资源简介

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专题15 双曲线
重点题型
题型一、双曲线的定义（理解）
1．曲线与方程（多是利用定义求方程）
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
定义式：.
注意：当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；
当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；
当时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；
当时，动点轨迹不存在．
2．求双曲线方程的两种方法:
①定义法.根据双曲线的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出双曲线方程.
②待定系数法.
求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.
注:求双曲线方程的快速小技巧
（1）在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.
（2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为．
（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或．
（4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为
．
（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．
（6）与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为．
题型二、双曲线的标准方程及简单几何性质（熟记）
焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
渐近线方程
范围 ， ，
顶点
焦点
之间的大小关系 ，a＞0，b＞0
对称性 对称轴：轴，轴，对称中心：原点
离心率 ，
题型三、双曲线的综合问题
1．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率．
2．求双曲线的离心率及其取值范围的方法
（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.
（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.
（3）求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
3．弦长问题
（1）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
4．一些解题的快速小技巧：
（1）焦点到渐近线的距离为B．
（2）直线与双曲线相交于，其中点为，则，若双曲线方程为，则.
考点集训
一、单选题
1．双曲线的一个焦点为，则的值为( )
A． B． C． D．
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A．－y2＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
3．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A．2a2 B．a2
C．30a2 D．15a2
6．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知双曲线的左焦点，过点在且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，的面积为，则到双曲线渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
8．已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．14
10．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点 B．双曲线与的渐近线相同
C．双曲线的虚轴长为 D．直线上存在点在双曲线上
11．设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则（ ）
A． B．C的焦距为
C．C的离心率为 D．的面积为
12．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）
13．已知抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，点在抛物线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为
C． D．点到抛物线焦点的距离为6
14．已知双曲线的离心率为2，点，是上关于原点对称的两点，点是的右支上位于第一象限的动点（不与点、重合），记直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与可能有两条公切线
B．
C．存在点，使得
D．当时，点到的两条渐近线的距离之积为3
三、填空题
15．双曲线（）的一条渐近线的方程为，则双曲线的实轴长为_____．
16．双曲线的顶点到渐近线的距离为_____________.
17．若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为_____________.
18．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，.若，且在，之间，则________．
19．已知过原点的直线与双曲线交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，，则的离心率为______.
20．P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.
四、解答题
21．已知双曲线：（，）的离心率，其焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线交双曲线于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程.
22．已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
23．已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
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专题15 双曲线
重点题型
题型一、双曲线的定义（理解）
1．曲线与方程（多是利用定义求方程）
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．
这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
定义式：.
注意：当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；
当时，曲线仅表示焦点所对应的双曲线的一支；
当时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；
当时，动点轨迹不存在．
2．求双曲线方程的两种方法:
①定义法.根据双曲线的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出双曲线方程.
②待定系数法.
求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.
注:求双曲线方程的快速小技巧
（1）在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.
（2）与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程可设为．
（3）若双曲线的渐近线方程为，则双曲线方程可设为或．
（4）与双曲线(a＞0，b＞0)共焦点的双曲线方程可设为
．
（5）过两个已知点的双曲线的标准方程可设为．
（6）与椭圆(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为．
题型二、双曲线的标准方程及简单几何性质（熟记）
焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程 (a＞0，b＞0) (a＞0，b＞0)
渐近线方程
范围 ， ，
顶点
焦点
之间的大小关系 ，a＞0，b＞0
对称性 对称轴：轴，轴，对称中心：原点
离心率 ，
题型三、双曲线的综合问题
1．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率．
2．求双曲线的离心率及其取值范围的方法
（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.
（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.
（3）求解双曲线的离心率的范围，一般是根据条件，结合和，得到关于的不等式，求解即得.注意区分双曲线离心率的范围，椭圆离心率的范围.另外，在建立关于的不等式时，注意双曲线上的点到焦点的距离的最值的应用.
3．弦长问题
（1）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
（2）AB为双曲线的弦，，弦中点M(x0，y0)，则AB所在直线的斜率为，弦AB的斜率与弦中点M和双曲线中心O的连线的斜率之积为定值.
4．一些解题的快速小技巧：
（1）焦点到渐近线的距离为B．
（2）直线与双曲线相交于，其中点为，则，若双曲线方程为，则.
考点集训
一、单选题
1．双曲线的一个焦点为，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于双曲线的一个焦点为，则，，，
由可得，因此，.故选D．
2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是( )
A．－y2＝1 B．－＝1
C．x2－＝1 D．－＝1
【答案】C
【解析】由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点组成一个等边三角形，可得解得∴双曲线C的标准方程是x2－＝1.
3．双曲线的两个焦点为，，双曲线上一点到的距离为8，则点到的距离为（ ）
A．2或12 B．2或18 C．18 D．2
【答案】C
【解析】由双曲线定义可知：，解得或（舍）∴点到的距离为18，
故选C．
4．双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
【答案】A
【解析】法一　由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，即＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
法二　由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x.
5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10a，则△AF1F2的面积为( )
A．2a2 B．a2
C．30a2 D．15a2
【答案】D
【解析】由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝2a，∴△AF1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋4a，又△AF1F2的周长为10a，∴|AF1|＋|AF2|＝6a，又∵|AF1|－|AF2|＝2a，
∴|AF1|＝4a，|AF2|＝2a，在△AF1F2中，|F1F2|＝4a，
∴cos ∠F1AF2＝＝＝.
又0<∠F1AF<π，∴sin ∠F1AF2＝，∴S△AF1F2＝|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2＝×4a×2a×＝a2.
6．设，是双曲线的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为，则，，
，，在中，，
在中，，，即，
，故选C．
7．已知双曲线的左焦点，过点在且与轴垂直的直线与双曲线交于，两点，为坐标原点，的面积为，则到双曲线渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为双曲线的左焦点，所以c=1，即.
设，代入，解得：，即，所以,
所以的面积为.又有，解得：，.
所以渐近线方程：，所以到双曲线渐近线的距离为.故选D.
8．已知分别为双曲线的左右焦点，是双曲线上的一点且满足，则此双曲线离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，，，即，
，可得，即，即，又即，又，即，
所以，即，即，可得，
，即，故选．
二、多选题
9．已知双曲线上一点到左焦点的距离为10，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．3 B．6 C．7 D．14
【答案】AC
【解析】连接，是的中位线，∴，
∵，，∴或6，∴或3.故选AC．
10．已知双曲线，则（ ）
A．双曲线的焦点 B．双曲线与的渐近线相同
C．双曲线的虚轴长为 D．直线上存在点在双曲线上
【答案】BD
【解析】因为双曲线，焦点在轴上，所以，，，渐近线方程，
故A错，B对，C错
又，直线与双曲线相交，故D对.
故选BD.
11．设，分别是双曲线的左右焦点，过作轴的垂线与C交于A，B两点，若为正三角形，则（ ）
A． B．C的焦距为
C．C的离心率为 D．的面积为
【答案】ACD
【解析】设，则，，离心率，选项C正确.
因此，，选项A正确.
，选项B错误.
的面积为，选项D正确.
故选ACD．
12．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．直线与轴垂直 B．的离心率为
C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）
【答案】AB
【解析】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；
不妨设点在第一象限，易知，，，即点，
设，由，得，所以，
所以，即．
因为点在双曲线上，所以，整理得，
所以，解得或（负值舍去），B正确；
，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；
不妨设点在第一象限，则，所以，D错误．
故选AB．
13．已知抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，点在抛物线上，则（ ）
A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线为
C． D．点到抛物线焦点的距离为6
【答案】AC
【解析】由双曲线，可得，则，
所以双曲线的离心率为，所以A正确；
由双曲线的渐近线为，所以B错误；
由抛物线焦点与双曲线点的一个焦点重合，可得，解得，所以C正确；
由抛物线的准线方程为，则点到其准线的距离为，到焦点的距离也为4，所以D错误.
故选AC．
14．已知双曲线的离心率为2，点，是上关于原点对称的两点，点是的右支上位于第一象限的动点（不与点、重合），记直线，的斜率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A．以线段为直径的圆与可能有两条公切线
B．
C．存在点，使得
D．当时，点到的两条渐近线的距离之积为3
【答案】ABD
【解析】当点，分别是的左、右顶点时，圆与恰有两条公切线，故A正确；
设，，，则，则，
所以，故B正确；
，故C错误；
当时，，渐近线方程为，即，
点到两条渐近线的距离之积为，
双曲线，点是的右支上位于第一象限，则，
整理可得，代入上式可得，故D正确．
故选ABD．
三、填空题
15．双曲线（）的一条渐近线的方程为，则双曲线的实轴长为_____．
【答案】1
【解析】因为双曲线（），所以双曲线的渐近线方程为，又因为渐近线的方程为，即，所以，则，所以实轴长为，
16．双曲线的顶点到渐近线的距离为_____________.
【答案】
【解析】由题知双曲线中,,焦点在轴上,所以顶点坐标为,渐近线方程为:,
由双曲线的对称性,不妨求顶点到渐近线的距离
所以双曲线的顶点到渐近线的距离为，故选A.
17．若是双曲线的右支上的一点,分别是圆和 上的点,则的最大值为_____________.
【答案】
【解析】双曲线中，，，，，，
因为分别是圆和 上的点，所以，
，，，，
所以，故答案为．
18．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，.若，且在，之间，则________．
【答案】
【解析】双曲线中，，所以，设，
因为，所以点为线段的中点，则．
又点在直线，则，解得，所以，
此时，．
19．已知过原点的直线与双曲线交于不同的两点，，为双曲线的左焦点，且满足，，则的离心率为______.
【答案】3
【解析】设双曲线的右焦点为,如图连结，
由直线与双曲线都关于原点对称，可得四边形为平行四边形，所以,
由双曲线的定义可得：，所以
,在中， ，
在中，，
化简整理得：，再由，得，得，故答案为.
20．P是双曲线右支在第一象限内一点，，分别为其左、右焦点，A为右顶点，如图圆C是的内切圆，设圆与，分别切于点D，E，当圆C的面积为时，直线的斜率为______.
【答案】
【解析】由题意可知，，，
所以，
设，则，即，
设圆C的半径为，因为圆C的面积为，则，
因为，所以，于是，
因为是的角平分线，
所以，
所以，即直线的斜率为.故答案为：.
四、解答题
21．已知双曲线：（，）的离心率，其焦点到渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线交双曲线于，两点，且以为直径的圆过坐标原点，求直线的方程.
【解析】（1）双曲线：（，）的焦点，渐近线方程为，即，因为到渐近线的距离等于，所以，所以，又因为离心率，即，因为，所以，，所以双曲线方程为
（2）由已知可得，直线的斜率存在，设直线，，
，消去得，
所以即，又，所以，，所以以为直径的圆过坐标原点，所以，即，所以，解得，所以直线方程为.
22．已知双曲线的方程为，椭圆的方程为，双曲线右焦点到双曲线渐近线的距离为，椭圆的焦点为，，短轴端点为，．
（1）求双曲线的方程与椭圆的方程；
（2）过点作椭圆的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点．
【解析】（1）因为双曲线的右焦点为到双曲线渐近线的距离为，不妨设渐近线方程为，所以.
在椭圆中，因为，则，又，所以，
所以双曲线的方程为，椭圆的方程为．
（2）根据题意可得当直线与直线的斜率存在且不为0时，
设直线的方程为，则直线的方程设为，
联立，消去，可得，
则．
设，，则，，
所以的中点．同理可得的中点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，整理可得，
所以直线恒过定点；
当直线的斜率不存在时，弦的中点，的中点，
此时过弦，的中点的直线为，经过定点．
综上可得，过两弦，中点的直线恒过定点．
23．已知双曲线的实半轴长为1，且上的任意一点到的两条渐近线的距离乘积为
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线过双曲线的右焦点，与双曲线相交于两点，问在轴上是否存在定点，使得的平分线与轴或轴垂直？若存在，求出定点的坐标；否则，说明理由．
【解析】（1）由题意可得：，所以双曲线
所以渐近线方程为，
设，则，即，
因为在双曲线上，所以，即，
所以，解得：，
所以双曲线的方程为：.
（2）假设存在，使得的平分线与轴或轴垂直，则可得，
，设，，直线，
由可得：，
所以，，
所以，
即恒成立，
整理可得：，
所以
即，
所以，
所以，解得，
所以存在点使得的平分线与轴或轴垂直.
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