资源简介

直线和圆的方程作业题
作业题目难度分为 3档：三星☆☆☆（基础题目）
四星☆☆☆☆（中等题目）
五星☆☆☆☆☆（较难题目）
70-90 分同学请选取 1-3,6-11,13-15,17-19
90—120 分同学请选取 2,4-13,16-18,20-22
120+以上同学请选取 2,7,9,11-13,16,18,20-24
本套作业题目 1-6 题为三星，7-22 为四星，23、24 为五星。
1、若直线 的倾斜角为钝角，则实数 的取值范围是_____。
☆☆☆
答案与解析： ，倾斜角为钝角即 ， ，解得 。
故本题正确答案为 。
2、若关于 ， 的二元一次方程组 有无穷多组解，则 的取值为__。
☆☆☆
答案与解析：若关于 ， 的二元一次方程组 有无穷多组解，则直线
与直线 有无数个交点，即这两条直线重合。
①当 时，两直线方程分别为 与 ，显然这两条直线不重合，故此情况
不成立。
②当 时，若这两条直线重合，则 ，解得 。
因此有无穷多组解时， 。
3、已知直线 ， ，若 ，则 的值
为（ ）。 ☆☆☆
答案与解析：因为 ，得 ，解得 或 。
4、已知直线 ： ，直线 ： ， ， ，则直线 与
直线 没有公共点的概率为（ ）。 ☆☆☆
答案与解析：直线 与直线 没有公共点，即 且不重合。因为常数 ，所以
与 不会重合，所以只要 ，直线 与直线 平行且不重合，即没有公共点。
因为 所有可能的组合共有 个： ， ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ， ， ， 。
由 得： ，所以满足该条件的 共有 个： ， 。
所以直线 与直线 没有公共点的概率 。
5、设 ，则“ ”是“直线 与直线 平
行”的（ ）条件。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查充分必要条件和解析几何中两直线平行的基本条件。
和 平行的条件为 且 ，由此可得 或 。则“ ”是“直线
与直线 平行”的充分不必要条件。
6、若圆 ： 与直线 相交于 ， 两点，则 （ ）
☆☆☆
答案与解析：根据点到直线的距离公式，圆心 到直线 即 的距离
为 ，圆 的半径为 ，所以 。
7、已知函数 （ ）在区间 上是单调函数，其中 是
直线 的倾斜角，则 的所有可能取值范围是_____。 ☆☆☆☆
答案与解析： 因为 是直线 的倾斜角，所以 。因为函数 在区间 上
是单调函数，所以 在区间 上恒成立，或
在区间 上恒成立。
①若 在区间 上恒成立，则 ，所以 。
②若 在区间 上恒成立，则 ，所以 。
综上所述， 的所有可能取值范围是 。
8、已知三角形 三顶点坐标分别为 ， ， ，直线 将三角
形 分成面积相等的两部分，若 ，则实数 的取值范围是 。
☆☆☆☆
答案与解析：直线 过点 ，且 ，当 时，可知 ，当
时， ，随着 增大，直线的斜率逐渐增大，因此 。
9、在平面直角坐标系 中，若曲线 ( ， 为常数)过点 ，且该曲
线在点 处的切线与直线 垂直，则 的值是_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：直线 的斜率为 ，因为曲线 在点 处的切线与
直线 垂直，所以该曲线在点 处的切线的斜率为 ，所以 。
因为 ，所以 ， 。
又因为曲线过点 ，所以 ，联立 ，解得 ， ，
所以 。
10、若直线 是曲线 的一条切线，则实数 （ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：因为函数 ，其定义域为 ，
设 与函数 的切点为 ，所以 ，则切线的斜率为 。
所以切线方程为 ，即 ，
又有 ，则 ，且 ，所以 ，即 ，则 。
11、设两条直线的方程分别为 ， ，已知 ， 是方程
的两个实根，且 ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值
分别是（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：由已知可得两条直线的距离是 ，有 ，
因为 ， 是方程 的根，所以 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 。
12、在平面直角坐标系 中，设直线 与圆 （ ）交于 A
、B 两点， 为坐标原点，若圆上一点 满足 ，则 _____。
☆☆☆☆
答案与解析：设 ， ， ，
由 可得， ， ，
则
，
由于 ， ， 为圆上的点，所以上式化简为 ，
因为 ， 为直线 上的点，故可进一步化简为
，
联立直线 与圆 （ ）的方程，可得 ，
由韦达定理可知， ， ，
所以 （ ），解得 。
13、已知 ，点 的坐标为 ，则当 时，且满足
的概率为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：因为 ，所以 表示区域为正方形 ，面积
为 ，又 表示圆心为 ，半径为 的圆外的区域，在
中的区域为图中阴影部分，阴影部分面积为 ，所以当 时，
且满足 的概率为 。
14、已知圆 过点 ，则圆 的圆心的轨迹是（ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：由圆 的方程可知，圆心 坐标为 ，半径 ，因为 为圆
上的一点，所以 ，即 ，所以圆心 的轨迹
是以点 为圆心，以 为半径的圆。
15、已知圆 ： 的圆心为抛物线 的焦点，直线
与圆 相切，则该圆的方程为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：抛物线 焦点坐标为 ，则圆 圆心坐标 满足 ， 。
直线 与圆心距离 满足 ，则该圆半径 ，
方程为 。
16、设 是直线 上一点， ， 是圆 ： 上不同的两点，若
圆心 是 的重心，则 面积的最大值为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：因为 、 是圆 ： 上两个不同的点，所以
因为圆心是 的重心，连接 并延长交 PQ 于 ，所以 ，设 ，
则 ，且 为 的中点，又 ，则可得 ， ，
所以 的面积为 ，
当且仅当 ，即 时等式成立。所以 面积的最大值为 。
17、已知点 关于直线 的对称点为 ，则圆
关于直线 对称的圆 的方程为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：由题意得圆 的标准方程为 ，圆 的圆心坐标
关于直线对称后的圆心为 ，所以对称后的圆方程为 。
18、在平面直角坐标系 中，已知点 在圆 ：
内，动直线 过点 且交圆 于 、 两点，若 的面积的最大值为 ，则实数
的取值范围是_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：根据题意，圆心的坐标为 ，半径 。
因为点 在圆 ： 内，所以
，解得 。
设圆心 到直线的距离为 ，则有 。
又
当且仅当 ，即 ， 时等号成立。
因此， ，即 ，解得 或 。
综上可知，实数 的取值范围是 。
19、在平面直角坐标系 中，设点 为圆 ： 上的任意一点，点
，其中 ，则线段 长度的最小值为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：由题意，圆心 ，半径为 。
，
故点 在圆外，线段 的最小值即转化为线段 的最小值减去半径。
因为 ，因此 。
20、已知 是直线 上的动点， 、 是圆 的
切线， ， 是切点， 是圆心，那么四边形 的面积的最小值是______。
☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查直线与圆方程。
因为 、 是圆的切线，所以 ， ，
设 ，则 ，
当 与直线垂直时， 取最小值 ，所以 。
21、已知圆 ： ，圆 ： ， 、 分别
是圆 ， 上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为（ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：如图， ，即 ，所以 轴上点 到圆 的最短距离
做圆 圆心关于 轴的对称点，
。
22、若圆 与
外切，则 的最大值为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：圆 的圆心坐标为 ，半径为 2，
圆 的圆心坐标为 ，半径为 1，
因为两圆外切，所以 ，所以 ，当且仅当 时等
号成立。
23、已知点 和动点 ，以线段 为直径内切于圆 ： 。
（1）求动点 的轨迹方程。
（2）已知点 ， ，经过点 的直线 与动点 的轨迹交于 ， 两点，求
证：直线 与直线 的斜率之和为定值。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）设点 。以 为直径的圆的圆心坐标为 ，
半径为 ，
因为圆 ： ，所以圆 的圆心坐标为 ，半径为 。
因为以 为直径的圆与圆 相切，所以 ，
即 ，
所以点 到两定点 ， 的距离之和为常数 ，所以点 的轨迹为椭圆， ，
， ，所以 ，
所以椭圆方程为 ，即动点 的轨迹方程为 。
（2）证明：
①直线 垂直于 轴时，直线 ： ，此时直线 与椭圆方程相切，与题意不符。
②直线 斜率存在时，设直线 ： ，联立方程 ，
消去 整理得 。
因为直线 与椭圆相交于 ， 两点，所以
，解得 。设 ， ，
则 ， 。
因为 ，所以
。
所以直线 与直线 的斜率之和为定值 。
24、已知椭圆 ： （ ）经过 ， 两点， 为坐
标原点。
（1）求椭圆 的标准方程。
（2）设动直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，且与圆 ： 相交于 ， 两
点，试问直线 与 的斜率之积 与 是否为定值？若是，求出该定值；若
不是，说明理由。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）根据题意，椭圆 ： 经过 ， ，
所以，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 。
（2）①当直线 的斜率不存在时，若直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，
则直线 的方程为 。
当直线 的方程为 ，则 ，则 ，可设 ， ，
则 。
当直线 的方程为 ，则 ，则 ，可设 ， ，
则 。
②当直线 的斜率存在时，设直线 ： 。联立 ，消去 并整理得，
，
由直线 与椭圆 有且仅有一个公共点，则
，所以 ，联立
，消去 并整理得： ，
设 ， ，
则 ，
则 ，所以
所以 ，将 代入得， 。
综上所述，直线 与 的斜率之积 与 为定值，且定值为 。(共21张PPT)
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直线和圆的方程
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
直线和圆的方程
知识点特点
一、【界限清晰】
直线和圆的各自知识点的界限非常清晰，
互相不太影响。
二、【注意构建关系】
虽然界限清晰，但是重点却在联合。直
线与圆的关系是学习的关键。
直线和圆的方程
题目到底在求什么
1、直线或者圆的方程的
单独知识点考察
2、点、线、圆之间的关系
学会翻译
1
2
构建知识体系树
利用知识树解决经典例题
PA RT 1
构建直线和圆的方程知识树
DREAM OF THE FUTURE
直线和圆的方程知识树总图：
PA RT 2
利用知识树来解题
DREAM OF THE FUTURE
例题1
答案1
例题2
答案2
例题3
答案3
PA RT 3
回顾落实
DREAM OF THE FUTURE
要点总结
知识并不难，重点要为圆锥曲线大题打基础
直线与方程
要素
两条直线的关系：平行、垂直
距离公式
圆与方程
一般方程
点线圆的位置关系
直线与圆位置关系
圆与圆的位置关系
作业布置
根据本节课所学
完成学霸给你的对应习题~
加油~
学霸推荐
THANKS
青春的道路不长不短 学霸的陪伴 让你一路不慌不忙直线和圆的方程讲义（教师逐字稿）
课程简介：即 PPT(第 1 页)：直线和圆的方程算是平面几何中相对简
单的模块，因为直线我们学过很多年了，圆也比较熟悉。直线和圆可
以作为平面几何的入门，我们可以从直线与直线的关系、直线与圆的
关系、圆与圆的关系一点一点深入研究，先了解一下解决平面几何问
题需要注意的点，需要注意的“词语”，然后后面的 A-圆锥曲线才会
学得轻松一点。
这节课我们学习：1、直线和圆的方程的知识树构建；2、如何运
用知识树解题。
直线和圆的方程属于 CBA 方法中的 B——branch 类，在高考题目
中一般都会出小题，题目难度适中，基本属于必拿分的题目。虽然高
考不考大题，但是我们还是要多多练习直线和圆的方程的大题，学面几何类问题的大题的思考方式，这样才能为圆锥曲线打好基础。
所以从打基础的角度来讲，这个模块其实非常重要，不应该被忽略。
让我们开始今天的学习吧。
PPT(第 2 页)：先来了解一下直线和圆的方程模块知识的总体特点。
1、直线和圆的各自知识点界限清晰；2、构建关系是关键。
1、直线的知识点和圆的知识点其实是相对比较独立的，比如直
线需要学习倾斜角、斜率、平行、垂直等等，这些都有特定的公式。
圆需要标准方程、一般方程等等。这些知识之间并没有太大联系，也
没有什么太大难度。如果出单一考点的小题，也比较容易解决。
2、但是，直线和圆的问题真的就这么简单么？它的知识仅仅为
了解决一些小题吗？不是的，我们应该以直线和圆为基础学习解决一
些大题。大题绝不会单独考察直线或者单独考察圆，最容易考的就是
直线和圆的关系。这之中考频最大的就是直线和圆相切和相交。从这
个点深入考下去，就不单单是说明圆心到直线距离那么简单了。如果
相交就会有联立，就会用韦达定理……所以从这里下去可以有很多考
点出现，这才是为圆锥曲线打基础的地方。
PPT(第 3 页)：直线和圆的方程的题目到底怎么考？这页非常重要，
认真听。这里就跟刚才的知识点特点对应上了。1、有些小题就是单
独考察直线或者圆的某一个性质或者方程的应用，比如点到直线距离
公式应用等等。2、有些大题主要就是考察点、直线、圆之间的关系，
这里一定要注意题目给出的条件如何翻译！这里解释一下，什么叫翻
译，在圆锥曲线模块你还会经常听见这个词，不是英译汉，而是把中
文翻译成数学语言。这个是做题时候非常容易缺失的点，造成的结果
就是一边读着题目的条件，一边大眼漏神，该翻译的信息完全忽略了，
读完题一脸懵逼，不停拷问自己：这道题到底想说什么？
我们在这里就介绍一些平面几何常用的翻译。一定好好记住。“点
在圆上”的意思就是点坐标可以带入圆的方程。回想一下，解题的时
候经常解着解着，某个点坐标设完，突然就带入圆的方程作为一个很
重要的方程来用了。那么从现在开始就要注意这个字眼，“点在圆上”
是非常有用的一个条件，背后就是一个重要的方程。而且是必用的！
同理在圆锥曲线题目中，点在椭圆上，就是指点的坐标可以带入椭圆
方程。这是一个实实在在的条件，千万不可以忽略掉。“直线与圆相
切”的意思是“圆心到直线的距离等于 r”、“圆心与切点的连线与直
线垂直”、“直线方程与圆的方程联立后，△=0”这些才是你看见直线
与圆相切之后应该想到的方程和解题方向。至于走哪条路，再看看题
目其他条件、和最终的问题就差不多可以猜到了。“直线和圆交于XXX”
的意思是，“你要联立直线和曲线的方程，然后很可能就要使用韦达
定理，弦长公式了。”但现实往往是，你读完题目之后，无动于衷，
仿佛不曾来过一样。这里先提及这几个最容易被忽视的，其他的翻译
就要看具体题目内容了。
所以这里再一次强调，读题非常重要，不是原来那种简单把文字
读一遍、把条件标一遍，而是要看逻辑、并且及时翻译的一种读法。
千万不能犯懒，因为读题如果懒了，那么就把压力都交给解题了。到
时候结果只能是一团乱麻。
PPT(第 4 页)：好，看一下我们今天的任务。我们这节课就是要构建
出直线和圆的方程的知识体系树，并且看几道利用知识树来解决的经
典例题。
PPT(第 5 页)：先来把知识树构建好吧。Let’s go!
PPT(第 6 页)：这是直线和圆的方程的知识树总体概图。这里大致就
可以看到模块非常清晰，先学直线，再学圆，最后学关系。其中的注
意事项这里也标注了一下。接下来我们从直线与方程开始吧。
PPT(第 7 页)：直线这里，我们主要学习直线的相关要素，两直线的
关系，和一些距离公式。其实内容都非常简单。我们简单过一下即可。
要素：倾斜角、斜率、直线方程。倾斜角要注意范围，斜率要
知道公式，注意 k 不存在的情况，而直线方程的五种形式，我们一般
都用斜截式、点斜式和一般式最多。（学霸带领同学看一下表格即可）
两条直线的关系：我们这里只提及平行和垂直两种特殊的即可。
这里注意两直线重合就算一条直线，不再算两条直线的关系了。平行
就是两直线的 k 相等，而垂直呢，就是斜率的乘积等于-1。这里注意
我们的插播广告，回想一下向量，学垂直的时候是不是特意提到过，
直线的垂直也常用向量的办法，两个向量乘积为 0 即可。我们各个模
块之间的联系也会多多渗透进来。
距离公式：这个就更简单了，一共 3 个。两点间距离公式、点
到直线距离公式、2 个平行直线之间的距离公式。（标红的反而容易
忘记，学霸可以重点读一下）
PPT(第 8 页)：接下来，我们进入圆与方程。这里公式也很简单。圆
的方程就两种模式，标准方程和一般方程（学霸可以照读一下）。这
里涉及到一个常用的解题知识就是求圆上的点到其他曲线上的点的
距离最值，就是求圆心到曲线上的点的距离即可，然后加半径就是最
大值，减半径就是最小值。这是圆这里最常用的一个知识，圆上的动
点不好控制，但是我们可以靠圆心把它的最值定住。
PPT(第 9 页)：好，我们进入重头戏。关系。这里我们需要把握点与
圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。我们一个
一个来。
先是点与圆的位置关系。这个其实非常简单，我需要你重点掌握
的是点在圆上的情况，意味着点坐标可以带入方程，那么这个方程就
可以用来解题了。做大题的时候往往就是这种认为自己肯定会的知识
点，却从来不知道“用”。
接下来比较重要，就是直线与圆的位置关系和一些容易被忽视的
公式。直线与圆一共三种关系，相交、相切、相离。相离这种情况很
少考察，我们重点要学相切和相交。先来相切的情况。圆的切线方程
怎么求？比较传统的做法是已知切点之后，求切线斜率，因为切线与
圆心和切点的连线是垂直的，最后点斜式求切线方程。但是高中阶段
我们学一个简便的公式，要记住，就像图片里写的那样，圆的方程如
果是（x-a）2+（y-b）2=r2，我们可以把切点直接带入，只带入平方
项里面的一个括号里，变成（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2。这
个就是切线方程。所以如果是大题里面涉及到切线，可以直接这么求，
不要不停去找斜率，那样计算太慢了。
切线性质是十分重要的，题目里出现“切线”两个字，就要知道
可能要列什么方程。一是切点与圆心连线与切线垂直，这里斜率乘积
为-1 就可以用上了，二是圆心到切线的距离等于 r，这里点到直线距
离公式又用上了。接下来有几个公式。弦长公式这个很简单，不多说。
两个圆的公共弦方程容易忘，这里再回忆一下，只要两个圆方程相减
得到的直线就是公共弦所在直线。经过两个圆交点的圆，这个也是有
固定方程的（学霸照读即可）。这个方程代表过两个圆公共点的所有
圆，具体题目中会给出条件，帮你求出λ。
圆与圆的位置关系，这个就是比较固定的套路了（学霸照读一遍
公式即可）。一般外切的情况考察更多一点，顺便问一下，两圆外切，
公切线有几条？3 条。外离呢？4 条。这个小知识点回忆一下即可。
PPT(第 10 页)：好了，到这里我的直线和圆的方程知识树就成型了。
这里公式偏多，把你认为很熟悉的立刻删掉，让你的树看起来清爽一
点。（这张图 ppt 不清晰，可以下载原图查看）
PPT(第 11 页)：OK,直线和圆的方程知识树全部构建结束。让我们来
一起看一下如何运用知识树来解题吧（务必看视频，学霸不必过多讲
解）。
PPT(第 12-13 页)：第 1 题和答案。
PPT(第 14-15 页)：第 2 题和答案。
PPT(第 16-17 页)：第 3 题和答案。
PPT(第 18 页)：回顾落实。看完视频题目后，有没有学会如何运用知
识树来解题？我们再次总结一下知识树的要点吧。
PPT(第 19 页)：这个模块的知识点真的不难，但是一定要注意我说的
需要翻译的字眼，这样才能为圆锥曲线真的打下基础。下面的知识点
再熟悉一下，你看着标题是不是能回想得起来？
PPT(第 20 页)：课后作业布置，请完成我们为你准备的经典习题。
PPT(第 21 页)：本次课程结束，我们下次见。

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