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课时20 动量守恒定律及其应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、知道动量守恒定律的内容和适用条件；
2、知道弹性碰撞和非弹性碰撞；
3、能用动量守恒定律定量分析一维碰撞问题；
4、知道弹性碰撞和非弹性碰撞；
5、能用动量守恒定律定量分析一维碰撞问题；
6、知道动量守恒定律的普遍意义；
7、会从动量和能量的角度分析碰撞问题。
1.物理观念：碰撞、反冲。
理解碰撞、反冲的定义及物理意义。
2.科学思维：动量守恒定律、人船模型、“木块-滑块”模型、“子弹打木块”模型、“含弹簧″模型。
理解系统动量守恒的条件、会应用动量守恒定律解决基本问题、会分析、解决动量守恒定律的临界问题。
3.科学态度与责任：现代航天技术与反冲。
体会用守恒定律分析的方法，体会自然界的和谐与统一。
4.科学探究：验证动量守恒定律通过实验，了解弹性碰撞和非弹性碰撞的特点。
知识点一：动量守恒定律的理解和基本应用
1.内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0,这个系统的总动量保持不变，
这就是动量守恒定律。
2.动量守恒定律的表达式
（1)p=p'即系统相互作用前的总动量p和相互作用后的总动量p'大小相等、方向相同．
（2)ΔP=P'-P=0.即系统总动量的增量为零．
（3)ΔP1=-ΔP2.即相互作用的两个物体动量的增量等大反向．
（4)m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'.相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作
用后的动量和。
3.动量守恒定律成立的条件
（1)理想条件：系统不受外力作用或所受外力之和为零．
（2)近似条件：系统所受合外力不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象
中，系统的动量可看成近似守恒。
（3)单方向的动量守恒条件：若系统在某方向上所受合力为零，则系统在该方向上动量守恒。
4.从“五性”理解动量守恒定律
（1)系统性：动量守恒定律反映的是两个或两个以上物体组成的系统，在相互作用过程中
的动量变化规律，所以动量守恒定律的研究对象是一个系统，而不是单个物体。
（2)矢量性：动量守恒定律的表达式是一个矢量式，其矢量性表现在：
①系统的总动量在相互作用前后，不仅大小相等，方向也相同，因此系统初状态总动量的方向决定了末状态总动量的方向；
②在求初、末状态系统的总动量时，要按失量运算法则计算，如果初、末状态系统的总动量在一条直线上，可选定一个正方向，将矢量运算转化为代数运算。
（3)相对性：在动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量，必须相对于同一参
考系，解题时，常取地面为参考系，各物体的速度均为对地的速度。
（4)同时性：动量守恒定律中的P1、P2、·必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的
动量，P1、P2、必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量．
（5)普适性；不仅适用于低速、宏观物体，还适用于高速（接近光速）运动的微观粒子，在自
然界中，大到天体的相互作用，小到基本粒子间的相互作用，都遵守动量守恒定律。
知识点二：碰撞问题
1.碰撞的含义
碰撞是一种物理现象，是指相对运动的物体相遇时产生相互作用，在极短的时间内它们
的运动状态发生显著变化的过程。
2.碰撞的分类
分类标准 种类 特点
能量是否守恒 弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒
非完全弹性碰撞 动量守恒，机械能有损失
完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能损失最大
碰撞前后动量是否共线 对心碰撞（正碰） 碰撞前后速度共线
3.弹性碰撞和非弹性碰撞
（1)弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞．钢球、玻璃球碰撞时，机械能损失很小，它们的碰撞可以看作弹性碰撞。
（2)非弹性碰撞：如果系统在碰撞后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞，橡皮泥球之间的碰撞是非弹性碰撞。
（3)完全非弹性碰撞：是非弹性碰撞的特例，这种碰撞的特点是碰撞后黏在一起（或碰撞后具有共同的速度），其动能损失最大。
4.对心碰撞和非对心碰撞
（1)对心碰撞：两球碰撞时，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线，这种碰撞称为正碰，也叫对心碰。
（2)非对心碰撞：如果碰撞之前球的运动速度与两球心的连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度都会偏离原来两球心的连线，这种碰撞称为非对心碰撞，也叫斜碰。
知识点三：爆炸和反冲
爆炸的特点：
1、内力远大于外力，过程持续时间很短，即使系统所受合外力不为零，但合外力的冲量几乎为零，可认为动量守恒。
2、由其它形式的能转化为机械能。
要点诠释：爆炸与碰撞的比较：
1、爆炸、碰撞类问题的共同特点是物体间的相互作用力突然发生，相互作用的力是变力，作用时间很短，作用力很大，且远大于系统所受外力，故可用动量守恒定律来处理。
2、在爆炸过程中，有其他形式的能转化为动能，系统的动能在爆炸后会增加，在碰撞过程中，系统的总动能不可能增加，一般有所减少而转化为内能。
3、由于爆炸、碰撞类问题作用时间很短，作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计，可以把作用过程作为一个理想化过程（简化）处理，即作用后还从作用前瞬间的位置以新的动量开始运动。
反冲：
1.定义：根据动量守恒定律，如果原来静止的系统在内力的作用下分裂为两个部分，当其中一部分向某个方向运动时，另一部分必然向相反方向运动，这种现象叫作反冲。
2.原理：反冲运动是系统内力作用的结果．在发生反冲运动的过程中，如果系统所受到的外力远远小于内力，那么反冲运动遵循动量守恒定律。
3.表达式：若发生反冲运动前系统是静止的，则根据动量守恒定律有Mv1+mv2=0.此式表明做反冲运动的两部分，它们的动量大小相等，方向相反，而它们的速率则与质量成反比。
4.特点
（1)物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动。
（2)在反冲运动中，相互作用力一般较大，通常可以用动量守恒定律来处理．
（3)在反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总动能增加。
注意：炮弹爆炸过程，爆炸力是内力，远大于重力，因此爆炸过程各弹片组成的系统动量守恒，因为爆炸过程火药的化学能转化为内能和弹片的动能，所以此过程系统的机械能（动能）增加
考点一：碰撞的可能性分析
　例1.（2021·全国）两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，mA＝1 kg，mB＝2 kg，vA＝6 m/s，vB＝2 m/s。当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（　　）
A．vA′＝3 m/s，vB′＝4 m/s B．vA′＝5 m/s，vB′＝2.5 m/s
C．vA′＝2 m/s，vB′＝4 m/s D．vA′＝－4 m/s，vB′＝7 m/s
【答案】C
【详解】
A．碰前系统总动量为：
碰前总动能为：
如果，，则碰后总动量为：
动量不守恒，不可能，A错误；
B．碰撞后，、两球同向运动，球在球的后面，球的速度大于球的速度，不可能，B错误；
C．如果，，则碰后总动量为：
系统动量守恒，碰后总动能为：
系统动能减小，满足碰撞的条件，C正确；
D．如果，，则碰后总动量为
系统动量守恒，碰后总动能为：
系统动能增加，不可能，D错误。
故选C。
变式训练．（2021·全国）质量为m、速度为v的A球与质量为3m的静止B球发生正碰．碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B球的速度可能有不同的值．碰撞后B球的速度大小可能是( )
A．0.6v B．0.4v C．0.2v D．v
【答案】B
【详解】
设碰撞后A球速度是，B球的速度是，假如碰撞的能量损失是Q（）那么根据能量守恒定律有：
①，
根据动量守恒有：②，
当Q=0时，完全弹性碰撞，得，
当，得，
由此得，B正确．
考点二：碰撞规律的应用
例2.（2021·全国高二课时练习）如图所示，粗糙的水平面连接一个竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R=0.1m，半圆形轨道的底端放置一个质量为m=0.1kg的小球B，水平面上有一个质量为M=0.3kg的小球A以初速度v0=4.0m/s开始向着小球B运动，经过时间t=0.80s与B发生弹性碰撞。设两小球均可以看做质点，它们的碰撞时间极短，且已知小球A与水平面间的动摩擦因数μ=0.25，g取10m/s2，求：
(1)两小球碰撞前A的速度大小；
(2)小球B运动到最高点C时对轨道的压力。
【答案】(1)2m/s；(2)4N，方向竖直向上
【详解】
(1)碰前对A由动量定理有
解得
(2)对A、B碰撞前后动量守恒
碰撞前后动能保持不变
由以上各式解得
又因为B球在轨道上机械能守恒
解得
在最高点C对小球B有
解得
由牛顿第三定律知小球对轨道的压力的大小为4N，方向竖直向上
变式训练（2022·全国高三专题练习）如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间，A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞，设物体间的碰撞都是弹性的。
【答案】
【详解】
A向右运动与C发生碰撞的过程中系统的动量守恒、机械能守恒，选取向右为正方向，设开始时A的速度为v0，第一次与C碰撞后C的速度为vC1，A的速度为vA1，由动量守恒定律、机械能守恒定律得
mv0=mvA1+MvC1
联立得
可知，只有m＜M时，A才能被反向弹回，才可能与B发生碰撞。
设A与B碰撞后B的速度为vB1，A的速度为vA2，由动量守恒定律、机械能守恒定律，同理可得
根据题意要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有
vA2≤vC1
联立得
m2+4mM﹣M2≥0
解得
（另一解：舍去）
所以m与M之间的关系应满足
才能使A只与B、C各发生一次碰撞。
考点三：分析动量守恒的临界问题
例3、（2022·全国高三专题练习）如图所示，在水平面上依次放置小物块A和C以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m，曲面劈B的质量M=3m，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B足够高，各接触面均光滑．现让小物块C以水平速度v0向右运动，与A发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起滑上曲面劈B.求：
（1）碰撞过程中系统损失的机械能；
（2）碰后物块A与C在曲面劈B上能够达到的最大高度．
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)小物块C与A发生碰撞粘在一起，由动量守恒定律得
mv0=2mv
解得
碰撞过程中系统损失的机械能为
解得
(2)当AC上升到最大高速时，ABC系统的速度相等；根据动量守恒定律：
解得
由能量关系
解得
变式训练（2022·全国高三专题练习）在光滑水平地面上放有一质量M=3kg带四分之一光滑圆弧形槽的小车，质量为m=2kg的小球以速度v0=5m/s沿水平槽口滑上圆弧形槽槽口距地面的高度h=0.8m，重力加速度g=10m/s2．求：
(1)小球从槽口开始运动到最高点(未离开小车)的过程中，小球对小车做的功W；
(2)小球落地瞬间，小车与小球间的水平间距L．
【答案】（1） （2）
【详解】
（1）小球上升至最高点时，两物体速度水平速度相等，小车和小球水平方向动量守恒，得： ①
对小车由动能定理得：
②
联立①②解得：
（2）小球回到槽口时，小球和小车水平方向动量守恒，得：
③
小球和小车由功能关系得：
④
联立③④可解得：⑤， ⑥
小球离开小车后，向右做平抛运动，小车向左做匀速运动
⑦
⑧
联立⑤⑥⑦⑧可得：
1．（2021 乙卷）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统　　
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
【解答】解：从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒；
撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动，弹簧被压缩且弹簧的弹力大于滑块受到的滑动摩擦力，
撤去外力后滑块受到的合力不为零，滑块相对车厢底板滑动，系统要克服摩擦力做功，
系统的机械能转化为系统的内能，系统机械能减小，系统机械能不守恒，故正确，错误。
故选：。
2．（2021 浙江）在爆炸实验基地有一发射塔，发射塔正下方的水平地面上安装有声音记录仪。爆炸物自发射塔竖直向上发射，上升到空中最高点时炸裂成质量之比为、初速度均沿水平方向的两个碎块。遥控器引爆瞬间开始计时，在末和末先后记录到从空气中传来的碎块撞击地面的响声。已知声音在空气中的传播速度为，忽略空气阻力。下列说法正确的是　　
A．两碎块的位移大小之比为
B．爆炸物的爆炸点离地面高度为
C．爆炸后质量大的碎块的初速度为
D．爆炸后两碎块落地点之间的水平距离为
【解答】解：、爆炸物在最高点时炸裂成质量之比为的两个碎块，
设两碎块的质量分别为，，设爆炸后两碎块的速度分别为、，
爆炸过程，系统在水平方向动量守恒，的速度方向为正方向，在水平方向，由动量守恒定律得：
爆炸后两碎块做平抛运动，由于抛出点的高度相等，它们做平抛运动的时间相等，设两碎块的水平位移分别为、，则有：
解得：，
两碎块的竖直分位移相等，两碎块的水平位移之比为，而从爆炸开始抛出到落地的位移之比不等于，故错误；
、设两碎片做平抛运动的时间均为，两碎块落地发出的声音的传播时间分别为，，声音的传播位移：
，，由可知，
代入数据解得：，，，
爆炸物的爆炸点离地面高度：
，
爆炸后两碎块落地点之间的水平距离：
，故正确，错误；
、由可知，爆炸后碎块的水平位移：，碎块的水平位移，
爆炸后质量大的碎块的初速度为，故错误。
故选：。
3．（2020 全国）如图，光滑水平面上有两个质量相同的物体和，上系有一轻弹簧。开始时，静止，以某一速度向运动，压缩弹簧然后分离。假设在此碰撞过程中没有机械能损失，关于两物体动量的大小，下列说法正确的是　　
A．当弹簧压缩到最大程度时，的动量大于的动量
B．当弹簧压缩到最大程度时，的动量小于的动量
C．当两物体完全分离时，的动量小于碰撞前的动量
D．当两物体完全分离时，的动量等于碰撞前的动量
【解答】解：、当弹簧压缩到最大程度时，和的速度相同，由于二者的质量相等，则动量相等，故错误；
、设的初速度为，和的质量均为。当两物体完全分离时，设和的速度分别为、，取向右为正方向。
根据动量守恒定律可得：
根据机械能守恒定律可得：
联立解得：、，
所以当两物体完全分离时，的动量等于碰撞前的动量，故错误、正确。
故选：。
4．（2020 上海）在一次碰撞试验中，质量均为的两火车头从长为的直轨道两端同时由静止开始以相向而行，它们碰撞前瞬间的总动能为　　
A． B． C． D．
【解答】解：两火车头碰撞前做匀加速直线运动，有：
它们碰撞前瞬间的总动能为：，故错误，正确。
故选：。
5．（2019 江苏）质量为的小孩站在质量为的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽略滑板与地面间的摩擦。小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为，此时滑板的速度大小为　　
A． B． C． D．
【解答】解：忽略滑板与地面间的摩擦，小孩和滑板系统动量守恒，取小孩跃起的方向为正，根据动量守恒定律得：
，
解得滑板的速度为：，故正确，错误。
故选：。
6．（2021 湖南）如图（a），质量分别为、的、两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力作用在上，系统静止在光滑水平面上靠墙面），此时弹簧形变量为。撤去外力并开始计时，、两物体运动的图像如图（b）所示，表示0到时间内的图线与坐标轴所围面积大小，、分别表示到时间内、的图线与坐标轴所围面积大小。在时刻的速度为。下列说法正确的是　　
A．0到时间内，墙对的冲量等于
B．
C．运动后，弹簧的最大形变量等于
D．
【解答】解：、撤去外力后受到的合力等于弹簧的弹力，0到时间内，对，由动量定理可知，合力即弹簧弹力对的冲量大小：，
弹簧对与对的弹力大小相等、方向相反、作用时间相等，因此弹簧对的冲量大小与对的冲量大小相等、方向相反，即弹簧对的冲量大小，对，以向右为正方向，由动量定理得：，解得，墙对的冲量大小，方向水平向右，故正确；
、弹簧对和对的弹力大小相等，由牛顿第二定律得：，由图（b）所示图象可知，在时刻、的加速度大小关系是：，即，解得：，故正确；
、运动后，当、速度相等时弹簧形变量（伸长量或压缩量）最大，此时、的速度不为零，、的动能不为零，由能量守恒定律可知，弹簧形变量最大时、的动能与弹簧的弹性势能之和与撤去外力时弹簧的弹性势能相等，则弹簧形变量最大时弹簧弹性势能小于撤去外力时弹簧的弹性势能，弹簧形变量最大时弹簧的形变量小于撤去外力时弹簧的形变量，故错误；
、图线与坐标轴所围图形的面积等于物体速度的变化量，则因初速度为零，时刻的速度大小，时刻的速度大小，的速度大小，
由图（b）所示图象可知，时刻的加速度为零，此时弹簧恢复原长，开始离开墙壁，到时刻两者加速度均达到最大，弹簧伸长量达到最大，此时两者速度相同，即，则，故正确。
故选：。
7．（2021 北京）如图所示，小物块、的质量均为，静止在轨道水平段的末端。以水平速度与碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为，取重力加速度。求：
（1）两物块在空中运动的时间；
（2）两物块碰前的速度的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能△。
【解答】解：（1）竖直方向为自由落体运动，由
代入数据解得
（2）设、碰后速度为，
水平方向为匀速运动，由
代入数据解得
根据动量守恒定律，规定向右为正方向，由
得
（3）两物体碰撞过程中损失的机械能△
代入数据解得△
答：（1）两物块在空中运动的时间为；
（2）两物块碰前的速度的大小为；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能为。
8．（2021 天津）一玩具以初速度从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
【解答】解：（1）设玩具上升的最大高度为，玩具上升到最大高度时的速度大小为，取竖直向上为正方向，由运动学公式有
联立解得
（2）设玩具分开时两部分的质量分别为、，水平速度大小分别为、，依题意，动能关系为：
玩具到达最高点时速度为零，两部分分开时速度方向相反，水平方向动量守恒，取质量为的部分速度方向为正方向，有
分开后两部分都做平抛运动，根据动能定理得
对有，
对有，
结合
联立解得两部分落地时速度大小之比
答：（1）玩具上升到最大高度时的速度大小为；
（2）两部分落地时速度大小之比为。
9．（2021 湖南）如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道。质量为的小物块与水平轨道间的动摩擦因数为。以水平轨道末端点为坐标原点建立平面直角坐标系，轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，弧形轨道端坐标为，端在轴上。重力加速度为。
（1）若从倾斜轨道上距轴高度为的位置由静止开始下滑，求经过点时的速度大小；
（2）若从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过点落在弧形轨道上的动能均相同，求的曲线方程；
（3）将质量为为常数且的小物块置于点，沿倾斜轨道由静止开始下滑，与发生弹性碰撞（碰撞时间极短），要使和均能落在弧形轨道上，且落在落点的右侧，求下滑的初始位置距轴高度的取值范围。
【解答】解：（1）设物块由静止开始运动到点的速度大小为，对此过程由动能定理得
解得：
（2）经点水平抛出后做平抛运动，设水平位移为，竖直位移为，物块经过点的速度大小为，落到弧形轨道上时，速度大小为，竖直方向速度大小为，落在弧形轨道上的动能均相同为，则
，，，
解得：
已知点坐标为，即当物块落到点时，，，可得
依题意：物块落在弧形轨道上的动能均相同，则有
，
整理得的曲线方程为：，。
（3）设下滑的初始位置距轴高度为，与碰撞前瞬间速度大小为，碰撞后瞬间、的分别为、，
对由静止开始运动到碰撞之前的过程，由动能定理得
解得
与发生弹性碰撞的过程，设水平向右为正方向，因质量为大于的质量，碰后的速度水平向左，由动量守恒定律和机械能守恒定律，可得
解得：，
设碰撞之后向左运动再返回点的速度大小为，对此过程由动能定理得
解得：
要使落在落点的右侧，需满足：，即，则有
，
解得：
将代入得：
由（2）的结论：，可得当物体落在点时，在点平抛的初速度大小满足
要使和均能落在弧形轨道上，因，故只要能落在弧形轨道上，就一定能落在弧形轨道上，
所以需满足：，即：
解得：
则下滑的初始位置距轴高度的取值范围为。
答：（1）经过点时的速度大小为；
（2）的曲线方程为，；
（3）下滑的初始位置距轴高度的取值范围为。
10．（2019 新课标Ⅲ）静止在水平地面上的两小物块、，质量分别为，；两者之间有一被压缩的微型弹簧，与其右侧的竖直墙壁距离，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使、瞬间分离，两物块获得的动能之和为．释放后，沿着与墙壁垂直的方向向右运动。、与地面之间的动摩擦因数均为．重力加速度取．、运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间、速度的大小；
（2）物块、中的哪一个先停止？该物块刚停止时与之间的距离是多少？
（3）和都停止后，与之间的距离是多少？
【解答】解：（1）设弹簧释放瞬间和的速度大小分别为、，以向右为正方向，由动量守恒定律和题给条件有：
联立①②式并代入题给数据得
，
（2）、两物块与地面间的动摩擦因数相等，二者运动的过程中，若一直向右运动，一直到停止，则对由动量定理可得：
则：
一直向左运动，则：
可得：
可知先停止运动，该过程中的位移：
代入数据可得：
从二者分开到停止，若一直向右运动，由动量定理可得：
停止时的速度：
代入数据可得：
对由动能定理可得：
则位移：
这表明在时间内已与墙壁发生碰撞，但没有与发生碰撞，此时位于出发点右边的距离为：△处。
位于出发点左边处，两物块之间的距离为：△
（3）时刻后将继续向左运动，假设它能与静止的碰撞，碰撞时速度的大小为，由动能定理有：⑩
联立并代入题给数据得：
故与将发生碰撞。设碰撞后、的速度分别为以和，由动量守恒定律与机械能守恒定律有：
以及：
联立并代入题给数据得：，
这表明碰撞后将向右运动，继续向左运动。设碰撞后向右运动距离为时停止，向左运动距离为时停止，由动能定理可得：
，
代入数据得：，
小于碰撞处到墙壁的距离。由上式可得两物块停止后的距离：
答：（1）弹簧释放后瞬间、速度的大小分别为和；
（2）物块先停止，该物块刚停止时与之间的距离是；
（3）和都停止后，与之间的距离是。
11．（2021 广东）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框，甲、乙相隔，乙与边框相隔，算珠与导杆间的动摩擦因数。现用手指将甲以的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1 ，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度取。
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框；
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
【解答】解：（1）算珠相同，设每个算珠的质量为，
由题意可知，甲算珠的初速度大小，碰撞后瞬间甲算珠的速度大小
设甲、乙两算珠碰撞前瞬间甲算珠的速度大小为，从甲算珠开始运动到甲、乙碰撞前瞬间过程，
对甲算珠，由动能定理得：
代入数据解得：
甲、乙两算珠碰撞过程系统内力远大于外力，系统动量守恒，设碰撞后瞬间乙算珠的速度大小为，
以碰撞前甲算珠的速度方向为正方向，由动量守恒定律得：，
代入数据解得：
设碰撞后乙算珠甲减速到零过程滑行的距离为，对乙算珠，由动能定理得：
代入数据解得：，乙算珠恰好到达边框处
（2）设两算珠碰撞后甲滑行距离后速度变为零，对甲，由动能定理得：
代入数据解得：
设从甲开始运动到甲乙碰撞所需时间为，从甲乙碰撞到甲停止运动需要的时间为，
则：，，
代入数据解得：，
甲算珠从拨出到停下所需的时间：
答：（1）乙算珠能滑动到边框；
（2）甲算珠从拨出到停下所需的时间是。
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课时20 动量守恒定律及其应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1、知道动量守恒定律的内容和适用条件；
2、知道弹性碰撞和非弹性碰撞；
3、能用动量守恒定律定量分析一维碰撞问题；
4、知道弹性碰撞和非弹性碰撞；
5、能用动量守恒定律定量分析一维碰撞问题；
6、知道动量守恒定律的普遍意义；
7、会从动量和能量的角度分析碰撞问题。
1.物理观念：碰撞、反冲。
理解碰撞、反冲的定义及物理意义。
2.科学思维：动量守恒定律、人船模型、“木块-滑块”模型、“子弹打木块”模型、“含弹簧″模型。
理解系统动量守恒的条件、会应用动量守恒定律解决基本问题、会分析、解决动量守恒定律的临界问题“”
3.科学态度与责任：现代航天技术与反冲。
体会用守恒定律分析的方法，体会自然界的和谐与统一。
4.科学探究：验证动量守恒定律通过实验，了解弹性碰撞和非弹性碰撞的特点。
知识点一：动量守恒定律的理解和基本应用
1.内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0,这个系统的总动量保持不变，
这就是动量守恒定律。
2.动量守恒定律的表达式
（1)p=p'即系统相互作用前的总动量p和相互作用后的总动量p'大小相等、方向相同．
（2)ΔP=P'-P=0.即系统总动量的增量为零．
（3)ΔP1=-ΔP2.即相互作用的两个物体动量的增量等大反向．
（4)m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'.相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作
用后的动量和。
3.动量守恒定律成立的条件
（1)理想条件：系统不受外力作用或所受外力之和为零．
（2)近似条件：系统所受合外力不为零，但系统的内力远大于外力时，如碰撞、爆炸等现象
中，系统的动量可看成近似守恒。
（3)单方向的动量守恒条件：若系统在某方向上所受合力为零，则系统在该方向上动量守恒。
4.从“五性”理解动量守恒定律
（1)系统性：动量守恒定律反映的是两个或两个以上物体组成的系统，在相互作用过程中
的动量变化规律，所以动量守恒定律的研究对象是一个系统，而不是单个物体。
（2)矢量性：动量守恒定律的表达式是一个矢量式，其矢量性表现在：
①系统的总动量在相互作用前后，不仅大小相等，方向也相同，因此系统初状态总动量的方向决定了末状态总动量的方向；
②在求初、末状态系统的总动量时，要按失量运算法则计算，如果初、末状态系统的总动量在一条直线上，可选定一个正方向，将矢量运算转化为代数运算。
（3)相对性：在动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量，必须相对于同一参
考系，解题时，常取地面为参考系，各物体的速度均为对地的速度。
（4)同时性：动量守恒定律中的P1、P2、·必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的
动量，P1、P2、必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量．
（5)普适性；不仅适用于低速、宏观物体，还适用于高速（接近光速）运动的微观粒子，在自
然界中，大到天体的相互作用，小到基本粒子间的相互作用，都遵守动量守恒定律。
知识点二：碰撞问题
1.碰撞的含义
碰撞是一种物理现象，是指相对运动的物体相遇时产生相互作用，在极短的时间内它们
的运动状态发生显著变化的过程。
2.碰撞的分类
分类标准 种类 特点
能量是否守恒 弹性碰撞 动量守恒，机械能守恒
非完全弹性碰撞 动量守恒，机械能有损失
完全非弹性碰撞 动量守恒，机械能损失最大
碰撞前后动量是否共线 对心碰撞（正碰） 碰撞前后速度共线
3.弹性碰撞和非弹性碰撞
（1)弹性碰撞：如果系统在碰撞前后动能不变，这类碰撞叫作弹性碰撞．钢球、玻璃球碰撞时，机械能损失很小，它们的碰撞可以看作弹性碰撞。
（2)非弹性碰撞：如果系统在碰撞后动能减少，这类碰撞叫作非弹性碰撞，橡皮泥球之间的碰撞是非弹性碰撞。
（3)完全非弹性碰撞：是非弹性碰撞的特例，这种碰撞的特点是碰撞后黏在一起（或碰撞后具有共同的速度），其动能损失最大。
4.对心碰撞和非对心碰撞
（1)对心碰撞：两球碰撞时，碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上，碰撞之后两球的速度仍会沿着这条直线，这种碰撞称为正碰，也叫对心碰。
（2)非对心碰撞：如果碰撞之前球的运动速度与两球心的连线不在同一条直线上，碰撞之后两球的速度都会偏离原来两球心的连线，这种碰撞称为非对心碰撞，也叫斜碰。
知识点三：爆炸和反冲
爆炸的特点：
1、内力远大于外力，过程持续时间很短，即使系统所受合外力不为零，但合外力的冲量几乎为零，可认为动量守恒。
2、由其它形式的能转化为机械能。
要点诠释：爆炸与碰撞的比较：
1、爆炸、碰撞类问题的共同特点是物体间的相互作用力突然发生，相互作用的力是变力，作用时间很短，作用力很大，且远大于系统所受外力，故可用动量守恒定律来处理。
2、在爆炸过程中，有其他形式的能转化为动能，系统的动能在爆炸后会增加，在碰撞过程中，系统的总动能不可能增加，一般有所减少而转化为内能。
3、由于爆炸、碰撞类问题作用时间很短，作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计，可以把作用过程作为一个理想化过程（简化）处理，即作用后还从作用前瞬间的位置以新的动量开始运动。
反冲：
1.定义：根据动量守恒定律，如果原来静止的系统在内力的作用下分裂为两个部分，当其中一部分向某个方向运动时，另一部分必然向相反方向运动，这种现象叫作反冲。
2.原理：反冲运动是系统内力作用的结果．在发生反冲运动的过程中，如果系统所受到的外力远远小于内力，那么反冲运动遵循动量守恒定律。
3.表达式：若发生反冲运动前系统是静止的，则根据动量守恒定律有Mv1+mv2=0.此式表明做反冲运动的两部分，它们的动量大小相等，方向相反，而它们的速率则与质量成反比。
4.特点
（1)物体的不同部分在内力作用下向相反方向运动。
（2)在反冲运动中，相互作用力一般较大，通常可以用动量守恒定律来处理．
（3)在反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总动能增加。
注意：炮弹爆炸过程，爆炸力是内力，远大于重力，因此爆炸过程各弹片组成的系统动量守恒，因为爆炸过程火药的化学能转化为内能和弹片的动能，所以此过程系统的机械能（动能）增加
考点一：碰撞的可能性分析
　例1.（2021·全国）两球A、B在光滑水平面上沿同一直线、同一方向运动，mA＝1 kg，mB＝2 kg，vA＝6 m/s，vB＝2 m/s。当A追上B并发生碰撞后，两球A、B速度的可能值是（　　）
A．vA′＝3 m/s，vB′＝4 m/s B．vA′＝5 m/s，vB′＝2.5 m/s
C．vA′＝2 m/s，vB′＝4 m/s D．vA′＝－4 m/s，vB′＝7 m/s
【答案】C
【详解】
A．碰前系统总动量为：
碰前总动能为：
如果，，则碰后总动量为：
动量不守恒，不可能，A错误；
B．碰撞后，、两球同向运动，球在球的后面，球的速度大于球的速度，不可能，B错误；
C．如果，，则碰后总动量为：
系统动量守恒，碰后总动能为：
系统动能减小，满足碰撞的条件，C正确；
D．如果，，则碰后总动量为
系统动量守恒，碰后总动能为：
系统动能增加，不可能，D错误。
故选C。
变式训练．（2021·全国）质量为m、速度为v的A球与质量为3m的静止B球发生正碰．碰撞可能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B球的速度可能有不同的值．碰撞后B球的速度大小可能是( )
A．0.6v B．0.4v C．0.2v D．v
【答案】B
【详解】
设碰撞后A球速度是，B球的速度是，假如碰撞的能量损失是Q（）那么根据能量守恒定律有：
①，
根据动量守恒有：②，
当Q=0时，完全弹性碰撞，得，
当，得，
由此得，B正确．
考点二：碰撞规律的应用
例2.（2021·全国高二课时练习）如图所示，粗糙的水平面连接一个竖直平面内的半圆形光滑轨道，其半径为R=0.1m，半圆形轨道的底端放置一个质量为m=0.1kg的小球B，水平面上有一个质量为M=0.3kg的小球A以初速度v0=4.0m/s开始向着小球B运动，经过时间t=0.80s与B发生弹性碰撞。设两小球均可以看做质点，它们的碰撞时间极短，且已知小球A与水平面间的动摩擦因数μ=0.25，g取10m/s2，求：
(1)两小球碰撞前A的速度大小；
(2)小球B运动到最高点C时对轨道的压力。
【答案】(1)2m/s；(2)4N，方向竖直向上
【详解】
(1)碰前对A由动量定理有
解得
(2)对A、B碰撞前后动量守恒
碰撞前后动能保持不变
由以上各式解得
又因为B球在轨道上机械能守恒
解得
在最高点C对小球B有
解得
由牛顿第三定律知小球对轨道的压力的大小为4N，方向竖直向上
变式训练（2022·全国高三专题练习）如图，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C位于同一直线上，A位于B、C之间，A的质量为m，B、C的质量都为M，三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动，求m和M之间应满足什么条件，才能使A只与B、C各发生一次碰撞，设物体间的碰撞都是弹性的。
【答案】
【详解】
A向右运动与C发生碰撞的过程中系统的动量守恒、机械能守恒，选取向右为正方向，设开始时A的速度为v0，第一次与C碰撞后C的速度为vC1，A的速度为vA1，由动量守恒定律、机械能守恒定律得
mv0=mvA1+MvC1
联立得
可知，只有m＜M时，A才能被反向弹回，才可能与B发生碰撞。
设A与B碰撞后B的速度为vB1，A的速度为vA2，由动量守恒定律、机械能守恒定律，同理可得
根据题意要求A只与B、C各发生一次碰撞，应有
vA2≤vC1
联立得
m2+4mM﹣M2≥0
解得
（另一解：舍去）
所以m与M之间的关系应满足
才能使A只与B、C各发生一次碰撞。
考点三：分析动量守恒的临界问题
例3、（2022·全国高三专题练习）如图所示，在水平面上依次放置小物块A和C以及曲面劈B，其中A与C的质量相等均为m，曲面劈B的质量M=3m，曲面劈B的曲面下端与水平面相切，且曲面劈B足够高，各接触面均光滑．现让小物块C以水平速度v0向右运动，与A发生碰撞，碰撞后两个小物块粘在一起滑上曲面劈B.求：
（1）碰撞过程中系统损失的机械能；
（2）碰后物块A与C在曲面劈B上能够达到的最大高度．
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)小物块C与A发生碰撞粘在一起，由动量守恒定律得
mv0=2mv
解得
碰撞过程中系统损失的机械能为
解得
(2)当AC上升到最大高速时，ABC系统的速度相等；根据动量守恒定律：
解得
由能量关系
解得
变式训练（2022·全国高三专题练习）在光滑水平地面上放有一质量M=3kg带四分之一光滑圆弧形槽的小车，质量为m=2kg的小球以速度v0=5m/s沿水平槽口滑上圆弧形槽槽口距地面的高度h=0.8m，重力加速度g=10m/s2．求：
(1)小球从槽口开始运动到最高点(未离开小车)的过程中，小球对小车做的功W；
(2)小球落地瞬间，小车与小球间的水平间距L．
【答案】（1） （2）
【详解】
（1）小球上升至最高点时，两物体速度水平速度相等，小车和小球水平方向动量守恒，得： ①
对小车由动能定理得：
②
联立①②解得：
（2）小球回到槽口时，小球和小车水平方向动量守恒，得：
③
小球和小车由功能关系得：
④
联立③④可解得：⑤， ⑥
小球离开小车后，向右做平抛运动，小车向左做匀速运动
⑦
⑧
联立⑤⑥⑦⑧可得：
1．（2021 乙卷）如图，光滑水平地面上有一小车，一轻弹簧的一端与车厢的挡板相连，另一端与滑块相连，滑块与车厢的水平底板间有摩擦。用力向右推动车厢使弹簧压缩，撤去推力时滑块在车厢底板上有相对滑动。在地面参考系（可视为惯性系）中，从撤去推力开始，小车、弹簧和滑块组成的系统　　
A．动量守恒，机械能守恒 B．动量守恒，机械能不守恒
C．动量不守恒，机械能守恒 D．动量不守恒，机械能不守恒
2．（2021 浙江）在爆炸实验基地有一发射塔，发射塔正下方的水平地面上安装有声音记录仪。爆炸物自发射塔竖直向上发射，上升到空中最高点时炸裂成质量之比为、初速度均沿水平方向的两个碎块。遥控器引爆瞬间开始计时，在末和末先后记录到从空气中传来的碎块撞击地面的响声。已知声音在空气中的传播速度为，忽略空气阻力。下列说法正确的是　　
A．两碎块的位移大小之比为
B．爆炸物的爆炸点离地面高度为
C．爆炸后质量大的碎块的初速度为
D．爆炸后两碎块落地点之间的水平距离为
3．（2020 全国）如图，光滑水平面上有两个质量相同的物体和，上系有一轻弹簧。开始时，静止，以某一速度向运动，压缩弹簧然后分离。假设在此碰撞过程中没有机械能损失，关于两物体动量的大小，下列说法正确的是　　
A．当弹簧压缩到最大程度时，的动量大于的动量
B．当弹簧压缩到最大程度时，的动量小于的动量
C．当两物体完全分离时，的动量小于碰撞前的动量
D．当两物体完全分离时，的动量等于碰撞前的动量
4．（2020 上海）在一次碰撞试验中，质量均为的两火车头从长为的直轨道两端同时由静止开始以相向而行，它们碰撞前瞬间的总动能为　　
A． B． C． D．
5.（2019 江苏）质量为的小孩站在质量为的滑板上，小孩和滑板均处于静止状态，忽略滑板与地面间的摩擦。小孩沿水平方向跃离滑板，离开滑板时的速度大小为，此时滑板的速度大小为　　
A． B． C． D．
6．（2021 湖南）如图（a），质量分别为、的、两物体用轻弹簧连接构成一个系统，外力作用在上，系统静止在光滑水平面上靠墙面），此时弹簧形变量为。撤去外力并开始计时，、两物体运动的图像如图（b）所示，表示0到时间内的图线与坐标轴所围面积大小，、分别表示到时间内、的图线与坐标轴所围面积大小。在时刻的速度为。下列说法正确的是　　
A．0到时间内，墙对的冲量等于
B．
C．运动后，弹簧的最大形变量等于
D．
7．（2021 北京）如图所示，小物块、的质量均为，静止在轨道水平段的末端。以水平速度与碰撞，碰后两物块粘在一起水平抛出。抛出点距离水平地面的竖直高度为，两物块落地点距离轨道末端的水平距离为，取重力加速度。求：
（1）两物块在空中运动的时间；
（2）两物块碰前的速度的大小；
（3）两物块碰撞过程中损失的机械能△。
8．（2021 天津）一玩具以初速度从水平地面竖直向上抛出，达到最高点时，用遥控器将玩具内压缩的轻弹簧弹开，该玩具沿水平方向分裂成质量之比为的两部分，此时它们的动能之和与玩具从地面抛出时的动能相等。弹簧弹开的时间极短，不计空气阻力。求
（1）玩具上升到最大高度时的速度大小；
（2）两部分落地时速度大小之比。
9．（2021 湖南）如图，竖直平面内一足够长的光滑倾斜轨道与一长为的水平轨道通过一小段光滑圆弧平滑连接，水平轨道右下方有一段弧形轨道。质量为的小物块与水平轨道间的动摩擦因数为。以水平轨道末端点为坐标原点建立平面直角坐标系，轴的正方向水平向右，轴的正方向竖直向下，弧形轨道端坐标为，端在轴上。重力加速度为。
（1）若从倾斜轨道上距轴高度为的位置由静止开始下滑，求经过点时的速度大小；
（2）若从倾斜轨道上不同位置由静止开始下滑，经过点落在弧形轨道上的动能均相同，求的曲线方程；
（3）将质量为为常数且的小物块置于点，沿倾斜轨道由静止开始下滑，与发生弹性碰撞（碰撞时间极短），要使和均能落在弧形轨道上，且落在落点的右侧，求下滑的初始位置距轴高度的取值范围。
10．（2019 新课标Ⅲ）静止在水平地面上的两小物块、，质量分别为，；两者之间有一被压缩的微型弹簧，与其右侧的竖直墙壁距离，如图所示。某时刻，将压缩的微型弹簧释放，使、瞬间分离，两物块获得的动能之和为．释放后，沿着与墙壁垂直的方向向右运动。、与地面之间的动摩擦因数均为．重力加速度取．、运动过程中所涉及的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。
（1）求弹簧释放后瞬间、速度的大小；
（2）物块、中的哪一个先停止？该物块刚停止时与之间的距离是多少？
（3）和都停止后，与之间的距离是多少？
11．（2021 广东）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框，甲、乙相隔，乙与边框相隔，算珠与导杆间的动摩擦因数。现用手指将甲以的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1 ，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度取。
（1）通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框；
（2）求甲算珠从拨出到停下所需的时间。
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