资源简介

圆锥曲线定义类小题作业题
作业题目难度分为 3档：三星☆☆☆（基础题目）
四星☆☆☆☆（中等题目）
五星☆☆☆☆☆（较难题目）
终于来到了我们的地狱模块，这里说明一下，圆锥曲线仅仅靠这些作业题是绝对
不够的，在上课与作业之间，可能你还需要有人带着你做题做一段时间才可以。
这个工作希望你能求助一下老师，这样事半功倍。今天会稍微轻松一点，我们的
作业是定义类小题，基本都能靠定义或者性质来解决。暂时高兴一小会儿吧。本
套作业没有五星题目，超开心哈哈哈。
70-90 分同学请选取 1-20。
90—120 分同学请选取 3,5,7-20。
120+以上同学请选取 3,5,8-10,12,13,17-19,21
本套作业题目 1-7 题为三星，8-21 题为四星。
1、在平面直角坐标系 中，已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴上，若
曲线 经过点 ，则其焦点到准线的距离为 。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查抛物线的方程及性质。
根据题意，抛物线顶点在原点，焦点在 轴且过第一象限的点 ，所以设抛物线
方程为 。代入点 ，解得 。所以焦点到准线的距离为 。
2、若实数 满足 ，则曲线 与曲线 的（ ）。
A、实半轴长相等 B、虚半轴长相等 C、离心率相等 D、焦距相等
☆☆☆
答案与解析：本题主要考查圆锥曲线的一些基本概念。因为 ，所以 ，
，所以曲线 和曲线 都是双曲线；
A 项， 的实半轴长为 ， 的实半轴长为 ，不相等，
故 A 项错误；B 项， 的虚半轴长为 ， 的虚半轴长
为 ，不相等，故 B 项错误；C 项， 的离心率为 ，
的离心率为 ，不相等，故 C 项错误；D 项， 的焦距为 ，
的焦距为 ，相等，故 D 项正确。
3、已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，点 关于直线 的对称点 仍
在椭圆上，则 的周长为 。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查圆锥曲线。由已知可得 ，点 的坐标为 ，所以
点 的坐标为 ，代入椭圆方程得 ，可得 ，所以 ，
点 为椭圆的上顶点，所以 的周长为 。
4、已知双曲线 ： 的焦距为 ，点 在 的渐近线上，则 的方程为
（ ）。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查圆锥曲线。已知双曲线 的焦距为 ，所以有 ，解
得 ，因为焦点在 轴上的双曲线渐近线方程为 ，点 在 的渐近线
上，所以有 ，对于双曲线有 ，代入可得 ， ，则双
曲线 的方程为 。
5、椭圆 （ ）的左、右顶点分别是 ， ，左、右焦点分别是 ，
。若 ， ， 成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ）。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查椭圆的性质和离心率计算。
由椭圆方程可知： ， ， ， 。因为 ， ， 成
等比数列，所以 ， 。
6、过双曲线 的右焦点且与 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于
、 两点，则 （ ）。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查圆锥曲线与方程。由圆锥曲线方程 知右焦点坐
标为 ，渐近线方程为 ，所以 、 两点坐标分别为 、 ，
所以 。
7、已知抛物线 （ ）上一点 到其焦点的距离为 ，双曲线
的左顶点为 ，若双曲线一条渐近线与直线 垂直，则实数 _____。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查双曲线和抛物线的简单性质。根据抛物线的焦半径公式
得 ，所以 ，取 ，则 的斜率为 ，由已知得 ，故 。
8、已知 是椭圆 的一个焦点， 是短轴的一个端点，线段 的延长线交 于点 ，
且 ，则 的离心率为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查椭圆的方程和几何性质。设椭圆方程为 ，
，由题意可知点 分 所成线段的比例为 ，根据几何关系可得 点坐标为
，又因为点 在椭圆上，代入椭圆方程，可得 ，解得 。
9、设 是椭圆 的长轴，点 在 上，且 。若 ， ，则 的
两个焦点之间的距离为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查三角函数的基本知识和椭圆的计算。因为 ，
。又因为 ，所以可求得 的横坐标为 ，纵坐标为
。所以点 在椭圆 上，可得 ，解得 ，
， ，所以两焦点间的距离为 。
10、椭圆 （ ）的右焦点 ，其右准线与 轴的交点为 ，在椭圆
上存在点 满足线段 的垂直平分线过点 ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查椭圆离心率。由题意，椭圆上存在点 使得线段 的垂
直平分线过点 ，即点 到点 与点 的距离相等即 。
椭圆右准线为 ，故 ，又 ，于是
，即 ，所以 ，
又 ，故 。
11、直线 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 的距离为其短轴长的 ，
则该椭圆的离心率为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查直线与圆锥曲线。设直线 过椭圆的上顶点和左焦点，如
图所示，
在椭圆中， ， ，设 点到直线 的距离为 ，在
中，根据等面积公式得： ， ，所以 ，
化简得 ，所以椭圆的离心率 。
12、椭圆 ： （ ）左右焦点分别为 、 ， 为椭圆 上任一
点且 最大值取值范围是 ，其中 ，则椭圆离心率 取值范
围为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查圆锥曲线。由于当 时， 达到最大值，
且对于椭圆方程， ，所以 的最大值为 。所以根据已知条
件，有 ，不等式各边同时除以 ，得： ，因为 ，所以
，所以 ，即 。
13、已知直线 和椭圆 （ ）交于不同的两点 、 ，若
点 、 在 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率 （ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查椭圆的应用。将直线方程与椭圆方程联立可得
，且 ， ，计算可得 ，所以 。
14、设 是双曲线 的两个焦点。若在 上存在一点 。
使 ，且 ，则 的离心率为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查双曲线的基本知识和离心率的求解。
据已知得 ，由双曲线定义得 ，
故 。
15、已知以 为渐近线的双曲线 ： （ ， ）的左，右焦
点分别为 ， ，若 为双曲线 右支上任意一点，则 的取值范围是 。
☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查圆锥曲线与方程。根据题意，双曲线 ： 的渐
近线是 ，所以 ， 。 为双曲线 右支上的一点，则
有 ，而 ，因此
故本题正确答案为 。
16、设 ， 为双曲线 ： （ ， ）的左、右焦点，且直线
为双曲线 的一条渐近线，点 为 上一点，如果 ，那么双曲线 的
方程为 ；离心率为 。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查双曲线的性质。因为 的渐近线为 ，所
以 ，又因为 ，所以 ，所以 ，所以双曲线 的方程
为 。离心率 。
17、设抛物线 ： 的焦点为 ，直线 过 且与 交于 ， 两点。若 ，
则 的方程为 。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查抛物线的几何性质。
设 ， 。由抛物线性质可得： ， ，故 。
在 中， 。故直线 的斜率为 。当点 在
轴下方时，斜率为 。因为 ，所以直线方程为 或 。
18、已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的两点，若 ，
则线段 的中点到 轴的距离为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质。如图：
过 作 准线 ，垂足为 ，过 作 准线 ，垂足为 ，取 中点 ，过 作
准线 ，垂足为 ，则 ，则 到 轴的距离为
。
19、某抛物线的通径与圆 的半径相等，则该抛物线的焦点
到其准线的距离为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查抛物线的概念及性质。将圆方程化为标准方程为
，所以圆半径 ；因为抛物线的通径与圆的半径相等，即
，所以 ；则该抛物线的焦点到准线的距离为 。
20、等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 、
两点， ，则 的实轴长为（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查双曲线和抛物线的性质。如图，
，准线的方程为 ，所以 在双曲线上。代入 点坐标，有
（等轴双曲线， ），解得 ，所以实轴长为 。
21、抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点的连线交
于 第一象限的点 ，若 在点 处的切线平行于 的一条渐近线，则 （ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查双曲线与抛物线的性质。依题意， 与 焦点的连线方
程为 ，联立抛物线方程与直线方程 ，
得 。设点 的横坐标为 ，则点 处的切线斜率为
，又双曲线的渐近线与其平行，故 ，即 ，而
点 为直线与曲线 的交点，所以该点横坐标满足方程 ，代入可
得 。(共23张PPT)
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Analyzing
圆锥曲线（一）
定义类小题
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
圆锥曲线知识点特点
一、【自身知识点难度不大】
注意定义，记准a、b、c的关系
椭圆和双曲线不要混
二、【与以前知识点结合的地方】
三角形的相似或全等、向量、直线和圆、解三
角形、不等式、三角函数、函数、参数方程。
三、【方程思想是关键】
题目经常不知道在干什么，就利用方程思想，
解值不过就是在找对应数量的方程而已。
圆锥曲线考什么
1、定义类小题
2、综合类小题
3、综合类大题
2、3的特点就是知识点综合，
思路又长
1
2
构建圆锥曲线知识树
利用知识树解决定义类小题
PA RT 1
构建圆锥曲线知识树
DREAM OF THE FUTURE
圆锥曲线一知识树总图：
PA RT 2
经典例题
A模块务必观看视频
DREAM OF THE FUTURE
例题1
答案1
例题2
答案2
例题3
答案3
例题4
答案4
要点总结
定义类小题要注意的思路连接点
椭圆和双曲线
焦点要成对使用，才能用上2a
抛物线
焦点和准线要搭配使用
求e的范围
如果题目中没有明显的不等式
从隐藏不等式中寻找
作业布置
请完成我们为你准备的作业吧~
圆锥曲线这里真的不太容易
希望你付出的辛苦都能照亮未来的路
学霸推荐
THANKS
青春的道路不长不短 学霸的陪伴 让你一路不慌不忙圆锥曲线（一）讲义（教师逐字稿）
PPT(第 1 页)：能够来到这个模块，要先说一声恭喜。因为这代表 C
和 B 你已经结束了，记得我们在总论中提到过，CB 类结束之后，才
可以开始 A 类模块的学习。这是为什么？不是看不起谁，这句话主要
就是针对圆锥曲线这个模块来说的，因为这里真的需要大量与以往知
识点结合的地方，如果 CB 类的基础打得不够牢固，学习圆锥曲线也
学不明白，学完依然是只会解决最简单的题目。“我只会解求出 a，b，
c 那种小题！”有没有经常说这句话？这就证明这个模块你还没有入
门。导数和圆锥曲线一直是两大噩梦级别的模块，圆锥曲线这里我猜
你最常说的一句话就是“我不知道题目让我干什么，我也不知道我在
干什么”。这就是没入门的表现，一直在门口转悠。导数那里很多人
就是进错门了，还一往无前的。还是回来说圆锥曲线，没入门就会导
致你在做题的时候只会看答案，看答案倒是也能看懂，但是过后就忘
了。或者更努力一点的，在背答案，标出 1234 的步骤，硬记这步应
该连着下一步，没有联系非要建立联系，就像两个人没话找话的尬聊
一样。最后的结果还是失败，因为你能背下来的答案太有限了。A 的
这两个模块我们的课程设计也会有点变化，先大致介绍一下。今天是
圆锥曲线的第一节，我们先纠正做题思路，讲点意识流的东西，然后
梳理一下圆锥曲线自己的知识点，再把与以往结合的知识点罗列一
下，然后今天主要解决一些基础题目，就是你们常说会做的那种，利
用圆锥曲线自己的知识点就能解决的问题。第二节开始，我们解决你
们不会做的题目，大致安排是第二节攻克小题，后面的第三节、第四
节按照粗略的题型来攻克一下大题。
圆锥曲线属于我们 CBA 方法的 A 类模块——Analyzing。题目是
大题小题都有，小题有时候简单一点在选择题 4,5 左右，有时候难一
点，那就在 10，11 题的位置。大题我想你很熟悉了，就是 20 题，非
常恐怖的。A 类模块的知识点梳理是相对简单的，看起来好像没什么
东西，因为有点抽象。重点在于与题目结合起来的讲解，因此 A 模块
里面的例题视频务必好好看，精华的讲解很多都在视频里面。嘱咐就
这么多，让我们开始今天的学习吧。
PPT(第 2 页)：让我们看看圆锥曲线到底是怎么难的。先从它的知识
点特点说起。有以下三个特点。
1、自身知识点难度不大。 圆锥曲线包含三种曲线，椭圆、双曲
线、抛物线。其中曲线的定义一定要熟悉，题目经常从定义出发开始
考察。这里只要椭圆和双曲线记准各自的 a ，b，c 的关系，抛物线记
准 p 的意义和抛物线方程的样子，问题就不大，可以像 B 类知识点一
样梳理一番，这也是我们今天的工作。
2、与以往知识点结合的地方。圆锥曲线的难点真正就来了。为
什么你觉得不知道题目在干什么？因为它都很隐晦地说出来了，其实
是跟以前知识点的结合。比如三角形的相似与全等，向量，直线和圆，
解三角形，不等式，三角函数，函数，参数方程。看看，这么一大堆，
都快把高中数学说完了，全都可能结合，而且还不给你信号，不会告
诉你“这里我要跟三角函数结合了啊，注意了啊”，都是非常一语带
过得出现了，真的让人摸不着头脑。所以这种情况，我们面对小题要
找一些固定的模型出来，知道出现什么样的条件，就是要跟谁结合。
3、方程思想。方程思想我们在总论里面提起过，就是几个方程
就能解出几个未知数！圆锥曲线的题目有些就是求离心率，这就叫求
一个比值，就是要解 2 个值的关系，那需要几个方程？1 个就够了。
所以如果需要解 n 个量之间的关系，那只需要 n-1 个方程。这个方程
到底在哪里？我们顺着找方程的思路去找，就可以解题了。有时候就
是圆锥曲线那个方程，有时候是题目里面会有一个直角三角形，利用
勾股定理也能构成一个方程。所以说圆锥曲线难点也在这里，没有条
件会给你指引思路，你必须用这种最根本、最朴素的思路去解题。现
在我们把这个思路挖出来就好了。
PPT(第 3 页)：接下来我们来了解一下重点，就是圆锥曲线的题目到
底怎么考？题目到底都在考察什么点？我们这里很特别，就按照题目
类型分为三类。
第一类是定义类小题，就是我们今天要解决的。其实就是在你学
完了圆锥曲线的各种新定义以后就能解决的问题。这类问题相对简
单，题目一般也在小题位置，梳理过新的知识点以后基本就能够解决，
当然也有一点隐藏的知识点，一会儿我会帮你挖出来。
第二类是综合类小题，这种小题难度就加大了，一般在选择题
10,11 的位置，就是我们之前说的会结合以前各种知识点，其实就相
当于大题的缩影。解题思路至少需要连续 4-5 步。还记得我们在总论
里面提过，C 类和 B 类模块的题目一般都是 2-3 步思路就足够了，而
A 类的圆锥曲线和导数都需要至少 4-5 步的思路。这里难度也就出来
了，你平时都是跑 800 米的，突然让你跑个 3000 米，那肯定跑不下
来。这个问题的解决方案我们下节课再介绍。
第三类就是综合类大题，20 题，闻风丧胆。好多人只会联立。
这就是及其鸵鸟式的做题方法，只会把头埋进沙子里，别的都不管了。
必须先放弃这个上来就联立的习惯，直线方程与曲线方程联立的确是
80%以上的圆锥曲线题目都需要用到，但是你一定要先想明白为什么
要联立，联立就像做菜里面最重要的炒菜一步，的确所有的菜都是要
炒的，但是炒菜之前你要先洗一洗，切一切，你们以前的做法就是把
带泥的土豆直接扔进油锅里，不炸锅就怪了。还有炒完菜了，也需要
盛出来装盘。这样一道完整的题目才能解完。这里的具体方案我们也
是后面的课程具体介绍，带着题目一起听，感觉更好。现在先知道自
己为什么错了就可以了。
PPT(第 4 页)：我们今天就是要构建一下圆锥曲线的知识树，然后利
用知识树来解决一下定义类的小题。知识树我们主要是整理圆锥曲线
自身的一些知识点，与其他模块结合的地方，我们简要标注一下即可，
具体如何应用必须在后面课程里的题目中去感受。这就是 A 模块学习
方法不同于 B 的地方，这里的知识树相对来说反而简化了，难度不在
于知识树上的知识点是否齐全，而在于怎么联合使用，怎么发现使用
信号。
PPT(第 5 页)：让我们先来构建一下知识树吧。
PPT(第 6 页)：你会发现这里的知识树跟 C 和 B 类都有所不同，我们
的分支不只是朝着左边不断细化，右边加入了按照题型分类的分支。
这里我来说明一下。首先，为什么 C 和 B 类没有右侧的分支？各个模
块不都应该有题型吗？我要说的就是我们 CBA 方法的精髓就是尽量
少进行题型的分类。很多同学都在致力于对于题型分类，实际上并没
有进行正确的分类。最终会导致走上错误的道路。其实 C 类 B 类的题
目严格来讲并没有题型的分类，我们也非常不建议人为进行分类，看
似有道理，实际上没有从根本上解决问题。C 类 B 类问题就是按照不
同的知识点来考察的。因此，你如果知识树梳理得清楚，知道自己都
会哪些知识，在解决 C 类和 B 类模块问题的时候从根源出发去寻找知
识点，是一定能够解决问题的，这样你的知识点掌握随着做题会变得
越来越牢固，解题思路也会随着知识点的熟悉而越来越清晰，这是互
相助益的。因此我们这套学习方案不建议轻易给题目分类型，不像其
他机构搞得那么花里胡哨。尤其你不要自己去做这件事，题目分类不
是这么容易做的。而 A 类的圆锥曲线这里，本身知识点并不多，难在
与其他知识的结合之处，我们必须要加以区分。而且你会发现我们的
分类与其他机构都存在不同，我们只分为定义类小题，就是利用右侧
知识点就能解决的问题。然后下节课进入综合类小题，就是你们常说
不知道应该干什么那种小难题。我们会根据知识点结合的不同来讲
解。最后综合类大题，也是要扎扎实实向前推进，重点就是解析清楚
如何与以往知识点结合以及如何利用以前的知识解题。因此 A 类的学
习思路会与 CB 类有比较大的区别。但是不用担心，我会时刻提示你
重点在哪里的。
我们先说左侧的知识点就会分为椭圆、双曲线和抛物线，每种曲
线都是按照定义、标准方程、性质来学习。今天我们的定义类小题也
是依靠这些知识就能够解决。我们顺便还会加入一些特殊的解题办
法，一会儿会具体讲解。
PPT(第 7 页)：我们先来看椭圆的知识点。定义、标准方程和性质都
已经写得非常清晰，我选取重点的地方提示一下。首先定义这里，
PF1+PF2=2a 非常常用，这里需要提示的就是椭圆这里的焦点，都是需
要成对使用的。（双曲线也一样）2 个焦点都出现，才能用到定义的
这个公式。
性质里面，我需要提示的是，长轴长和短轴长，记住是 2a 和 2b，
焦距是 2c，这个问题经常有同学忘记，阴沟里翻船。通径和焦点三
角形这里不用解释过多，记住公式就可以了。
PPT(第 8 页)：再看双曲线，还是同样的逻辑。需要提示的也是定义
这里，变成动点到两焦点距离之差等于 2a，还有 abc 的关系也有所
改变，要注意跟椭圆进行区分。
性质方面，实轴和虚轴要知道定义，还有渐近线是双曲线独有的，
要记清楚公式。离心率 e 的范围也变了，椭圆是（0，1），双曲线是
e＞1。其他的自己看图里的算式就好。
PPT(第 9 页)：抛物线。这里跟椭圆和双曲线区别都比较大了。定义
要明白我们遇到抛物线的问题，几乎都会用到准线。千万不要在曲线
里面乱转，题目大部分都会让你从曲线里面转到准线上。
性质里面我要提示一下离心率，抛物线也有离心率，e=1，这个
知识点千万要知道。焦点弦的这几个结论也尽量记住。至少 AB 的长
度要记住。
PPT(第 10 页)：接下来我们说一下今天要解决的题目，叫定义类小题。
我们这类的题目的意思就是难度相对来说比较小，能够用刚刚梳理过
的定义、性质解决的问题。比如简单求离心率的问题，求曲线标准方
程的问题，还有一个需要补充的就是求离心率范围的问题。这个问题
一直让人很困惑，不知道怎么就出来一个范围了。所以解题的关键就
在于找到一个合适的不等式。这个不等式在哪里呢？就是我标出来的
3 个隐藏知识点。一是椭圆或者双曲线上动点到焦点的距离是有范围
的，这个我们先总结出来备用，求离心率范围时候可能经常用到。二
是最朴素的，如果题目中实在没发现不等式，有三角形也行，因为三
角形三边关系就是天然的不等式。三是有时候可能会利用基本不等
式。
PPT(第 11 页)：到这里我们的知识树梳理结束，定义类小题的一些注
意要点也给出了，这是我的总图。但是你一定还是一头雾水，因为 A
类模块对于题目的注意要点是相对抽象的，必须靠听题目来感受。
PPT(第 12 页)：让我们开始听例题吧。这里要解释一下，虽然我们尽
可能的总结好的方法，但是圆锥曲线想要提分绝不是听几个例题，做
一点作业就能实现的，真的需要下苦功夫。因此我们这里的例题也只
能尽量选取经典一点的，想立刻、完全解决你的问题也是不现实的。
如果有需求，这一块是建议进行专门一对一补习的，请老师带着你一
点一点做题，熟练解题方法，因为如果你的基础不够，自己做题可能
会困难重重。
PPT(第 13-14 页)：第 1 道例题。
PPT(第 15-16 页)：第 2 道例题。
PPT(第 17-18 页): 第 3 道例题。
PPT(第 19-20 页)：第 4 道例题。
PPT(第 21 页)：A 模块我们就不再总结知识点了，因为真正需要你会
的是解题思路，知识点已经太小儿科了。真的记不住那就拿出原图再
背一背。做作业之前再强调一遍，定义类的题目需要注意焦点都是成
对使用的，这样才能用到 2a，抛物线就是焦点必须跟准线搭配使用。
求 e 范围的题目，如果没有明显涉及不等式的条件，请记得从隐藏条
件下手。
PPT(第 22 页)：请完成为你准备的作业吧。
PPT(第 23 页)：这节课就到这里，我们下次见哦。

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