ,
则
,
由于 , , 为圆上的点,所以上式化简为 ,
因为 , 为直线 上的点,故可进一步化简为
,
联立直线 与圆 ( )的方程,可得 ,
由韦达定理可知, , ,
所以 ( ),解得 。
13、已知 ,点 的坐标为 ,则当 时,且满足
的概率为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析:因为 ,所以 表示区域为正方形 ,面积
为 ,又 表示圆心为 ,半径为 的圆外的区域,在
中的区域为图中阴影部分,阴影部分面积为 ,所以当 时,
且满足 的概率为 。
14、已知圆 过点 ,则圆 的圆心的轨迹是( )。
☆☆☆☆
答案与解析:由圆 的方程可知,圆心 坐标为 ,半径 ,因为 为圆
上的一点,所以 ,即 ,所以圆心 的轨迹
是以点 为圆心,以 为半径的圆。
15、已知圆 : 的圆心为抛物线 的焦点,直线
与圆 相切,则该圆的方程为( )。 ☆☆☆☆
答案与解析:抛物线 焦点坐标为 ,则圆 圆心坐标 满足 , 。
直线 与圆心距离 满足 ,则该圆半径 ,
方程为 。
16、设 是直线 上一点, , 是圆 : 上不同的两点,若
圆心 是 的重心,则 面积的最大值为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析:因为 、 是圆 : 上两个不同的点,所以
因为圆心是 的重心,连接 并延长交 PQ 于 ,所以 ,设 ,
则 ,且 为 的中点,又 ,则可得 , ,
所以 的面积为 ,
当且仅当 ,即 时等式成立。所以 面积的最大值为 。
17、已知点 关于直线 的对称点为 ,则圆
关于直线 对称的圆 的方程为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析:由题意得圆 的标准方程为 ,圆 的圆心坐标
关于直线对称后的圆心为 ,所以对称后的圆方程为 。
18、在平面直角坐标系 中,已知点 在圆 :
内,动直线 过点 且交圆 于 、 两点,若 的面积的最大值为 ,则实数
的取值范围是_____。 ☆☆☆☆
答案与解析:根据题意,圆心的坐标为 ,半径 。
因为点 在圆 : 内,所以
,解得 。
设圆心 到直线的距离为 ,则有 。
又
当且仅当 ,即 , 时等号成立。
因此, ,即 ,解得 或 。
综上可知,实数 的取值范围是 。
19、在平面直角坐标系 中,设点 为圆 : 上的任意一点,点
,其中 ,则线段 长度的最小值为( )。 ☆☆☆☆
答案与解析:由题意,圆心 ,半径为 。
,
故点 在圆外,线段 的最小值即转化为线段 的最小值减去半径。
因为 ,因此 。
20、已知 是直线 上的动点, 、 是圆 的
切线, , 是切点, 是圆心,那么四边形 的面积的最小值是______。
☆☆☆☆
答案与解析:本题主要考查直线与圆方程。
因为 、 是圆的切线,所以 , ,
设 ,则 ,
当 与直线垂直时, 取最小值 ,所以 。
21、已知圆 : ,圆 : , 、 分别
是圆 , 上的动点, 为 轴上的动点,则 的最小值为( )。
☆☆☆☆
答案与解析:如图, ,即 ,所以 轴上点 到圆 的最短距离
做圆 圆心关于 轴的对称点,
。
22、若圆 与
外切,则 的最大值为( )。 ☆☆☆☆
答案与解析:圆 的圆心坐标为 ,半径为 2,
圆 的圆心坐标为 ,半径为 1,
因为两圆外切,所以 ,所以 ,当且仅当 时等
号成立。
23、已知点 和动点 ,以线段 为直径内切于圆 : 。
(1)求动点 的轨迹方程。
(2)已知点 , ,经过点 的直线 与动点 的轨迹交于 , 两点,求
证:直线 与直线 的斜率之和为定值。 ☆☆☆☆☆
答案与解析:(1)设点 。以 为直径的圆的圆心坐标为 ,
半径为 ,
因为圆 : ,所以圆 的圆心坐标为 ,半径为 。
因为以 为直径的圆与圆 相切,所以 ,
即 ,
所以点 到两定点 , 的距离之和为常数 ,所以点 的轨迹为椭圆, ,
, ,所以 ,
所以椭圆方程为 ,即动点 的轨迹方程为 。
(2)证明:
①直线 垂直于 轴时,直线 : ,此时直线 与椭圆方程相切,与题意不符。
②直线 斜率存在时,设直线 : ,联立方程 ,
消去 整理得 。
因为直线 与椭圆相交于 , 两点,所以
,解得 。设 , ,
则 , 。
因为 ,所以
。
所以直线 与直线 的斜率之和为定值 。
24、已知椭圆 : ( )经过 , 两点, 为坐
标原点。
(1)求椭圆 的标准方程。
(2)设动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点,且与圆 : 相交于 , 两
点,试问直线 与 的斜率之积 与 是否为定值?若是,求出该定值;若
不是,说明理由。 ☆☆☆☆☆
答案与解析:(1)根据题意,椭圆 : 经过 , ,
所以,解得 ,所以椭圆 的标准方程为 。
(2)①当直线 的斜率不存在时,若直线 与椭圆 有且仅有一个公共点,
则直线 的方程为 。
当直线 的方程为 ,则 ,则 ,可设 , ,
则 。
当直线 的方程为 ,则 ,则 ,可设 , ,
则 。
②当直线 的斜率存在时,设直线 : 。联立 ,消去 并整理得,
,
由直线 与椭圆 有且仅有一个公共点,则
,所以 ,联立
,消去 并整理得: ,
设 , ,
则 ,
则 ,所以
所以 ,将 代入得, 。
综上所述,直线 与 的斜率之积 与 为定值,且定值为 。(共21张PPT)
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直线和圆的方程
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直线和圆的方程
知识点特点
一、【界限清晰】
直线和圆的各自知识点的界限非常清晰,
互相不太影响。
二、【注意构建关系】
虽然界限清晰,但是重点却在联合。直
线与圆的关系是学习的关键。
直线和圆的方程
题目到底在求什么
1、直线或者圆的方程的
单独知识点考察
2、点、线、圆之间的关系
学会翻译
1
2
构建知识体系树
利用知识树解决经典例题
PA RT 1
构建直线和圆的方程知识树
DREAM OF THE FUTURE
直线和圆的方程知识树总图:
PA RT 2
利用知识树来解题
DREAM OF THE FUTURE
例题1
答案1
例题2
答案2
例题3
答案3
PA RT 3
回顾落实
DREAM OF THE FUTURE
要点总结
知识并不难,重点要为圆锥曲线大题打基础
直线与方程
要素
两条直线的关系:平行、垂直
距离公式
圆与方程
一般方程
点线圆的位置关系
直线与圆位置关系
圆与圆的位置关系
作业布置
根据本节课所学
完成学霸给你的对应习题~
加油~
学霸推荐
THANKS
青春的道路不长不短 学霸的陪伴 让你一路不慌不忙直线和圆的方程讲义(教师逐字稿)
课程简介:即 PPT(第 1 页):直线和圆的方程算是平面几何中相对简
单的模块,因为直线我们学过很多年了,圆也比较熟悉。直线和圆可
以作为平面几何的入门,我们可以从直线与直线的关系、直线与圆的
关系、圆与圆的关系一点一点深入研究,先了解一下解决平面几何问
题需要注意的点,需要注意的“词语”,然后后面的 A-圆锥曲线才会
学得轻松一点。
这节课我们学习:1、直线和圆的方程的知识树构建;2、如何运
用知识树解题。
直线和圆的方程属于 CBA 方法中的 B——branch 类,在高考题目
中一般都会出小题,题目难度适中,基本属于必拿分的题目。虽然高
考不考大题,但是我们还是要多多练习直线和圆的方程的大题,学面几何类问题的大题的思考方式,这样才能为圆锥曲线打好基础。
所以从打基础的角度来讲,这个模块其实非常重要,不应该被忽略。
让我们开始今天的学习吧。
PPT(第 2 页):先来了解一下直线和圆的方程模块知识的总体特点。
1、直线和圆的各自知识点界限清晰;2、构建关系是关键。
1、直线的知识点和圆的知识点其实是相对比较独立的,比如直
线需要学习倾斜角、斜率、平行、垂直等等,这些都有特定的公式。
圆需要标准方程、一般方程等等。这些知识之间并没有太大联系,也
没有什么太大难度。如果出单一考点的小题,也比较容易解决。
2、但是,直线和圆的问题真的就这么简单么?它的知识仅仅为
了解决一些小题吗?不是的,我们应该以直线和圆为基础学习解决一
些大题。大题绝不会单独考察直线或者单独考察圆,最容易考的就是
直线和圆的关系。这之中考频最大的就是直线和圆相切和相交。从这
个点深入考下去,就不单单是说明圆心到直线距离那么简单了。如果
相交就会有联立,就会用韦达定理……所以从这里下去可以有很多考
点出现,这才是为圆锥曲线打基础的地方。
PPT(第 3 页):直线和圆的方程的题目到底怎么考?这页非常重要,
认真听。这里就跟刚才的知识点特点对应上了。1、有些小题就是单
独考察直线或者圆的某一个性质或者方程的应用,比如点到直线距离
公式应用等等。2、有些大题主要就是考察点、直线、圆之间的关系,
这里一定要注意题目给出的条件如何翻译!这里解释一下,什么叫翻
译,在圆锥曲线模块你还会经常听见这个词,不是英译汉,而是把中
文翻译成数学语言。这个是做题时候非常容易缺失的点,造成的结果
就是一边读着题目的条件,一边大眼漏神,该翻译的信息完全忽略了,
读完题一脸懵逼,不停拷问自己:这道题到底想说什么?
我们在这里就介绍一些平面几何常用的翻译。一定好好记住。“点
在圆上”的意思就是点坐标可以带入圆的方程。回想一下,解题的时
候经常解着解着,某个点坐标设完,突然就带入圆的方程作为一个很
重要的方程来用了。那么从现在开始就要注意这个字眼,“点在圆上”
是非常有用的一个条件,背后就是一个重要的方程。而且是必用的!
同理在圆锥曲线题目中,点在椭圆上,就是指点的坐标可以带入椭圆
方程。这是一个实实在在的条件,千万不可以忽略掉。“直线与圆相
切”的意思是“圆心到直线的距离等于 r”、“圆心与切点的连线与直
线垂直”、“直线方程与圆的方程联立后,△=0”这些才是你看见直线
与圆相切之后应该想到的方程和解题方向。至于走哪条路,再看看题
目其他条件、和最终的问题就差不多可以猜到了。“直线和圆交于XXX”
的意思是,“你要联立直线和曲线的方程,然后很可能就要使用韦达
定理,弦长公式了。”但现实往往是,你读完题目之后,无动于衷,
仿佛不曾来过一样。这里先提及这几个最容易被忽视的,其他的翻译
就要看具体题目内容了。
所以这里再一次强调,读题非常重要,不是原来那种简单把文字
读一遍、把条件标一遍,而是要看逻辑、并且及时翻译的一种读法。
千万不能犯懒,因为读题如果懒了,那么就把压力都交给解题了。到
时候结果只能是一团乱麻。
PPT(第 4 页):好,看一下我们今天的任务。我们这节课就是要构建
出直线和圆的方程的知识体系树,并且看几道利用知识树来解决的经
典例题。
PPT(第 5 页):先来把知识树构建好吧。Let’s go!
PPT(第 6 页):这是直线和圆的方程的知识树总体概图。这里大致就
可以看到模块非常清晰,先学直线,再学圆,最后学关系。其中的注
意事项这里也标注了一下。接下来我们从直线与方程开始吧。
PPT(第 7 页):直线这里,我们主要学习直线的相关要素,两直线的
关系,和一些距离公式。其实内容都非常简单。我们简单过一下即可。
要素:倾斜角、斜率、直线方程。倾斜角要注意范围,斜率要
知道公式,注意 k 不存在的情况,而直线方程的五种形式,我们一般
都用斜截式、点斜式和一般式最多。(学霸带领同学看一下表格即可)
两条直线的关系:我们这里只提及平行和垂直两种特殊的即可。
这里注意两直线重合就算一条直线,不再算两条直线的关系了。平行
就是两直线的 k 相等,而垂直呢,就是斜率的乘积等于-1。这里注意
我们的插播广告,回想一下向量,学垂直的时候是不是特意提到过,
直线的垂直也常用向量的办法,两个向量乘积为 0 即可。我们各个模
块之间的联系也会多多渗透进来。
距离公式:这个就更简单了,一共 3 个。两点间距离公式、点
到直线距离公式、2 个平行直线之间的距离公式。(标红的反而容易
忘记,学霸可以重点读一下)
PPT(第 8 页):接下来,我们进入圆与方程。这里公式也很简单。圆
的方程就两种模式,标准方程和一般方程(学霸可以照读一下)。这
里涉及到一个常用的解题知识就是求圆上的点到其他曲线上的点的
距离最值,就是求圆心到曲线上的点的距离即可,然后加半径就是最
大值,减半径就是最小值。这是圆这里最常用的一个知识,圆上的动
点不好控制,但是我们可以靠圆心把它的最值定住。
PPT(第 9 页):好,我们进入重头戏。关系。这里我们需要把握点与
圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。我们一个
一个来。
先是点与圆的位置关系。这个其实非常简单,我需要你重点掌握
的是点在圆上的情况,意味着点坐标可以带入方程,那么这个方程就
可以用来解题了。做大题的时候往往就是这种认为自己肯定会的知识
点,却从来不知道“用”。
接下来比较重要,就是直线与圆的位置关系和一些容易被忽视的
公式。直线与圆一共三种关系,相交、相切、相离。相离这种情况很
少考察,我们重点要学相切和相交。先来相切的情况。圆的切线方程
怎么求?比较传统的做法是已知切点之后,求切线斜率,因为切线与
圆心和切点的连线是垂直的,最后点斜式求切线方程。但是高中阶段
我们学一个简便的公式,要记住,就像图片里写的那样,圆的方程如
果是(x-a)2+(y-b)2=r2,我们可以把切点直接带入,只带入平方
项里面的一个括号里,变成(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2。这
个就是切线方程。所以如果是大题里面涉及到切线,可以直接这么求,
不要不停去找斜率,那样计算太慢了。
切线性质是十分重要的,题目里出现“切线”两个字,就要知道
可能要列什么方程。一是切点与圆心连线与切线垂直,这里斜率乘积
为-1 就可以用上了,二是圆心到切线的距离等于 r,这里点到直线距
离公式又用上了。接下来有几个公式。弦长公式这个很简单,不多说。
两个圆的公共弦方程容易忘,这里再回忆一下,只要两个圆方程相减
得到的直线就是公共弦所在直线。经过两个圆交点的圆,这个也是有
固定方程的(学霸照读即可)。这个方程代表过两个圆公共点的所有
圆,具体题目中会给出条件,帮你求出λ。
圆与圆的位置关系,这个就是比较固定的套路了(学霸照读一遍
公式即可)。一般外切的情况考察更多一点,顺便问一下,两圆外切,
公切线有几条?3 条。外离呢?4 条。这个小知识点回忆一下即可。
PPT(第 10 页):好了,到这里我的直线和圆的方程知识树就成型了。
这里公式偏多,把你认为很熟悉的立刻删掉,让你的树看起来清爽一
点。(这张图 ppt 不清晰,可以下载原图查看)
PPT(第 11 页):OK,直线和圆的方程知识树全部构建结束。让我们来
一起看一下如何运用知识树来解题吧(务必看视频,学霸不必过多讲
解)。
PPT(第 12-13 页):第 1 题和答案。
PPT(第 14-15 页):第 2 题和答案。
PPT(第 16-17 页):第 3 题和答案。
PPT(第 18 页):回顾落实。看完视频题目后,有没有学会如何运用知
识树来解题?我们再次总结一下知识树的要点吧。
PPT(第 19 页):这个模块的知识点真的不难,但是一定要注意我说的
需要翻译的字眼,这样才能为圆锥曲线真的打下基础。下面的知识点
再熟悉一下,你看着标题是不是能回想得起来?
PPT(第 20 页):课后作业布置,请完成我们为你准备的经典习题。
PPT(第 21 页):本次课程结束,我们下次见。
展开更多......
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