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课时24 电容器带电粒子在电场中的运动
考纲对本模块内容的具体要求如下：
知道静电感应现象；
知道什么是电容器以及常用的电容器；
理解电容器的概念及其定义，并能进行相关的计算；
知道平行板电容器与哪些因素有关及
知道带电粒子在电场中的运动规律，并能分析解决加速和偏转方面的问题；
会结合力学知识分析解决带电粒子在复合场中的运动问题；
知道示波管的基本原理。
1.物理观念：电容器及电容观察常见电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。能举例说明电容器的应用。
2.科学思维：带电粒子（带电体）在电场中的运动。
（1）会用动力学观点和能量观点解决电场作用下的直线运动
（2）应用带电粒子在匀强电场中的偏转规律解泱问题、会分析带电粒孑在重力、电场力作用下的偏转。
3.科学态度与责任：静电现象应用与安全。
（1）了解生产生活中关于静电的利用与防护的实例。
（2）能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。
知识点一：平行板电容器及其动态分析
1、电容器
（1）定义：任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，构成是一个电容器.
（2）电容器的充、放电：电容器有携带电荷、储存电荷的能力
电容器充电：使电容器带电的过程，也是电源的能量转化为电场能的过程.
电容器放电：使电容器上的电荷减少的过程，也是电场能转化为其它形式能的过程.
瞬间的充、放电过程电路中有电流通过，平衡后两板带等量异种电荷.
2、电容器的电容
（1）电容的物理意义：
是描述电容器储存电荷本领大小的物理量.
（2）电容器电容的定义：
电容器所带电量的绝对值与所加电压的比值，用字母C表示.
定义式： ，其中Q为其中一个导体所带电量的绝对值，U为两个导体之间的电压.
单位：国际单位是法拉，简称法，用F表示，常用的单位还有微法和皮法，换算关系是
（3）平行板电容器的电容：
　　式中k为静电力常量，k=9.0×109 N·m2/C2，介电常数ε由两极板之间介质决定.
（4）电容器的分类：
　　从构造上分：固定电容和可变电容
从介质上可分为：空气电容，纸质电容，电解电容，陶瓷电容、云母电容等等.
技巧点拨：
1.两类典型问题
（1）电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板冋的电势差保持不变。
（2）电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。
2.动态分析思路
（1）电容器两板间的电压U保持不变（与电源连接）
平行板电容器充电后，继续保持电容器两极板与电池两极相连接，电容器的、S、变化，将引起电容器的C、Q、U、E的变化。
可根据下列几式讨论C、Q、E的变化情况：
当d、S发生变化时，，，。
（2）电容器的电荷量Q保持不变（与电源断开）
平行板电容器充电后，切断与电源的连接，电容器的、S、变化，将引起电容器的C、Q、U、E的变化。
可根据下列几式讨论C、U、E的变化清况：
，，。
知识点二：带电粒子在电场中的加速和减速运动
1.受力分析：与力学中受力分析方法相同,知识多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力.
2.运动过程分析：带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，收到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加（减）速直线运动.
3.两种处理方法：
（1）力和运动关系法——牛顿第二定律：
带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线运动的公式确定带电粒子的速度、时间和位移等.
（2）功能关系法——动能定理：
带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是，则.
例：如图真空中有一对平行金属板，间距为d，接在电压为U的电源上，质量为m、电量为q的正电荷穿过正极板上的小孔以v0进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小孔穿出.不计重力，求：正电荷穿出时的速度v是多大？
解法一、动力学：由牛顿第二定律： ①
由运动学知识：v2－v02=2ad ②
联立① ② 解得：
解法二、动能定理： 解得
讨论：
（1）若带电粒子在正极板处v0≠0，由动能定理得qU=mv2-mv02 解得v=
（2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电量为+q，质量为m的带电粒子，以初速度v0，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀减速直线运动.
① 若v0>，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为v，
有 -qU=mv2-mv02 解得v=
② 若v0<，则带电粒子不能从对面极板的小孔穿出，带电粒子速度减为零后，反方向加速运动，从左极板的小孔穿出，穿出时速度大小v=v0.
设带电粒子在电场中运动时距左极板的最远距离为x，由动能定理有： -qEx=0-mv02
又E=(式d中为两极板间距离) 解得x=.
知识点三：带电粒子在电场中的偏转
高中阶段定量计算的是，带电粒子与电场线垂直地进入匀强电场或进入平行板电容器之间的匀强电场.如图所示：
1.受力分析：
带电粒子以初速度v0垂直射入匀强电场中，受到恒定电场力（F=Eq）作用，且方向与初速度v0垂直.
2.运动状态分析
带电粒子以初速度v0垂直射入匀强电场中，受到恒力的作用，初速度与电场力垂直，做类平抛运动，其轨迹是抛物线：在垂直于电场方向做匀速直线运动；在平行于电场方向做初速度为零的匀加速直线运动.
（U为偏转电压，d为两板间的距离，L为偏转电场的宽度（或者是平行板的长度），v0为经加速电场后粒子进入偏转电场时的初速度.）
3.常用处理方法：应用运动的合成与分解的方法
垂直电场线方向的速度
沿电场线方向的速度是
合速度大小是： ，方向：
离开电场时沿电场线方向发生的位移
偏转角度也可以由边长的比来表示，过出射点沿速度方向做反向延长线，交入射方向于点Q，如图：
设Q点到出射板边缘的水平距离为x，则
又，
解得：
即带电粒子离开平行板电场边缘时，都是好象从金属板间中心线的中点处沿直线飞出的，这个结论可直接引用.
考点一：平行板电容器动态分析
（2021·全国）如图所示，平行板电容器带电后，静电计的指针偏转一定角度。若不改变电容器的带电量，下列操作可能使静电计指针的偏转角度变小的是（　　）
A．将左极板向左移动少许，同时在两极板之间插入电介质
B．将左极板向左移动少许，同时取出两极板之间的金属板
C．将左极板向左移动少许，同时在两极板之间插入金属板
D．将左极板向下移动少许，同时取出两极板之间的电介质
【答案】AC
【详解】
A．将左极板向左移动少许，则d变大，同时在两极板之间插入电介质，则ε变大，根据可知C可能变大，根据Q=CU可知，U可能减小，即静电计指针的偏转角度可能变小 ，选项A正确；
B．将左极板向左移动少许，则d变大，同时取出两极板之间的金属板，则也相当于d变大，根据可知C一定变小，根据Q=CU可知，U变大，即静电计指针的偏转角度变大 ，选项B错误；
C．将左极板向左移动少许，则d变大，同时在两极板之间插入金属板，则相当于d又变小，则总体来说可能d减小，根据可知C可能变大，根据Q=CU可知，U变小，即静电计指针的偏转角度可能变小 ，选项C正确；
D．将左极板向下移动少许，则S减小，同时取出两极板之间的电介质，则ε变小，根据可知C一定减小，根据Q=CU可知，U变大，即静电计指针的偏转角度一定变大 ，选项D错误；
故选AC。
变式训练：（2021·全国）如图所示，一水平放置的平行板电容器与电源相连。开始时开关闭合，一带电粒子沿两极板中心线方向以某一初速度射入，恰好沿中心线通过电容器。则下列判断正确的是（　　）
A．保持开关闭合，将B板竖直向上平移一小段距离，粒子可能打在电容器的A板上
B．保持开关闭合，将B板竖直向上平移一小段距离，粒子仍能沿原中心线通过电容器
C．断开开关，将B板竖直向上平移一小段距离，粒子可能打在电容器的A板上
D．断开开关，将B板竖直向上平移一小段距离，粒子仍能沿原中心线通过电容器
【答案】AD
【详解】
AB．开始时，粒子能沿直线飞过两板，可知粒子受向下的重力和向上的电场力，二力平衡，粒子带负电．若保持开关闭合，将B板竖直向上平移一小段距离，根据
E＝
可知，两板间场强变大，粒子所受向上的电场力变大，粒子向上偏转，则粒子可能打在电容器的A板上，选项A正确，B错误；
CD．断开开关，则两板带电荷量不变，根据
C＝
E＝
以及C＝
可知E＝
则将B板竖直向上平移一小段距离，两板间场强不变，粒子所受电场力不变，则粒子仍能沿原中心线通过电容器，选项D正确，C错误。
故选AD。
考点二：带电粒子在电场中的直线运动
例2.（2021·全国）一匀强电场，场强方向是水平的，如图所示，一个质量为m、电量为q的带正电的小球，从O点出发，初速度的大小为v0 ，在电场力和重力作用下恰好能沿与场强的反方向成θ角的直线运动，重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球运动到最高点时其电势能与O点的电势能之差。
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)小球做直线运动，所受的电场力qE和重力mg的合力必沿此直线方向
如图所示由几何关系可知
解得
(2)小球做匀减速运动，由牛顿第二定律可得
设从O点到最高点的位移为s，根据运动学公式可得
联立可得
运动的水平距离
两点间的电势能之差
联立解得
变式训练．（2021·全国高三专题练习）如图所示，在真空中倾斜平行放置着两块带有等量异号电荷的金属板A、B，一个电荷量、质量的带电小球自A板上的孔P以大小为的水平速度飞入两板之间的电场，经后又回到P点，其间未与B板相碰，g取，则（ ）
A．板间电场强度大小为
B．板间电场强度大小为
C．板与水平方向的夹角
D．板与水平方向的夹角
【答案】AD
【详解】
对带电小球进行受力分析，如图所示，小球的加速度
根据几何关系得
故
解得
故A、D正确．
考点三：带电粒子在电场中的偏转
例3.（2022·全国高三专题练习）如图所示，虚线MN左侧有一场强为E1＝E的匀强电场，在两条平行的虚线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E2＝2E的匀强电场，在虚线PQ右侧相距为L处有一与电场E2平行的屏。现将一电子（电荷量为e，质量为m，不计重力）无初速度地放入电场E1中的A点，A点到MN的距离为 ，最后电子打在右侧的屏上，AO连线与屏垂直，垂足为O，求：
（1）电子从释放到打到屏上所用的 时间t；
（2）电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角θ的正切值tan θ；
（3）电子打到屏上的点P′（图中未标出）到点O的距离x。
【答案】（1）3 ；（2）2；（3）3L
【详解】
（1）电子在电场E1中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a1，时间为t1，由牛顿第二定律得
由
得
电子进入电场E2时的速度为
进入电场E2到屏水平方向做匀速直线运动，时间为
电子从释放到打到屏上所用的时间为
联立求解得
（2）设粒子射出电场E2时平行电场方向的速度为vy，由牛顿第二定律得：电子进入电场E2时的加速度为
电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值为
联立得
（3）带电粒子在电场中的运动轨迹如下图所示
设电子打到屏上的点P到O点的距离x，根据上图用几何关系得
联立得
变式训练：（2021·全国）如图所示，距离为d的平行金属板A、B间的电场强度为E，B板接地。靠近A板的M点有一放射源，能向各个方向发射质量为m，电量为-e的带电粒子，可以探测到B板上以N点为圆心、半径为r的圆形区域内都有带电粒子到达，粒子重力不计。求：
（1）粒子运动加速度a的大小；
（2）粒子初速度的最大值v0；
（3）粒子到达B板的最大动能Ekm。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）粒子加速度
（2）粒子速度方向平行于A板，做类平抛运动，打到B板距离N点最远
解得，
（3）由动能定理得
解得，
1．（2020 全国）一水平放置的平行板电容器，上、下极板分别接电池的正、负极。一质量为、带正电荷的粒子从紧靠上极板的位置由静止开始下落，到达下极板所用的时间为；另一质量为、带相同电荷量的粒子从同一位置由静止开始下落，到达下极板所用的时间为。已知质量为的粒子所受重力与其所受电场力的大小相等，则两粒子的质量之比为　　
A． B． C． D．
2．（2020 浙江）如图所示，一质量为、电荷量为的粒子以速度从连线上的点水平向右射入大小为、方向竖直向下的匀强电场中。已知与水平方向成角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达连线上的某点时　　
A．所用时间为
B．速度大小为
C．与点的距离为
D．速度方向与竖直方向的夹角为
3．（2020 浙江）如图所示，电子以某一初速度沿两块平行板的中线方向射入偏转电场中，已知极板长度，间距，电子质量，电荷量。若电子恰好从极板边缘射出电场，由以上条件可以求出的是　　
A．偏转电压 B．偏转的角度
C．射出电场速度 D．电场中运动的时间
4．（2021 乙卷）四个带电粒子的电荷量和质量分别为、、、，它们先后以相同的速度从坐标原点沿轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是　　
A． B．
C． D．
5．（2020 江苏）如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球（不计重力）。开始时，两小球分别静止在、位置。现外加一匀强电场，在静电力作用下，小球绕轻杆中点转到水平位置，取点的电势为0。下列说法正确的有　　
A．电场中点电势低于点
B．转动中两小球的电势能始终相等
C．该过程静电力对两小球均做负功
D．该过程两小球的总电势能增加
6．（2020 新课标Ⅰ）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以为圆心，半径为的圆，为圆的直径，如图所示。质量为，电荷量为的带电粒子在纸面内自点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的点以速率穿出电场，与的夹角．运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为，该粒子进入电场时的速度应为多大？
7．（2020 天津）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源处飘出的离子初速度不计，经电压为的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为1的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏上被探测到，可测得离子从到的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为，不计离子重力。
（1）求质量为的离子第一次通过漂移管所用的时间；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为，求离子能进入反射区的最大距离；
（3）已知质量为的离子总飞行时间为，待测离子的总飞行时间为，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量。
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课时24 电容器带电粒子在电场中的运动
考纲对本模块内容的具体要求如下：
知道静电感应现象；
知道什么是电容器以及常用的电容器；
理解电容器的概念及其定义，并能进行相关的计算；
知道平行板电容器与哪些因素有关及
知道带电粒子在电场中的运动规律，并能分析解决加速和偏转方面的问题；
会结合力学知识分析解决带电粒子在复合场中的运动问题；
知道示波管的基本原理。
1.物理观念：电容器及电容观察常见电容器，了解电容器的电容，观察电容器的充、放电现象。能举例说明电容器的应用。
2.科学思维：带电粒子（带电体）在电场中的运动。
（1）会用动力学观点和能量观点解决电场作用下的直线运动
（2）应用带电粒子在匀强电场中的偏转规律解泱问题、会分析带电粒孑在重力、电场力作用下的偏转。
3.科学态度与责任：静电现象应用与安全。
（1）了解生产生活中关于静电的利用与防护的实例。
（2）能分析带电粒子在电场中的运动情况，能解释相关的物理现象。
知识点一：平行板电容器及其动态分析
1、电容器
（1）定义：任何两个彼此绝缘又互相靠近的导体，构成是一个电容器.
（2）电容器的充、放电：电容器有携带电荷、储存电荷的能力
电容器充电：使电容器带电的过程，也是电源的能量转化为电场能的过程.
电容器放电：使电容器上的电荷减少的过程，也是电场能转化为其它形式能的过程.
瞬间的充、放电过程电路中有电流通过，平衡后两板带等量异种电荷.
2、电容器的电容
（1）电容的物理意义：
是描述电容器储存电荷本领大小的物理量.
（2）电容器电容的定义：
电容器所带电量的绝对值与所加电压的比值，用字母C表示.
定义式： ，其中Q为其中一个导体所带电量的绝对值，U为两个导体之间的电压.
单位：国际单位是法拉，简称法，用F表示，常用的单位还有微法和皮法，换算关系是
（3）平行板电容器的电容：
　　式中k为静电力常量，k=9.0×109 N·m2/C2，介电常数ε由两极板之间介质决定.
(4）电容器的分类：
　　从构造上分：固定电容和可变电容
从介质上可分为：空气电容，纸质电容，电解电容，陶瓷电容、云母电容等等.
技巧点拨：
1.两类典型问题
（1）电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板冋的电势差保持不变。
（2）电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变。
2.动态分析思路
　（1）电容器两板间的电压U保持不变（与电源连接）
平行板电容器充电后，继续保持电容器两极板与电池两极相连接，电容器的、S、变化，将引起电容器的C、Q、U、E的变化。
可根据下列几式讨论C、Q、E的变化情况：
当d、S发生变化时，，，。
　（2）电容器的电荷量Q保持不变（与电源断开）
平行板电容器充电后，切断与电源的连接，电容器的、S、变化，将引起电容器的C、Q、U、E的变化。
可根据下列几式讨论C、U、E的变化清况：
，，。
知识点二：带电粒子在电场中的加速和减速运动
1.受力分析：
与力学中受力分析方法相同,知识多了一个电场力而已.如果带电粒子在匀强电场中，则电场力为恒力（qE）,若在非匀强电场，电场力为变力.
2.运动过程分析：
带电粒子沿与电场线平行的方向进入匀强电场，收到的电场力与运动方向在同一直线上，做匀加（减）速直线运动.
3.两种处理方法：
（1）力和运动关系法——牛顿第二定律：
带电粒子受到恒力的作用，可以方便地由牛顿第二定律求出加速度，结合匀变速直线运动的公式确定带电粒子的速度、时间和位移等.
（2）功能关系法——动能定理：
带电粒子在电场中通过电势差为UAB 的两点时动能的变化是，则.
例：如图真空中有一对平行金属板，间距为d，接在电压为U的电源上，质量为m、电量为q的正电荷穿过正极板上的小孔以v0进入电场，到达负极板时从负极板上正对的小孔穿出.不计重力，求：正电荷穿出时的速度v是多大？
解法一、动力学：由牛顿第二定律： ①
由运动学知识：v2－v02=2ad ②
联立①②解得：
解法二、动能定理： 解得
讨论：
（1）若带电粒子在正极板处v0≠0，由动能定理得qU=mv2-mv02 解得v=
（2）若将图中电池组的正负极调换，则两极板间匀强电场的场强方向变为水平向左，带电量为+q，质量为m的带电粒子，以初速度v0，穿过左极板的小孔进入电场，在电场中做匀减速直线运动.
①若v0>，则带电粒子能从对面极板的小孔穿出，穿出时的速度大小为v，
有 -qU=mv2-mv02 解得v=
②若v0<，则带电粒子不能从对面极板的小孔穿出，带电粒子速度减为零后，反方向加速运动，从左极板的小孔穿出，穿出时速度大小v=v0.
设带电粒子在电场中运动时距左极板的最远距离为x，由动能定理有： -qEx=0-mv02
又E=(式d中为两极板间距离) 解得x=.
知识点三：带电粒子在电场中的偏转
高中阶段定量计算的是，带电粒子与电场线垂直地进入匀强电场或进入平行板电容器之间的匀强电场.如图所示：
1.受力分析：
带电粒子以初速度v0垂直射入匀强电场中，受到恒定电场力（F=Eq）作用，且方向与初速度v0垂直.
2.运动状态分析
带电粒子以初速度v0垂直射入匀强电场中，受到恒力的作用，初速度与电场力垂直，做类平抛运动，其轨迹是抛物线：在垂直于电场方向做匀速直线运动；在平行于电场方向做初速度为零的匀加速直线运动.
（U为偏转电压，d为两板间的距离，L为偏转电场的宽度（或者是平行板的长度），v0为经加速电场后粒子进入偏转电场时的初速度.）
3.常用处理方法：应用运动的合成与分解的方法
垂直电场线方向的速度
沿电场线方向的速度是
合速度大小是： ，方向：
离开电场时沿电场线方向发生的位移
偏转角度也可以由边长的比来表示，过出射点沿速度方向做反向延长线，交入射方向于点Q，如图：
设Q点到出射板边缘的水平距离为x，则
又，
解得：
即带电粒子离开平行板电场边缘时，都是好象从金属板间中心线的中点处沿直线飞出的，这个结论可直接引用.
考点一：平行板电容器动态分析
（2021·全国）如图所示，平行板电容器带电后，静电计的指针偏转一定角度。若不改变电容器的带电量，下列操作可能使静电计指针的偏转角度变小的是（　　）
A．将左极板向左移动少许，同时在两极板之间插入电介质
B．将左极板向左移动少许，同时取出两极板之间的金属板
C．将左极板向左移动少许，同时在两极板之间插入金属板
D．将左极板向下移动少许，同时取出两极板之间的电介质
【答案】AC
【详解】
A．将左极板向左移动少许，则d变大，同时在两极板之间插入电介质，则ε变大，根据可知C可能变大，根据Q=CU可知，U可能减小，即静电计指针的偏转角度可能变小 ，选项A正确；
B．将左极板向左移动少许，则d变大，同时取出两极板之间的金属板，则也相当于d变大，根据可知C一定变小，根据Q=CU可知，U变大，即静电计指针的偏转角度变大 ，选项B错误；
C．将左极板向左移动少许，则d变大，同时在两极板之间插入金属板，则相当于d又变小，则总体来说可能d减小，根据可知C可能变大，根据Q=CU可知，U变小，即静电计指针的偏转角度可能变小 ，选项C正确；
D．将左极板向下移动少许，则S减小，同时取出两极板之间的电介质，则ε变小，根据可知C一定减小，根据Q=CU可知，U变大，即静电计指针的偏转角度一定变大 ，选项D错误；
故选AC。
变式训练：（2021·全国）如图所示，一水平放置的平行板电容器与电源相连。开始时开关闭合，一带电粒子沿两极板中心线方向以某一初速度射入，恰好沿中心线通过电容器。则下列判断正确的是（　　）
A．保持开关闭合，将B板竖直向上平移一小段距离，粒子可能打在电容器的A板上
B．保持开关闭合，将B板竖直向上平移一小段距离，粒子仍能沿原中心线通过电容器
C．断开开关，将B板竖直向上平移一小段距离，粒子可能打在电容器的A板上
D．断开开关，将B板竖直向上平移一小段距离，粒子仍能沿原中心线通过电容器
【答案】AD
【详解】
AB．开始时，粒子能沿直线飞过两板，可知粒子受向下的重力和向上的电场力，二力平衡，粒子带负电．若保持开关闭合，将B板竖直向上平移一小段距离，根据
E＝
可知，两板间场强变大，粒子所受向上的电场力变大，粒子向上偏转，则粒子可能打在电容器的A板上，选项A正确，B错误；
CD．断开开关，则两板带电荷量不变，根据
C＝
E＝
以及
C＝
可知
E＝
则将B板竖直向上平移一小段距离，两板间场强不变，粒子所受电场力不变，则粒子仍能沿原中心线通过电容器，选项D正确，C错误。
故选AD。
考点二：带电粒子在电场中的直线运动
例2.（2021·全国）一匀强电场，场强方向是水平的，如图所示，一个质量为m、电量为q的带正电的小球，从O点出发，初速度的大小为v0 ，在电场力和重力作用下恰好能沿与场强的反方向成θ角的直线运动，重力加速度为g，求：
(1)电场强度的大小；
(2)小球运动到最高点时其电势能与O点的电势能之差。
【答案】(1)；(2)
【详解】
(1)小球做直线运动，所受的电场力qE和重力mg的合力必沿此直线方向
如图所示由几何关系可知
解得
(2)小球做匀减速运动，由牛顿第二定律可得
设从O点到最高点的位移为s，根据运动学公式可得
联立可得
运动的水平距离
两点间的电势能之差
联立解得
变式训练．（2021·全国高三专题练习）如图所示，在真空中倾斜平行放置着两块带有等量异号电荷的金属板A、B，一个电荷量、质量的带电小球自A板上的孔P以大小为的水平速度飞入两板之间的电场，经后又回到P点，其间未与B板相碰，g取，则（ ）
A．板间电场强度大小为
B．板间电场强度大小为
C．板与水平方向的夹角
D．板与水平方向的夹角
【答案】AD
【详解】
对带电小球进行受力分析，如图所示，小球的加速度
根据几何关系得
故
解得
故A、D正确．
考点三：带电粒子在电场中的偏转
例3.（2022·全国高三专题练习）如图所示，虚线MN左侧有一场强为E1＝E的匀强电场，在两条平行的虚线MN和PQ之间存在着宽为L、电场强度为E2＝2E的匀强电场，在虚线PQ右侧相距为L处有一与电场E2平行的屏。现将一电子（电荷量为e，质量为m，不计重力）无初速度地放入电场E1中的A点，A点到MN的距离为 ，最后电子打在右侧的屏上，AO连线与屏垂直，垂足为O，求：
（1）电子从释放到打到屏上所用的时间t；
（2）电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角θ的正切值tan θ；
（3）电子打到屏上的点P′（图中未标出）到点O的距离x。
【答案】（1）3 ；（2）2；（3）3L
【详解】
（1）电子在电场E1中做初速度为零的匀加速直线运动，设加速度为a1，时间为t1，由牛顿第二定律得
由
得
电子进入电场E2时的速度为
进入电场E2到屏水平方向做匀速直线运动，时间为
电子从释放到打到屏上所用的时间为
联立求解得
（2）设粒子射出电场E2时平行电场方向的速度为vy，由牛顿第二定律得：电子进入电场E2时的加速度为
电子刚射出电场E2时的速度方向与AO连线夹角的正切值为
联立得
（3）带电粒子在电场中的运动轨迹如下图所示
设电子打到屏上的点P到O点的距离x，根据上图用几何关系得
联立得
变式训练：（2021·全国）如图所示，距离为d的平行金属板A、B间的电场强度为E，B板接地。靠近A板的M点有一放射源，能向各个方向发射质量为m，电量为-e的带电粒子，可以探测到B板上以N点为圆心、半径为r的圆形区域内都有带电粒子到达，粒子重力不计。求：
（1）粒子运动加速度a的大小；
（2）粒子初速度的最大值v0；
（3）粒子到达B板的最大动能Ekm。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）粒子加速度
（2）粒子速度方向平行于A板，做类平抛运动，打到B板距离N点最远
解得，
（3）由动能定理得
解得，
1．（2020 全国）一水平放置的平行板电容器，上、下极板分别接电池的正、负极。一质量为、带正电荷的粒子从紧靠上极板的位置由静止开始下落，到达下极板所用的时间为；另一质量为、带相同电荷量的粒子从同一位置由静止开始下落，到达下极板所用的时间为。已知质量为的粒子所受重力与其所受电场力的大小相等，则两粒子的质量之比为　　
A． B． C． D．
【解答】解：两粒子由静止开始下落，下落的位移相等，设为，即
，
则：
由牛顿第二定律可知：
对
对
并且：
联立解得：，故错误，正确；
故选：。
2．（2020 浙江）如图所示，一质量为、电荷量为的粒子以速度从连线上的点水平向右射入大小为、方向竖直向下的匀强电场中。已知与水平方向成角，粒子的重力可以忽略，则粒子到达连线上的某点时　　
A．所用时间为
B．速度大小为
C．与点的距离为
D．速度方向与竖直方向的夹角为
【解答】解：、粒子在电场中做类平抛运动，当到达连线上某点时，位移与水平方向的夹角为，根据牛顿第二定律，垂直电场方向的位移，平行电场方向的位移，根据几何关系，联立解得，故错误；
、水平速度，竖直方向速度，则到到达连线上某点速度，故错误；
、水平位移，竖直位移与水平位移相等，所以粒子到达连线上的点与点的距离即合位移为，故正确；
、速度方向与竖直方向的夹角正切值为，夹角不等于，故错误；
故选：。
3．（2020 浙江）如图所示，电子以某一初速度沿两块平行板的中线方向射入偏转电场中，已知极板长度，间距，电子质量，电荷量。若电子恰好从极板边缘射出电场，由以上条件可以求出的是　　
A．偏转电压 B．偏转的角度
C．射出电场速度 D．电场中运动的时间
【解答】解：、出射速度方向反向延长线过水平位移的中点，设偏转角度为，则，电子偏转的角度可求；
电子在电场中做类平抛运动，设初速度为，平行于极板方向做匀速直线运动，垂直于极板方向做初速度为零的匀加速直线运动，则运动时间为，离开电场时垂直于极板方向的分速度为，加速度，
，由于初速度不知道，所以偏转电压无法求解，故错误、正确；
、由于，两个速度都无法得到，故射出电场的速度无法求解，故错误；
、运动时间为，初速度不知道，偏转电压不知道，无法求解时间，故错误。
故选：。
4．（2021 乙卷）四个带电粒子的电荷量和质量分别为、、、，它们先后以相同的速度从坐标原点沿轴正方向射入一匀强电场中，电场方向与轴平行。不计重力，下列描绘这四个粒子运动轨迹的图像中，可能正确的是　　
A． B．
C． D．
【解答】解：设质量为、电荷量为的粒子经过时间在轴方向偏转位移为，粒子的初速度为，比荷为，电场强度大小为。
根据牛顿第二定律可得加速度大小为：
方向粒子做匀速直线运动，则有：，即经过相同时间水平位移相等
竖直方向根据位移时间关系可得：，整理可得：。
由于与的比荷相同，故轨迹相同，由于与其它三个粒子电性相反，故偏转方向相反。
、如果电场线平行于轴向下，则正电荷向下偏转、负电荷向上偏转，与重合，且与关于轴对称，在时刻沿方向的位移大于，故正确、错误；
、如果电场线平行于轴向上，则正电荷向上偏转、负电荷向下偏转，与重合，且与关于轴对称，在时刻沿方向的位移大于，故正确。
故选：。
5．（2020 江苏）如图所示，绝缘轻杆的两端固定带有等量异号电荷的小球（不计重力）。开始时，两小球分别静止在、位置。现外加一匀强电场，在静电力作用下，小球绕轻杆中点转到水平位置，取点的电势为0。下列说法正确的有　　
A．电场中点电势低于点
B．转动中两小球的电势能始终相等
C．该过程静电力对两小球均做负功
D．该过程两小球的总电势能增加
【解答】解：、根据顺着电场线电势降低，可得电场中点电势低于点，故正确；
、设，开始状态轻杆与电场线方向的夹角为，根据匀强电场中电势差与场强的关系得：
取点的电势为0，则有：
解得：
同理可得：
又根据电势能与电势的关系得小球的电势能为：，
转动中两小球沿电场线方向的距离相等，所以两小球的电势能始终相等，故正确；
、转动中两小球都沿电场力方向移动一段距离，根据电场力做功的条件可知，该过程静电力对两小球均做正功，所以该过程两小球的总电势能减小，故错误。
故选：。
6．（2020 新课标Ⅰ）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面是以为圆心，半径为的圆，为圆的直径，如图所示。质量为，电荷量为的带电粒子在纸面内自点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的点以速率穿出电场，与的夹角．运动中粒子仅受电场力作用。
（1）求电场强度的大小；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为，该粒子进入电场时的速度应为多大？
【解答】解：（1）粒子初速度为零，由点射出电场，故电场方向与平行，由指向。
由几何关系和电场强度的定义知：
①
②
由动能定理得
③
联立①②③解得④
（2）如图，由几何关系知，故电场中的等势线与平行。作与平行的直线与圆相切于点，与的延长线交于点，则自点从圆周上穿出的粒子的动能增量最大。
由几何关系知
，，⑤
设粒子以速度进入电场时动能增量最大，在电场中运动的时间为，粒子在方向做加速度为的匀加速运动，运动的距离等于；在垂直于方向上做匀速运动，运动的距离等于，由牛顿第二定律和运动学公式有：
⑥
⑦
⑧
联立②④⑤⑥⑦⑧式得⑨
（3）设粒子以速度进入电场时，在电场中运动的时间为。以为原点，粒子进入电场的方向为轴正方向，电场方向为轴正方向建立直角坐标系，由运动学公式有：
粒子离开电场的位置在圆周上，有
粒子在电场中运动时，其方向的动量不变，方向的初动量为零，设穿过电场前后动量变化量的大小为的粒子，离开电场时其方向的速度分量为，由题给条件及运动学公式有：
联立②④⑥式得：
或
另解：
由题意知，初速度为0时，动量增量大小为，此即问题的一个解。
自点以不同的速率垂直于电场方向射入电场的粒子，沿方向位移相等时，所用时间都相同，因此，不同粒子运动到线段上时，动量变化量都相同，自点射出电场的粒子，其动量变化也为，由几何关系和运动学规律可得，此时入射速率。
答：（1）电场强度的大小为；
（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为。
（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为，该粒子进入电场时的速度应为0或。
7．（2020 天津）多反射飞行时间质谱仪是一种测量离子质量的新型实验仪器，其基本原理如图所示，从离子源处飘出的离子初速度不计，经电压为的匀强电场加速后射入质量分析器。质量分析器由两个反射区和长为1的漂移管（无场区域）构成，开始时反射区1、2均未加电场，当离子第一次进入漂移管时，两反射区开始加上电场强度大小相等、方向相反的匀强电场，其电场强度足够大，使得进入反射区的离子能够反射回漂移管。离子在质量分析器中经多次往复即将进入反射区2时，撤去反射区的电场，离子打在荧光屏上被探测到，可测得离子从到的总飞行时间。设实验所用离子的电荷量均为，不计离子重力。
（1）求质量为的离子第一次通过漂移管所用的时间；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为，求离子能进入反射区的最大距离；
（3）已知质量为的离子总飞行时间为，待测离子的总飞行时间为，两种离子在质量分析器中反射相同次数，求待测离子质量。
【解答】解：（1）设离子经加速电场加速后的速度大小为，根据动能定理可得：①
离子在漂移管中做匀速直线运动，则：②
联立①②式，得：③
（2）从开始加速到反射区速度为零过程中，根据动能定理，有：④
解得：⑤
（3）离子在加速电场中运动和反射区电场中每次单向运动均为匀变速直线运动，平均速度大小均相等，设其为，有：⑥
通过⑤式可知，离子在反射区的电场中运动路程是与离子本身无关的，所以不同离子在电场区运动的总路程相等，设为，在无场区的总路程设为，根据题目条件可知，离子在无场区速度大小恒为，设离子的总飞行时间为，有：
⑦
联立①⑥⑦式，得：⑧
可见，离子从到的总飞行时间与成正比，依题意可得：
解得：
所以待测离子质量为：
答：（1）质量为的离子第一次通过漂移管所用的时间为；
（2）反射区加上电场，电场强度大小为，离子能进入反射区的最大距离为；
（3）待测离子质量为。
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