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(共39张PPT)
圆周角
O
B1
B3
B2
P
Q
如图,已知足球比赛中球门PQ外有B1、B2、B3三点,
问题情境
30°
30°
30°
你认为在哪一点位置对球门PQ的张角大
三个点位置的张角一样大，
都是30度角
观察思考
在图中,∠B1、∠B2、∠B3有什么共同特征？ 　
即∠PB1Q、
∠PB2Q、
∠PB3Q
B1
B3
B2
O
顶点在圆上,两边都和圆相交的角叫做圆周角.
O
C
A
B
知识归纳
1.下列各图中，哪一个角是圆周角？( )
2.图中有几个圆周角？( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
B
C
A. B. C. D.
概念辨析
B
A
C
D
O
O
B
C
A
　　1．请在⊙O中画出 所对的圆心角和圆周角，
你能画出多少个符合条件的圆心角和圆周角
(
BC
　AB所对的圆心角有一个，圆周角有无数个，
2.观察你所圆周角，它们与圆心O有哪几种位置关系
A
A
　　2．BC所对的圆周角有无数个，观察你所画的图形，它们与圆心O有哪几种位置关系
O在∠BAC内
O在∠BAC边上
O在∠BAC外
思考与探索
　　3．当圆心O在∠BAC的一边上时，圆周角∠BAC
与圆心角∠BOC之间有怎样的数量关系？你能证明
你的发现吗
思考与探索
∵∠BOC是△AOC的外角，
∴∠BOC＝∠A ＋∠C.
∵OA＝OC ，
∴∠C＝∠A .
∴∠BOC＝2∠A .
即
证明：
.
思考与探索
．
5．当圆心O在∠BAC的内部或外部时，
的关系还成立吗
思考与探索
，
证明：作直径AD．
．
∵
，
∴
即
．
思考与探索
，
证明：作直径AD．
即
.
∵
，
.
∴
思考与探索
议一议
　　同弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆心角的一半.
典型例题
　　例　如图，P是△ABC的外接圆上的一点，∠APC＝∠CPB＝60°．
　　求证：△ABC是等边三角形．
证明：
∵∠APC和∠ABC都是弧AC所对的圆周角 ∴ ∠APC=∠ABC
同理可得∠APC=∠BAC
又∵∠APC＝∠CPB＝60°
∴ ∠ABC＝∠BAC＝60°
∴△ABC是等边三角形
练一练
　 如图，点A、B、C、
D在⊙O上，点A与点D在
点B、C所在直线的同侧，
∠A＝35°.
　　(1)∠D＝_____°，理由是_______________________；
　　(2)∠BOC＝_____°，理由是_____________________________
___________________________.
同弧所对的圆周角相等
同弧所对的圆周角等于该弧所对
的圆心角的一半.
35
70
拓展提升
　　如图，点A、B、C在⊙O上，点D在圆外，
CD、BD分别交⊙O于点E、F，比较∠BAC与∠BDC的大小，并说明理由．
解：连接CF．
∵ ∠BFC是△DFC的一个外角，
∴ ∠BFC >∠BDC ．
∵ ∠BAC＝∠BFC （同弧
所对的圆周角相等）．
∴ ∠BAC >∠BDC．
F
O
D
A
B
C
E
请你议一议
　　这节课你有哪些收获和困惑？开始的问题情境，你解决了吗？
圆周角（2）
请你画一画
有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心．
　　问题1　如图1，BC是⊙O的直径，A是⊙O上任一点，你能确定∠BAC的度数吗
B
A
O
C
图1
　　问题2　如图2，圆周角∠BAC＝90 ，弦BC经过圆心O吗？为什么？
●O
B
C
A
图2
请你想一想
请你议一议
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角；
用于判断某个圆周角是否是直角
用于判断某条弦是否是直径
90°的圆周角所对的弦是直径．
典型例题
　　例1 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，求∠CEB的度数．
A
B
D
C
O
E
60°
50°
解：连接BC
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
又∵∠ACD＝60°
∴∠BCD=90°-60°=30°
∵∠ABC=∠ADC＝50°
∴∠CEB=180°-50°-30°=100°
A
B
D
C
O
E
60°
50°
议一议
　　“有一个圆形模具，现在只有一个直角三角板，请你找出它的圆心”．你现在能解决吗？说说你的做法吧！看哪一组说的最好！
巩固练习
　　1．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝10°，
则∠ABC＝________．
80°
巩固练习
　　2．如图，AB是⊙O的直径，D是⊙O上的任意一点（不与点A、B重合），延长BD到点C，使DC＝BD，判断△ABC的形状： ．
等腰三角形
请你议一议
这节课你有哪些收获？
今天我们学习了圆中有哪些常用辅助线？
圆周角（3）
请你画一画
1．过三角形的三个顶点一定能画一个圆吗？
一定
2．过四边形的四个顶点一定能画一个圆吗？
不一定
请你说一说
　　一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
　　如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆．
请你想一想
　　1．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？
∠A+∠C=180°
∠ABC+∠ADC=180°
请你想一想
　　2．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？
成立
请你想一想
　　3．请你归纳总结上面的发现，你能否将结论表述出来？
定理：圆的内接四边形的对角互补．
典型例题
　　例：如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，DB＝DC，∠DAE是四边形ABCD的一个外角．∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？
解：相等
理由：四边形ABCD是⊙O的内接四边形
∴∠DAB+∠DCB=180°
又∵∠DAB+∠DAE=180°
∴∠DCB= ∠DAE
∵DB＝DC
∴∠DCB= ∠DBC
又∵ ∠DAC= ∠DBC = ∠DCB
∴∠DAE=∠DAC
巩固练习
　　1．已知：图中，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为AB延长线上一点，且∠AOC＝80 °，则 ∠D＝ ，∠CBE＝ ．
40°
40°
巩固练习
　　2．圆内接四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：4：7：m ，则m＝ ，∠D＝ ．
5
100°
请你议一议
这节课你有哪些收获？
开始的问题情境，你解决了吗？

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