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利用平行四边形的性质和判定解题
类型一 证两条线段相等或求线段的长度
1.如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝1，∠BAD＝120°，连接BD，作AE∥BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，则EF的长是__________.
2.如图所示，在平行四边形ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H，求证:CH＝EH.
类型二 求线段长的取值范围
3.如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD为△ABC的中线，则AD的长的取值范围是_________.
类型三 解决面积问题
4.如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，E为DC的中点.求证：S△ABE＝S四边形ABCD.
类型四 证两条线段互相平分
5.如图所示，AC，BD是四边形ABCD的对角线，E，F分别是AD，BC的中点，M，N分别是BD，CA的中点.求证：EF与MN互相平分.
6.如图所示，点B、F、C、E在同一条直线上，FB＝CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于点O.
（1）求证:AD与BE互相平分；
（2）若AB⊥AC，AC＝BF，BE＝8，FC＝2，求AB的长.
类型五 证两条直线平行
7.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为OB，OD的中点，过点O任意作一条直线，分别交AB，CD于点G，H，连接GF，EH.求证:GF∥EH.
类型六 证线段的和差关系
8.如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，且∠ADC＝2∠B.求证:AB＝AD＋CD.
9.如图所示，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.求证:
（1）四边形BDEF是平行四边形；
（2）BF＝（AB-AC）.
参考答案
2.证明 ∵在平行四边形ABCD中，BE∥CD，∴∠E＝∠2，
∵CE平分∠BCD，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠E，∴BE＝BC，
又∵BH⊥EC，∴CH＝EH.
3. 1＜AD＜7
4.证明 如图，过点E作FH∥AB，交AD的延长线于点F，交BC于点H.
∵AD∥BC，FH∥AB，∴四边形ABHF为平行四边形.∴S△ABE＝S平行四边形ABHF.
∵AD∥BC，∴∠F＝∠1，∠2＝∠C.
∵E为DC的中点，∴DE＝CE，∴△DEF≌△CEH（AAS），∴DF＝HC，
∴ S平行四边形ABHF＝S四边形ABCD.∴S△ABE＝S四边形ABCD.
5.证明 连接ME，MF，NE，NF，如图所示:
∵E，M分别是AD，BD的中点，∴ME是△ABD的中位线，∴ME∥AB，
同理，MF∥CD，EN∥CD，FN∥AB，∴ME∥FN，MF∥EN，
∴四边形EMFN是平行四边形，∴EF与MN互相平分.
6.解析 （1）证明:如图，连接BD，AE，
∵FB＝CE，∴BC＝EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC＝∠DEF，∠ACB＝∠DFE.
在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE，
又∵AB// DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分.
（2）∵FB＝CE，∴BE＝2BF＋FC，∴,
∴AC＝BF＝3， BC＝BF＋FC＝3＋2-5，
∵AB⊥AC，∴由勾股定理得AB＝＝4.
7.证明 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD， 0A＝OC， OB＝OD，∴∠BAC＝∠DCA.
又∵OA＝0C，∠AOG＝∠COH，∴△AOG≌△COH（ASA），∴0G＝OH.
∴E，F分别为OB，OD的中点，∴0E＝0B，OF＝0D，∴OE＝OF.
如图，连接GE，HF.
∵OG＝OH，OE＝OF，∴四边形EHFG是平行四边形，∴CF∥EH.
8.证明 如图，过点D作DE//B，交AB于点E，∴∠B＝∠1.
∵AB∥CD，DE∥BC，∴四边形DEBC是平行四边形.∴∠B＝∠CDE，CD＝BE.
又∵∠ADC＝2∠B＝∠ADE＋∠CDE，∴∠ADE＝∠B＝∠1.
∴AD＝AE，∴AB＝AE＋EB＝AD＋CD.
9.证明 （1）延长CE交AB于点G，如图所示:
∵AE平分∠BAC，∴∠GAE＝∠CAE.
∵ AE⊥CE，∴∠AEG＝∠AEC＝90°，
在△AGE和△ACE中，∴△AGE≌△ACE（ASA）,∴GE＝EC.
又∵D是边BC的中点，∴DE为△CGB的中位线，∴DE∥AB.
又∵EF∥BC，∴四边形BDEF是平行四边形.
（2）由（1）可知四边形BDEF是平行四边形，∴BF＝DE.
∵D、E分别是BC、GC的中点，∴BF＝DE＝BG
∵△AGE≌△ACE，∴AG＝AC,∴BF＝（AB-AG）＝（AB-AC）.
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