资源简介

参数方程作业题
作业题目难度分为 3档：三星☆☆☆（基础题目）
四星☆☆☆☆（中等题目）
五星☆☆☆☆☆（较难题目）
现在极坐标和参数方程都学过了，我们直接选取综合大题来做，本套作业没有三
星简单题目，直接是四星中等题目，和很少的五星题。
70-120 分同学请选取 1-11（全做了吧）
120+以上同学请选取 4,6-9,11
本套作业题目 1-10 题为四星，11 为五星。
1、已知在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直
线 经过定点 ，倾斜角为 。
（Ⅰ）写出直线 的参数方程和曲线 的标准方程；
（Ⅱ）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，求 的值。 ☆☆☆☆
答案与解析：（Ⅰ）圆 ： ，直线 ： ， 为参数。
（Ⅱ）将直线的参数方程代入圆的方程可得 ，设 ， 是方程的
两个根，则有 ， = 。
2、已知圆的方程为 。
（Ⅰ）求圆心轨迹的参数方程 ；
（Ⅱ）点 是（Ⅰ）中曲线 上的动点，求 的取值范围。
☆☆☆☆
答案与解析：（Ⅰ）将圆的方程整理得： ，
设圆心坐标为 ，则 ， 。
（Ⅱ） ，所以 。
3、在平面直角坐标系 中，已知曲线 ： ，（ 为参数），直线 ：
，（ 为参数）。设 与 交于 ， 两点，求线段 的长度。
☆☆☆☆
答案与解析：由 ，消去 得曲线 的普通方程为 ；
由 ，消去 得直线 的普通方程为 。
联立直线方程与曲线 的方程，即 ，解得交点的坐标分别为 ， 。
所以线段 的长度为 。
4、在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ ），曲线
的参数方程为 （ 为参数）。
（1）求曲线 ， 的普通方程；
（2）求曲线 上一点 到曲线 距离的取值范围。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）曲线 ： ，则 ，平方相加，
可得 普通方程： ，
曲线 ：由 ，可得 ，
所以 普通方程： 。
（2）设 上点 坐标为 ， 普通方程： ，即
。由点到直线的距离公式有：点 到 的距离为：
，
因为 ，当 即 时， ，
当 即 时， ，
所以曲线 上一点 到曲线 距离的取值范围为 。
5、已知直线 经过点 ，倾斜角 ，圆 的极坐标方程为 。
（1）写出直线 的参数方程，并把圆 的方程化为直角坐标方程；
（2）设 与圆 相交于 ， 两点，求点 到 ， 两点的距离之积。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）因为直线 经过点 ，倾斜角 ，
所以直线 的参数方程为 （ 为参数），即 （ 为参数），
因为 ，所以 ，所以
，所以 ，
所以圆 的直角坐标方程为 。
（2）设 ， 两点对应的参数分别为 ， ，将直线 的参数方程 （ 为
参数）代入圆的直角坐标方程 ，得 ，
所以 ，则 ，
6、已知直线 ： （ 为参数），曲线 （ 为参数）。
（1）设 与 相交于 ， 两点，求 的值；
（2）若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 ，纵坐标压缩为原来的 ，得到曲
线 ，设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最小值。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1） 的普通方程为 ， 的普通方程为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，半径为 ，由勾股关系得 。
（2） 的参数方程为 （ 为参数），故点 的坐标是 ，
从而点 到直线 的距离 ，
当 时， 取得最小值为 。
7、在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
已知圆 的极坐标方程为 。
（1）当 时，设 为圆 的直径，求点 的直角坐标；
（2）直线 的参数方程是 （ 为参数），直线 被圆 截得的弦长为 ，若 ，
求 的取值范围。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1） 时，圆 的直角坐标方程为 ，
所以圆心 ，又点 的直角坐标为 ，且点 与点 关于点 对称，所以点 的
直角坐标为 。
（2）圆 的直角坐标方程为 ，直线 的方程为 ，所
以圆心 到直线 的距离为 ，所以 。
所以 ，解得 。
8、已知曲线 的参数方程是 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 。正方形 的顶点都
在 上，且 依逆时针次序排列，点 的极坐标为 。
（1）求点 的直角坐标；
（2）设 为 上任意一点，求 的取值范围。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）根据题意，曲线 应该为圆心在原点半径为 的圆。
四边形 为正方形，所以点 的直角坐标为
。
（2）设 ，则 （ 为参数）
。
所以 的取值范围是 。
9、在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）
是 上的动点， 点满足 ， 点的轨迹为曲线 。
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 与 的异于极点
的交点为 ，与 的异于极点的交点为 ，求 。 ☆☆☆☆
答案与解析：（Ⅰ）设 ，则由条件知 由于 点在 上，所以
，从而 的参数方程为 （ 为参数）。
（Ⅱ）曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 。
射线 与 的交点 的极径为 ，
射线 与 的交点 的极径为 。
所以 。
10、在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点为
极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 的极坐标方程为 。
（Ⅰ）写出 的直角坐标方程；
（Ⅱ） 为直线 上一动点，当 到圆心 的距离最小时，求 的直角坐标。
☆☆☆☆
答案与解析：（1）由 得 ，从而有 ，
所以 。
（2）设 ，又 ，则 ，
故当 时， 取得最小值，此时， 点的直角坐标为 。
11、以坐标原点为极点，以 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 的参
数方程为 （ 为参数）。
（1）曲线 在点 处的切线为 ，求 的极坐标方程；
（2）点 的极坐标为 ，且当参数 时，过点 的直线 与曲线 有两个
不同的交点，试求直线 的斜率的取值范围。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）因为 ，所以 ，点 在圆上，
当 ， 时： ， ，则 ，
则切线方程为： ，即 ，
所以 ，切线 的极坐标方程为 = 。
（2） 与半圆 （ ）相切时， ，得
，所以 或 （舍去）。设点 为半圆与 轴交点，
由圆的方程可知点 坐标为 ， ，
故直线 的斜率的取值范围为 。(共22张PPT)
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Branch
参数方程
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参数方程的知识点特点
一、【没有新的坐标系】
务必与极坐标区分开来，
参数方程依然使用直角坐标系
二、【另一套衣服】
这是相关图像的另一套衣服而已。
参数方程的题目
考什么
1、第一问考转化
2、第二问其实是平面几何问题
（以直线和圆为主）
1
2
构建知识体系树
利用知识树解决经典例题
PA RT 1
构建参数方程知识树
DREAM OF THE FUTURE
极坐标与参数方程总图：
PA RT 2
利用知识树来解题
DREAM OF THE FUTURE
例题1
答案1
例题2
答案2
例题3
答案3
PA RT 3
回顾落实
DREAM OF THE FUTURE
要点总结
找到穿衣服的感觉
相关概念
与直角坐标的转化公式
直线、圆、椭圆的参数方程
作业布置
根据本节课所学
完成学霸给你的对应习题~
加油~
学霸推荐
THANKS
青春的道路不长不短 学霸的陪伴 让你一路不慌不忙
第一问主要考察转化问题
第二问务必当成平面几何问
题先想对策
极坐标
极坐标与参数方程
相关概念
参数方程
与直角坐标的转化
几种曲线的参数方程
第一问主要考察转化问题
极坐标
第二问务必当成平面几何问
题先想对策
参数可能有物理意义或几何意义,也可能没有
极坐标与参数方程
相关概念
参数方程
在平面直角坐标系中,若曲线C上的点P满足(2=0,该方程叫曲线〔C的参数
方程,变量t是参变数,简称参数
与直角坐标的转化
几种曲线的参数方程
第一问主要考察转化问题
第二问务必当成平面几何问
极坐标
题先想对策
极坐标与参数方程
相关概念
参数方程想转为直角坐标方程,两个字“消参”
参数方程与直角坐标的转化
直角坐标转为参数方程,背诵具体模型即可
几种曲线的参数方程
极坐标
相关概念
与直角坐标的转化
第一问主要考察转化问题
t的几何意义是关键,|t|代表一条直线上任意一点到那个定点的举例,那么直线上
第二问务必当成平面几何问
任意两点之间的举例,就可以表达为tr-t2|
题先想对策
直线
设直线过点M4(,马),点斜式方程为
直线的播通方程转化为参数方程|y-=k(x-,其中k=,a为
rax+toosa
极坐标与参数方程
lyo+tsina
直线的倾斜角
参数方程
θ也有几何意义,就是圆心角大小,很少用来解题,了解即可。
几种曲线的参数方程
圆
心在原点的圆
I=Rose
=sn,0≤6≤2x
愿心不在原点的圆
r=Y+Rose
0≤6≤2π
[y=yo+Rsin6
x=acost
椭圆
椭园的参数方程
,0≤t<2π
bint参数方程讲义（教师逐字稿）
课程简介：即 PPT(第 1 页)：极坐标与参数方程是选修内容，也是很
多同学会选做的一题。主要分为两部分，一个是极坐标，一个是参数
方程，我们分成两个课时来学习。极坐标与参数方程从本质上来讲，
是平面内的点、直线、曲线的另一种表达方式。我们过去都习惯了用
固定的 x 与 y 的关系来表示平面内的点、直线、曲线，现在就是要接
触一种比较新颖的表达方式而已。所以这里的学习要注意从心理上接
纳极坐标和参数方程，怕是没有用的，只有接纳它、熟悉它，才知道
它其实不怎么可怕。上节课已经讲完了极坐标，今天就让我们来解参
数方程。
这节课我们学习：1、参数方程的知识树构建；2、如何运用知识
树解题，这里包括参数方程自身的题目，更重要的是极坐标与参数方
程综合在一起的题目。
参数方程属于 CBA 方法中的 B——branch 类，在高考题目中属于
选做题，高考题目难度适中，基本属于必拿分的题目。今天我们学完
参数方程，就可以应付真正的高考题目了。让我们开始今天的学习吧。
PPT(第 2 页)：先来了解一下参数方程模块知识的总体特点。
1、没有新的坐标系；2、另一套衣服。
1、因为刚学完极坐标，再来看参数方程容易有点头晕，首先必
须明确的就是参数方程没有像极坐标一样使用新的坐标系，依然在用
直角坐标系，依然要用 x 和 y，只是引入了一个参数而已。所以极坐
标与参数方程的区别这里要注意，极坐标是全新的坐标系+全新的表
达方式。而参数方程坐标系不动，只是一种新的表达方式。
2、从本质上来讲，参数方程也只是平面内图形的另外一套衣
服。所以你依然需要对这个人——也就是圆的图像很熟悉，这样还是
他穿哪身衣服都一样，脱了衣服你也要认识。所以，参数方程与直角
坐标转化的秘诀依然是：以图像为根基，不管什么方程，都直接跟图
像建立联系就好。不要总是跨过图像，去找衣服之间的联系。现在，
希望你能练习到看见一个直线，可以随手写出它的直角坐标方程或者
是参数方程，或者是极坐标方程，没有感觉哪个更容易，哪个更困难，
如果能练习到这个程度，才算整个极坐标与参数方程学会了。而且同
一个曲线的 3 个方程可以放在一起刺激一下眼球，因为你可能从来没
看过同一个曲线的极坐标方程与参数方程放在一起是什么样子，可以
自己尝试写一写。比如 y=kx，极坐标方程就是θ=α（k=tanα），参
数方程就是 = tcosα = tsinα （t 为参数），这样三组东西放在一起，你可
以看看自己是否真的熟悉，看见他们的熟悉程度是一样的。
PPT(第 3 页)：参数方程的题目到底在考察什么？因为与极坐标是同
一道题目，所以这里跟极坐标讲的是一样的，就是一道平面几何的大
题而已。（这页与极坐标模块的内容一样，如果同学已经学过极坐标，
这一页学霸可以一带而过）
第一问考的是转化问题，就是点、直线、曲线等直角坐标与参数
方程相互转化的问题，尽可能把参数方程直接与图像相联合。
第二问其实是平面几何的问题，尤其以直线和圆为主。所以第二
问务必转变思维，想想你在做必修二直线和圆的大题的时候的感觉，
千万不要当成极坐标或参数方程的附属问题，然后记住某些答案的一
些什么联立，背诵一些什么奇怪的步骤，胡扯一通。这是做极坐标与
参数方程第二问的通病。就是认为这是一道全新的题目，去背诵答案
的一些步骤，其实只要你跳出来，当成一个普通的直线和圆的问题就
好了。这样就知道什么时候该用极坐标或参数方程来联立，什么时候
该转化为直角坐标方程。这里不要机械化记忆，必须用极坐标联立或
者用参数方程联立之类的，当成平面几何问题来分析到底使用极坐标、
参数方程还是直角坐标方程，这些操作都是自然而然的，不是生搬硬
套的。
PPT(第 4 页)：好，看一下我们今天的任务。我们这节课就是要构建
出参数方程的知识体系树，并且看几道利用知识树来解决的经典例题。
PPT(第 5 页)：先来把知识树构建好吧。今天我们构建好参数方程的
知识树之后，就会展示整个极坐标与参数方程的总图，让你有一个更
完整的感觉。Let’s go!
PPT(第 6 页)： 这是参数方程知识树的总体概图。这次标注了整个极
坐标与参数方程的解题对策：就是第一问注意转化，第二问当成平面
几何问题。今天的参数方程主要包括相关概念，参数方程与直角坐标
方程的关系，还有 3 种曲线的参数方程。这里学习思路跟极坐标一模
一样，了解概念，知道转化方式，然后学直线、圆、椭圆的标准参数
方程形式，就可以出发去解题了。依然强调，参数方程这里连新的坐
标系都没有，我们学习的只是一种新的表达曲线的方式。还没有学各
种运算公式。所以题目的第二问，务必当成平面几何问题来分析，然
后选择解题方案。
PPT(第 7 页)：让我们开始先看相关概念吧。首先要明确，参数方程
没有新的坐标系！就是依然在直角坐标系里面，所以参数方程依然是
表达 x 与 y 的关系，只是换了个方式而已。千万不要与极坐标混在一
起。有时候学完极坐标，你会被误导，认为参数方程也有个什么特别
的体系，连它依然用 x 和 y 表达平面内的图形都想不清楚了，所以这
里一再强调。另外就是参数方程一样有很大的局限性，能够直接用参
数方程解题的情况并不多，都必须满足比较苛刻的条件才行，后面我
们学各个模型的时候会一一说明。考试题目你发现一用一个准，是因
为人家就在考你这个知识点，故意出这样的题目，不是所有题目真的
就用参数方程解更快。
参数方程这里，因为没有新的坐标系，所以新概念也没什么，就
是 x 和 y 不直接构建联系，不写 y=3x+2，而是找到一个“小三”，让
x 与 y 都跟小三勾搭一下，不直接见面。有没有想过为什么？我记得
我高中的时候曾以为是吃饱了撑得，是为了给我们出题玩的，不过现
在理解了，参数方程在高中阶段，一是在解决一些 x+y 最值的时候非
常有用，因为对于圆或者椭圆上的点，如果你想求 x+y 的范围，很难
用 y 表达 x，或者用 x 表达 y，但如果我们都用同一个参数来表达，
很快就能转化为三角函数求范围的问题了。二是解决一条直线上两点
之间距离的时候，也会比直角坐标点简单得多，因为直线的标准参数
方程里面有一个 t，这个东西有很好用的几何意义，求两点之间距离
只要|t1-t
2|,而不是像直角坐标，需要 这么
复杂的计算。所以现在你就知道，第二问到底什么时候要直接用参数
方程了，就是可以利用他们优势的时候。
PPT(第 8 页)：接下来，参数方程与普通直角坐标方程如何转化，超
级简单，参数方程转为普通直角坐标方程，就是两个字“消参”，想
办法把参数消去即可。而直角坐标方程如何变为参数方程？这个没有
什么通用的公式，就是背下来模型就好了，因为高中阶段我们并不学
习如何选取参数，所以这个转化也不必放在心上了。
PPT(第 9 页)：接下来，我们直接看三种最重要曲线的参数方程，记
住模型即可，不用知道参数是怎么选的。有一点特殊强调，就是写参
数方程的时候，后面一定标注谁是参数，这直接决定了到底是什么样
的曲线。
先看直线。直线的标准参数方程 = x0 tcosα = y0 tsinα （t 为参数），
记住这里面一些量的意义，（x0，y0）表达的是直线过的定点，α表
示的是直线的倾斜角，那么斜率就是 tanα，t 这里也有几何意义，
非常重要，|t|代表直线上任意一点到定点的距离，那么直线上任意
两点之间的距离就可以表达为两点的 t 做差，即|t1-t2|。你可能还会
经常有个困惑，直线跟曲线联立的时候，到底谁用参数方程，谁用直
角坐标方程，这个其实也简单，如果你想用 t 的几何意义了，必须保
留 t 对不对，所以直线肯定选用参数方程呀。接下来曲线，曲线如果
还选参数方程 = ? （θ为参数），这两个参数方程你会联立吗？ = bsinθ
根本联立不起来对不对，所以曲线自然就选普通直角坐标方程呗。所
以这种联立不要去背，谁用什么方程，你只要知道自己要用什么，要
干什么，立刻就知道怎么选了。不要总妄图靠不理解的背诵就能解题，
那样后患无穷。
再看圆。圆的参数方程必须注意的就是与直线方程加以区分，
因为它们的形式太相似了，几乎一模一样。 = x0 rcosθ = y0 rsinθ （θ为
参数），看见公式你可能还觉得自己一定能区分开，但是如果里面换
上数字，立刻头晕。所以这里一定记住，圆与直线的参数方程区别就
在于看谁是参数。圆这里的参数是那个角度θ，而直线的参数是那个
系数 t。所以遇到一个参数方程，要先看谁是参数，才能区分出来是
直线还是圆，如果是圆，这里的（x0，y0）就是圆心， r 就是半径，
θ这里是参数，也是圆上的点与圆心连线，然后与 x 轴形成的夹角。
这里再回想一下刚才直线参数方程里面各个量都是什么意思。
最后看椭圆。椭圆与圆就非常类似了 = ? （θ为参数）， = bsinθ
这里的 a 和 b 就是椭圆直角方程里面的 a 和 b，参数依然是一个角度，
几何意义很少考察，就不多说。所以当你看到是角度为参数的时候，
肯定是圆或者椭圆，然后就看 sin 和 cos 的系数是否相等就可以了，
相等的就是圆，不等的就是椭圆。
PPT(第 10 页)：好了，到这里我的参数方程知识树成型了，可以看到
与极坐标非常类似。
PPT(第 11 页)：接下来，看一下极坐标与参数方程的总图吧。这样感
受更加直观，两个部分学法很相似，区别就在于极坐标是一个新的坐
标系，而参数方程还是依托直角坐标，用 x 和 y 表达。（这张总图 ppt
内不清晰，可以下载原图查看）
PPT(第 12 页)：OK,极坐标与参数方程知识树全部构建结束。让我们
来一起看一下如何运用知识树来解题吧（务必看视频，学霸不必过多
讲解）。
PPT(第 13-14 页)：第 1 题和答案。
PPT(第 15-16 页)：第 2 题和答案。
PPT(第 17-18 页)：第 3 题和答案。
PPT(第 19 页)：回顾落实。看完视频题目后，有没有学会如何运用知
识树来解题？我们再次总结一下知识树的要点吧。
PPT(第 20 页)：不管极坐标还是参数方程，都是要找到给图像穿不同
衣服的感觉，图像就是那个人，直角坐标可能是绿衣服，极坐标就是
红衣服，而参数方程就算黄衣服。然后我们学习了相关概念，与直角
坐标的转化，直线、圆和椭圆的各自的参数方程（这里 ppt 内不详细
写了，如果学生忘记了，就把总图拿出来看一下）。
PPT(第 21 页)：课后作业布置，请完成我们为你准备的经典习题。
PPT(第 22 页)：本次课程结束，我们下次见。

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