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2022届高考数学基础达标练：直线与平面垂直关系的性质
一、选择题（共20题）
已知直线 ，则经过 且和 垂直的平面
A．有 个 B．有 个 C．有无数个 D．不存在
已知 ，则过 与 垂直的平面
A．有 个 B．有 个 C．有无数个 D．不存在
已知矩形 ，直线 ，则在 ，，， 中，直角三角形的个数为
A． B． C． D．
如图所示，已知 ，且 ，则 的形状为
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
如图，三棱锥 中，已知 ， 于 ，，设 ，，记函数 ，则下列表述正确的是
A． 是关于 的增函数 B． 是关于 的减函数
C． 关于 先递增后递减 D． 关于 先递减后递增
如图所示，已知 ， 于 ，，令 ，，则
A． B． C． D．
设 ， 表示两个不同的平面， 表示一条直线，且 ，则 是 的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
如图，点 在正方体 的面对角线 上运动（ 点异于 ， 点），则下列四个结论：
①三棱锥 的体积不变；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确结论的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
如图所示，在斜三棱柱 中，，又 ，过 作 ，垂足为 ，则点 一定在
A．直线 上 B．直线 上
C．直线 上 D． 的内部
设 ， 是两个不同的平面，， 是两条不同的直线，且 ，则下列说法正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
如图，四棱锥 的底面为正方形，，则下列结论中不正确的是
A．
B．
C． 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角
D． 与 所成的角等于 与 所成的角
下列说法错误的是
A．垂直于同一个平面的两条直线平行
B．若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直
C．一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行
D．一条直线与一个平面内的无数条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直
已知四边形 为矩形，，连接 ，，，，，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是
A． 与 B． 与 C． 与 D． 与
如图， 垂直于以 为直径的圆所在平面， 为圆上异于 ， 的任意一点， 垂足为 ，点 是 上一点，则下列判断中不正确的是
A． B．
C． D．
三棱柱 中，侧棱 垂直于底面 ，底面 是正三角形， 是 的中点，则下列叙述正确的是
① 与 是异面直线；
② 与 是异面直线，且 ；
③ ；
④ ．
A．② B．①③ C．①④ D．②④
如图，正方体 的棱长为 ，线段 上有两个动点 ，，且 ，则下列结论中错误的是
A． B．
C．三棱锥 的体积为定值 D． 与 的面积相等
已知 ，，则下列结论一定不正确的是
A． ， 相交 B． ， 异面 C． D．
在正方体 中，若 为 的中点，则直线 垂直于
A． B． C． D．
下列选项中，说法正确的是
A．命题“，”的否定为“，”
B．命题“在 中，，则 ”的逆否命题为真命题
C．已知 ， 是两条不同的直线， 是个平面，若 ，，则
D．已知定义在 上的函数 ，则“ 为奇函数”是“”的充分必要条件
设 ， 是两条不同的直线，， 是两个不同的平面，则以下结论正确的是
A．若 ，，则 B．若 ，，则
C．若 ，，则 D．若 ，，则
二、填空题（共5题）
直线与平面垂直的性质定理．
注意：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
设 ，， 是三个不同的平面，， 是两条不同的直线，给出下列三个结论：
①若 ，，则 ；
②若 ，，则 ；
③若 ，，则 ．
其中，正确结论的序号为 ．
设有下列四个命题：
①两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内；
②过空间中任意三点有且仅有一个平面；
③若空间两条直线不相交，则这两条直线平行；
④若 ，，则 ．
则上述命题中所有真命题的序号是 ．
已知点 ，，，， 是球 表面上的点，，四边形 是边长为 的正方形．若 ，则 的面积为 ．
如图所示，在正方体 中，， 分别是棱 和 上的点，若 是直角，则 ．
三、解答题（共8题）
如图，等腰梯形 中，，，， 为 中点，将 沿 折到 的位置．
(1) 证明：．
(2) 请你求出在 沿 任意折叠过程中所得四棱锥 体积的最大值．
如图，直三棱柱 中，，，， 分别是 ， 的中点．求证：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
思考
垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？
如图， 是圆柱的一条母线， 是圆柱的底面直径， 在圆柱下底面圆周上， 是线段 的中点．已知 ，．
(1) 求圆柱的侧面积；
(2) 求证：．
如图，在三棱柱 中，，， 在线段 上，，，．
(1) 求证：；
(2) 求证：；
(3) 求直线 与平面 所成角的正弦值．
如图， 为 的直径， 垂直于 所在的平面， 为圆周上任意一点，， 为垂足．
(1) 求证：；
(2) 若 ，垂足为 ，求证：．
已知 是平面 外一点，，，求证：．
如图，在三棱柱 中，，，，， 是棱 上一点．
(1) 证明：；
(2) 求三棱锥 的体积．
答案
一、选择题（共20题）
1. 【答案】C
【解析】经过 的平面都与 垂直，而经过 的平面有无数个．
2. 【答案】C
【解析】由面面垂直的判定定理知，过 的平面都垂直于平面 ，所以这样的平面有无数个．
3. 【答案】A
4. 【答案】B
5. 【答案】C
【解析】因为 ， 于 ，，，，
所以可求得 ，，，，，
所以在 中，由余弦定理知 ．
所以 ．
所以 （当且仅当 时取等号），
所以 关于 先递增后递减．
6. 【答案】A
【解析】因为 ， 于 ，，设 ，
所以 ，，，，．
在 中，根据余弦定理可得 ．
所以 ．
所以 ．
7. 【答案】B
8. 【答案】C
9. 【答案】B
10. 【答案】D
【解析】对于A，由 ，，得 或 或 与 相交，故A错误；
对于B，由 ，，得 或 ，故B错误；
对于C，由 ，，得 或 与 相交，故C错误；
对于D，由 ，，结合面面垂直的判定可得 ，故D正确．
故选：D．
11. 【答案】D
【解析】A中结论正确，
因为 ,
而 ，
所以 ．
又四边形 为正方形，
所以 ，
而 ，
所以 ．
所以 ．
B中结论正确，
因为 ，
而 ，
，
所以 ．
C中结论正确，
设 与 的交点为 ，
连接 ，如图，
则 与平面 所成的角为 ，
与平面 所成的角为 ，
易知 ，
故 与平面 所成的角等于 与平面 所成的角．
D中结论不正确，
与 所成的角是 ，
而 与 所成的角是 ，
易知 ，
故所成的角不相等．
12. 【答案】D
【解析】由线面垂直的性质定理知，垂直于同一个平面的两条直线平行，A正确；
由面面垂直的性质定理知，若两个平面垂直，则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直，B正确；
由面面平行的判定定理知，一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行，则这两个平面平行，C正确；
当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时，该直线与平面不一定垂直，D错误，故选D．
13. 【答案】A
【解析】由 ，及三垂线定理可知 ，，，故B，C，D选项中两向量的数量积为零，无法判断 与 是否存在垂直关系，故数量积不一定为零．
14. 【答案】C
【解析】对于A， 垂直于以 为直径的圆所在平面，而 底面圆面，则 ，
又由圆的性质可知 ，且 ，
则 ．所以A正确；
对于B，由A可知 ，由题意可知 ，且 ，所以 ，
而 ，所以 ，所以B正确；
对于C，由B可知 ，因而 与 不垂直，所以 不成立，所以C错误；
对于D，由A，B可知，，，由面面垂直的性质可得 ．所以D正确；
综上可知，C为错误选项．故选：C．
15. 【答案】A
【解析】对于①，， 都在平面 内，两直线必相交，故错误；对于②，， 为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故 与 是异面直线，底面 是正三角形， 是 中点，所以 ，所以 ，故正确；对于③，上底面 是一个正三角形，不可能存在 ，故错误；对于④，因为 ，，所以 与平面 不平行，故错误．
16. 【答案】D
17. 【答案】C
【解析】由平面的垂线的定义可知，在平面 内肯定不存在与直线 平行的直线．
18. 【答案】B
【解析】如图所示，连接 ，，
易知 ，，又 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
19. 【答案】C
【解析】对于A，由特称命题的否定为全称命题，可得命题“，”的否定为“，”，故A错；
对于B，命题“在 中，，则 ”为假命题，比如 ，则 ．再由原命题与其逆否命题等价，则其逆否命题为假命题，故B错；
对于C，已知 ， 是两条不同的直线， 是个平面，若 ，则存在 ，，必有 ，又 ，则 ，所以 ，故C正确；
对于D，已知定义在 上的函数 ，若 为奇函数，则 ，则 ，所以 ，满足充分性；但 不能推出 为奇函数，不满足必要性，则“ 为奇函数”是“”的充分不必要条件，故D错．
20. 【答案】C
二、填空题（共5题）
21. 【答案】平行
22. 【答案】①②
23. 【答案】①④
【解析】①是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知①为真命题；②是假命题，因为空间三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；③是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；④是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线．
24. 【答案】
25. 【答案】
【解析】因为 ，，
所以 ．
又因为 ，，，，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ．
三、解答题（共8题）
26. 【答案】
(1) 在平面图中，连 ，，设 交 于 ，
由已知四边形 为菱形，所以 ．
于是得出在立体图形中，，，，
所以 ，，
故 ．
(2) 四边形 是边长为 的菱形，其面积为 ，
要使四棱锥体积最大，则需要平面 垂直于底面 ，
此时 为高，，
故四棱锥体积最大值为 ．
27. 【答案】
(1) 证法一：由直三棱柱 得 ，
因为 ，
所以 ，
又因为 ， 为 的中点，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
证法二：由直三棱柱 得 ，且 ，
因为 ， 为 的中点，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
(2) 由（Ⅰ）知，，
因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
(3) 证法一：由直三棱柱 知，四边形 是矩形，
因为 ， 分别是 ， 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
连接 ，则四边形 是矩形，
所以 ，且 ，
又因为 ，，
所以 ，且 ，
所以四边形 是矩形，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
又因为 ，，
所以 ．
证法二：由（Ⅱ）知，，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ．
28. 【答案】共面，由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个平面．
29. 【答案】
(1) 因为 ，，，
所以 ，
所以圆柱的侧面积为 ．
(2) 因为 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
30. 【答案】
(1) 因为 ，，
所以 ．
因为 ，．
所以 ．
因为 ，
所以 ．
(2) 作 交 于点 ，连接 ．
因为 ，
所以 ．
因为 ，且 ，
所以 ，且 ．
所以四边形 为平行四边形．
所以 ．
因为 ，．
所以 ．
(3) 连接 ，
由已知得 ，
因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
则 即为直线 与平面 所成角．
，
，
，
，
所以 ．
31. 【答案】
(1) 因为 为 的直径，
所以 ．
又 ，，
所以 ．
又因为 ，，
所以 ．
又 ．
所以 ．
又 ，且 ，，
所以 ．
(2) 由（）知 ，，
所以 ．
又因为 ，，，
所以 ．
又 ，
所以 ．
32. 【答案】如图，因为 ， 是平面 的斜线，
所以 是 在平面 上的射影，
又 ，且 ，
所以由三垂线定理得 ．
33. 【答案】
(1) 在三棱柱 中，，，
所以 ，
因为 ，，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ．
(2) 因为 ，
所以 是三棱锥 的高，则
即 ．

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