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圆锥曲线（三）综合类大题作业题
作业题目难度分为 3档：三星☆☆☆（基础题目）
四星☆☆☆☆（中等题目）
五星☆☆☆☆☆（较难题目）
终于来到了我们的地狱模块，这里说明一下，圆锥曲线仅仅靠这些作业题是绝对
不够的，在上课与作业之间，可能你还需要有人带着你做题做一段时间才可以。
今天的作业比较痛苦了，提示一下，分数过低的同学不建议来做圆锥曲线了，先
去把 CB 类学好，不然这里只是徒增烦恼。最适合的其实是 120+的同学，低于 120
的可以做做四星题。本套没有三星基础题目。另外，作业这里没有明显的类型界
限，会混合到一起，也是希望你能淡化类型，真正灵活运用知识点。
90—120 分同学请选取 1-10,12,14,15。
120+以上同学请全做。
本套作业题目 1-9 题为四星，10-19 题为五星。
1、已知椭圆 （ ）经过点 ，离心率为 ，左右焦点分别为
， 。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆交于 、 两点，与以 为直径的圆交于 、
两点，且满足 ，求直线 的方程。 ☆☆☆☆
答案与解析：（Ⅰ）由题设知 解得 ， ， ，所以椭圆的方
程为 。
（Ⅱ）由题设，以 为直径的圆的方程为 ，所以圆心到直线 的距离
，由 得 。所以 。
设 ， ，由 得 。
由求根公式可得 ， 。所以
，由 得 ，
解得 ，满足 。所以直线 的方程为 或 。
2、直角坐标系 中，直线 ： （ ）交 轴于点 ，交抛物线 ： （ ）
于点 ， 关于点 的对称点为 ，连接 并延长交 于点 。
（1）求 ；
（2）除 以外，直线 与 是否有其他公共点？说明理由。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）根据题意有， ，当 代入抛物线方程 中，解得 ，
所以 ，所以 ，所以直线 方程为 ，与抛物线联立： ，
得到 ，解得 ， ，所以 ，所以 ；
（2）直线 的方程为： ，即 ，即 ，代入
得 ，解得 ，即直线 与 只有一个公共点，所以除 以
外直线 与 没有其它公共点。
3、如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 （ ）的离心率为 ，
且右焦点 到左准线 的距离为 。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过 的直线与椭圆交于 ， 两点，线段 的垂直平分线分别交直线 和 于
点 ， ，若 ，求直线 的方程。 ☆☆☆☆
答案与解析：对于全国卷考生来说，本题准线的内容超纲了，可以当准线为已知条
件，L方程为 x= -a2/c,然后继续计算。
（1）因为离心率 ，右焦点 到左准线 的距离为 ，解得 ，
， ，所以椭圆标准方程为 。
（2）当 轴时， ，又 ，不符合题意，故直线斜率存在。根据题
意直线 的斜率不可能为 ，故可设直线 方程为 ，代入椭圆方程得到
。设 ， ，则
，则 点纵坐标为 ，
于是 点横坐标为 ，又由 得 ，所以
。由 可得
，即 ，解得 ，即 ，
。所以直线 的方程为 或 ，即 或 。
4、已知椭圆 ： 的左焦点为 ，离心率为 。
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）设 为坐标原点， 为直线 上一点，过 作 的垂线交椭圆于 、 。
当四边形 是平行四边形时，求四边形 的面积。 ☆☆☆☆
答案与解析：（Ⅰ）由已知可得， ， ，所以 。又由 ，解
得 ，所以椭圆 的标准方程是 。
（Ⅱ）设 点的坐标为 ，则直线 的斜率 。当 时，
直线 的斜率 ，直线 的方程是 。当 时，直线 的方程
是 ，也符合 的形式。设 ， ，将直线 的方程与椭
圆 的方程联立，得 。消去 ，得 。
其判别式 ，所以 ， ，
。因为四边形 是平行四边形，所以 ，
即 。所以 ，解得 。
此时，四边形 的面积
。
5、已知椭圆 ： （ ）的长轴长为 ，且点 在 上。
（1）证明： 的短轴上的顶点在曲线 上。
（2）直线 过 的左焦点且与 交于 ， 两点，若 ，求 的
方程。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）因为椭圆 ： （ ）的长轴长为 ，故 ，因
为点 在 上，代入椭圆方程得 ，即 ，解得 ，
所以 的短轴上的顶点坐标为 ，又将点 代入曲线 ，等式成立，
故 的短轴上的顶点在曲线 上。
（2）由（1）可知，椭圆方程为 ， ，故 的左焦点的坐标
为 。当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，代入椭圆方程得
，故 ，不符合题意；
当直线 的斜率为 时， ，不符合题意；
所以直线 的斜率存在且不为 ，设直线 的方程为 （ ），代入椭圆方
程得 ，整理得 ，
故 ， ， ，
所以 ，
整理得 ，即 ，故 ，即 ，
所以直线 的方程为 。
6、给定抛物线 ， 是抛物线 的焦点，过点 的直线 与 相交于 、 两
点， 为坐标原点。
（1）设 的斜率为 1，求以 为直径的圆的方程；
（2）设 ，求直线 的方程。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）因为 ，所以 ，又因为直线 的斜率为 1，所以直线 的
方程为： ，代入 ，得： ，由根与系数的关系得：
，易得 中点即圆心的坐标为 ，又 ，所以 ，
求的圆的方程为： ；
（2）直线 的斜率不存在，则 ，不满足题意，故直线 的斜率存在。
因为 ，所以 ，而 ， ，
设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为： ，代入 ，
得： ，由根与系数的关系得： ，
因为 ，解得 或 ，所以 ，
则直线 的方程为：
7、已知抛物线 的焦点为 ，直线 过点 。
（Ⅰ）若点 到直线 的距离为 ，求直线 的斜率；
（Ⅱ）设 为抛物线上两点，且 不与 轴重合，若线段 的垂直平分线恰过点
，求证：线段 中点的横坐标为定值。 ☆☆☆☆
答案与解析：（Ⅰ）由已知， 不合题意。设直线 的方程为 ，由已知，
抛物线 的焦点坐标为 ，因为点 到直线 的距离为 ，所以 ，
解得 ，所以直线 的斜率为 。
（Ⅱ）设线段 中点的坐标为 ， ，因为 不垂直于 轴，
则直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，直线 的方程为
， 联立方程 ，消去 得
，所以 。因为 为 中点，所以
，即 ，所以 。即线段 中点的横坐标为定值 。
8、已知椭圆 的离心率为 ，两焦点之间的距离为 。
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右顶点作直线 交抛物线 于 、 两点。
①求证： ；
②设 、 分别与椭圆相交于点 、 ，过原点 作直线 的垂线 ，垂足为 ，
证明： 为定值。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）由 ，得 ，故 。所以所求椭圆的标准方程为
。
（2）①设过椭圆的右顶点 的直线 的方程为 。代入抛物线 ，
得 。设 、 ，则 。
所以 。
所以 。
②设 、 ，直线 的方程为 ，代入 ，
得 。于是 ， 。
从而 。因为 ，所以 。
代入，整理得 。所以原点到直线 的距离 为定值。
9、椭圆 ： （ ）的离心率为 ， 为 的长轴上的一个动点，
过 点斜率为 的直线 交 于 、 两点，当 时， 。
（1）求 的方程；
（2）证明： 为定值。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）因为离心率为 ，所以 ，当 时， 的方程为 ，
代入 并整理得 ，设 ，则 ，
，又因为 ，所以 ， ，
椭圆 的方程为 。
（2） 的方程为 ，代入 并整理得 ，
设 ， ，则 ，同理 ，
则 ，
所以， 是定值。
10、已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ， 为抛物线 上异于原点的任意
一点，过点 的直线 交抛物线 于另一点 ，交 轴的正半轴于点 ，且有 。
当点 的横坐标为 时， 为正三角形。
（1）求抛物线 的方程。
（2）若直线 ，且 和抛物线 有且只有一个公共点 ，试问直线 是否过定点，
若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）依题意有抛物线 的焦点 坐标为 （ ），设点 （ ），
得 中点坐标为 ，又 ，根据抛物线上点到焦点距离等于该点
到准线的距离，得 ，解得 或 （舍），又 中点坐标
即为 的横坐标，有 ，代入 解得 ，
所以抛物线 的方程为 。
（2）抛物线焦点 ，设点 （ ）， （ ），由
可得 ，当 时，得 ，不符题意，所以 ，即
，所以 ，设直线 斜率为 ，则 ，又直线 ，
则设直线 方程为 ，联立 ，得 ，因为
与抛物线 只有一个公共点，则 ，得 ，设点 坐标为 ，
则代入方程可得 ， ，当 时，直线 的斜率
，则直线 的方程为 ，代入 到
方程，整理得 ，则直线 恒过定点 ，即焦点 ，当 时，
直线 方程为 ，过点 。所以直线 恒过定点 。
11、椭圆 ： （ ， ）的长轴长等于圆 ： 的直径，
且 的离心率等于 。直线 和 是过点 互相垂直的两条直线， 交 于 ， 两
点， 交 于 ， 两点。
（1）求 的标准方程；
（2）当四边形 的面积为 时，求直线 的斜率 （ ）。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）由题意， ，所以 。 因为 ，所以 。所以
。所以 的标准方程为 。
（2）①设 ： ，则 ： 。因为 交 于 ， 两点，联立
方程组得 ，整理得 。所以
， 所以 。
设圆心 到直线 ： 的距离是 ，所以 ，
， 因为 ，所以 。
由题意可 ，解得 或 。因为 ，所以 。
12、已知椭圆 ： （ ）的长轴长为 ，点 ， ， 在椭圆 上，
其中点 是椭圆 的右顶点，直线 过原点 ，点 在第一象限，且 ，
。
（1）求椭圆 的方程；
（2）与 轴不垂直的直线 与圆 相切，且与椭圆 交于两个不同的点 ， ，
求 的面积的取值范围。
☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）因为椭圆 的长轴长为 ，所以 。因为直线 过原点 ，
在第一象限，且 （ 、 关于原点对称），所以 。
因为 ，由余弦定理： ，
得： ，如图， ，且 为等腰三角形，
所以 ， ，所以 ，将点 坐标代入椭圆 的方程得：
， 。所以，椭圆 的方程为： 。
（2）如图，设 ， ，设直线 的方程为 ，
由方程组 得： ，所以 ，
，则
，
化简得： 。因为直线 与圆 相切，
所以 ，即 ，所以 ，
。 令 ， ，
，因为 ，所以 ，所以 。
13、已知椭圆 ，经过点 ， 是椭圆 的两个焦点，
且 ， 为椭圆 的中心。
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上不同的两点，且 为 的重心，试求 的面积。
☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）由椭圆的定义知 ，所以 ，椭圆 的方程为 ，
代入点 ，求得 ，故椭圆 。
（2）若 点为 的重心，设 的中点为 ，则 ，则 ，
显然直线 的斜率存在，不妨设为 ，联立 消去 得：
，点 在椭圆内， 恒成立，
设 ，则由 式 ，
则 ，所以 ，即 式化简为 ，所以
或 ，不妨 ，由椭圆对称性知 。
14、已知曲线 ： （ ）所围成的菱形的面积为 ，且它的
内切圆半径为 ，记 为以曲线 与坐标轴的交点为顶点的椭圆。
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 是过椭圆 中心的任意弦，是线段 的垂直平分线。若 是 与椭圆 的
交点，求 的面积的最小值。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）当 ， 时， 为 ，与坐标轴围成的
三角形的面积为 ；曲线 内切圆的半径为坐标原点到直线 的距离。
根据题意得： ，解得： ， 。所以，椭圆 的标准方程为
。
（2）假设直线 所在的直线斜率存在且不为零，因为 是过椭圆 中心，则设直
线 的方程为 （ ）， ，则其垂直平分线的方程为 。
，解得： ， ， ，解得： ，
， ， ，
。
。
当且仅当 ，即 时等号成立，此时 的面积的最小值为 。
当 时， ；
当 不存在时， 。
综上所述， 的面积的最小值为 。
15、设椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线
交椭圆于 ， 两点，若椭圆 的离心率为 ， 的周长为 。
（1）求椭圆 的方程。
（2）设不经过椭圆中心而平行于弦 的直线交椭圆 于 ， ，设弦 ， 的中
点分别为 ， ，证明： ， ， 三点共线。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）由题意知可设 ， ， 。由椭圆 的离心率为 知
，由于直线 经过点 ，则 的周长为：
。
由题意知 的周长为 ，则 ， 。故 。
则椭圆 的方程为 。
（2）①当直线 的斜率不存在时， 轴。则 轴，由椭圆的对称性知弦
中点 与弦 中点 均在 轴上，此时 ， ， 三点共线。
②当直线 的斜率存在时，可设直线 的方程为 。由 存在知
。联立 得 ，设 ， ，
则 ， 。则 。
而 ， 为弦 中点，则 。由题意可设直线 ：
，其中 且 。联立 得
，若弦 存在，则方程
存在两不等实根，故
，解得 。设 ， 。则 ，
。则 。而 ， 为
弦 中点，则 。
则直线 的方程可写作 ，整理得
。令 ，则 ，即原点 在直线 上。即此时 ， ，
三点共线。
综上所述， ， ， 三点共线。
16、设椭圆 ： （ ）的离心率为 ，椭圆 上一点 到左右
两个焦点 ， 的距离之和是 。
（1）求椭圆 的方程。
（2）已知过 的直线与椭圆 交于 ， 两点，且两点与左右顶点不重合，若
，求四边形 面积的最大值。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）根据题意可得， ， ，解得 ， ， ，
所以椭圆 的方程为 。
（2）如图，过点 作 垂线，垂足为 ，因为 ，所以四边形
是平行四边形，则 ，因为直线 过点 ，
所以设直线 为 ， ，联立直线 与椭圆 的方程，
得 ，整理得 ，
解得 ， ，故
，
，
令 ，令 ， ，则
，即 在 上单调递增，故当直线 为
时， 为最大值，此时 ， ，所以四边形 面积
的最大值为 。
17、如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 （ ）的离心率为 ，
过椭圆右焦点 作两条互相垂直的弦 与 。当直线 的斜率为 时，
。
（1）求椭圆的方程。
（2）求 的取值范围。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）由题知 ，所以 ， ，所以 ，
当直线 的斜率为 时， ，所以 ，设点 坐标为 ，则
， ，所以 ，即 ，
解得 ， ， ，所以椭圆的方程为 。
（2）①当两直线 与 中有一条直线斜率为 ，另一条斜率不存在时，由题意可
知此时 。②当两直线斜率均存在，且均不为 时，设点 、 的坐标分
别为： ， ，设直线 的方程为 ，则直线 的方程为
，将直线 的方程代入椭圆方程，整理得：
，解得 ， ，
，同理可得， ，
所以 ，令 （ ），
则 ， ， ，
令 ， ，则 ， ，
所以当 时， 有最大值： ，且有最小值
（取不到），故 ，所以
。
综上所述， 的取值范围为 。
18、已知椭圆 （ ）经过点 ，离心率为 ，且 、 分别为
椭圆的左、右焦点。
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作斜率为 （ ）的直线 ，交椭圆 于 、 两点， 为 中
点，请说明存在实数 ，使得以 为直径的圆经过 点（不要求求出实数 ）。
☆☆☆☆☆
答案与解析：1）因为椭圆经过点 ，离心率为 ，所以 ，解得 ，
， ，所以 的方程为 。
（2）设 ， ，线段 的中点 ，由题意可得直线 的方程为：
，且 ，联立 ，化为 ，
，由 ，
可得 ，且 ，所以 ， ，
所以 ， ，假设存在实数 ，使得 为
直径的圆过 点，即 ，则 ，因为
， ，
所以 ，化为 ，设 ，则 ，
，所以该方程有两根 、 ，又因为 ，所以存在
一个正根一个负根，不妨设 ，发现 ，所以 ，这
样实数 存在，即存在实数 ，使得以 为直径的圆过 点。
19、已知椭圆 ： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，
点 在椭圆 上， ， ，过 与坐标轴不垂直的直线 与椭圆 交
于 ， 两点。
（1）求椭圆 的方程。
（2）若 ， 的中点为 ，在线段 上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求实数 的取值范围；若不存在，说明理由。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）由题意知点 在椭圆 ： 上，则 。
而 ，则 ，故 ，解得 。由于椭圆离心率为 ，设其
焦距为 （ ），则 。故 。在 中， ，
由余弦定理知： ，即 ，
整理得 ，即 ，解得 。故 ，
则 。故椭圆 的方程为 。
（2）存在满足要求的点 ，实数 的取值范围求解如下：由（1）知 ，若直
线 过 与坐标轴不垂直，则可设 的方程为 ， 。联立 得
，整理得 。
设 ， ，由于点 ， 为直线 与椭圆 的两个交点，且点 在椭圆 内
部，即直线 与椭圆 必有且仅有两个交点。故方程 的
两个实根即为 ， 。由韦达定理知 ， 。
则 。
则线段 的中点 的坐标为 即 。
若 ，则 ，而 ，
则 ，整理得 。而 ，则 。
而 ，则 。故 。
即满足题意的实数 的取值范围为： 。圆锥曲线（三）综合类大题讲义（教师逐字稿）
PPT(第 1 页)：圆锥曲线虽然分为多节课程，但是非常建议你从头学
起，因为每一节都有非常重要的干货，哪怕第一节题目简单，但是也
有很多思路问题需要捋顺清楚，所以这是一套完整的体系，希望你不
要仅仅抽取其中几节来听。今天是第三节，开始最让人头疼的综合类
大题，就是高考的第 20 题。不知道你遇到大题是不是第一问选手。
第一问就相当于我们第一节讲的定义类小题，基本就是求出曲线方程
就可以。第二问就开始各种综合知识全上了，很头大，还有很大的计
算量，一直都是噩梦一样的存在。今天开始我们就进入大题的学习阶
段，这里开始要进入题型的分类，其实我并不是非常建议把题型分得
太细，如果你知道了与以往知识点结合之处都应该怎么处理，就是 B
类的知识可以灵活使用，做题时候完全可以不用理会题型。因此在今
天的例题讲解过程中，除非是题型特点特别明显的，否则我都会尽量
弱化题型这个概念，还是希望你能融会贯通地解决问题。而不是去背
诵什么解题步骤。最后希望你能忘记题型的存在，完全灵活组合来解
题。当然这是对题型特点不明显的题目来说，如果有明显的特殊解决
办法的，还是要记忆一下特殊方法。
今天的学习模式依然沿用圆锥曲线（二），在简单分析解题思路以后
马上进行例题学习，深入了解如何解题。
PPT(第 2 页)：这节课的意识流问题在上节课已经学过，综合类大题
与综合类小题已经非常类似，只是可能解题思路步骤更多一点，更交
错复杂一点，条件隐藏得更深一点。总的来说还是如何从①走到⑤。
（下面的内容上节课已经讲过，学霸简单带学生回忆一下即可）尝试
着挑能看懂的条件解两下，一般能解决到第②步，这时候，基本都停
住了脚步，而且脑中一片空白，看前面也是白茫茫的一片……不知道
自己该干什么了……这道题就结束了……形象吧？哈哈哈。那我们来
说解决方案，你站在②那里不知道怎么办的时候，要从问题入手！直
接有问题去推第⑤步思路，为了得到这个结果，我需要怎么做，一般
这个不是很难，那么为了得到④我又需要怎么做，这样就也走到那个
禁区边上了。这时候②和④隔岸相望，基本就能看清楚位置了，我们
这样把中间的③补上，想想②接下来还能推出什么，要得到④还需要
什么并且是②能推出来的，这样就把③搞出来了。这就是我们对这种
问题的抽象解决思路。
PPT(第 3 页)：我们今天的内容依然会梳理每种类型题目的思路，然
后紧跟着就听这个方法是如何解题的，这样会让你有非常直观的感
受。
PPT(第 4 页)：解题总思路我们确定了以后，就来看看所谓的综合类
大题到底都考什么吧。之前一直在强调，圆锥曲线的大题难就难在综
合，到底综合了什么呢？主要有 2 个特点。
1、综合类大题其实就是我们之前学的综合类小题的加强版，小
题里面与以往知识点结合的地方，大题里就更是有，只多不少。所以
上节课总结的那些结合之处，大题里还会出现。另外，今天我们还要
补充一些大题特别常用的以往知识结合点。
2、大题只要是涉及到直线和曲线同时存在的问题。既然大题麻
烦这么多，我们还是不能免俗，也要按照常规的讲法分一下类型。但
是我们并不是为了强硬地总结各种类型问题的套路，也没有具体的套
路。我们只是把每类问题中最显著的、最有代表性的解决办法讲解一
下，最后希望你还是能够弱化这些所谓的题型，可以灵活解决问题。
还是回归到特点，只要知道结合的各种知识都怎么应用，其实怎么组
合出题都可以。我们还是按照常规方法分为 8 类。
今天主要讲解前 4 类。
PPT(第 5 页)：今天我们就先把需要补充的知识结合点补充好，然后
就开始把直线与圆锥曲线的前 4 类题目搞清楚。
PPT(第 6 页)：工欲善其事必先利其器，先把最后要补充的知识点都
补上吧。上节课讲的知识结合点在大题里依然也是重点，大题还有一
些特别常用的，我们补充上。
第一个就是与函数和不等式知识结合。在求一些最值时，就可以
设曲线上动点为（x，y），然后利用曲线的标准方程或题目中其他条
件把 y 换为 x 的表达，这时候要求的某些量就可能变为二次函数求最
值问题，或者可以利用基本不等式求最值了。这个属于直线与圆锥曲
线中一类题目，求最值与范围问题，所以才会涉及到不等式和函数。
今天暂时还讲不到，我们先把知识点补充进来。
第二个不是特别常见，我们会遇到圆锥曲线和圆结合的问题，
有时候会出现圆的切线问题，这个在 B 类直线和圆里面我们反复强调
过，那里要为这里的圆锥曲线服务，因此知识点都要记牢固，如何求
过圆上一点的切线方程，就是 A 类题目里经常出现的，公式我们再强
化记忆一下。
第三个就是你们最喜欢用的了，直线与圆锥曲线的方程联立，
然后利用韦达定理和弦长公式来解题。几乎 80%的圆锥曲线大题都会
用到这个知识，但是希望你们不是练得只会用这么一个办法，或者说
不分析题目就直接来联立，这是不可取的，也是你们经常只能拿第一
问分数的原因，第二问上来就联立，然后就听天由命，当然命运不会
总是眷顾你啦。
PPT(第 7 页)：知识点都补充完毕，我们就来分类型解决综合类大题
了。今天我们主要讲前 4 类。
1、直线与圆锥曲线位置关系问题；2、弦长与面积问题；3、焦点弦
相关问题；4、恒成立问题。
还是强调一遍，这个分类不是目的，也不必强迫自己记住各个类型，
灵活运用各种结合的知识点才是目的。
PPT(第 8 页)：让我们先来看位置关系类。直线与圆锥曲线的位置关
系不能简单地分为相交、相切和相离。我们按照交点个数来分类。比
较简单的是有 0 个交点和 2 个交点的情况。0 个交点就是相离，2 个
交点就是正常的相交。而 1 个交点的情况比较复杂一点。对椭圆来说，
直线与椭圆有 1 个交点那就是相切，而对于双曲线和抛物线来说，除
了相切，双曲线还可以是直线与渐近线平行，抛物线还可以是直线与
抛物线的轴平行。所以解题思路也就随之而来了。对于椭圆来说，直
线与曲线的相切、相交、相离三种关系完全可以用代数方法解决，就
是联立之后讨论△的正负。而双曲线和抛物线，就要代数和几何方法
一起考虑，尤其是直线与曲线只有 1 个交点的时候，只是联立让△=0
是不够的，还要考虑刚刚说过的特殊情况。
PPT(第 9-10 页)：第 1 道例题。位置关系例题。
PPT(第 11 页)：第二类，弦长与面积类。弦长我们刚刚已经总结过了，
就是联立之后直接利用弦长公式即可。面积这里我们在圆锥曲线内经
常需要求面积的也就是椭圆和抛物线。形状基本就是三角形和四边
形。具体求法图中都列出来了。三角形面积无非就是初中的 底乘高，
或者是我们高中阶段学习的正弦定理，S= absinC。在抛物线中经常
遇到求四边形面积的情况，公式就跟图里一样，如果夹角为 90°时，
面积公式就更加简洁。
PPT(第 12-13 页)：第 2 道例题。弦长与面积类例题。
PPT(第 14 页)：第三类就是焦点弦问题。这类问题我认为类型感就不
强了，可以不必非要把它当成一种特殊类型。这类题目一般都是直线
过焦点，所以在设直线的时候只有 k 是未知数，再根据条件进行解题，
联立，最终把 k 求出来，有时也可能按要求解出其他量。这个不多说，
我们直接看例题吧。
PPT(第 15-16 页)：第 3 道例题。焦点弦问题。
PPT(第 17 页)：第 4 个类型就是恒成立问题。这就更不是圆锥曲线才
独有的东西了。函数、逻辑里面我们都见过好多次了。在圆锥曲线这
里，恒成立问题不是问一个不等式恒成立，然后求参数范围，而是要
证明某些量的和、乘积为定值，这种情况只要按照要求表示出相关的
量，找到里面参数的关系，基本就能证明出结论。
PPT(第 18-19 页)：第 4 道例题。恒成立问题。
PPT(第 20 页)：让我们再来看一下今天知识树的总图。有一个整体的
感觉。
PPT(第 21 页)：再次总结一下要点。综合类大题分类并不是重点，也
不是我们的目的，我们依然要侧重知识结合点的灵活运用（具体内容
如果学生需要，学霸可以读一遍帮助同学回忆）。
PPT(第 22 页)：请完成为你准备的作业吧。
PPT(第 23 页)：这节课就到这里，我们下次见哦。(共23张PPT)
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①
②
③
④
⑤
1
2
梳理每种类型题目的思路
利用方法解决相应例题
综合类大题考什么
1、综合类小题加强版
2、可分为8个类型
例题1
答案1
例题2
答案2
例题3
答案3
例题4
答案4
圆锥曲线三知识树总图：
要点总结
综合类大题分类不是重点
知识点结合依然是重点
补充的知识结合点
与函数、不等式相结合
圆的切线
韦达定理和弦长公式
前4类题目
直线与圆锥曲线位置关系类
弦长与面积类
焦点弦问题
恒成立问题
作业布置
请完成我们为你准备的作业吧~
圆锥曲线这里真的不太容易
希望你付出的辛苦都能照亮未来的路
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定义类小题
椭圆
综合类小题
圆锥曲线
双曲线
大题需补充的知识结合点
综合类大题
抛物线
直线与圆锥曲线题型分类
定义类小题
综合类小题
求某个最值时,设曲线上动点为(x,y),再利用曲线方程或题目中条件把y
换为x,最终变成二次函数求最值问题,或者利用基本不等式求最值问题
与函数和不等式结合
椭圆
当点(x2)在圆(x-a2-(-b2=r2上,切线方程为
圆的切线
xo=d)(x-a)+(0-6(y-b=
圆锥曲线
双曲线
b
X1tx2
韦达定理
大题需补充的知识结合点
x112
综合类大题
抛物线
方程的联立
AB|=1+k21x1-x2
2y1-y2
直线与圆锥曲线题型分类
定义类小题
椭圆
综合类小题
圆锥曲线
双曲线
大题需补充的知识结合点
位置关系
弦长与面积
综合类大题
抛物线
直线与圆锥曲线题型分类
焦点弦相关问题
恒成立问题
定义类小题
综合类小题
椭圆
大题需补充的知识结合点
交点个数几问关系
圆锥曲线
双曲线
直线与椭圆的三种关系可以联立
两个交点校
后用△的正负来解题,双曲线和
抛物线当直线跟曲线有1个交点时
橢:相切
位置关系
,要注意与渐近线、与轴平行的
个交点观曲:柑与渐线评行
情况。
抛物:相减与轴平行
综合类大题
抛物线
直线与圆锥曲线题型分类
无交点榈离
弦长与面积
焦点弦相关问题
恒成立问题
已知曲线E:W×、少
(1)若曲线E为双曲线,求实数m的取值范围;
(2)已知m=4,4(-1,0)和曲线C:(x-1)2+y2=16。若P是曲线C上任意一点,线
段PA的垂直平分线为l,试判断与曲线E的位置关系,并证明你的结论。

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