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第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.1 函数的单调性
学案
一、学习目标
1.经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景.
2.了解导函数的概念，理解导数的几何意义
3.根据导数的几何意义，会用导数的概念求简单函数在某点处的导数及曲线的切线方程.
二、基础梳理
1.函数的单调性与导数的关系：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减.
2.判断函数的单调性的步骤：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数的零点；
第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.
3.函数的变化快慢与导数的关系：一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.
三、巩固练习
1.函数的单调增区间是( )
A.， B.
C. D.
2.函数在上的单调性是( )
A.单调递增
B.单调递减
C.在上单调递减，在上单调递增
D.在上单调递增，在上单调递减
3.已知函数，当时，下列关系正确的是( )
A. B.
C. D.
4.函数在定义域内可导，其图象如图所示，则其导函数的图象的大致形状是( )
A. B.
C. D.
5.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.和
6.已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数的单调递减区间是，则的值为( )
A. B. C. D.4
8.函数的图像如图所示，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
9.已知函数.若存在，使得成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.已知定义在上的函数的导函数，且，则实数m的取值范围为__________.
11.函数在区间上的单调增区间为_____________.
12.若函数的单调递减区间是，则其单调递增区间为__________，实数m的值为____________.
13.若函数在区间上具有单调性，则a的取值范围是______.
14.已知函数，a为实数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若在区间上是减函数，求实数a的取值范围.
15.已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若，求实数x的取值范围.
答案以及解析
1.答案：A
解析：因为，所以.令，得或，所以函数的单调增区间为，.
2.答案：C
解析：由已知得函数的定义域为，，令，得；令，得，函数在上单调递减，在上单调递增.
3.答案：A
解析：由题意得，当时，，所以在上单调递增.
又，所以.由在上单调递增，可知当时，，所以.综上.
4.答案：D
解析：由函数的图象知当时，单调递减，所以；当时，先单调递增，后单调递 ，最后再单调递增，所以先正后负，最后再为正.故D正确.
5.答案：B
解析：的定义域为R，且，当时，，在上单调递增，所以的单调递增区间为.故选B.
6.答案：B
解析：，由题意，可知在R上恒成立，，解得.
7.答案：B
解析：由题知，由于函数的单调递减区间是，所以，是的两个零点，根据一元二次方程根与系数的关系得，，解得，所以.故选B.
8.答案：A
解析：当时，，解不等式，得.
当时，，解不等式，得.
当时，，解不等式，无解.
综上，不等式的解集为，故选A.
9.答案：C
解析：由成立，可得，设，则存在，使得成立，即，又，当且仅当，即时取等号，所以.故选C.
10.答案：
解析：因为，所以函数在上单调递增，所以，解得.
11.答案：，
解析：因为，由，即，解得.又，所以或，故函数的单调增区间是，.
12.答案：；
解析：.因为的单调减区间是，所以的两个根分别为，，所以的单调递增区间是；
由，解得.
13.答案：
解析：，函数在区间上具有单调性等价于或在上恒成立，则或，即或.
14.解析：（1），
当，即时，，则在R上单调递增；
当，即时，由，得或，由，得，
所以在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减.
（2）由已知，得在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
当时，；当时，.
又在区间上单调递增，所以当时，，则.
综上，实数a的取值范围为.
15.解析：（1）函数的定义域为，
，.
，，，
当时，，
的单调递增区间为.
（2），，
由（1）知在上单调递增，又，
，可得，
解得或.
故实数x的取值范围为.

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