资源简介

2021-2022学年浙教版九年级数学上册《第4章相似三角形》同步达标训练（附答案）
1．若3x＝4y，则＝（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积是3cm2，则四边形BDEC的面积为（　　）
A．12cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．3cm2
3．已知△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，且A（3，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，则A的对应点A1的坐标是（　　）
A．（6，2） B．（﹣6，﹣2）
C．（6，2）或（﹣6，﹣2） D．（2，6）
4．已知点C是AB上的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2，则AC等于（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．已知△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，则△ABC与△DEF的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形ABCD和四边形EFGH相似，则下列角的度数正确的是（　　）
A．∠D＝81° B．∠F＝83° C．∠G＝78° D．∠H＝91°
8．如图，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE中点，则BF+CF的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．
9．如图，一组平行线l1、l2、l3相交于直线l4、l5，则＝　 　．
10．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，以点B为圆心，任意长为半径画弧交AB、BC于N、M两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长度为半径作弧，两弧交于点P，射线BP交AC于点D，则AD：DC＝　 　．
11．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝，D为△ABC内部的一点，且CD⊥BD，在BD的延长线上取一点E，使得∠CAE＝∠BAD．若∠ADE＝∠ABC，且∠DBC＝30°，则AD的长为　 　．
12．如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E都是格点，则∠BAC+∠CDE＝　 　．
13．如图，已知在平行四边形ABCD中，点E在边AB上，＝，联结DE交对角线AC于点O，那么的值为　 　．
14．如图，正六边形OABCDE与正六边形OA'B'C'D'E'是于原点O的位似图形，相似比为3：2，若点C'（6，0），则正六边形OABCDE的周长为　 　．
15．如图，小明为了测量树的高度CD，他在与树根同一水平面上的B处放置一块平面镜，然后他站在A处刚好能从镜中看到树顶D，已知A、B、C三点在同一直线上，且AB＝2m，BC＝8m．他的眼睛离地面的高度1.6m，则树的高度CD为　 　m．
16．在边长为4的正方形ABCD中，点E，F是AD上两点，且AE＝DF，∠BCE＝60°，CE交对角线BD于G，交BF于点P，连接AP．则四边形ABGP的面积为　 　．
17．（1）已知线段m＝8，n＝2，求线段m、n的比例中项；
（2）已知，x+y＝24，求x、y的值．
18．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，试求出x及∠α的大小．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的高，AC＝3，DB＝，求AD、CD、BC的长．
20．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．
（1）求∠B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求AD的长．
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．
22．如图，在菱形ABCD中，点F在AD上，连接BF，与AC交于点E．
（1）若AB＝6，AF＝2，EF＝1，求BE的长度；
（2）已知点P在边CD上，请以CP为边，用尺规作一个与△CPQ与△AEF相似，并使得点Q在AC上．（只须作出一个△CPQ，保留作图痕迹，不写作法）．
23．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12，点C在OA上，AC＝4，点D为OB的中点，点E为弧AB上的动点，OE与CD的交点为F．
（1）当四边形ODEC的面积S最大时，求EF；
（2）求CE+2DE的最小值．
24．如图，每一个小方格正方形的边长均为一个单位长度，△ABC的顶点的坐标分别为A（﹣2，﹣2），B（﹣5，﹣4），C（﹣1，﹣5）．
（1）请在网格中画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，位似比为2：1，将△ABC放大得到△A2B2C2，请在网格中画出△A2B2C2（不要超出方格区域）．
（3）求△A2B2C2的面积．
25．如图，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，原点O和△ABC的顶点均为格点．
（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC位似，且位似比为1：2；（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）
（2）若点C的坐标为（2，4），则点A′的坐标为（　 　，　 　），点C′的坐标为（　 　，　 　），S△A′B′C′：S△ABC＝　 　．
26．已知：AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，点P在BC上移动，当以P，C，D为顶点的三角形与△ABP相似时，求PB的长？
27．如图，在 ABCD中，E是AD上一点，延长CE到点F，使CE FC＝DE AD．
（1）求证∠D＝∠F；
（2）用直尺和圆规在AD上作出一点P，使△BPC∽△CDP（保留作图的痕迹，不写作法）．
28．如图，已知△ABC的边BC＝16，高AD＝8，矩形EFGH的边FG在△ABC的边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上，且FG＝6，求边EF长．
参考答案
1．解：∵3x＝4y，
∴除以3y，得＝，
即＝，
故选：C．
2．解：如图，
在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，且＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积＝1：4，
∴△ADE的面积：四边形BDEC的面积＝1：3，
∵△ADE的面积是3cm2，
∴四边形BDEC的面积是9cm2，
故选：B．
3．解：∵△ABC与△A1B1C1是以原点为中心的位似图形，A（3，1），△ABC与△A1B1C1的相似比为，
∴点A的对应点A1的坐标为（3×2，1×2）或（3×（﹣2），1×（﹣2）），即（6，2）或（﹣6，﹣2），
故选：C．
4．解：∵线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB＝×2＝﹣1，
故选：C．
5．解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），
∴OA＝1，OD＝3，即＝，
∵△ABC与△DEF是位似图形，
∴AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴＝＝，
故选：B．
6．解：∵△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝5，
∴相似比为AB：DE＝3：5，
∴其面积之比为9：25．
故选：A．
7．解：∵四边形ABCD和四边形EFGH相似，
∴∠B＝∠F＝78°，∠A＝∠E＝118°，∠C＝∠G＝83°，
∴∠D＝360°﹣78°﹣118°﹣83°＝81°．
故选：A．
8．解：如图，连接AF，在AB上截取AG＝1.5，连接FG，CG，
∵∠BAC＝90°，F为DE中点，
∴AF＝DE＝3，
∴点F在以点A为圆心，AF为半径的圆上，
∵＝，∠GAF＝∠BAF，
∴△AGF∽△AFB，
∴，
∴GF＝BF，
∴BF+CF＝GF+CF，
∴当点G，点F，点C共线时，最小值为GC的长，
∵CG＝＝＝，
∴BF+CF的最小值为，
故选：D．
9．解：∵l1∥l2，
∴＝①，
∵l2∥l3，
∴＝②，
①×②，得＝，
故答案为：．
10．解：由作图可知，BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°，
∴∠ABD＝∠CBD＝36°，
∴BC＝BD＝AD
∴△ABC∽△BCD，
∴，
∴，
∴，
设，
∴1+＝x，
∴x+1＝x2，
∴x2﹣x﹣1＝0，
解得x1＝，x2＝（舍去），
∴AD：DC＝．
故答案为．
11．解：连接CE，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴∠DAE＝∠BAC，
∵∠ADE＝∠ABC，
∴△ABC∽△ADE，
∴＝＝，
∴＝，
∵∠CAE＝∠BAD，
∴△ACE∽△ABD，
∴＝＝，
设CD＝x，
∵CD⊥BD，∠DBC＝30°，
∴BC＝2x，BD＝x，
∴，
∴CE＝x，
在Rt△CDE中，DE＝＝x，
∵，
∴，
∴AD＝．
故答案为：．
12．解：设每个小正方形的面积是1，依题意可得，
AB＝2，BC＝＝2，AC＝＝2，
EC＝＝，DE＝2，CD＝＝，
在△ABC与△CED中，
＝＝＝，
∴△ABC∽△CED，
∴∠BAC＝∠ECD，
∴∠BAC+∠CDE＝∠ECD+∠CDE＝∠CEF＝45°．
故答案为：45°．
13．解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵AE∥CD，
∴△AOE∽△COD，
∴＝＝．
故答案为．
14．解设正六边形OABCDE的中心为H，连接HA、HB，
∵正六边形OABCDE与正六边形OA'B'C'D'E'是于原点O的位似图形，相似比为3：2，点C'（6，0），
∴点C的坐标为（9，0），
∵六边形OABCDE为正六边形，
∴∠AHB＝60°，
∴AB＝AH＝4.5，
∴正六边形OABCDE的周长＝4.5×6＝27，
故答案为：27．
15．解：由题意可得：∠EBA＝∠DBC，∠EAB＝∠DCB，
故△EAB∽△DCB，
则＝，
∵AB＝2m，BC＝8m，AE＝1.6m，
∴＝，
解得：DC＝6.4，
故答案为：6.4．
16．解：如图，过点P作PH⊥A 于H，过点G作GM⊥CD于M，过点B作BN⊥EC于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝4，∠BAF＝∠CDE＝90°，
∵AE＝DF，
∴AF＝DE，
∴△BAF≌△CDE（SAS），
∴∠ABF＝∠DCE，
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠PCB＝∠PBC＝60°，
∴△PBC是等边三角形，
∴PB＝BC＝PC＝4，
∵GM⊥CD，∠GDM＝45°，
∴DM＝GM，设DM＝GM＝x，
在Rt△GCM中，∵∠GCM＝30°，
∴CM＝GM＝x，CG＝2GM＝2x，
∴x+x＝4，
∴x＝6﹣2，
∴CG＝12﹣4，PG＝PC﹣CG＝4﹣（12﹣4）＝8﹣12，
在Rt△BCN中，BN＝6，
在Rt△PBH中，PH＝2
∴S四边形ABGP＝S△ABP+S△PBG＝ AB PH+ PG BN＝××+×（8﹣12）×6＝24﹣24．
方法二：连接AG交BP于O，证明AG⊥BP．根据四边形的面积＝ BP AG计算即可．
由△BGC≌△BGA，推出∠BAG＝∠BCG＝60°，可得∠AOB＝90°．
故答案为24﹣24．
17．解：（1）∵线段m＝8，n＝2，
∴线段m、n的比例中项＝，
（2）设，
可得：x＝3k，y＝5k，
把x＝3k，y＝5k代入x+y＝24，
可得：3k+5k＝24，
解得：k＝3，
所以x＝3×3＝9，y＝3×5＝15．
18．解∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴C＝∠G，∠A＝∠E＝118°，，
∵四边ABCD，
∴∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠C＝80°，
∴∠α＝∠G＝80°，
∵AB＝12，EF＝6，FG＝7，
∴，
∴x＝14．
19．解：由射影定理得，AC2＝AD AB，即32＝AD （AD+），
解得，AD＝，
∴CD＝＝＝，
BC＝＝＝4，
20．解：（1）设∠B＝x，
∵BD＝DC，
∴∠DCB＝∠B＝x，
∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，
∵AC＝DC，
∴∠A＝∠ADC＝2x，
∵∠ACE＝∠B+∠A，
∴x+2x＝108°，解得x＝36°，
即∠B的度数为36°；
（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．
理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，
∴△DBC为黄金三角形；
∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，
而∠A＝2×36°＝72°，
∴∠A＝∠ACB，
而∠B＝36°，
∴△ABC为黄金三角形；
∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，
而CA＝CD，
∴△CAD为黄金三角形；
②∵△BAC为黄金三角形，
∴＝，
而BC＝2，
∴AC＝﹣1，
∴CD＝CA＝﹣1，
∴BD＝CD＝﹣1，
∴AD＝AB﹣BD＝2﹣（﹣1）＝3﹣．
21．证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA+∠ABO＝90°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠ACB，
∴∠OBC+∠ABO＝∠PBA+∠ABO＝90°，
∴∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．
22．解：（1）如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝BC＝6，AD∥BC，
∴△AEF∽△CEB，
∴＝，即＝，
解得BE＝3；
（2）如图所示，△CPQ即为所求．
23．解：（1）分别过O、E作ON⊥CD于N，EM⊥CD于M，
∵CD＝10，
∴四边形ODEC＝S△OCD+S△CDE＝≤CD OE
＝
＝60，
此时OM、EN、OE重合，
∵ON CD＝OC OD，
∴10×ON＝6×8，
∴ON＝，
∴；
延长OB至点G，使BG＝OB，连接GE、GC、DE，
则，
∵点D为OB的中点，OB＝OE，
∴，
∴，
又∠DOE＝∠EOG，
∴△DOE∽△EOG，，
∴EG＝2DE，
∴CE+2DE＝CE+EG，
当C、E、G三点在同一直线上上时，CE+EG最小，CO＝OA﹣AC＝12﹣4＝8，OG＝OB+BG＝12+12＝24，
此时，
故CE+2DE有最小值为．
24．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A2B2C2的面积＝4S△ABC＝4（4×3﹣×4×1﹣×3×1﹣×3×2）＝22．
25．解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求；
（2）A′（﹣1，0），
C′（1，2），
S△A′B′C′：S△ABC＝1：4．
故答案为：﹣1，0；1，2；1：4．
26．解：（1）当△ABP∽△PCD时，＝，
则＝，
解得BP＝2或BP＝12；
（2）当△ABP∽△DCP时，＝，
则＝，
解得BP＝5.6．
综合以上可知，当BP的值为2，12或5.6时，两三角形相似．
27．（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠CED＝∠BCE，
∵CE FC＝DE AD，
∴＝，
∴＝，
而∠CED＝∠BCF，
∴△CED∽△BCF，
∴∠D＝∠F；
（2）解：如图，点P为所作．
28．解：设AD与EH相交于点P，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥FG且EH＝FG＝6，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴AP⊥EH，
∴，
设EF＝x，则PD＝EF＝x，
∵AD＝8，AP＝8﹣x，BC＝16，
∴，
∴x＝5，
∴EF＝5．

展开更多......

收起↑