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4.1.3幂函数
一、选择题:
1.(多选)若函数f(x)=(3m2-10m+4)xm是幂函数,则f(x)一定( )
A.是偶函数
B.是奇函数
C.在x∈(-∞,0)上单调递减
D.在(-∞,0)上单调递增
2.(多选)下列说法中错误的有( )
A.y=x0的图象是一条直线
B.幂函数的图象不过第四象限
C.若函数y=的定义域是{x|x>2},则它的值域
是{y|y<}
D.若幂函数的图象过点(4,2),则它的单调递增区间是[0,+∞)
3.图中的曲线是幂函数y=在第一象限内的图像,已知a取±2,±四个值,则相应曲,,,对应的a值依次为( )
A.-2,-,2 B.2,-,-2
C.--2,2, C.2,,-2,-
4.下列函数中,与函数y=有相同定义域的是( )
A.f(x)=Inx B.f(x)=
C.f(x)=|x| D.f(x)=
5.已知幂函数f(x)=xa的图象经过点(2,),则的值为( )
A.4 B.- C. D.-4
6.若幂函数y=f(x)的图象经过点(2,),则f(3)=( )
A. B. C.3 D.9
7.函数y=(m2+2m-2)是幂函数,则m=( )
A.1 B.-3 C.-3或1 D.2
8.已知函数y=f(x),y=g(x),y=h(x)的图象如图所示,则( )
A.f(x)=,g(x)=x2,h(x)=x3
B.f(x)= ,g(x)=x3, h(x)=x2
C.f(x)=x3,g(x)= , h(x)=x2
D.f(x)=x2,g(x)=x3,h(x)=
9.幂函数f(x)=x的大致图象为( )
10.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)在(0,+∞)上单调递减,则n的值为( )
A.1或-3 B.1 C.-3 D.-1或3
11.函数f(x)=xa+b,不论a为何值,f(x)的图象均过点(m,0),则实数b的值为( )
A.-1 B.1 C.2 D.3
12.已知f(x)=,若0A.f(a)B.f()C.f(a)D.f()二、填空题:
13.已知函数f(x)=+2x(≠0),且f(4)=10,则=______.若f(m)>f(-m+1),则实数m的取值范围是_______.
14.若函数f(x)=(m2+3m+1)是幂函数,且其图像过原点，则m=_______.
15.已知幂函数f(x)=的图像过点(2,),则f(4)=________.
16.已知a∈{-2,-1,-,2}若幂函数y=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,则a=______.
三、解答题:
17.已知函数f(x)=()为幂函数且为奇函数.
(1)求m的值
(2)求函数g(x)=f(x)+在x∈[0,]的值域.
18.已知点(,2)与点(-2,-)分别在幂函数f(x),g(x)的图像上,求当x为何值时,有:
(1)f(x)>g(x);
(2)f(x)=g(x);
(3)f(x)19.定义函数f(x)=max{,},x∈(-∞,0)
(0,+ ∞),求f(x)的最小值.
20.已知幂函数f(x)=(2m2+m-2)在(0,+∞)上单调递增.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f()21.已知2a 3b=2c3d=6,
求证:(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)
22.已知幂函数(x)=,其中
m{m|2①在区间(0,+∞)上单调递增;
②对任意的xR,都有f(-x)+f(x)=0
求同时满足条件①②的幂函数f(x)的解析式,并求x∈[0,3]时f(x)的值域.
答案:
1.BD,2.AC,3.C,4.A,5.D,6.B,7.B,8.D,9.D,
10.B,11.A,12.A
13.,( ,14.-3,15.2,16.-2
17. 解答
(1). 函数f(x)=()为幂函数.
m=5或m=0
当m=5时，f(x)=x6是偶函数，不满足题意，
当m=0时，f(x)=x是奇函数，满足题意；
m=0,
(2) g(x)=x+
g(x)在x∈[0,]为减函数，
g()≤g(x)≤g(0)
即≤g(x)≤1
g(x)的值域为[,1].
18. 解答
设f(x)=,g(x)=.
f()=2, =2,
=2
g(-2)=- , =-,
=-1
f(x)=x2,g(x)=x-1,
令h(x)=f(x)-g(x)
=x2-x-1=x2-=
(1)f(x)>g(x)等价于
f(x)-g(x)= >0
则或,
解的x>1或x<0
(2)f(x)=g(x) 等价于
f(x)-g(x)= =0
解的x=1,
(3).f(x)>g(x)等价于
f(x)-g(x)= <0
则或
解的019. 解答
f(x)=max{,},x∈(-∞,0)
(0,+ ∞),
f(x)总是取x2和x-2中最大的一个。
令x2>x-2,得x>1或x<-1
令x2≤x-2,得-1≤x≤1且x≠0
所以f(x)=,
函数f(x)的图像如图所示。
由图可知f(x)在x=-1与x=1时取得最小值1，所以函数f(x)的最小值为1.
20.解答
幂函数f(x)= (2m2+m-2)在(0,+∞)上单调递增.
2m2+m-2=1,且2m+1>0,解的m-1.
f(x)=x3
(2)若f()0≤<,
21. 证明：2a3b=2c3d=6
2a-1=31-b=k>0,2c-1=31-d=m>0
a-1=,1-b=,
c-1=,1-d=
(a-1)(1-d)= ,
(1-b)(c-1)=
(a-1)(1-d)=(1-b)(c-1)
(a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)
22. 解答
∵幂函数y=f(x)在区间(0,+∞)为增函数,
则-2m -m+3>0,
即2m +m-3<0,
解得:m∈(-,1)
又∵m∈Z,
∴.m=-1,或m=0,
当m=-1时,y=f(x)=x 为偶函数,
不满足f(-x)+f(x)=0;
当m=0时,y=f(x)=x 为奇函数,满
足f(-x)+f(x)=0;
当x∈[0,3]时,f(x)∈[0,27],
即函数f(x)的值域为[0,27].
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