资源简介

第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第一课时
学案
一、学习目标
1. 借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2. 能利用导数求某些函数的极大值、极小值；
3. 体会导数与单调性、极值的关系.
二、基础梳理
求函数的极值的方法：
解方程，当时：
（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是__________值；
（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是__________值.
三、巩固练习
1.函数的极值点为( )
A.0，1，-1 B. C. D.，
2.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
3.函数在上( )
A.有极小值 B.有极大值
C.既有极小值又有极大值 D.无极值
4.已知函数的导函数的图象如图所示，则函数有( )
A.两个极大值，一个极小值 B.两个极大值，无极小值
C.一个极大值，一个极小值 D.一个极大值，两个极小值
5.已知函数既存在极大值，又存在极小值，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.能说明“若，则是函数极值点”为假命题的一个函数是_________.
7.已知函数在区间上存在极值，则实数a的取值范围是_____.
8.若，为函数相邻的两个极值点，且在，处分别取得极小值和极大值，则定义为函数的一个“极优差”.那么，函数的“极优差”为__________.
9.求下列函数的极值：
（1）；
（2）.
10.若函数，当时，函数取得极值.
（1）求函数的解析式；
（2）若方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围.
参考答案
基础梳理
极大；极小
巩固练习
1.答案：B
解析：由已知，得的定义域为，.令，得（舍去）.当时，；当时，.所以当时，取得极小值.故的极小值点为，无极大值点，选B.
2.答案：C
解析：由题意，得当时，，，排除B和D；当时，，所以当时，，当时，，排除A，故选C.
3.答案：A
解析：，由，得.由，得.所以在上单调递减，在上单调递增，所以在上有极小值，无极大值.故选A.
4.答案：C
解析：由图可知导函数有三个零点，依次设为，当时，，当时，，所以函数在处取得极小值；当时，，当时，，所以函数在处无极值；当时，，所以函数在处取得极大值，故选C.
5.答案：B
解析：，
，
函数既存在极大值，又存在极小值，
导函数有两个不相等的变号零点，
，即，解得或.
实数的取值范围是，故选B.
6.答案：或(答案不唯一)
解析：极值点的导数必须为零，且极值点左右两侧的函数单调性相反.如函数，当时，，但是在上单调递增，所以不是函数的极值点.
7.答案：
解析：，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以是函数的极大值点.又函数在区间上存在极值，所以，解得，即实数a的取值范围是.
8.答案：
解析：由题意，得，令，即，得或，当时，为减函数；当时，为增函数；当时，为减函数；故的极大值为，极小值为，“极优差”为.
9.答案：（1）.
令，解得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：
x -2 2
- 0 + 0 -
单调递减 -10 单调递增 22 单调递减
由上表看出，当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为.
（2）.
令，解得，.
当x变化时，，的变化情况如下表：
x -1 1
- 0 + 0 -
单调递减 -3 单调递增 -1 单调递减
由上表看出，当时，取得极小值，为；
当时，取得极大值，为.
10.答案：(1)，
由题意得解得
.
(2)由(1)可得.
令，得或.
当时，;当时，;当时，.
当时，取得极大值，当时，取得极小值.
函数的大致图象如图.
由图可知的取值范围是.

展开更多......

收起↑