资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题16 抛物线
重点题型
题型一、抛物线的定义（理解）
1．曲线与方程（多是利用定义求方程）
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；
（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.
2．求抛物线方程的方法——待定系数法：
其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
（1）定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向.
（2）设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程.
（3）寻关系：根据条件列出关于p的方程.
（4）得方程：解方程，将p代入所设方程为所求.
题型二、抛物线的标准方程及简单几何性质（熟记）
范 围
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
焦点
准线方程
顶 点 坐标原点(0，0)
离心率
题型三、抛物线的综合问题
1．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，则
抛物线方程
焦半径公式
2．抛物线的焦点弦
即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦，设AB为焦点弦，，，则
抛物线方程
焦点弦公式
3．抛物线的通径
通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，，即抛物线的通径长为2p．
4．一些解题的快速小技巧：
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
（7）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.
（8）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
考点集训
一、单选题
1．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
2．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
6．是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
7．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为( )
A.1 B. C.2 D.2
8．过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于、两点，以的准线上一点为圆心作圆经过、两点，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y
10．设抛物线的焦点为.点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
11．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（　　）
A．线段长度的最小值为4 B．为锐角
C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为
12．在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形
B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2
D．若为正三角形，则该三角形的面积为
13．过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
三、填空题
14．抛物线的准线方程为_____．
15．如图所示，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上，则抛物线的方程为________．
16．已知抛物线与直线相切，则__________．
17．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
18．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
19．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
20．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
四、解答题
21．已知抛物线：()的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点).
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线
C上异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．
23．已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.
24．已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题16 抛物线
重点题型
题型一、抛物线的定义（理解）
1．曲线与方程（多是利用定义求方程）
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点F与准线垂直的直线对称，这条直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴．
（1）顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（2）顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为；
（3）顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为；
（4）顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为.
注意：直线l不经过点F，若l经过F点，则轨迹为过定点F且垂直于定直线l的一条直线．抛物线标准方程中参数p的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以p的值永远大于0.
2．求抛物线方程的方法——待定系数法：
其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
（1）定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向.
（2）设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程.
（3）寻关系：根据条件列出关于p的方程.
（4）得方程：解方程，将p代入所设方程为所求.
题型二、抛物线的标准方程及简单几何性质（熟记）
范 围
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
焦点
准线方程
顶 点 坐标原点(0，0)
离心率
题型三、抛物线的综合问题
1．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点与抛物线焦点F的连线段，则
抛物线方程
焦半径公式
2．抛物线的焦点弦
即过焦点F的直线与抛物线所成的相交弦，设AB为焦点弦，，，则
抛物线方程
焦点弦公式
3．抛物线的通径
通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于A，B两点的线段AB，，即抛物线的通径长为2p．
4．一些解题的快速小技巧：
直线AB过抛物线的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为2p.
（3）＋为定值.
（4）弦长AB＝(α为AB的倾斜角)．
（5）以AB为直径的圆与准线相切．
（6）焦点F对A，B在准线上射影的张角为90°.
（7）在抛物线中，以M(x0，y0) 为中点的弦所在直线的斜率.
（8）当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于两个不同的点，则弦长.
考点集训
一、单选题
1．如果抛物线的准线是直线，那么它的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（2，0） C．（3，0） D．
【答案】D
【解析】由于抛物线的准线是直线，所以它的焦点为.故选D
2．焦点在轴的正半轴上，且焦点到准线的距离为的抛物线的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意设抛物线，又焦点到准线的距离为，即，所以抛物线方程为；
故选D.
3．已知是抛物线的焦点，、是该抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛物线的准线方程，设，，，，，
解得，线段的中点纵坐标为，线段的中点到轴的距离为.故选C.
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵抛物线C：y2＝2px的准线为，且A(－2,3)在准线上，
∴故，解得p＝4，即y2＝8x，
∴焦点F的坐标为(2,0)，此时，直线AF的斜率kAF＝.故选A.
5．已知点是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】易知抛物线的焦点为，准线方程为.连接，延长交准线于点，如图所示.根据抛物线的定义，知.
所以，当且仅当，，三点共线时，等号成立，所以的最小值为9.故选C.
6．是抛物线上的两点，为坐标原点.若，且的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图，
∵，知两点关于轴对称，设，
∴，解得，∴，∴，
∴，∴.故选C.
7．抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线l与x轴交于点A，点M在抛物线C上，当＝时，△AMF的面积为( )
A.1 B. C.2 D.2
【答案】C
【解析】过M作MP垂直于准线，垂足为P，则＝＝＝，
则cos ∠AMP＝，又0°<∠MAP<180°，
则∠AMP＝45°，此时△AMP是等腰直角三角形，
设M(m，)，由|MP|＝|MA|，得|m＋1|＝，
解得m＝1，M(1，2)，所以△AMF的面积为×2×2＝2.
8．过抛物线：的焦点作倾斜角为的直线交于、两点，以的准线上一点为圆心作圆经过、两点，则圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】抛物线C：y2＝4x的焦点F（1，0），其准线为x＝﹣1，
设A（x1，y1），B（x2，y2），∵直线l过点F且斜角为，∴直线l的方程为y＝﹣x+1，
联立方程组，消y可得，∴
设的中点为，∴D（，），即D（3，﹣2），
∴直线MD的方程为y+2＝x﹣3，即y＝x﹣5，
联立，解得x＝﹣1，y＝﹣6，即M（﹣1，﹣6 ），
解方程可得，
∴圆M的半径
∴圆M的面积为，故选B.
二、多选题
9．经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝8x C．y2＝－8x D．x2＝－8y
【答案】AD
【解析】当开口向右时，设抛物线方程为y2＝2p1x(p1>0)，则(－2)2＝8p1，所以p1＝，所以抛物线方程为y2＝x.当开口向下时，设抛物线方程为x2＝－2p2y(p2>0)，则42＝4p2，p2＝4，所以抛物线方程为x2＝－8y.
故选AD.
10．设抛物线的焦点为.点在轴上，若线段的中点在抛物线上，且点到抛物线准线的距离为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】设，易知，则，如图所示.
则，解得.∴抛物线方程为，且，
又在抛物线上，，因此，解得.
所以点的坐标为或.故选BC.
11．已知抛物线的焦点为F，准线为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点作准线的垂线，垂足为，，P为线段的中点，O为坐标原点，则（　　）
A．线段长度的最小值为4 B．为锐角
C．A，O，三点共线 D．P的坐标可能为
【答案】ACD
【解析】由题意知，抛物线C的方程为，线段长度的最小值为通径，A正确；
，轴，∴，同理，∴，B错误；
设直线，联立抛物线并整理，得，
设，，则，，
∵，∴，A，O，三点共线，C正确；
设的中点，则，，
取时，，D正确.故选ACD.
12．在平面直角坐标系xoy中，凸四边形ABCD的4个顶点均在抛物线E：y2=2x上，则（ ）
A．四边形ABCD不可能为平行四边形
B．存在四边形ABCD，满足∠A=∠C
C．若AB过抛物线E的焦点F，则直线OA，OB斜率之积恒为─2
D．若为正三角形，则该三角形的面积为
【答案】ABD
【解析】A，构成平行四边形的条件是对边平行且相等，而水平直线与y2=2x至多只有一个交点，
因此，四边形ABCD不可能为平行四边形，故A正确；
B，如图所示，连接，
则当，，则，则∠A=∠C，故B正确；
C，设，，，
，解得，所以，故C错误；
D，设若为正三角形，如图：
由抛物线的对称性可知，，则直线：，
则 ，解得，，，
，故D正确.
故选ABD.
13．过抛物线的焦点的直线与相交于，两点.若的最小值为，则（ ）
A．抛物线的方程为
B．的中点到准线的距离的最小值为3
C．
D．当直线的倾斜角为时，为的一个四等分点
【答案】ABD
【解析】当直线的斜率不存在时，因为直线过抛物线的焦点，所以的方程为：，由 可得，此时，
当直线的斜率存在时，设的方程为：，，，
由可得：，
所以，，
所以，
对于A：由以上证明可知：当直线的斜率不存在时，，可得，
所以抛物线的方程为，故选项A正确；
对于B：的中点到准线的距离的最小值为，故选项B正确；
对于C：当直线的斜率不存在时，，，此时 ，
故选项C不正确；
对于D：当直线的倾斜角为时，直线的方程为：，
由可得：，即，解得：或，
所以，，
所以，所以为的一个四等分点，故选项D正确；
故选ABD.
三、填空题
14．抛物线的准线方程为_____．
【答案】
【解析】抛物线的方程可变为，故，其准线方程为.
15．如图所示，等边三角形的边长为，且其三个顶点均在抛物线上，则抛物线的方程为________．
【答案】
【解析】因为等边三角形的边长为，且其三个顶点都在抛物线上
所以，，，所以，解得
所以抛物线的方程为：，故答案为：.
16．已知抛物线与直线相切，则__________．
【答案】
【解析】联立方程组整理得
因为与相切，所以，解得或舍去)．故答案为：3.
17．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝4，则|PQ|＝________.
【答案】6
【解析】抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1.
根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝6.故答案为：6.
18．斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，
又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得，
解法一：解得，所以
解法二：，设，则,
过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.
19．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|＝________.
【答案】6
【解析】(1)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
(2)如图，不妨设点M位于第一象限内，抛物线C的准线交x轴于点A，过点M作准线的垂线，垂足为点B，交y轴于点P，∴PM∥OF.
由题意知，F(2，0)，|FO|＝|AO|＝2.
∵点M为FN的中点，PM∥OF，∴|MP|＝|FO|＝1.
又|BP|＝|AO|＝2，∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3.
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6.
20．被誉为“数学之神”之称的阿基米德（前287~前212），是古希腊伟大的物理学家、数学家、天文学家，他最早利用逼近的思想证明了如下结论：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积，等于抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积的三分之二，这个结论就是著名的阿基米德定理，其中的三角形被称为阿基米德三角形．在平面直角坐标系中，是焦点为的抛物线上的任意一点，且的最小值是．若直线与抛物线交于，两点，则弦与抛物线所围成的封闭图形的面积为________．
【答案】
【解析】由的最小值是，可得，解得，所以抛物线的方程是，
联立方程组，解得，又由抛物线可化为，可得，
设抛物线在点的切线斜率分别为，，则，，
所以抛物线过点，点的切线方程分别是和，
联立方程组，解得，
所以抛物线的弦与经过弦的端点的两条切线所围成的三角形面积为，
所以弦与抛物线所围成的封闭图形的面积．故答案为：.
四、解答题
21．已知抛物线：()的焦点为，点在抛物线上，且的面积为(为坐标原点).
（1）求抛物线的方程；
（2）直线：与抛物线交于，两点，若以为直径的圆经过点，求直线的方程.
【解析】（1）由题意可得解得.
故抛物线的方程为.
（2）设，.
联立整理得（*）.
由直线和抛物线交于 两点可知，且，
.
依题意，所以，
则，
即，整理得，
解得.
此时（*）式为，符合题意.
故直线的方程为.
22．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），O为坐标原点，A，B是抛物线
C上异于O的两点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线OA，OB的斜率之积为，求证：直线AB过定点，并求出定点坐标．
【解析】（1）因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），
所以，解得p＝2，所以抛物线的C的方程为y2＝4x；
（2）证明：①当直线AB的斜率不存在时，设，
因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，化简可得t2＝32，
所以A（8，t），B（8，﹣t），此时直线AB的方程为x＝8；
②当直线AB的斜率存在时，设方程为y＝kx+b（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程组，化简可得ky2﹣4y+4b＝0，则有，
因为直线OA，OB的斜率之积为，所以，
即x1x2+2y1y2＝0，即，解得，
解得b＝﹣8k，所以y＝kx﹣8x，即y＝k（x﹣8）．
综上所述，直线AB过x轴上的一定点（8，0）．
23．已知抛物线的准线与轴的交点为.
（1）求的方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点.求证：为定值.
【解析】（1）由题意，可得，即，
∴抛物线的方程为.
（2）证明：设直线的方程为，，，
联立抛物线有，消去x得，则，
∴，，又，.
∴.
∴为定值.
24．已知抛物线：，过点的直线交抛物线于，，且（为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）过作与直线垂直的直线交抛物线于，．求四边形面积的最小值．
【解析】（1）设直线为代入整理得
设
所以
又所以
由得
综上：所求抛物线的方程为
（2）由（1）得
因为所以
令，有
故当时，
四边形面积有最小值.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑