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第一章 数与式
第3讲 分式与二次根式
1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；
2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．
知识点一：分式的有关概念和性质
分式
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.
典例精讲
（2021·全国·八年级课前预习）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】略
分式的基本性质
　　（M为不等于零的整式）.
典例精讲
（2021·广东阳西·一模）如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
【答案】A
【分析】依题意，分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．
【详解】分别用2x和2y去代换原分式中的x和y，得：
化简后的结果和原式相同，
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
3．最简分式
　　分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
（2021·河北·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可．
【详解】A、原式==，不符合题意；
B、原式=-1，不符合题意；
C、符合题意；
D、=x-3y，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．
变式练习
1.（2021·广西贵港·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠－5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞－5
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件列不等式求解．
【详解】解：根据分式有意义的条件，可得：，
，
故选：A．
【点睛】本题考查分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是分母不能为零是解题关键．
2.（2021·全国·九年级专题练习）下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分式的基本性质逐项判断．
【详解】解：根据分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0，故B错误．
同时在分式的变形中，还要注意符号法则，即分式的分子、分母及分式的符号，只有同时改变两个其值才不变，故C、D也错误．
故选：A．
【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质．
3.（2021·河北张家口·一模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质分子、分母与分式的符号中任意改变其中两处的符号，分式的值不变逐个判断即可．
【详解】解：A、，符号改变了两处，改变了分子与分式的符号，分式的值不变，正确，故选项A不符合题意；
B、，符号改变了两处，改变了分子与分母的符号，分式的值不变，正确，故选项B不符合题意；
C、，符号改变了一处，改变了分母的符号，分式的值发生改变，不正确，故选项C符合题意；
D、， 符号改变了两处，改变了分子与分式的符号，分式的值不变，正确，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：①分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．
4.若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是___．（写出一个即可）
【答案】答案不唯一，如等.
【详解】设这个分式为，将m=5代入得到=12，a=60，故这个分式是．
5.（2020·山东滨州·中考真题）观察下列各式：， 根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．
【答案】
【分析】观察发现，每一项都是一个分数，分母依次为3、5、7，…，那么第n项的分母是2n+1；分子依次为2，3，10，15，26，…，变化规律为：奇数项的分子是n2+1，偶数项的分子是n2-1，即第n项的分子是n2+（-1）n+1；依此即可求解．
【详解】解：由分析得，
故答案为：
【点睛】本题考查学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
要点诠释：
分式的概念需注意的问题：
　　(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
　　（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；
　　（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．
　　（4）分式有无意义的条件：在分式中，
　　　　 ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．
　　　　 ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．
　　　　 ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．
知识点二：分式的运算
1．基本运算法则
　　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
　（1）加减运算 ±=
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
　 ；
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.
典例精讲
（2021·河北滦州·二模）化简分式过程中开始出现错误的步骤是（ ）
…………①
………②
…………③
…………④
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】利用异分母的分式的加减法则，可找出错误的步骤．
【详解】解：
，
．
即从②开始错误．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础
（2021·内蒙古新城·二模）分式的最简公分母是________， =__________
【答案】
【分析】先把两个分式分解因式，然后通分，即可得到答案；然后进行计算求值即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴，的最简公分母为：
∴
故答案为：，
【点睛】本题考查了因式分解和公分母，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
（2021·湖北青山·一模）计算的结果是______．
【答案】1
【分析】先化简，再进行分式的加减即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算．
（2021·吉林·中考真题）计算：__________．
【答案】
【分析】根据同分母分式的加减法则运算．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了同分母分式的加减，熟练掌握运算法则是解题的关键
（2021·江苏镇江·一模）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式．
问题解决：
（1）已知．
①代数式的值为_______；
②求证：．
（2）若x满足，求的值．
【答案】（1）①1；②证明见解析；（2）2021．
【分析】（1）①把xy=1代入，分母提取公因式，约分，再根据分式加法法则计算即可得答案；②由xy=1可得=1，同①的方法计算即可得结论；
（2）设，，可得，利用完全平方公式求出ab的值即可得答案．
【详解】（1）①∵xy=1，
∴
=
=
=
=1．
故答案为：1
②∵xy=1，
∴=1，
∴
=
=
=
=
=1．
（2）设，，
∴，
∵，
∴，
∴=4043-2ab=1，
解得：ab=2021，
∴=2021．
【点睛】本题考查利用提取公因式法和完全平方公式因式分解及分式的加法，熟练掌握完全平方公式及分式的加法法则是解题关键．
乘法运算
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
典例精讲
（2021·河北路南·二模）若为正整数，则计算的结果是（ ）
A．正整数 B．负整数
C．非负整数 D．非正整数
【答案】C
【分析】先将分式化简约分，由化简的结果判断，即可得答案．
【详解】，
∵为正整数，即x最小取1，
∴
∴结果为非负整数；
故选：C．
【点睛】本题主要考察分式的乘法运算，解题关键在于分式的约分化简．
（2020·山东·济南明湖中学二模）化简的结果是（ ）
A．x＋1 B．x＋2 C． D．
【答案】B
【分析】给第一个分式的分子因式分解后，约分即可．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的乘法．分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，则先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式或整式，若分子、分母是多项式，则先把分子、分母分解因式，看能否约分，再相乘．
（2021·广东·九年级专题练习）计算：
【答案】（或）
【分析】把分子分母分解因式约分即可.
【详解】原式＝
＝
＝ 或（）.
【点睛】本题考查了分式的乘法运算，两个分式相乘，把分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，并把分子、分母分解因式约分，把结果化成最简分式或整式.
（2021·北京门头沟·二模）已知：，求的值．
【答案】5
【分析】先根据分式的乘法法则进行化简，再由得到x=2y，代入即可求解
【详解】解：
；
当时，x=2y，
原式．
【点睛】本题考查了分式的乘法运算与化简求值，正确进行分式的化简是解题关键．
（2021·安徽·一模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并加以证明．
【答案】（1）；（2）第个等式：；证明见解析．
【分析】（1）依据所给的前6个等式的规律即可写出第7个等式；
（2）观察第1至6个等式，可猜测第n个等式为，通过计算证明等号左右两侧相等即可．
【详解】（1）第7个等式：
（2）第个等式：.
证明：左边右边，
故猜想成立．
【点睛】本题考查规律探索和分式的运算，解题的关键是根据所给的等式找出正确的规律．
（3）除法运算
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
典例精讲
（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简的结果是（ ）
A．－a－1 B．a－1 C．－a＋1 D．－ab＋b
【答案】B
【分析】将除法转换为乘法，然后约分即可．
【详解】原式=，
故选B．
【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．
（2021·山东张店·二模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把除法化为乘法，再进行约分，进而即可求解．
【详解】解：原式=
=
=，
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的除法运算，掌握分式的约分，是解题的关键．
（2021·河北邢台·二模）墨迹覆盖了“计算”中的右边计算结果，则覆盖的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把除法转化为乘法约分即可．
【详解】解：＝．
故选D．
【点睛】本题考查了分式的除法运算，两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘，再按乘法法则计算即可．
（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【分析】第一个小括号，先通分再求和，结合平方差公式、完全平方公式将因式分解成，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，最后代入数值计算即可．
【详解】解：
当时，
原式
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，涉及平方差、完全平方公式等因式分解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（2020·湖南娄底·中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，．
【分析】先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后选一个使得分式有意义的x的值代入求值即可．
【详解】原式
分式的分母不能为0
解得：m不能为，0，3
则选代入得：原式．
【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的运算法则是解题关键．
（4）乘方运算 （分式乘方）
分式的乘方，把分子分母分别乘方．
典例精讲
（2021·全国·八年级课前预习）分式乘方要把________、______分别乘方．
注意：
①分式乘方要把分子、分母分别乘方．
②分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为____，负数的奇次方为____．
【答案】分子 分母 正 负
【详解】略
（2021·全国·八年级课时练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解析：．
答案：C
易错：A
错因：乘方时忽略系数也要乘方．
满分备考：分式的乘方需注意，分式的分子和分母分别乘方，注意不要漏乘．
（2021·全国·八年级课时练习）计算 与的结果( )
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对
【答案】C
【详解】解：=-，
=，
所以它们互为相反数，
故选C
（2021·全国·八年级课时练习）（1）________；
（2）________；（3）________；（4）________．
【答案】
【分析】根据分式乘方的运算法则计算即可；
【详解】解：（1），
（2）
（3），
（4），
故答案为：，，
【点睛】本题考查了分式的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键
零指数 .
典例精讲
（2021·湖南永兴·八年级月考）若（2x-1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝－2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
【答案】C
【分析】根据零次幂的运算法则可知底数不为0，据此即可求得x的取值范围．
【详解】（2x-1）0有意义，则，
即．
故选C．
【点睛】本题考查了零次幂，理解是解题的关键．
（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用零指数幂的性质得出x的取值范围．
【详解】解：∵（x+2）0=1，
∴x+2≠0，
解得：x≠-2．
故选：C．
【点睛】本题考查了零指数幂的性质，正确把握零指数幂的性质是解题的关键．
（2021·江苏·苏州工业园区东沙湖实验中学七年级月考）下列各数（﹣2）0，﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣（﹣2）2中，负数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】先对每个数进行化简，然后再确定负数的个数．
【详解】∵（﹣2）0＝1，﹣（﹣2）＝2，（﹣2）2＝4，﹣（﹣2）2＝﹣4，
∴负数的个数有1个．
故选：A．
【点睛】本题考查绝对值，有理数的乘方、正数和负数的意义，正确化简各数是解题的关键．
（2020·全国·八年级单元测试）已知实数，，在数轴上对应的点在原点两旁，且，那么________．
【答案】1
【分析】先根据数轴的特点求出a+b的值，再根据0指数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：∵实数a，b，在数轴上对应的点在原点两旁，且|a|=|b|，
∴a+b=0，
∴aa+b=a0=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，熟知在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等是解答此题的关键．
负整数指数 　
典例精讲
（2020·福建晋江·八年级期末）计算7﹣1的结果是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
【答案】C
【分析】根据负整数指数幂的法则进行计算即可．
【详解】解：7﹣1＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了负整数指数幂的法则，属于基础题，熟记负整数指数幂的法则是解决本题的关键．
（2021·湖南永兴·八年级月考），，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的排列是____（用＜号连接）
【答案】
【分析】根据负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方分别计算，再比较大小即可．
【详解】，
故答案为：．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方，掌握负整数指数幂，零次幂，有理数的乘方是解题的关键．
（2021·山西·太原市第三十八中学八年级月考）若实数m、n满足，则mn＝___．
【答案】．
【分析】根据平方和二次根式的非负数的性质化简，求得、的值，再将、的值代入，利用负指数的性质计算可得答案．
【详解】解：∵
∴且，
解得，，
∴．
【点睛】本题主要考查平方和二次根式的非负数的性质，负指数的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）计算：并将结果化为正整指数幂的形式________．
【答案】
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了积的乘方以及同底数幂相乘，负整数指数幂，掌握以上知识是解题的关键．
（2021·河北·保定十三中九年级月考）已知，则______．
【答案】
【分析】先利用完全平方公式把多项式整理成两个整式平方和的形式，再根据平方数为非负数列式求解出x、y的值，然后代入计算即可求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∴，，
解得，，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了完全平方公式和非负性的性质，解题的关键是利用完全平方公式整理得到两个整式平方和．
分式的混合运算顺序
　 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
典例精讲
（2021·山东济南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分式的减法法则可直接进行求解．
【详解】解：；
故选B．
【点睛】本题主要考查分式的减法运算，熟练掌握分式的减法运算是解题的关键．
（2020·河北高阳·模拟预测）若，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【分析】先将N进行通分，再与M 比较即可.
【详解】，
∵ ，
∴ M＋N＝0，
故选：C.
【点睛】本题考查分式的加减混合运算，熟练掌握最简公分母的寻找是关键.
（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝3．
【答案】a﹣1，2
【分析】先将括号内进行通分，然后利用分式混合运算顺序和运算法则化简，再将a的值代入计算即可．
【详解】解：
，,
当时，
原式．
【点睛】题目主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则以及相关公式．
（2021·重庆八中三模）如果有一个三位数，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把的百位和个位互换位置得到数．并规定，例如918，∵且百位是9，∴918是“尔畔数”，．
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出；
（2）已知和都是“尔畔数”，且，并规定，求的最大值为多少？
【答案】（1）946不是“尔畔数”； ；（2）的最大值为．
【分析】（1）仿照样例进行计算便可；
（2）设s和t的个位数分别是，且，，根据样例求出，，再根据，求得，，进而求得的最大值．
【详解】（1）∵，
∴946不是“尔畔数”；
；
（2）∵s和t都是“尔畔数”，
设s和t的个位数分别是，且，，
∴，
，
，
，
∴，
，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴越大，才越大，
∴当时，最大，最大值为，
∴的最大值为．
【点睛】本题主要考查了新定义，分式的运算，关键是根据新定义，把新知识转化为常规知识进行解答．
约分
　 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
典例精讲
（2021·河北唐山·一模）若，则（ ）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】C
【分析】利用平方差公式分解因式，然后利用分式的基本性质约分即可得出答案．
【详解】∵，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查分式的基本性质，掌握平方差公式是关键．
（2021·云南五华·二模）化简______．
【答案】
【分析】先因式分解，约分变为最简分式，把分子变为和的形式．
【详解】解：，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查分式化简，因式分解，最简分式，约分，解题的关键是掌握分式化简方法：先因式分解，约分，再化为最简分式．
（2021·山东·利津县第一实验学校一模）若，则分式_____﹒
【答案】
【分析】将两边都乘，得：①，再将变形为②，将①代入②即可化简计算﹒
【详解】解：两边都乘，得：
①
②
将①代入②得：
故答案为：﹒
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
【答案】
【分析】首先将原式第三项约分，再把前两项括号展开，最后合并同类项即可得到结果．
【详解】解：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=（x﹣2）2﹣x（x﹣1）
=
=．
【点睛】此题主要考查了乘法公式和分式的约分，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
（2021·浙江鄞州·一模）若＝3，求的值．
【答案】．
【分析】直接利用已知得出b＝3a，进而代入化简得出答案．
【详解】∵，
∴b＝3a，
∴＝．
【点睛】本题考查了比例的性质和分式性质，利用等式性质求得b＝3a是解题关键．
通分
　　根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
典例精讲
（2020·河北·石家庄市第二十八中学二模）化简分式过程中开始出现错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【分析】根据异分母分式的加法法则可以检查出出错的步骤．
【详解】解：∵=
经过仔细比对，发现出错的步骤是题中所示②，分子相减时没有把第二个分子当作整体用括号括起来，
故选B．
【点睛】本题考查异分母分式的加减，先对异分母分式通分并在加减过程中把每个分子当作一个整体是解题关键 ．
（2021·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1
D．化简﹣的结果是1
【答案】D
【分析】根据分式的基本性质将分式约分，即可判断A与C；根据确定最简公分母的方法判断B；根据分式减法法则计算，即可判断D．
【详解】解：A、＝ ，故本选项错误；
B、分式与的最简公分母是x2﹣1，故本选项错误；
C、＝ ，故本选项错误；
D、﹣＝1，故本选项正确；
故选D．
【点睛】本题主要考查分式的通分和约分，这是分式的重要知识点，应当熟练掌握.
（2020·上海徐汇·二模）计算：________．
【答案】
【分析】将式子通分计算即可．
【详解】
【点睛】本题考查分式通分，正确寻找分母的最小公倍数是解题关键．
（2020·河南·二模）先化简，再求值：，然后从，，0，3中选择一个合适的整数代入求值．
【答案】，
【分析】本题首先利用通分计算括号部分，继而利用平方差以及完全平方公式化简原式，最后根据分式有意义的条件代入求值．
【详解】原式．
要使分式有意义，则，，即或．
∴当时，原式．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键在于对平方差或完全平方等公式的熟练运用，其次注意计算仔细即可．
变式练习
1．计算＋（π－）0＋|－2|的结果为（ ）
A．－1 B．－3 C．1 D．0
【答案】C
【详解】略
2．俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为的小洞，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．计算：．
【答案】4
【分析】根据立方根，绝对值的定义，负整数指数幂计算即可．
【详解】解：原式＝3﹣3+4
＝4．
【点睛】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，掌握是解题的关键．
4．先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先将除法转化为乘法，因式分解，约分，分式的减法运算，再将字母的值代入求解即可．
【详解】
．
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解是解题的关键．
5．先化简，再求值：先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】首先将分式的分子和分母因式分解，将除法转化为乘法，根据分式的混合运算法则化简分式，然后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
6．先化简，再求值；其中a是满足的一个整数，择一个合适数，代入求值．
【答案】，-3
【分析】先算括号里面的，再算除法，选取合适的a的值代入进行计算即可．
【详解】解：
=
=
=
∵a是满足的一个整数，
∴
当时，分式无意义，
∴
∴原式=．
【点睛】本题考查的是分式的化简求值，再选取a的值时要保证分式有意义．
要点诠释：
约分需明确的问题：
　　(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
　　(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．
通分注意事项：
　　(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．
　(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
(3)确定最简公分母的方法：
　　最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
　　最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
知识点三：二次根式的主要性质
1.；
2.；
3.；
4. 积的算术平方根的性质：；
5. 商的算术平方根的性质：.
6.若，则.
典例精讲
（2021·四川内江·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】B
【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件可得结果．
【详解】解：由题意得：，，
解得：且，
故选：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟知根号下为非负数以及分母不为零是解题的关键．
（2021·全国·八年级课时练习）已知且，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．
【详解】解：由题意：-a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，
∴a＜0，b≥0，
所以原式==，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．
（2021·内蒙古包头·三模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据数轴得到a，b的范围，再根据实数的运算法则，二次根式的性质，立方根的性质分别判断．
【详解】解：由数轴可知：a＜0＜b，|a|＞|b|，
∴a＜-b，，
∴a+b＜0，
∴，，
故选：B．
【点睛】本题考查的是实数与数轴，二次根式的性质，立方根的性质，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接把已知数据代入进而化简二次根式得出答案．
【详解】解：一个三角形的三边分别为，
∴它的面积是：
，
∴，
∴，
∴；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的应用，正确化简二次根式是解题关键．
（2021·广东·惠州一中一模）在函数中，自变量的取值范围是___________．
【答案】
【分析】根据算术平方根的非负性即可完成．
【详解】由题意，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，关键是掌握算术平方根的非负性．
（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）实数x、y满足关系式y＝，则xy等于 __．
【答案】-2
【分析】根据二次根式的性质求得值，求解即可．
【详解】解：由题意可得，，解得
则
∴
故答案为-2
【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是根据二次根式的性质求得值．
变式练习
1．（2021·江苏·二模）函数y＝1＋中自变量a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a≥2 C．a＜2 D．a≤2
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式求解即可．
【详解】根据题意得：2-a≥0，
解得：a≤2．
故选：D．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，根据二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式是解题的关键．
2．（2021·山东滨城·模拟预测）式子有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】根据分式和二次根式有意义的条件，判断实数的取值范围
【详解】有意义
解得：且
故选C
【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件，理解分式的性质和二次根式的性质是解题的关键．
3．（2021·江苏建邺·二模）若，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根据的性质 ，即可得结果．
【详解】∵
∴
∴
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，运用此性质时特别注意被平方数中底数的符号．
4．（2021·黑龙江龙沙·三模）在函数中，自变量的取值范围是______．
【答案】且
【分析】根据分母不为0和二次根式被开方数大于或等于0列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意列不等式组得，，
解得且，
故答案为且．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分母不为0，解题关键是根据题意列出不等式组，准确的解不等式组．
5．（2021·云南昭通·二模）实践与探索
（1）填空：________；________．
（2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________．
（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为．
【答案】（1）3，5；（2）a，；（3）2
【分析】（1）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（2）直接利用二次根式的性质化简求出答案；
（3）直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】解：（1）3； =5；
故答案为：3，5；
（2）当a≥0时a；当a＜0时，-a；
故答案为：a，-a；
（3）由数轴可得x的取值范围为，
∴x-2＞0、x-4＜0，
∴
=2．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
要点诠释：
与的异同点：
（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的， ，而
（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，
而.
知识点四：二次根式的运算
1．二次根式的乘除运算
(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2)注意知道每一步运算的算理；
典例精讲
（2021·四川绵阳·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意化简为最简二次根式后依据二次根式的乘法运算法则进行运算即可得出答案.
【详解】解：
故选：D.
【点睛】本题考查二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键.
（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．
【详解】A、被开方数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是有理数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．
（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）先通分合并后，因式分解，然后约分化简即可；
（2）先把式子移项求，然后整体代入，进行二次根式乘法运算即可．
【详解】解：（1）；
（2）∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算，掌握分式化简计算，会通分因式分解与约分，二次根式的乘法运算是解题关键．
（2021·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先算括号内的减法，再把除法化为乘法，然后因式分解，约分化简，代入求值，再将结果化为最简二次根式即可．
【详解】解：原式=
，
将代入，原式．
【点睛】本题主要考查分式的化简求值，掌握因式分解，分式的通分，约分，二次根式的化简是解题的关键．
（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2021个等腰直角三角形的面积是_____．
【答案】
【分析】根据A1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．
【详解】解：∵点A1（0，2），
∴第1个等腰直角三角形的面积==2，
∵A2（6，0），
∴第2个等腰直角三角形的边长为 =，
∴第2个等腰直角三角形的面积==4=，
∵A4（10，），
∴第3个等腰直角三角形的边长为10 6=4，
∴第3个等腰直角三角形的面积==8=，
…
第n个等腰直角三角形的面积
则第2021个等腰直角三角形的面积是；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查坐标与图形变化以及找规律，熟练掌握方法是关键.
2．二次根式的加减运算
先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；
典例精讲
（2021·山东东营·中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则、二次根式的运算法则依次计算各项后即可解答．
【详解】选项A，和不是同类项，不能够合并，选项A错误；
选项B，根据完全平方公式可得，选项B正确；
选项C，根据积的乘方的运算法则可得，选项C错误；
选项D，与不能够合并，选项D错误．
故选B．
【点睛】本题考查了合并同类项法则、完全平方公式、积的乘方的运算法则及二次根式的运算法则，熟练运用公式和法则是解决问题的关键．
（2021·江苏南京·中考真题）计算的结果是________．
【答案】
【分析】分别化简和，再利用法则计算即可．
【详解】解：原式=；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及到二次根式的化简等知识，解决本题的关键是牢记二次根式的性质和计算法则等．
（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）计算：．
【答案】．
【分析】由算术平方根、绝对值的意义，负整数指数幂的运算法则进行化简，即可得到答案．
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，以及算术平方根、绝对值的意义，负整数指数幂，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：
【答案】
【分析】分别进行负整数指数幂运算、特殊角的三角函数值运算、绝对值运算、二次根式运算即可解答
【详解】解：
=
=
=．
【点睛】本题考查负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式，熟记特殊角的三角函数值，掌握运算法则是解答的关键．
（2021·吉林朝阳·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，－4
【分析】先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【详解】解：
．
当时，原式．
【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键．
3．二次根式的混合运算
(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；
(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
典例精讲
（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知，，则__________．
【答案】
【分析】先把代数式分解因式，然后代值求解即可得到答案.
【详解】解：
，
∵，，
∴，，，
∴，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查了利用提公因式和平方差公式分解因式，代数式求值，解题的关键在于能够根据题意正确的分解因式.
（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】将括号里先通分，除法化为乘法，化简，再代值计算．
【详解】解：
，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．还考查了二次根式的混合运算．
（2021·青海西宁·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】由平方差公式、完全平方公式进行化简，再计算加减运算，即可得到答案．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，以及平方差公式、完全平方公式，解题的关键是掌握运算法则，正确的进行化简．
（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】先将二次根式化成最简二次根式、化简绝对值、负整数次幂进行化简，然后再计算即可．
【详解】解：
，
．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简、负整数次幂、绝对值等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
（2021·辽宁锦州·中考真题）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
【答案】x（x＋2），3﹣2
【分析】先把括号内的分式通分，再将除法转化为乘法，把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，最后代入求值．
【详解】解：原式＝×
＝×
＝x（x＋2）．
把x＝﹣2代入，原式＝（﹣2）（﹣2＋2）＝3﹣2．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
变式练习
1．（2021·福建·模拟预测）在算式□的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
【答案】D
【分析】根据二次根式的运算可直接进行求解．
【详解】解：当□中填上加号时，则有，
当□中填上减号时，则有；
当□中填上乘号时，则有；
当□中填上除号时，则有，
∴；
故选D．
【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
2．（2021·台湾·模拟预测）下列等式何者不成立（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A、原式，所以A选项不符合题意；
B、原式，所以B选项不符合题意；
C、原式，所以C选项符合题意；
D、原式，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决问题的关键．
3．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）化简：_______．
【答案】
【分析】直接利用二次根式的乘法法则计算即可得出答案．
【详解】解：原式
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
4．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）计算：___________．
【答案】
【分析】二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，准确计算是解题的关键．
5．（2021·广西·南宁十四中三模）化简求值：，其中．
【答案】；
【分析】先根据分式的加法运算化简，最后根据整式的运算法则化简，再将字母的值代入求解即可．
【详解】
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，二次根式的乘法运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
6．（2021·广西河池·中考真题）计算：．
【答案】
【分析】根据二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则求解即可得到答案.
【详解】解：
【点睛】本题主要考查了二次根式的性质化简，负整数指数幂，绝对值和有理数的乘方计算法则，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
7．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据乘方公式进行化简，再代入故可求解．
【详解】．
当时，原式．
【点睛】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知二次根式与整式乘法的运算法则．
8．（2021·江苏·苏州高新区第五初级中学校二模）计算：
【答案】
【分析】先计算整数指数幂、化简二次根式、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减可得；
【详解】解：原式
．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
9．（2021·江苏盐都·二模）计算：
【答案】5
【分析】根据二次根式的乘法以及分母有理化进行计算即可；
【详解】解：原式＝；
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键
10．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】原式利用分式的混合运算法则计算并化简，再将x值代入计算即可．
【详解】解：
=
=
=
将代入，
原式==．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
要点诠释：
怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.
1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；
2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.
(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.
例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；
(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.
如：，利用了平方差公式.
所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.
考情分析
考点梳理
例1
例1
例1
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例4
例5
例1
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例3
例4
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例1
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例1
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例3
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例1
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例4
例5
例6
例1
例2
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例5
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第一章 数与式
第3讲 分式与二次根式
1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程；
2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算．
知识点一：分式的有关概念和性质
分式
设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.
典例精讲
（2021·全国·八年级课前预习）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
分式的基本性质
　　（M为不等于零的整式）.
典例精讲
（2021·广东阳西·一模）如果把分式 中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ）
A．不变 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍
3．最简分式
　　分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
（2021·河北·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
变式练习
1.（2021·广西贵港·中考真题）若分式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠－5 B．x≠0 C．x≠5 D．x＞－5
2.（2021·全国·九年级专题练习）下列各式从左到右的变形正确的是（　　）
A． B． C． D．
3.（2021·河北张家口·一模）下列各式从左到右的变形中，不正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.若一个分式含有字母，且当时，它的值为12，则这个分式可以是___．（写出一个即可）
5.（2020·山东滨州·中考真题）观察下列各式：， 根据其中的规律可得________（用含n的式子表示）．
要点诠释：
分式的概念需注意的问题：
　　(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；
　　（2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；
　　（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．
　　（4）分式有无意义的条件：在分式中，
　　　　 ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．
　　　　 ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．
　　　　 ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．
知识点二：分式的运算
1．基本运算法则
　　分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
　（1）加减运算 ±=
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
　 ；
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算.
典例精讲
（2021·河北滦州·二模）化简分式过程中开始出现错误的步骤是（ ）
…………①
………②
…………③
…………④
A．① B．② C．③ D．④
（2021·内蒙古新城·二模）分式的最简公分母是________， =__________
（2021·湖北青山·一模）计算的结果是______．
（2021·吉林·中考真题）计算：__________．
（2021·江苏镇江·一模）阅读材料：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
例如：已知，求的值．
解：原式．
问题解决：
（1）已知．
①代数式的值为_______；
②求证：．
（2）若x满足，求的值．
乘法运算
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
典例精讲
（2021·河北路南·二模）若为正整数，则计算的结果是（ ）
A．正整数 B．负整数
C．非负整数 D．非正整数
（2020·山东·济南明湖中学二模）化简的结果是（ ）
A．x＋1 B．x＋2 C． D．
（2021·广东·九年级专题练习）计算：
（2021·北京门头沟·二模）已知：，求的值．
（2021·安徽·一模）观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第7个等式：________；
（2）写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并加以证明．
（3）除法运算
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
典例精讲
（2021·安徽·合肥市五十中学东校三模）化简的结果是（ ）
A．－a－1 B．a－1 C．－a＋1 D．－ab＋b
（2021·山东张店·二模）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2021·河北邢台·二模）墨迹覆盖了“计算”中的右边计算结果，则覆盖的是（ ）
A． B． C． D．
（2021·湖南湘潭·中考真题）先化简，再求值：，其中．
（2020·湖南娄底·中考真题）先化简，然后从，0，1，3中选一个合适的数代入求值．
（4）乘方运算 （分式乘方）
分式的乘方，把分子分母分别乘方．
典例精讲
（2021·全国·八年级课前预习）分式乘方要把________、______分别乘方．
注意：
①分式乘方要把分子、分母分别乘方．
②分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为____，负数的奇次方为____．
（2021·全国·八年级课时练习）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2021·全国·八年级课时练习）计算 与的结果( )
A．相等 B．互为倒数 C．互为相反数 D．以上都不对
（2021·全国·八年级课时练习）（1）________；
（2）________；（3）________；（4）________．
零指数 .
典例精讲
（2021·湖南永兴·八年级月考）若（2x-1）0有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＝－2 B．x≠0 C．x≠ D．x＝
（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2021·江苏·苏州工业园区东沙湖实验中学七年级月考）下列各数（﹣2）0，﹣（﹣2），（﹣2）2，﹣（﹣2）2中，负数的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
（2020·全国·八年级单元测试）已知实数，，在数轴上对应的点在原点两旁，且，那么________．
负整数指数 　
典例精讲
（2020·福建晋江·八年级期末）计算7﹣1的结果是（ ）
A．7 B．﹣7 C． D．﹣
（2021·湖南永兴·八年级月考），，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的排列是____（用＜号连接）
（2021·山西·太原市第三十八中学八年级月考）若实数m、n满足，则mn＝___．
（2021·湖南·衡阳市华新实验中学八年级月考）计算：并将结果化为正整指数幂的形式________．
（2021·河北·保定十三中九年级月考）已知，则______．
分式的混合运算顺序
　 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的．
典例精讲
（2021·山东济南·中考真题）计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
（2020·河北高阳·模拟预测）若，，则与的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a＝3．
（2021·重庆八中三模）如果有一个三位数，百位为9，十位和个位之和也是9，我们把这个三位数称为“尔畔数”，把的百位和个位互换位置得到数．并规定，例如918，∵且百位是9，∴918是“尔畔数”，．
（1）判断946是不是“尔畔数”，求出；
（2）已知和都是“尔畔数”，且，并规定，求的最大值为多少？
约分
　 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分．
典例精讲
（2021·河北唐山·一模）若，则（ ）
A．3 B．-3 C． D．
（2021·云南五华·二模）化简______．
（2021·山东·利津县第一实验学校一模）若，则分式_____﹒
（2021·广西梧州·中考真题）计算：（x﹣2）2﹣x（x﹣1）．
（2021·浙江鄞州·一模）若＝3，求的值．
通分
　　根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分．
典例精讲
（2020·河北·石家庄市第二十八中学二模）化简分式过程中开始出现错误的步骤是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
（2021·全国·九年级专题练习）关于分式的约分或通分，下列哪个说法正确（　　）
A．约分的结果是
B．分式与的最简公分母是x﹣1
C．约分的结果是1
D．化简﹣的结果是1
（2020·上海徐汇·二模）计算：________．
（2020·河南·二模）先化简，再求值：，然后从，，0，3中选择一个合适的整数代入求值．
变式练习
1．计算＋（π－）0＋|－2|的结果为（ ）
A．－1 B．－3 C．1 D．0
2．俗话说：“水滴石穿”，水滴不断地落在一块石头的同一个位置，经过若干年后，石头上形成了一个深度为的小洞，数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．计算：．
4．先化简，再求值：，其中．
5．先化简，再求值：先化简，再求值：，其中．
6．先化简，再求值；其中a是满足的一个整数，择一个合适数，代入求值．
要点诠释：
约分需明确的问题：
　　(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等；
　　(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积．
通分注意事项：
　　(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积．
　(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉．
(3)确定最简公分母的方法：
　　最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
　　最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积.
知识点三：二次根式的主要性质
1.；
2.；
3.；
4. 积的算术平方根的性质：；
5. 商的算术平方根的性质：.
6.若，则.
典例精讲
（2021·四川内江·中考真题）函数中，自变量的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
（2021·全国·八年级课时练习）已知且，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
（2021·内蒙古包头·三模）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）秦九是我国南宋著名的数学家，他与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，在他所著的《数书九章》中记录了三斜求积术，即三角形的面积，其中，，为三角形的三边长．若一个三角形的三边分别为，用公式计算出它的面积为（ ）
A． B． C． D．
（2021·广东·惠州一中一模）在函数中，自变量的取值范围是___________．
（2021·山东·日照市田家炳实验中学一模）实数x、y满足关系式y＝，则xy等于 __．
变式练习
1．（2021·江苏·二模）函数y＝1＋中自变量a的取值范围是（ ）
A．a＞2 B．a≥2 C．a＜2 D．a≤2
2．（2021·山东滨城·模拟预测）式子有意义，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
3．（2021·江苏建邺·二模）若，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·黑龙江龙沙·三模）在函数中，自变量的取值范围是______．
5．（2021·云南昭通·二模）实践与探索
（1）填空：________；________．
（2）观察第（1）的结果填空：当时，________；当时，________．
（3）利用你总结的规律计算：，其中x的取值范围在数轴上表示为．
要点诠释：
与的异同点：
（1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数．但与都是非负数，即，．因而它的运算的结果是有差别的， ，而
（2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，
而.
知识点四：二次根式的运算
1．二次根式的乘除运算
(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2)注意知道每一步运算的算理；
典例精讲
（2021·四川绵阳·中考真题）计算的结果是（ ）
A．6 B． C． D．
（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
（2021·广东广州·中考真题）已知
（1）化简A；
（2）若，求A的值．
（2021·湖北黄石·中考真题）先化简，再求值：，其中．
（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点变换到点，得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2021个等腰直角三角形的面积是_____．
2．二次根式的加减运算
先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；
典例精讲
（2021·山东东营·中考真题）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（2021·江苏南京·中考真题）计算的结果是________．
（2021·江苏·苏州市胥江实验中学校二模）计算：．
（2021·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）计算：
（2021·吉林朝阳·二模）先化简，再求值：，其中．
3．二次根式的混合运算
(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；
(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
典例精讲
（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知，，则__________．
（2021·福建·重庆实验外国语学校模拟预测）先化简，再求值：，其中．
（2021·青海西宁·中考真题）计算：．
（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）计算：．
（2021·辽宁锦州·中考真题）先化简，再求值：（x﹣1﹣）÷，其中x＝﹣2．
变式练习
1．（2021·福建·模拟预测）在算式□的□中填上运算符号，使结果最大，这个运算符号是（ ）
A．加号 B．减号 C．乘号 D．除号
2．（2021·台湾·模拟预测）下列等式何者不成立（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）化简：_______．
4．（2021·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校二模）计算：___________．
5．（2021·广西·南宁十四中三模）化简求值：，其中．
6．（2021·广西河池·中考真题）计算：．
7．（2021·吉林·长春市解放大路学校模拟预测）先化简，再求值：，其中．
8．（2021·江苏·苏州高新区第五初级中学校二模）计算：
9．（2021·江苏盐都·二模）计算：
10．（2021·江苏·苏州草桥中学一模）先化简，再求值：，其中．
要点诠释：
怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.
1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；
2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.
(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.
例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，，通过约分达到化简目的；
(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.
如：，利用了平方差公式.
所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.
考情分析
考点梳理
例1
例1
例1
例1
例2
例3
例4
例5
例1
例2
例3
例4
例5
例1
例2
例3
例4
例5
例1
例2
例3
例4
例1
例2
例3
例4
例1
例2
例3
例4
例5
例1
例2
例3
例4
例1
例2
例3
例4
例5
例1
例2
例3
例4
例1
例2
例3
例4
例5
例6
例1
例2
例3
例4
例5
例1
例2
例3
例4
例5
例1
例2
例3
例4
例5
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