资源简介

(共24张PPT)
学霸推荐
Branch
函 数（上）
概念与性质
优秀同龄人的陪伴 让你的青春少走弯路
函数的知识点特点
一、【抽象又狡猾】
函数知识点相对比较抽象
不易建立起知识点与解题方法之间的联系
二、【纵深化分布】
知识点纵深化分布，Branch需要一直延伸
到末端才能解题
三、【图像为王】
得图像者得天下
函数的概念与性质
1、函数概念：
两个量之间的关系，两个变量是靠一个关系式来连接的。
给x，通过关系式，可解y。反之，给y，通过关系式，可解x。
2、函数性质：
能够让你把图像画准的各种特点。
函数题目到底研究什么
可能的话，就先画好图
1、研究图像形状的各种特点
2、研究图像上点、线段之间关系
或他们与坐标轴之间的关系。
1
2
构建知识体系树
利用知识树解决经典例题
PA RT 1
构建函数概念与性质知识树
DREAM OF THE FUTURE
函数（上）
概念与性质总图：
PA RT 2
利用知识树来解题
此部分务必观看视频讲解
DREAM OF THE FUTURE
例题1
答案1
例题2
答案2
例题3
答案3
PA RT 3
回顾落实
DREAM OF THE FUTURE
要点总结
画图才是王道
函数概念
定义域
解析式（即开始训练画图）
值域（伴随产物）
函数性质
奇偶性
周期性
对称性
反函数
作业布置
根据本节课所学
完成学霸给你的对应习题~
加油~
学霸推荐
THANKS
青春的道路不长不短 学霸的陪伴 让你一路不慌不忙函数讲义（上）-概念与性质（教师逐字稿）
课程简介：即PPT(第 1 页)：函数是高中数学的重点和难点模块，考察题目难度有高有低，相对来说比较抽象，也可以说是整个高中数学学习的基础模块，函数学不好，其他部分很难有所突破。因为函数部分内容较多，我们要分 3 课时完成整体知识树的构建。函数（上）包括函数的概念与性质，函数（中）包括三大基本初等函数中前两个的性质学习，基本初等函数有指数函数、对数函数、幂函数。我们先学习前两个。函数（下）主要学习剩余的幂函数和函数零点问题。
这节课函数（上）我们学习：1、函数的概念与性质的知识树构建；2、如何运用知识树解题。
函数属于CBA 方法中的B——branch 类，高考出题可以说几乎渗透到所有题目当中，有点隐形人的感觉，你不能非常明确的看到他， 但是他却一直围绕在你身边。函数知识点中，细微的小陷阱很多，而且题目会向纵深考察知识点的运用，学习时必须开动脑筋，既注意细节又要练习深入思考，难度的确很大。准备好了吗？Let’s go！
PPT(第 2 页)：先来了解一下函数模块知识的总体特点。1、“抽象又狡猾”；2、“纵深化分布”；3、“图像为王”。
1、函数部分的知识点相对比较抽象，各个知识点之间的界限有点模糊，还经常综合起来一起考。这就导致做题时会“凭感觉”，因此，函数非常需要知识树来帮助你理清思维。狡猾的意思是，学习知识点时觉得懂了，做题时候就是“想你时知识点在脑海，用你时解题
方法在天涯”。知识点和解题之间联系不上，还经常交叉使用。举个例子，给你一把锤子，直接让你做个板凳出来…我现在又给你一个螺丝刀，还是让你做个板凳出来…你会问刚才不是说好用锤子做板凳的吗？当然，锤子我也不会用。函数解题就是这个特点。
2、函数知识的分布主要是纵深式的，知识树的每条分支都比较长，运用起来需要从知识树的一条分支入手，不断深入找下去，一直找到最后与解题相关的部分。很累，大脑容易“抽筋”。
3、敲黑板！函数学习唯一的王道是：画图像！抽象又纵深发展的知识点非常烧脑，如何保护一下我们的大脑？当然是图像！当一个函数图像出现了，我们就可以看图说话了，单调性、奇偶性、周期性等等，一目了然，图像是把函数抽象的知识点和具体的解决方法结合
起来的利器，所以现在先提出一个要求，不管是否需要画图，遇到函数就尝试着画一画图像，这会让你的解题越来越快，思维压力也越来越小。
PPT(第 3 页)：现在我们正式进入函数第一部分——概念与性质。先了解一下函数概念和性质的本质，我们不谈那些书本上的说辞，直接说最接地气的。想一下什么是函数？就是两个量之间关系，给出x，
给出关系式，就能求出y 值。那么这里开始，我们就要养成深入思考的能力，在这里不只是给出 x 才能求出y 值，如果给出 y 值一样能求出x 值。这两者是可以互相推算的。这也就是后面我们要提到的定义域和值域的问题。
函数性质。单调性、奇偶性、周期性、对称性，其实就是能够让
你把图像画得准确的各种特点。这些都为图像服务，图像也为各种性质服务，大家相互服务，很和谐。
PPT(第 4 页)：接下来，让我们来看看函数的题目到底为了求些什么， 知道了这些，才知道你要总结什么。总体来讲，函数就是先尽量把图像画出来，然后，1、研究图的各种特点，比如高、矮、胖、瘦、硬朗还是柔和、连续还是断开等；2、研究图像上点、线段之间的关系， 或者是他们跟坐标轴之间的关系，比如找到谁大谁小，谁长谁短，还有跟x 轴有没有交点，有几个，这不就是零点问题了嘛。
PPT(第 5 页)：我们这节课就是要构建出函数概念与性质的知识体系树，并且看几道利用知识树来解决的经典例题。
PPT(第 6 页)：先来把知识树构建好吧。
PPT(第 7 页)：这是函数知识树的总体概图。我暂时没有把所有分支都打开，等我们学完函数上中下，我会展示所有的细节，这里我们现有一个对函数总体的把握。从现在开始，你要拿出笔来跟着我一点一点画你自己的树，严禁截图！不是舍不得，而是截图没有用。
下面我们把函数的整体体系先了解一遍。说起函数，你会觉得很熟悉，数学处处皆函数，但是如果我问，函数都学了什么呀？现在想想，能说得全吗？我想一定不能，基本都是只能说某几个知识点，而且排列还非常混乱。函数知识很多，又抽象，就会造成这种现象。首先还是明确一个原则，画图！画图！画图！重要的事情说三遍。整个函数学习的过程，画图画得好就已经成功了一半。接下来我们来捋顺一下知识树结构。
函数首先要学习概念和性质，其中概念就包括构成函数的三大要素，定义域，解析式，值域。其中最重要的是前两个，定义域和解析式，值域我叫他伴随产物，是有前两者才随之产生的值域。然后我们要学习性质，单调、奇偶、周期、对称。这些性质是什么，听起来很抽象，我们来翻译一下，就是我刚才讲的，这些性质就是在描述函数图像的形状，高了矮了胖了瘦了，上升了下降了等等。这是对函数一个整体的基本认识，也是这节课我们要全面掌握的内容。
接下来，掌握了函数这些有点抽象的性质之后，我们要看看例子了，所以函数第二大块就是我们要见识几个基本初等函数。函数有千千万万种，我们初中学过了直线、抛物线等，高中就是再多见几个而已。因此，我们选取比较有特色的三个，指数函数、对数函数、幂函数。我们要按照概念与性质的顺序，分别了解这三种函数。
最后，函数了解了概念性质、见过了经典的例子，又该笼统研究一下所有函数跟坐标轴之间的关系了，这是把函数图像具体“钉” 在坐标轴上，我们只要研究函数与x 轴之间的关系，这就是零点问题。零点问题这里，还是继续强调，有图像才有得解。这些都学完后，我们数学的很多章节都会有数学知识在日常生活中的应用，函数也不例外，因此我们需要了解一些函数模型在生活中的应用。这个非常广泛， 比如市场上卖菜、比如建筑上修桥修路，都会用到函数模型，高中阶段我们只简单涉猎一点就可以，不是高考重点。但是，学而用，应该是你学习所有知识的最终归宿，这个习惯高中阶段或许你没有时间养成，但是到大学以后，务必时刻遵循这个原则，学完知识要知道应用
在现实生活的方方面面。
PPT(第 8 页)：接下来，我们看一下函数概念与性质的总体知识树，
（这里不必看细节）。概念与性质分区非常明显，概念包括三大要素，
定义域、解析式和值域，性质主要是 4 大性质，从考察频率来排序就
是单调性、奇偶性、周期性、对称性，至于反函数，讲的是函数关于
y=x 对称的一种特殊情况，我们在这里一并介绍一下。总图看起来是不是非常庞大？但是知识点并不算难，一点一点梳理之后你的大脑就会非常清晰了。
PPT(第 9 页)：让我们先来梳理函数的概念，刚才已经说过好几次， 就是 3 大天王，不，是 3 大要素。定义域、解析式和值域。
PPT(第 10 页)：先从定义域开始，我们直接上干货，求一个函数的定义域出题点就是围绕 3 个符号，分数线、根号、对数。这三者出现的时候，分数分母不能为零，根号内部必须≥0，对数函数的真数必须
＞0。高考题不可能一种出一道题，所以最常见的就是三种符号同时出现，这时候务必细心，必须三个条件要同时满足。所以，这里我建议要记住个数，比如定义域要记住有 3 种符号，每次做题都要把 3 个符号过一遍，题目里发现一个就标出一个，这样就不会遗漏了。
定义域这里还有一个小知识点，就是抽象函数定义域求法，这里要明确一个事，就是定义域的定义！定义域永远是当下函数内自变量
（也就是x）的取值范围，比如 f（x）的定义域指 x 的范围，f（2x-3） 的定义域，指的也是它里面那个 x 的范围。可能你做函数最怕遇到抽象问题，那么这里有一句口诀供你使用。抽象函数定义域问题，只要
记住：“在同一个函数法则下，小括号内的东西范围是永远一样的”！举个例子，f（x）定义域为[1,3],求 f（2x-3）的定义域，按照口诀， 这两个函数都是f 法则，法则一样，所以小括号内的东西范围一致， f（x）小括号内只有 x，所以小括号的范围就是[1,3]，f（2x-3）呢， 小括号内的 2x-3 就应该在[1,3]内，所以 1≤2x-3≤3，解出来 x 的范围就是f（2x-3）的定义域了。
这里小小总结一下，函数部分我们做出知识树，就是防止你在做题的时候还是想起来什么用什么，现用现想。你要知道一共有几种情况，而题目里出现的是哪种情况，养成这种严谨的思维习惯，数学才能循序渐进的提高。因为做数学题，很大程度取决于你思维的严谨程度，函数这块就非常侧重考察这个能力，加上知识点细小又抽象，经常把各种知识点混合在一起考，如果没有知识树梳理，你就会想起这个点，却忘了那个点，永远想不全。有没有戳中你？哈哈，不必急着回答我，可以默默流泪。现在我把各种情况都给你了，并且梳理了， 你就没有理由再想不全了，对不对？
PPT(第 11 页)：接下来，我们要研究第 2 个要素，解析式。这里图像比较大，所以单独放一页。解析式仿佛没什么可说的，我想在学校课堂上，或许老师也都是一带而过的。但是，这里才是我说的“画图王道”的开始，我不会重点训练你对解析式的计算，a+b 啊，x+y 啊， 太抽象了，越研究就越抽象，越研究也越“抽筋”。我现在要开始训练你看着解析式画图的能力，因为最终解题关键是要归结到图像上面的。
我们先了解几种基本函数图形的画法：
1、直线。直线觉得谁都会画是不是？直线到底能怎么画？想过吗？那我们就彻底归纳一下，直线到底有几种？4 种对吧？增的，减的，斜率不存在的，斜率为 0 的。为什么直线我要讲这么细，你可能觉得没必要，但是等你开始解直线和圆的问题的时候，解圆锥曲线问题的时候，回想一下，多少次都被讨论直线斜率是否存在坑了？经常不知道什么时候讨论直线斜率呢？为什么总是忘记讨论呢？就是因为从一开始，你对直线的认知就不全面，觉得太简单，从来没总结过。现在我们就总结一下，直线一般有 4 种存在的形态，两种斜的形态是最常见的，横平和竖直是特殊情况，尤其是竖直时，斜率k 不存在。在函数这里就养成对各类图形全面思考的习惯，以后做大题才知道为什么要讨论，因为我只要遇到直线的时候，就会先想到它有 4 种形态， 再根据题目判断，到底可以使用的是哪几种。通常情况下 k 存在的我们归纳为一类，k 不存在的单独为一类。这样以后再遇到直线讨论问题，你是不会忘记的，因为你看见直线的第一眼，就在考虑它的形态可以属于哪类。
2、抛物线。这个都非常熟悉了，y=ax +bx+c，分 2 种，开口朝上（a＞0）和开口朝下（a＜0）。其他确定图像位置的有对称轴x=-b/2a,还有△=b -4ac，△＞0 则图像与 x 轴有 2 个交点，△=0 则图像与 x 轴有 1 个交点，△＜0 则图像与x 轴没有交点。
3、反比例函数。这个也分 2 种情况，y=k，k＞0，就是左图，k
x
＜0 就是右图。
4、对勾函数。f（x）=ax+b（a＞0，b＞0），这种函数图像也非
x
常常见，要按照图例学会画出来。
5、带绝对值的函数。我们这里以 y=丨x 丨为例，推演到所有外部带绝对值的函数图像画法，就是把 x 轴下方的部分，对称着翻折上去。
6、再总结 2 个画图规则
（1）f（x）与f（-x）图像是关于y 轴对称的。
（2）f（x）与-f（x）的图像是关于x 轴对称的。
最后，我们画的很多图像还需要左右上下移动，那么口诀再复习一遍：上加下减，左加右减。这里的上下移动是指对整个函数的y 值进行加减，而左右移动是指对 x 本身进行加减。不要觉得自己很熟， 这里很容易掉进坑里，举个例子，y=ln（2-x）图像是由y=lnx 图像如何移动得到的？首先 y=lnx 关于 y 轴对称，可以得到 y=ln（-x） 图像，那继续怎么挪动可以得到 y=ln（2-x）图像呢？向左还是向右？ 其实是向右对不对！y=ln（-（x-2）），这样才能得到 y= ln（2-x）。所以这些细节都是需要反复练习的地方。
函数概念的第 3 个要素是值域，这个不用过多介绍，就是定义域和解析式确定了，值域自然有，画图更清晰~
PPT(第 12 页)：概念清晰之后，我们来看看函数的 4 大重要性质吧。第一个单调性。这是函数最最重要和高频使用的性质了，我们
按照三步走来思考如何求一个函数单调性。首先拿来一个函数，第一步你一定会想这个函数我是否熟悉，是不是简单函数，比如直线，抛
物线，他们的单调性你都不需要多想，图像非常熟悉，在脑海里就画出来了，然后直接说出单调性。这里二次函数的单调性要强调一下， 二次函数的单调性问题主要看对称轴在要求的区间里面还是外面，如果对称轴在给出的区间内部，则这个区间内函数不单调，如果对称轴在给出的区间外，则函数在这个区间内就单调。这就是我们常说的动轴定区间和定轴动区间的问题。另外，还有一个小结论务必记住，有一类题目是求在某个区间内，二次函数的函数值≥0 或者≤0，这时候不要考虑对称轴和△了，直接让端点的函数值同正或者同负即可求出你想要的参数范围。
第二步，就是研究稍微复杂一点点的复合函数，比如两个简单函数要加减乘除等等，这时候回忆一下口诀：负号会完全改变一个函数的单调性，-减=增，-增=减。如果遇到加减乘除的情况，只有增+ 增=增，减+减=减，这两个公式可以直接使用。这里如果是增-减呢？ 那就可以转化为增+增，所以仍为增函数。嵌套式 f（g（x））口诀是：同增异减。就是里层和外层函数单调性如果相同，那整体就是增函数， 如果里外不同，那整体就是减函数。第三步，如果是更复杂的函数， 那上面的口诀也用不了了，该怎么判断单调性呢？这时候就引出了我们最强大的单调性武器——导数。这里就变成导数问题了，我们会在导数部分具体讲解。不过这里你要有个基本的印象，导数是为了服务函数而产生的工具。
第二奇偶性。从这里开始，口诀和公式就越来越少。基本特点： 奇函数-f(x)=f(-x),图像关于原点对称，而且 f（0）=0。偶函数
f(x)=f(-x),图像关于 y 轴对称。复合函数奇偶性呢？还是记住几句口诀，1、系数不改变函数的奇偶性，比如一个奇函数乘 3 还是 ，这并不改变它本身的对称性，所以还是奇函数。2、奇±奇=奇，偶±偶
=偶，奇±偶无法直接判断奇偶性。3、f（x）g（x）或者f（x），这
g（x）
种乘除形式记住同偶异奇。就是两者奇偶性相同，整体就是偶函数， 两者奇偶性不同，整体就是奇函数。4、嵌套式f（g（x））口诀是：嵌套遇偶则偶。就是里层或外层，只要有一个是偶函数，整体就是偶函数。这几句口诀务必记住。
第三周期性。周期性只需要记住这里展示的最基础公式，我知道你还学过很多关于周期性的公式，这里有个好消息，不要背那些了， 因为背也背不准，准了也未必直接用。只要记得，出现感觉像是周期性的公式，只要去试里面出现的常数a 的 2 倍即可，大部分情况下， 最终的周期很可能 2a。举例-f（x）=f（x+4），给出这个条件，我们猜周期大概会是 8，那就想办法构造 f（x+8），我们在等式里面把 x全部换成 x+4，原式就会变成-f（x+4）=f（x+8），而根据原始，-f
（x+4）=f（x），所以就得出 f（x）=f（x+8）。周期的确验证为 8。我们只需要掌握到这种程度就可以了。
第四对称性。对称性更是一个非常抽象的东西。依然只需要掌握图中给出的基础公式，另外掌握一个对称点的求法，如果求某点关于直线的对称点，知道有 2 个条件可用，一是两点连线与直线垂直， 二是两点的中点在直线上。
反函数。反函数是个相对独立的小知识点（如果学生已经掌握
则不必讲了，如果不熟悉，简单介绍一下）。函数与反函数的图像是关于y=x 对称的，怎么求一个函数的反函数呢？就 2 步，第一步是把函数中 x 与 y 互换，第二步就是整理一下，将换完的式子整理成y=bulabula x 的形式。这里需要掌握原函数与反函数上点之间如何对称，记住这样一个例子即可，原函数如果过点（2，8），反函数就过点（8,2），所以解题时可以不必解出反函数解析式，也可以找到相应的对称点。
PPT(第 13 页)：好了，到这里我的函数概念与性质的知识树成型了， 总图在这里，你的呢？原则依然是不要跟我的完全一样，你的可以更简单，只要你能看得懂，想得起就可以。（这张总图 ppt 内不清晰， 可以下载原图查看）
(
PPT
(第
15—16
页)
PPT
(第
17—18
页)
PPT
(第
19—20
页)
PPT
(第
21
页)
) PPT(第 14 页)：OK，函数（上）知识树构建结束。让我们来一起看一下如何运用知识树来解题吧！这里选取了综合性题目，直接感受一下如何分析多步骤题目（务必看视频，学霸不必过多讲解）。
：第 1 题和答案。
：第 2 题和答案。
：第 3 题和答案。
：回顾落实。看完视频题目后，有没有学会如何运用知识树来解题？我们再次总结一下知识树的要点吧。
PPT(第 22 页)：要点总结，这里非常简洁，没有展开，为什么，这就验证了我一开始说的，函数的知识细小又深入，一旦展开就没完没了， 不停延伸。所以这里简洁不代表它的知识真的简洁哦。
PPT(第 23 页)：课后作业布置，请完成我们为你准备的经典习题。函数这里要特殊说明一下，函数题目真的是千变万化，因为知识点可以渗透到各种题目当中，我们的作业能让你练习到相应的知识点，但是绝不可能搜集全所有的类型，只做这些题目是万万不够的。一定要自己再多做练习，多见题型，当然，万变不离其宗，知识树上的知识点会帮助你乘风破浪的。
PPT(第 24 页)：结束，我们下次见。函数（上）概念和性质作业题
作业题目难度分为 3档：三星☆☆☆（基础题目）
四星☆☆☆☆（中等题目）
五星☆☆☆☆☆（较难题目）
函数题目非常多，我们只能尽量涉猎，但无法全面覆盖，因此本套作业各位同学
尽量都做。这点题量对于函数来说，还远远不够。
70-120 分同学请全部练习
120+以上同学 1-25 题可浏览选取不熟悉的练习
26—30 重点练习
本套作业题目1-3,13,14,17题为三星,4-12,15,16,18-25为四星，26-30为五星。
1、若函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为_____。
☆☆☆
答案与解析：考查抽象函数定义域问题。
因为函数 的定义域是 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的定义域为 。
2、函数 的定义域为（ ）。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查求函数定义域需要注意的三种符号。
由题意得函数的定义域满足 ，化简得 ，
解得 ，所以 且 。
3、已知函数 ，则 _____； 的最小值为_
____。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考查分段函数。
由函数的解析式可得当 时， ，当 时， ，所以 。
当 ， ，其对称轴为 ，故 ；
当 ， ，函数 在区间 上是减函数，故 ；
故函数 。故本题正确答案为 ； 。
4、已知函数 ，且 ，则 （ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查指数函数与对数函数图形的性质。
由已知条件可得函数图象：
故 ，可得 ； 。
5、设函数 若 ，则 _____ 。 ☆☆☆☆
答案与解析： 时， ， ，则
，解得 ，或 （舍去），或
（舍去），故 。当 时， ，由于 ，所以 ，
所以 ，不能等于 ，所以不存在 ，使得 。
综上所述， 。
6、已知函数 ， ，若有 ，则 的取值范围为
（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：由题知， ， 。
而 ，则 ，即 ，解得 。
7、已知二次函数 满足 。
（1）求二次函数 的解析式。
（2）若对 ，都有 成立，求实数 的取值范围。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）由题得 ，解得 ，所以二次函数 的
解析式为 。
（2）由（1）知 ，故函数 的零点为 和 ，若对
，都有 成立，则 或 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围为 。
8、已知实数 ，函数 ，若 ，则 的值
为_____。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查分段函数的函数值计算。
当 时， ， ， ，
解得 ，合题意；
当 时， ， ， ，
解得 ，不合题意；
综上所述： 。
9、已知函数 ，则 的值域是（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：当 时， 在 单调递减，在 单调递增，
，即 的取值范围为 。
当 时， ，画出对勾函数图像，可知 在 单调递减，在
单调递增， ，即 的取值范围为 。
综上所述， 的值域为 。
10、若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取
值范围是（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考察图像画法，然后根据值域确定参数范围。
当 时， 恒成立。当 时，若 ，则 时， ，
不满足题意；若 ，则 单调递增，要满足值域为 ，则需 ，
故 ，从而 。综上， 。
11、已知 是定义在 上的奇函数, 则 的值域为
_____。 ☆☆☆☆
答案与解析： 本题主要考查奇函数与函数的值域关系。
因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，
据此解得 。因此 ，令 。
因为 在区间 上递增，所以 在定义域
内单调递减。
因此函数 的值域为 ，因此 的值域为 。
12、已知函数 ，则使方程 有解的实数 的取值范围（）
☆☆☆☆
答案与解析： 画图即可。本题主要考查函数的值域。 的取值范围即为 的值
域，由图象知值域为 。
13、函数 的单调增区间是_____。 ☆☆☆
答案与解析：本题主要考复合函数的单调性。
嵌套型口诀同增异减。现在看里层为增函数，外层也为层函数，所以整个函数为增
函数，所以 的单调增区间即为函数的定义域 。
14、若函数 为 上的增函数，则实数 的取值范围是 。
☆☆☆
答案与解析： 本题主要考查函数的单调性。因为 为 上的增函数， ，解
得 ，因为整体为增函数，接口处当 时，应满足，且 ，所以
≤a，解得 。综上所述， 。
15、已知函数 的图象与直线 有且只有一个交点，则实数 的取
值范围是_____。 ☆☆☆☆
答案与解析： 由题知， ，两个函数的对称轴均为 。
①当 时， 为 上的单调递增函数，则 图象与直线 有一个交点，满足
题意；
②当 ，即 时，则 在 上单调递增，在 单调递减，在 单
调递增，极大值为 ，此时 图象与直线 有一个交点，满足题意；
③当 ，即 时，则 在 单调递增，在 上单调递减，在 单
调递增，欲使 图象与直线 有一个交点，需使极大值 ，即 ，解
得 ，故此时 。
综上，实数 的取值范围是 。
16、已知 ，且 ，则函数 的单调递增区间为
______。 ☆☆☆☆
答案与解析： 设 为 ，因为 ，所以 ，即 。
又因为 ，所以 ，则 ，整理可得 ，解得
或 （舍掉）。所以 ，即 ，所以 。
图象如下图所示，由图可得 的单调递增区间为 。
17、下列函数中为偶函数的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
☆☆☆
答案与解析： 本题主要考查函数的奇偶性。选 B。
A项， ， ，所以 是奇函数，不是
偶函数，故 A项不符合题意；
B项， ， ，所以 是偶函数，故 B项
符合题意；
C项， ，定义域为 ，不关于 轴对称，所以不是偶函数，故 C项不符
合题意；
D项， ， ，所以 不是偶函数，故 D项不符合
题意；
18、已知函数 （ ）是奇函数。
（1）求 的值；
（2）若 ， ，求 的值。 ☆☆☆☆
答案与解析：（1）因为 是奇函数，所以对定义域内任意 ，都有
即 ， ，由条件知 ，所以 。
（2）因为 是奇函数，所以 ，令 ，则
，所以 。
19、设 是偶函数， 是奇函数，那么 的值为
（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析： 本题主要考查奇偶函数的性质。
对于偶函数 有 ，所以 ，
解得 ；对于定义域为 的奇函数 ， ，解得 ，
所以 。
20、已知函数 的定义域为正整数集 ， ， ，若 ，
，则 _____ 。 ☆☆☆☆
答案与解析：题主要考查函数的周期性。
给出的式子，按照周期为 4去猜。所以尽量画出 f（x+4）。
因为 ，所以 ，
，所以 ，
则 ， ，
。
21、 是 上的奇函数，对任意实数都有 ，当 时，
，则 （ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析： 本题主要考察周期性，看到已知条件题目猜周期为 3。
因为 ，所以 ，所以 ，所以
是以 为周期的奇函数，
所以 ， ，
所以 ；
又因为当 时， ，所以 ，
所以 。
22、已知函数 满足 ， ，当 时， ，
则 （ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析： 本题主要考查函数周期性。
由已知 可得 ，
则有 ，有 ，可得 ，
所以 是以 为周期的周期函数， 。
23、若函数 的图象关于原点对称，则实数 等于（ ）。 ☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查函数对称性。对称性的考察一般不会直接考察对称的计
算，而是利用巧妙的办法，比如本题关于原点对称，不必去求对称点，可以直接按
照奇函数的性质，用 f（0）=0来解题，a=-1。下面给出用求对称点的方法以供参考。
因为 关于原点对称，则任取图象上一点 ，另一点 必定也
在图象上，即 ，联立消去变量 得： ，
因为 为任意值，且 ，所以 。
24、若函数 满足：存在非零常数 ，使 ，则称 为“准奇函
数”。下列函数中是“准奇函数”的是（ ）。 ☆☆☆☆
A、 B、 C、 D、
答案与解析：由已知得，准奇函数需满足：存在非零常数 ，使 ，
即准奇函数满足 ，且关于 点中心对称。
A项， ，令 ，解得 ，与题意矛盾，故 A项错误；
B项， ，令 ，解得 ，且
满足题意，故 B项正确；
C项， ，令 ，无解，故 C项错误；
D项， ，令 ，解得 ，与题意矛盾，故 D项错误。
故本题正确答案为 B。
25、若函数 的图象与函数 的图象关于 对称，则 等于（ ）。
☆☆☆☆
答案与解析：本题考察反函数。因为函数 的值域为 ，依题知 为
的反函数，讲将 x与 y互换，再整理，所以 。
26、函数 的图象大致为（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：因为 ，
，
所以 ，所以 关于 对称，故 A和 D项不符合题意；
因为当 ， ， ，所以 ，故 C项不符合题意。
故本题正确答案为 B。
27、已知奇函数 在 上单调递减，且 ，则不等式
的解集是（ ）。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：由奇函数性质可知，因为 在 上单调递减，所以 在
上单调递减；由 ，可知 。
由零点和单调性可知，当 ，或 时， ；当 ，或 时，
。由此可知，令 ，则 的解为 或 。
可解得 的取值范围为 ，或 。
28、已知定义在实数集 上的函数 是奇函数。
（1）求 ， 的值；
（2）若对任意的 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。
☆☆☆☆☆
答案与解析：（1）因为 是奇函数，且定义域为 ，所以 ，即 ，
解得 ，从而有 ，又由 ，得 ，解得
，经检验符合题意，所以 ， 。
（2）由（1）知 ，则 在 上为减函数，因为
是奇函数，所以不等式 等价于
，因为 是减函数，则可得 ，
又因为对一切 有 ，所以 ，解得 。
29、已知函数 ，则 的图象是（ ）。 ☆☆☆☆☆
A、 B、
C、 D、
答案与解析：本题主要考查指数函数与对数函数的图象以及性质。
由题意 的图象如下图，将 的图象关于 轴对称后，将得到的新图象即 的
图象向右平移一个单位，即得到 ，也就是 的图象。
故本题正确答案为 D。
30、设函数 ，对任意 ， 恒
成立，则实数 的取值范围是_____。 ☆☆☆☆☆
答案与解析：本题主要考查不等关系与不等式、解不等式、函数综合以及函数的概
念与性质。
由题意得 在 上恒成立，即
在 上恒成立。
令 ，则 小于等于 在 上
的最小值。
令 ， ，因为 在 是单调递减的，所以当
时， 取最小值， ，所以 在 上的最小值
为 。由 ，解得： 或 。
故本题正确答案为 。

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