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(共26张PPT)
学霸推荐
Branch
计数原理（理科）
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
计数原理知识点特点
一、【原理简单应用难】
排列、组合、二项式定理这些公式都非常容
易懂，背下来不是难事。但是应用起来简直
是让人头疼。
二、【排列组合题目分类搞定】
最终要的工作是区分清楚题目的类型，再选
取方法，不要妄图靠你的直觉。
三、【二项式背就好了】
计数原理怎么考
1、排列组合跟概率放在一起考察（最难）
2、排列组合难度考察，分类记忆
3、二项式单独考察，会用定理即可
1
2
构建知识体系树
利用知识树解决经典例题
PA RT 1
构建计数原理知识树
DREAM OF THE FUTURE
PA RT 2
利用知识树来解题
DREAM OF THE FUTURE
例题1
答案1
例题2
某天下午要排物理、化学、生物和两节自习共节课，如果第一节不排生物，最
后一节不排物理，那么不同的排法共有（ ）。
答案2
例题3
现有六本书，其中两本相同，其余四本各不相同，分成三堆，每堆两本，则
不同的分法的种数为（ ）。
答案3
如图，用四种不同颜色给图中的A、B、C、D、E、F六个点涂色，要
求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不
同的涂色方法用（ ）。
例题4
答案4
例题5
答案5
PA RT 3
回顾落实
DREAM OF THE FUTURE
要点总结
不要跟概率混为一谈，细细分类
2个计数原理
分步乘法
排列与组合
6类题型：
特定元素与特殊位置问题、相邻问题、不相邻问题、
定序问题、分堆问题、分组与分配问题
公式
二项式系数的性质
作业布置
根据本节课所学
完成学霸给你的对应习题~
加油~
学霸推荐
THANKS
青春的道路不长不短 学霸的陪伴 让你一路不慌不忙计数原理作业题
作业题目难度分为 3档：三星☆☆☆（基础题目）
四星☆☆☆☆（中等题目）
五星☆☆☆☆☆（较难题目）
计数原理属于理科生的噩梦，其实题目都不算难，但是都是看过答案才会。所以
低分段同学把作业全部做了吧，高分段也尽可能多做，这个模块非常需要手感。
70-120 分同学请做 1-29。
120+以上同学请选取 4，6-31。
本套作业题目 1-4 为三星，5-27 为四星，28-31 为五星。
1、 的展开式中含 项的系数为_____。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查二项式定理。
，则展开式中含 项为：
，所以展开
式中含 项得系数为 。
2、若 的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 ，则
（ ）。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查二项式定理。由二项展开式的性质可得各项系数的和为
，各项二项式系数的和为 ，由已知可得 ，解得 。
3、如果 的展开式中各项系数之和为 ，则展开式中 的系数是（ ）。
☆☆☆
答案与解析： 的展开式前系数之和满足 ，可解得 ，则原
二项式中 即 的系数为 。
4、 的展开式中 的系数是（ ）。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查二项式展开式的通项公式。 展开式的通项
为 ，所以 的系数为 。
5、已知 （ ， ）的展开式中 的系数为 ，则 的系
数为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查二项式定理。
由题意得 的展开式中 的系数为 ，又因为 ， 均为正整
数，所以有 或 。当 时， 的展开式中 的系数为 ；
当 时， 的展开式中 的系数为 。
6、某校开设 类选修课 门， 类选修课 门，一位同学从中选 门，若要求两类课
程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列组合。从这两类课程中任意选择 门的选法一共有
种，只选一类课程的选法有 种。那么这两类课程中各至少有选一门的选法共有
种。
7、从 ， ， ， ， ， 这六个数字中任取五个，组成五位数，则不同的五位数共有
（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查加法原理和排列组合。首先考虑不含 的情况：从五个位
数上选三个填 ，其余填 ，则 ；含有 且有两个 两个 的情况：先从五个位数
上选一个填 ，然后在剩下的四个位数中选两个填 ，其余填 ，则 ；含有
且有一个 三个 的情况：先从五个位数上选一个填 ，然后在剩下的四个位数中选
一个填 ，其余填 ，则 ；所以不同的五位数共有： 个。
8、有 个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每
堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分
为止，则所有乘积的和为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。假设每次分堆分出 个球，第一次分完，一
堆是 个，另一堆是 个，乘积为 ；第二次分完，一堆是 个，另一堆是 个，乘积为
，以此类推，所有乘积和为 ，因此乘积和为 。
9、某数学教师一个上午有 个班级课，每班一节。如果上午只能排 节课，并且不
能连上 节课，则这位教师上午的课表有（ ）种可能的排法。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。在上午排三节课，且这三节课不连上，共
有 种排法；将三个班级的课进行排列，共有 种排法；由分步乘法计
数原理可得，共有 种不同的排法。
10、在第二届乌镇互联网大会中，为了提高安保的级别同时又为了方便接待，现将
其中的五个参会国的人员安排酒店住宿，这五个参会国要在 、 、 三家酒店选择一
家，且每家酒店至少有一个参会国入住，则这样的安排方法共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查两个基本原理及排列与组合。由题意，可以把五个参赛
国分为三组，则分为两种情况：①分为 、 、 ，此时共有 种方法。②分为
、 、 ，因为此时要平均分组，所以有 种方法。
所以共有 种方法。
11、“渐升数”是指除最高位数字外，其余每一个数字比其左边的数字大的正整数
（如 和 都是五位的“渐升数”）。
（Ⅰ）共有_____个五位“渐升数”（用数字作答）；
（Ⅱ）如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，则第 个五位“渐
升数”是_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列组合。
（Ⅰ）由题意，“渐升数”中不能有 ，则在其他 个数字中任取 个，每种取法对应
一个“渐升数”，则共有“渐升数” 个；
（Ⅱ）对于这些“渐升数”， 在首位的有 个， 在首位的有 个， 在
首位时“渐升数”由小到大排列为 ， ， ， ， ， 。故第
个五位“渐升数”是 。
12、用 5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个奇数夹在两
个偶数之间的五位数的个数为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。
第一步选一个奇数夹在两个偶数之间，有 种选法；第二步把这三个数看成一个整体
与另外两个奇数进行全排，有 种排法，第三步两个偶数再排，有 种方法，共有
种。
13、已知函数 的值域为 ，则满足这样条件的函数的个数为
（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查函数与方程。由 的值域为 可得 或
或 ，则 ，其中定义域上 和 应至少选取一
个，则满足这样条件的函数个数为 。
14、用 ， ， ， ， ， 组成数字不重复的六位数，满足 不在左右两端， ， ， 三
个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列组合。不考虑数字 的位置， ， ， 三个偶数中有且
只有两个偶数相邻的种数有 种；这种情况中， 在左右两端的
种数为 种，则这种情况下，不在左右两端的种数
15、现从男、女共 名学生干部中选出 名同学（要求 人中既有男同学又有女同学）
分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，共有 种不同的安排
方案，那么 名学生男、女同学的人数分布可能是（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。设有男生 人，则有女生 人。则题中方
案共有 ，当 时，上式成立，即男同学有 人。
16、四位男生和两位女生排成一排，男生有且只有两位相邻，则不同排法的种数是
（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。先从 位男生中选 位捆绑在一起，和剩下
的 位男生，插入到 位女生所形成的 个空中，不同的排法共有 种。
17、从 6人中选 4人分别到北京、哈尔滨、广州、成都四个城市游览，要求每个城
市有一人游览，每人只游览一个城市，且在这 6人中甲、乙不去哈尔滨游览，则不
同的选择方案共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列组合中的基本知识。抽取的 4人中没有甲乙时，共
有 种排法，抽取甲乙中的一人时，共有 种，抽取有甲乙两人时，共
有 ，即共有不同方案 种。
18、现有 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同
的排法有 种。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。由题意可知甲既不在端点，也不与乙相邻，
因此排在甲两边的人共有 种排法；将甲以及甲两边的人作为一个组合，与其
他 个人进行排列，共有 种排法。因此共有 种排列方法。
19、某人根据自己爱好，希望从 中选 个不同字母，从 中选 个
不同数字编拟车牌号，要求前三位是数字，后两位是字母，且数字 不能排在首位，
字母 和数字 不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。满足前三位是数字，后两位是字母的车牌
号共有 个。其中，数字 排在首位的车牌号有
个；若数字 和数字 相邻，则数字 排在第三位，字母
排在第四位，满足这种情况的车牌号有 个；综上，满足要
求的车牌号有 个。
20、将 、 、 、 四本不同的书分给甲、乙、丙三个同学，每个同学至少得到一
本书，且 书只能给甲同学，则不同的分法总数为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列和组合。若没有规定 书分给谁，则共有
种分法，如果 书只能给甲同学，则甲同学分到一本书的情况有： 种；甲
同学分到两本书的情况有： 种，所以满足要求的分法共有 种分法。
21、将标号为 ， ， ， ， ， 的 个小球放入 个不同的盒子中。若每个盒子放 个，
其中标号为 ， 的小球放入同一个盒子中，则不同的方法共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。设三个不同的盒子为 、 、 ，则 ， 号
球放入的盒子可能为 、 、 ，共 种情况；剩下的四个球平均放入剩下的两个盒
子共有 种情况，所以不同的方法共有 种。
22、从甲、乙等 5名志愿者中选出 4名，分别从事 四项不同的工作，每人
承担一项。若甲、乙二人均不能从事 工作，则不同的工作分配方案共有（ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查计数原理。首先分配 工作，共有 3种方案，然后分配剩
下 3种工作，共有 种方案，所以共有方案 种方案。
23、某校在高二年级开设选修课，选课结束后，有四名同学要求改选数学选修课，
现数学选修课开有三个班，若每个班至多可再接收 名同学，那么不同的接收方案共
有（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列组合。根据题意，分两种情况，
①其中一个班接收 名，另两个班各接收 名，分配方案共有 种；
②其中一个班不接收、另两个班各接收 名，分配方案共有 种；
所以，满足题意的不同接收方案共有 种。
24、八个一样的小球排成一排，涂上红、白两种颜色， 个涂红色， 个涂白色。若
涂红色的小球恰好有三个连续，则不同涂法共有（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列组合。
题目等价于将 个红球和 个白球排成一排。将三个红球看成一个整体，记为大红球。
选出大红球中的三个红球并排列，有 种选法。若大红球在边上，在左边与在
右边对称，有两种排法，紧靠着大红球的为白球，白球有 个，所以选出与大红球相
邻的白球有 种排法，剩下四个球有 种排法，故有 种排法；
若大红球不在边上，则与两个白球相邻，选出两个白球排在大红球的左边和右边，
有 种排法，再将大红球和这两个白球看成一个整体，与剩下的三个球排有
种排法，故有 种排法。所以有 种排法。因为红球、
白球都是相同的，所以不同的排法有 种。
25、用红、黄、绿、蓝四种不同颜色给一个正方体的六个面涂色，要求相邻两个面
涂不同的颜色，则共有涂色方法（涂色后，任意翻转正方体，能使正方体各面颜色
一致，我们认为是同一种涂色方法）（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合的应用。用四种颜色涂色，且相邻的面不同
色，对于正方体的三对面来说，有三对同色或两对同色，一对不同色这两种情况，
而且三个对面具有“地位对等性”。因此：①三对同色时：一共有 种不同的
涂法；②两对同色，一对不同色时：只需从四种颜色中选择 2种涂在其中两对面上，
剩下的两种颜色涂在另外两个面即可。因此共有 种不同的涂法。
故共有 种不同的涂法。
26、一个盒子内部有如图所示的六个小格子，现有桔子，苹果和香蕉各两个，将这
六个水果随机地放人这六个格子里，每个格子放一个，放好之后每行、每列的水果
种类各不相同的概率是（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查事件的概率及排列组合。若随意摆放，则共有
种，其中满足条件的有 种，所以概率为 。
27、盒子中放有编号为 ， ， ， ， 的形状和大小完全相同的 个白球和 个黑球，
从其中任意取出 个球，则取出球的编号互不相同的概率为（）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查古典概型和排列组合。任意取出 个球有 种情况。
从 个编号中选取 个编号，有 种情况，由于球色不同共 种情况。
故 。
28、设 ， ，将 中的元素从小到大地排列为： ，
，…，则 _____。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查集合的运算、等差数列、等比数列以及二项式定理。
，
，
当 为偶数时，
此时， ，即 不为偶数；
当 为奇数时， ，
此时， ，即 可以取奇数，所以 ，
所以
29、如果自然数 的各位数字之和等于 ，我们称 为“吉祥数”。将所有“吉祥数”
从小到大排成一列 ， ， ， ，若 ，则 （ ）。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查排列与组合。
根据题意可知，①一位数的“吉祥数”有： ，共 个；②二位数的“吉祥数”有： ，
， ， ， ， ， ， ，共 个；③三位数的“吉祥数”有：首先构成各位数
和为 的数组有（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），
（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ），（ ， ， ）；其中（ ，
， ）有一个数满足条件，（ ， ， ）有四个，（ ， ， ）有四个，（ ， ， ）
有四个，（ ， ， ）有两个，（ ， ， ）有三个，（ ， ， ）有六个，（ ， ， ）
有六个，（ ， ， ）有三个，（ ， ， ）有三个。共有 个三位的“吉祥数”；
④四位的“吉祥数”中小于 的有：（ ， ， ， ）有三个，（ ， ， ， ）有一
个，（ ， ， ， ）有六个，（ ， ， ， ）有六个，（ ， ， ， ）有六个，（ ，
， ， ）有三个，（ ， ， ， ）有六个，（ ， ， ， ）有三个，（ ， ， ， ）
有三个。共 个；所以小于 的“吉祥数”一共有 ，因此 。
30、定义“规范 数列” 如下： 共有 项，其中 项为 ， 项为 ，对任
意 ， 中 的个数不少于 的个数。若 ，则不同的“规范 数列”
共有（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查计数原理。由题意可知，数列中一共有 个 和 个 ，因为
对任意 ， 中 的个数不少于 的个数，所以采用枚举法。①数列前
三项分别为 ， ， ，②数列前三项分别为 ， ， ，③数列前三项分别为 ， ， 。
对于①，满足题意的数列有 ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ；
， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ，共 个。对于②，满足题意
的数列有 ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ，
， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ； ， ， ， ， ， ， ， ，共 个。对于③，
③和②的情况是一样的，只是前三项的顺序不一样，所以一共也是 个。综合①②③，
则满足题意的数列共有 个。
31、设集合 ，那么集合 中满足条
件“ ”的元素个数为（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查分类加法、分步乘法。因为 ，所以若
只能有三种情况： ，
和 ；
当 时， 只能有一个为 或 ，其他为 ，
此时共有 种情况；当 时， 可
能有两个为 或 ，或者一个为 ，一个为 ，此时共有
种情况；
当 时， 可能有三个为 或两个为 ，一个
为 或一个为 ，两个为 或三个为 ，此时共有 种情
况；综上，满足 的元素个数为 。计数原理（理科）讲义（教师逐字稿）
课程简介：即 PPT(第 1 页)：计数原理是理科高中数学的内容。新高
考之后考察到什么程度暂时还未知。我们先按照当前的情况学习。计
数原理其实不论文科理科我都建议应当有所掌握，对于文科生来说，
遇到计数问题如果永远靠数数，速度真的是慢了一点。当然这只是个
人建议，文科生不必有压力，不会也完全可以 。计数原理主要包
括排列组合与二项式定理，内容比较杂，也比较让人头疼，难度一般
都不算小。遇到这种地方，我们最擅长的就是抽丝剥茧，但是这里不
会像之前的模块一样有多少大招，也不能过度依赖有什么一劳永逸的
办法，做好这个心理准备就好。
这节课我们学习：1、计数原理的知识树构建；2、如何运用知识
树解题。
计数原理属于 CBA 方法中的 B——branch 类，在高考题目中一般
都会出小题，题目难度中偏难。没有像之前模块一样特别妙的办法，
需要认真积累经验，认真刷题。是不是有点心凉，但是别担心，我们
还是有些方法的，就是你们最喜欢的分类，这里可以大胆使用了。理
科生，让我们开始今天的学习吧。
PPT(第 2 页)：先来了解一下计数原理模块知识的总体特点。
1、原理简单应用难；2、排列组合题目靠分类搞定；3、二项式背就
好了。
1、计数原理的公式、定理都不难，背一下就会了，甚至像一项
基本技能一样，其实背过就不会忘。但是大家依然不会解题，因为根
本不知道该用哪个，这里我主要针对的是排列组合。
2、所以，这里提出解决办法，排列组合题目一定要细致的分类，
搞定它们，千万不要嫌麻烦。务必区分出各类题目之间细微的区别。
另外，这里跟概率那里有非常多重合的地方，很多同学居然都不知道
谁是谁，就乱写一气，只能说明一个问题，欠整理，欠背诵。排列组
合可以说是一种工具，可以在这里用，更可以在概率那里用，但是到
底怎么用，一定要根据题目来定，不是会了 C,会了 A,就可以冲出去
随便运算了，不能靠你的直觉，当然我相信过去你可能都是靠直觉做
这道题目的，好扎心有木有……今天就要跟着我来把红豆分到红豆堆，
绿豆分到绿豆堆里面。
3、二项式定理这里，非常简单，背好公式，别遗漏就可以了。
PPT(第 3 页)：计数原理到底怎么考？这里我要先扎心一下，你到底
知不知道什么是排列组合，什么是概率？这个问题看似简单，有没有
觉得每次都是揉在一起的……从来没有区分过它们……。不能因为考
得少就不拿豆包当干粮啊 ，排列组合很委屈。
1、如果是这样，今天我们就正式区分一下，排列组合讲的是如
何“计数”，概率讲的是发生的频率。这里有个先后顺序的，先是计
完数，才能再去计算怎么发生对不对？所以！记好了，排列组合这里
只是计算概率的一个工具，而计算概率有计算概率的方法，千万不要
混在一起。虽然题目经常会把它们混在一起考察，但是！它们是完全
不同的两个模块。稍微清晰一点点了吗？所以，排列组合跟概率一起
考察的时候，简直就是死亡组合的感觉，有木有？根本原因不是谁有
多难，而是你不知道它们的身份，请把它们分开，不要总是抱在一起。
所以以后再看见题目，先问自己是排列组合问题还是概率问题，如果
是前者，直接用我们今天学习的分类办法，如果是后者，那就是计数
完了再算概率，而且是运用概率那个模块的方法。说完这么一大堆，
我的心头病终于去除了，千万不要再有人问独立重复实验应该怎么用
排列组合了……这个问题，在概率那里我们还会再强调一遍。
2、开始真正的主题，排列组合的问题我们就是细细分类就好，
红是红，绿是绿，看准特点，区别记忆。
3、二项式的考察更加简单，该背的背好就可以了。其实有一个
奇怪现象，这么好背的东西，反而大家都不太熟，因为都不重视。结
果每次算二项式的时候都是心虚得不得了。那就 ps 赠送一句心灵鸡
汤：考场上，没有哪道题目是高贵的，哪道是低贱的，与其苦苦追寻
导数的从 4 到 7 分的过程，还不如把二项式这道填空题 5 分稳稳拿住。
是不是又扎心了，如果没背熟，那就面壁去背。
PPT(第 4 页)：好，看一下我们今天的任务。我们这节课就是要构建
出计数原理的知识体系树，并且看几道利用知识树来解决的经典例题。
PPT(第 5 页)：先来把知识树构建好吧。Let’s go！
PPT(第 6 页)：这是计数原理的知识树总体概图。总体就是要再强调
一下，跟概率不是一个模块，不要混淆。学习顺序先来了解 2 个基本
的计数原理，分类和分步。基于这 2 个原理的基础上，我们真正接触
排列与组合。都是分别学习概念，然后细细将题目分类，找到每一类
题目的解法。第三部分是二项式定理，相对比较独立，主要学习二项
式的通项公式，还有二项式系数的性质。
PPT(第 7 页)：首先，我们先把 2 个计数原理搞清楚。分类用加法，
完成一件事……（学霸可以照读一遍），分步用乘法（学霸照读一遍）。
这两种是我们学习排列组合的基础，一定要先明确。所有题目无非就
是分类，分步，先分类再分步，先分步再分类。都是按照这 4 个类型
解题的。这里搞清楚，就避免经常问“这里为什么用加法？这里为什
么用乘法？” 为什么用？其实原理早就学过了，只是大家都忘了。
学习这一模块，最怕的就是不知其所以然，上来就想直接总结题型做
题，不知道这根本的原理，做题分类也分不对。
PPT(第 8 页)：接下来，正式进入排列组合。排列就是 A,具体定义我
们不多讲（如果学生需要，学霸可以照读一下），运算公式也非常清
晰，直接看图就好，而且我想这里你已经会了。组合就是我们常说的
C,掌握好它与排列的计算区别即可。我们从概念上要再次区分一下排
列和组合。排列是指抽出元素之后要按照一定顺序排一列，而组合是
抽出元素作为一个组即可，不排顺序。这个区别务必要清晰。
PPT(第 9 页)：概念掌握以后，有的同学就开始出去做题了，做两道
就碰壁了。因为实在不知道怎么用排列，怎么用组合，这的确是非常
头疼的事情。我们这里就把排列组合的问题大致分为 6 类，让我们看
看每一类怎么解决。
1、特定元素与特殊位置问题。这类问题遵循先特殊后普通的原
则。如果有特殊位置，就先照顾特殊位置，由最特殊的位置开始放数，
依次进行排放，最后再考虑一般位置的数字安排。如果是特殊元素，
那么先考虑摆放有特殊要求的元素，再依次考虑其他元素，直至一般
元素的排放。还有一种情况，就是特殊的情况太多了，这时采取正难
则反原则，先就没有特殊条件时进行安排，再考虑特殊条件的对立面
进行排列，两者做差即为所求。
2、相邻问题。相邻问题是比较常见的，某些元素要求安排在一
起的时候，使用捆绑法，先将要求相邻的元素绑在一起，视为 1 个元
素，再与其他元素排列。
3、不相邻问题。题目如果要求某些元素不能相邻，采取插空法。
先安排其他元素，然后将特殊元素插入空隙当中解决问题。
4、定序问题。题目要求某些元素顺序固定。这时先不考虑定序
求出 n 个元素的排列数 ，再就定序的 m 个元素排列，有 种情况，
那么符合条件的排列共有 种。
5、分堆问题。也就是有限制条件的组合问题。题目要求将若干
不同的元素分成若干不计顺序的几堆时，有时存在元素相同的若干堆，
要注意除去这些堆交换顺序带来的重复计算问题。注意不重，不漏。
6、分组与分配问题。把 n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个
不同的对象，如果是分为 k 组，则成为分组问题。这是两种不同的概
念。而我们见到的题目经常是分组与分配结合在一起的问题。那么要
遵循先分组再分配的顺序。
这里介绍得有点抽象，一会儿我们多选取几道例题讲解。
PPT(第 10 页)：最后我们看一下二项式定理。这里只要把公式及其用
法记好就 ok 了。首先二项式定理公式（学霸可以照读一遍），其中展
开式共有 n+1 项。要注意二项式系数是 ， ， ， …… ，而
二项式系数与这一项的系数是不同的，某一项的最终系数可能还要乘
上原本各项自带的系数。
二项展开式中的第 r+1 项为 T n-rbr，这就叫做二项展开式 r+1= a
的通项公式。通项公式的特点（学霸可以照图中读一下）。
二项式系数的性质这里，第（3）和（4）比较常考。二项式的
幂指数 n 如果是偶数，那么展开式中间一项的二项式系数最大，如果
n 为奇数，那么展开式中间两项的系数相等且最大。（a+b）n 的二项式
系数的和等于 2n，奇数项和偶数项的二项式系数和相等，都等于 2n-1。
继续拓展一下，对于 g（x）=（a+bx）n，展开式的各项系数和为 g（1），
奇数项的系数和为 [g（1）+g（-1）]，偶数项的系数和为
[g（1）-g（-1）]。这个小结论记住即可。
最后说一个常考的小题型。求（a+b）m（c+d）n 的展开式中特定
项的系数。这时需要先分析特定项可由（a+b）m 和（c+d）n 的展开式
中的哪些项相乘得到。把相乘后的项系数相加，即为特定项系数。
PPT(第 11 页)：好了，到这里我的计数原理知识树就成型了。这里你
认为已经非常熟悉的概念、公式可以删去，最重要的其实就是排列组
合的 6 种分类，需要从题目中好好感觉一下。（ppt 不清晰，可以下
载原图查看）
PPT(第 12 页)：OK,计数原理知识树全部构建结束。让我们来一起看
一下如何运用知识树来解题吧（务必看视频，学霸不必过多讲解）。
PPT(第 13-14 页)：第 1 题和答案。
PPT(第 15-16 页)：第 2 题和答案。
PPT(第 17-18 页)：第 3 题和答案。
PPT(第 19-20 页)：第 4 题和答案。
PPT(第 21-22 页)：第 5 题和答案。
PPT(第 23 页)：回顾落实。看完视频题目后，有没有学会如何运用知
识树来解题？我们再次总结一下知识树的要点吧。
PPT(第 24 页)：总结这里还是再次强调，这是排列组合，是计数用的，
不是求概率的方法。做这类题目，公式大家都会被，就看能不能静下
心来分类，区别每一类题目。我们主要学了一下三大方面（学霸可以
照读一下，让学生回忆一下刚才学过的内容）。
PPT(第 25 页)：课后作业布置，请完成我们为你准备的经典习题。
PPT(第 26 页)：本次课程结束，我们下次见。

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