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(共20张PPT)
第二章 平面解析几何初步
2.2.3 直线的一般式方程
教学目标
直线的一般式方程（重点）
01
理解二元一次方程能表示所有直线（重点、难点）
02
掌握各直线方程形式之间的转化（重点）
03
直线的一般式方程
学科素养
二元一次方程能表示所有直线
逻辑推理
各直线方程形式之间的转化
数学运算
直线的一般式方程
01
知 识 回 顾
Retrospective Knowledge
直线的方程
名称 已知条件 方程 适用范围
点斜式 过点 P0(x0， y0)，斜率为 k
斜截式 纵截距为 b， 斜率为 k
两点式 过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
截距式 横截距和纵截距分别为 a 和 b
y －y0 = k (x－x0)
y = k x + b
(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)=0
不表示垂直x轴的直线
即斜率不存在的直线
所有直线
不表示垂直于坐标轴和经过原点的直线
不表示垂直x轴的直线
即斜率不存在的直线
02
新 知 探 索
New Knowledge explore
前面学习的几种直线的方程形式都是二元一次方程．很自然地，我们会提出问题：
1．平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？
2．每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
问题1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗
对于问题1，我们知道，平面直角坐标系中的直线可以分为两类：一类与x轴不垂直，一类与x轴垂直．
（1）过点 P(x0，y0)且与x轴不垂直的直线方程都可以写成点斜式
y－y0=k(x－x0)，它可化为kx－y－kx0+y0=0的形式，此方程是关于x，y的二元一次方程；
（2）而过点P(x0，y0)且垂直于x轴的直线方程为x=x0，它可化为
x+0·y－x0=0，可以认为是关于x，y的二元一次方程．
由此可知，平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程 Ax十By+C=0（A，B不同时为0）来表示．
问题2 每一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？
对于问题2，判断任意一个二元一次方程 Ax＋By+C=0（A，B不同时为0）是否表示一条直线，就看能否把它化成直线方程的一种形式．
（1）当B≠0时，方程变形为
它表示过点 ，斜率为 的直线．
（2）当B=0时，由于A，B不同时为0，必有A≠0，于是方程可化为
它表示一条与y轴平行或重合的直线.
根据以上的讨论，可得到下面的结论：关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
平面直角坐标系中任意一条直线都可以用关于x，y的二元一次方程 Ax十By+C=0（A，B不同时为0）来表示．
关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．
我们把方程
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）
称为直线的一般式方程，简称一般式．
例6 已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0．
（1）求直线 l 的斜率；
（2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
解： （1）将直线 l 的一般式方程化为斜截式，得到
因此直线 l 的斜率为 ．
例6 已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0．
（2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
解：（2）如图，设直线 l 交x轴于点A(a，0)，
交y轴于点B(0，b)．
对于直线方程3x十4y－12=0，令y=0，得x=4；
令x =0，得y=3．
于是得a=4，b=3 ．
因此
例6 已知直线 l 的方程为3x十4y－12=0．
（2）求直线 l 与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
解：（2）设直线 l 交x轴于点A(a，0)，交y轴于点B(0，b)．
将直线的一般式方程3x十4y－12=0化为截距式，
得到：
于是得a=4，b=3 ．
因此
练习1 直线Ax+By+C=0通过第一、二、三象限，则
A．AB>0，AC>0 B．AB>0，AC<0
C．AB<0，AC>0 D．AB<0，AC<0
C
解：
03
拓 展 提 升
Expansion And Promotion
练习2 设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且│PA│=│PB│，若直
线PA的方程为x－y－1=0，则直线PB的方程是
A．2y－x－4=0 B．2x－y－1=0 C．x＋y－3=0 D．2x＋y－7=0
C
04
归 纳 总 结
Sum Up
我们把方程
Ax十By+C=0（A，B不同时为0）
称为直线的一般式方程，简称一般式．
（1）当B≠0时，方程变形为
它表示过点 ，斜率为 的直线．
（2）当B=0时，方程可化为
它表示一条与y轴平行或重合的直线.
05
课 后 作 业
Homework After Class
P67 练习
第1题，第2题

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