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高二数学选择性必修第一册：圆的方程
第一部分：弦长计算
一、计算弦长的题型。
（1）计算弦长的题型原理，如下表所示：
题型 题型：已知：圆：，直线：，直线 与圆相交于、两点。计算：弦长的长度。
解法设计 解：过点作直线的垂线，垂足为。如下图所示： 是等腰三角形， 是的中点。 根据点到直线的距离公式得到： 。 在中：根据勾股定理得到： 。
（2）计算弦长的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程： 与直线： 相交于、两点。计算：长度。 解：如下图所示： 圆心到直线 的距离：。 在中：根据勾股定理得到： 。
例题二：已知：圆的方程： 与直线： 相交于两点、。计算：长度。 解：如下图所示： 圆心到直线 的距离：。 在中：根据勾股定理得到： 。 所以：。
（3）计算弦长的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆： 与直线相交于、两点。计算：的长度。 解：
训练二：已知：圆： 与直线相交于、两点。计算：的长度。 解：
（4）计算弦长的参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
二、计算弦长的最值的题型。
（1）计算弦长的最值的题型原理，如下表所示：
题型 题型：已知：点是圆内一点，过点的直线与圆相交于两点。计算：弦长的最大值和最小值。
解法设计 解：最短弦长：过点作的垂线交圆相交于两点。如下图所示： 根据两点之间距离公式得：。 在中：根据勾股定理得到： 。 所以：弦长的最小值：。 最长弦长：连接交圆相交于两点。如下图所示： 最长弦长为圆的直径。
（2）计算弦长的最值的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：过点的直线与圆相交于、两点。 计算：弦长的取值范围。 解：圆 圆心，半径。 。 。 的最大值为直径：。 所以：。
例题二：过点的直线与圆相交于、两点。计算：弦长的取值范围。 解：圆圆心， 半径。 。 。 的最大值为直径：。 所以：。
（3）计算弦长的最值的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：过原点的直线与圆相交于、两点。 计算：弦长的取值范围。 解：
训练二：过原点的直线与圆相交于、两点。 计算：弦长的取值范围。 解：
（4）计算弦长的最值的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
第二部分：切线计算
一、计算切线长的题型。
（1）计算切线长的题型原理，如下表所示：
题型 题型：已知：点是圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为。计算：切线长的长度。
解法设计 解：如下图所示： 根据圆心和切点连线垂直于切线得：，。 根据两点之间距离公式得：。 根据勾股定理得：。 。 所以：切线长。
（2）计算切线长的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程，点的坐标为，过点作圆的切线。 计算：切线长。 解：如下图所示： 根据两点之间的距离公式得到： 。 在中：根据勾股定理得到： 切线长为。
例题二：已知：圆的方程，点的坐标为，过点作圆的切线。 计算：切线长。 解：如下图所示： 根据两点之间的距离公式得到： 。 在中：根据勾股定理得到： 。 所以：切线长为。
（3）计算切线长的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程，点的坐标为，过点作圆的切线。 计算：切线长。 解：
训练二：已知：圆的方程，点的坐标为，过点作圆的切线。 计算：切线长。 解：
（4）计算切线长的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：切线长： 训练二：切线长：
二、过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值的题型。
（1）过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值的题型原理，如下表所示：
题型 题型：已知：点为直线上一点，过点作圆： 的切线。计算：切线长的最小值。
解法设计 解法一：假设：点，点在直线上①。 根据两点之间距离公式得：。 在中：根据勾股定理得到： 。 把①代入得到： 在对称轴取得最小值。 解法二：过圆心作直线的垂线，垂足为点时，切线长最小。 根据点到直线距离公式得到圆心到直线的距离： 。在中：根据勾股定理得到： 。
（2）过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程： ，点为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和。 计算：切线的最小值。 解法一：点①。如下图所示： 。 把①代入得到： 。对称轴： 在处取得最小值：。 的最小值：。 解法二：过圆心作直线的垂线，垂足为点时，切线长最小。 圆心到直线的距离： 。 在中：根据勾股定理得到： 。
例题二：已知：圆的方程： ，点为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和。 计算：切线的最小值。 解法一：点①。如下图所示： 。 把①代入得到： 。对称轴：。 在处取得最小值：。 所以：切线长的最小值：。 解法二：过圆心作直线的垂线，垂足为点时，切线长最小。 圆心到直线的距离： 。 在中：根据勾股定理得到： 。 所以：切线长的最小值：。
（3）过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程： ，点为直线： 上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和。 计算：切线的最小值。 解：
训练二：已知：圆的方程： ，点为直线：上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和。 计算：切线的最小值。 解：
（4）过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值的参考答案，如下表所示：
训练一：最小值： 训练二：最小值：
三、过圆上一点作圆的切线的题型。
（1）过圆上一点作圆的切线的题型原理，如下表所示：
题型 已知：圆，点为圆上一点（满足： ），过点作圆的切线。 计算：切线的方程。
解法设计 解：如下图所示： 根据斜率计算式得到：。 根据圆上一点与切点连线与切线垂直得到： 。 根据直线点斜式方程得到切线的方程：。
（2）过圆上一点作圆的切线的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程： ，点， 过点作圆的切线。 计算：切线的方程。 解：圆心，点。 。 切线的方程：。
例题二：已知：圆的方程： ，点， 过点作圆的切线。 计算：切线的方程。 解：圆心，点。 。 切线的方程：。
（3）过圆上一点作圆的切线的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程： ，过原点作圆的切线。 计算：切线的方程。 解：
训练二：已知：圆的方程： ，点， 过点作圆的切线。 计算：切线的方程。 解：
（4）过圆上一点作圆的切线的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
四、过圆外一点作圆的切线的题型。
（1）过圆外一点作圆的切线的题型原理，如下表所示：
题型 题型：已知：圆，点为圆外一点（满足： ），过点作圆的两条切线。 计算：两条切线的方程。
解法设计 解：如下图所示： 假设：切线斜率为。根据直线点斜式方程得切线方程： 。 根据圆心到切线的距离等于半径得到： 解方程得到斜率的值。 第一种情况：方程有两个解。 把两个解代入切线方程得到两个切线方程。 第二种情况：方程有一个解。 把这个解代入切线方程得到第一个切线方程。 第二个切线方程无斜率，过点第二个切线方程。
（2）过圆外一点作圆的切线的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程： ，过原点作圆的两条切线。 计算：两条切线的方程。 解：假设：切线斜率为，切线过原点 切线方程：。 根据圆心到切线的距离等于半径得到： 。 第一个切线方程：。 第二个切线方程无斜率，过原点。
例题二：已知：圆的方程： ，过作圆的两条切线。 计算：两条切线的方程。 解：假设：切线方程为，过 切线方程：。 根据圆心到切线的距离等于半径得到： 切线方程：。
（3）过圆外一点作圆的切线的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程： ，过作圆的两条切线。 计算：两条切线的方程。 解：
训练二：已知：圆的方程： ，过作圆的两条切线。 计算：两条切线的方程。 解：
（4）过圆外一点作圆的切线的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一：切线一： 切线二： 训练二：切线一： 切线二：
五、过圆外一点直线与圆相交，直线倾斜角取值范围的题型。
（1）过圆外一点直线与圆相交，直线倾斜角取值范围的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程： ，点，过点的直线与圆相交。 计算：的倾斜角取值范围。 解：假设：过点的切线斜率为，过点 切线方程：。 根据圆心到切线的距离等于半径得到： 。如下图所示： 直线的倾斜角：； 直线的倾斜角：； 直线与圆相交得到： 所以：直线倾斜角范围：。
例题二：已知：圆的方程： ，过点的直线与圆相交。 计算：的倾斜角取值范围。 解：假设：过点的切线斜率为，过点 切线方程：。 根据圆心到切线的距离等于半径得到： 。如下图所示： 直线的倾斜角：； 直线的倾斜角：； 直线与圆相交得到： 所以：直线倾斜角范围：。
（2）过圆外一点直线与圆相交，直线倾斜角取值范围的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程： ，点，过 点的直线与圆相交。 计算：的倾斜角取值范围。 解：
训练二：已知：圆的方程： ，点，过点的直线与圆相交。 计算：的倾斜角取值范围。 解：
（3）过圆外一点直线与圆相交，直线倾斜角取值范围的参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
第三部分：距离最值计算
一、计算圆外一点到圆上一点距离最值的题型。
（1）计算圆外一点到圆上一点距离的最值的题型原理，如下表所示：
题型 题型：已知：圆的方程：，点为圆外一点（满足），点为圆上一点。 计算：的取值范围。
解法设计 解：根据两点之间距离公式得到：。 如下图所示：
（2）计算圆外一点到圆上一点距离的最值的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程： ，点为圆上一点，点。 计算：的取值范围。 解：圆心。根据两点之间距离公式得到： 。 ；。 所以：的取值范围：。
例题二：已知：圆的方程： ，点为圆上一点，点。 计算：的取值范围。 解：圆心。根据两点之间距离公式得到： 。 ；。 所以：的取值范围：。
（3）计算圆外一点到圆上一点距离的最值的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程： ，点 为坐标原点，为圆上一点。 计算：的取值范围。 解：
训练二：已知：圆的方程： ，点，点为圆上一点。 计算：的取值范围。 解：
（4）计算圆外一点到圆上一点距离的最值的参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
二、计算圆上一点到直线距离最值的题型。
（1）计算圆上一点到直线距离最值的题型原理，如下表所示：
题型 题型：已知：点为圆的方程：，直线：。 计算：点到直线的距离。
解法设计 解：圆心到直线：的距离：。 如下图所示：
（2）计算圆上一点到直线距离最值的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程：，直线：，点为圆上一点。计算：点到直线距离的取值范围。 解：圆心到直线：的距离： 。 ；。 所以：。
例题二：已知：圆的方程：，直线：，点为圆上一点。计算：点到直线距离的取值范围。 解：圆心到直线的距离： 。 ，。 所以：。
（3）计算圆上一点到直线距离最值的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程：，直线：，点为圆上一点。计算：点到直线距离的取值范围。 解：
训练二：已知：圆的方程：，直线：，点为圆上一点。计算：点到直线距离的取值范围。 解：
（4）计算圆上一点到直线距离最值的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
第四部分：两个圆公共弦计算
一、计算两个相交圆的公共弦的题型。
（1）计算两个相交圆的公共弦的题型原理，如下表所示：
题型 解法设计
题型：已知：圆的方程： ， 圆的方程： ，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的方程。 解：如下图所示：两个圆方程相减为公共弦方程。 ① ② ①②相减得到公共弦方程： 所以：公共弦：。
（2）计算两个相交圆的公共弦的例题讲解，如下表所示：
例题 解法设计
例题一：已知：圆的方程，圆的方程，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的方程。 解：圆 ①。 圆 ②。 ①②相减得到公共弦方程：。
例题二：已知：圆的方程，圆的方程，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的方程。 解：圆 ①。 圆②。 ①②相减得到公共弦方程： 。
（3）计算两个相交圆的公共弦的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程，圆的方程，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的方程。 解：
训练二：已知：圆的方程，圆的方程，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的方程。 解：
（4）计算两个相交圆的公共弦的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：
二、计算两个相交圆的公共弦弦长的题型。
（1）计算两个相交圆的公共弦弦长的例题讲解，如下表所示：
例题讲解 解法设计
例题一：已知：圆的方程，圆的方程，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的长度。 解：第一步：计算公共弦的方程。 圆 ①。 圆 ②。 ①②相减得到公共弦方程：。 第二步：用其中一个圆计算弦长。如下图所示： 。 在中，勾股定理得： 。 所以：公共弦长度：。
例题二：已知：圆的方程，圆的方程，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的长度。 解：第一步：计算公共弦的方程。 圆 ①。 圆②。 ①②相减得到公共弦方程： 。 第二步：用其中一个圆计算弦长。如下图所示： 。 在中： 。 所以：公共弦长度：。
（2）计算两个相交圆的公共弦弦长的跟踪训练，如下表所示：
跟踪训练 解答区域
训练一：已知：圆的方程，圆的方程，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的长度。 解：
训练二：已知：圆的方程，圆的方程，圆与圆相交于、两点。 计算：公共弦的长度。 解：
（3）计算两个相交圆的公共弦弦长的跟踪训练参考答案，如下表所示：
训练一： 训练二：

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