资源简介

不等关系与不等式
考点汇集
1、不等式的性质
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
2、比较法是证明不等式的常用方法，它有两种基本形式：
（1）求差比较法，要点是：作差——变形——判断。这种比较法是普遍适用的，是无条件的。
（2）求商比较法，要点是：作商——变形——判断。这种比较法是有条件的，这个条件就是“除式”的符号一定。
一．选择题
1.若，则一定有
A B
C D
2、下列不等式在恒成立的是
A B
C D
3.下列四个数中最大的是(　　)
A．(ln 2)2 B．ln(ln 2)
C．ln D．ln 2
4．已知a，b为非零实数，且aA．a2C．2a－2b<0 D.>
5．ab>ac是b>c的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．即不充分也不必要条件
6．已知a，b都是实数，那么“a2>b2”是“a>b”的(　　)
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：
(1)若ab>0，bc－ad>0，则－>0；
(2)若ab>0，－>0，则bc－ad>0；
(3)若bc－ad>0，－>0，则ab>0，
其中正确命题的个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
8．设a、b、c、d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是(　　)
A．a＋c>b＋d B．a－c>b－d
C．ac>bd D.>
9、若a，b，c为任意实数，且a＞b，则下列不等式恒成立的是 ( )
A．ac＞bc B.|a＋c|＞|b＋c| C.a2＞b2 D.a＋c＞b＋c
10.甲、乙两人同时从A到B。甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（　　　　）
　Ａ．甲先到B　　　Ｂ．乙先到B
　Ｃ．两人同时到B　Ｄ．谁先到无法确定
二、填空题
1．设a＝2－，b＝－2，c＝5－2，则a、b、c之间的大小关系为________．
2．已知－1＜2a＜0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝，D＝，则A、B、C、D按从小到大的顺序排列起来是________．
3.若0＜a＜b,且a+b＝1，则将a,b,,2ab,a2+b2从小到大排列为.
4.已知1≤a+b≤4,-1≤a-b≤2，则4a-2b的取值范围是___________.
5.已知－≤α<β≤，则的范围为 ．
三、简答题
1.表示下列不等关系
（1）a是正数 （2）a+b是非负数 （3）a小于3，但不小于－1 （4）a与b的差的绝对值不大于5。
2．已知a＞2，b＞2，试比较a＋b与ab的大小．
3.已知a>b>0,c>d>0，（1）求证：ac>bd （2）试比较与的大小
4.已知m∈R,a＞b＞1,f(x)＝,试比较f(a)与f(b)的大小.
5.设f(x)=ax2＋bx，且－1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围
四．创新题
已知≤x≤，
则(1)1－x的取值范围是；
(2)x(1－x)的取值范围是.
以上命题是否正确，若错误予以纠正；若正确，请予以证明．
一元二次不等式解法
考点汇集：
⊿=b2-4ac
二次函数（）的图象
一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根
R
选择题
1．不等式x2<3x的解集为(　　)
A．{x|x>3}　　　B．{x|x<0或x<3}
C．R D．{x|02．不等式(x＋2)(1－x)>0的解集(　　)
A．{x|x<－2或x>－1}
B．{x|x<－1或x>2}
C．{x|－2D．{x|－13．不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0，对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2] B．(－2,2]
C．(－2,2) D．(－∞，2)
4．集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－5x＋6>0}，则A∩B＝(　　)
A．{x|1≤x<2或3B．{x|1≤x<2且3C．{1,2,3,4}
D．{x|－4≤x≤－1或2≤x≤3}
5．已知二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是－2、3，a>0，那么ax2－bx＋c>0的解集是(　　)
A．{x|x<－2或x>3}
B．{x|x<－3或x>2}
C．{x|－2D．{x|26．函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，) B．[0，)
C．(，＋∞) D．(－，)
7．设集合A＝{x|x2－5x－6<0}，B＝{x|x2－a2>0}，若A∩B＝ ，则a的取值范围为(　　)
A．{a|a≥6} B．{a|a>6}
C．{a|a≤－6或a≥6} D．{a|a≤－6}
8．若不等式ax2＋bx＋2>0的解集是{x|－A．14 B．－10
C．10 D．－14
9．二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是全体实数的条件是(　　)
A. B.
C. D.
10. 设一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为｛ｘ｜－1≤ｘ≤｝，则ab的值是（　　）
Ａ．－6　　Ｂ．－5 Ｃ．6　　Ｄ．5
填空题
1．不等式x2＋x＋<0的解集是________．
2.若ax2＋bx－1＜0的解集为{x|－1＜x＜2}，则a＝________，b＝________．
3．若集合Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ2－4ｘ＋3＜0},Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜（ｘ－2）（ｘ－5）＜0｝，则Ａ∩Ｂ=______________．
4．关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和
一负根，则a的取值范围是 ．
5．不等式（x-2）≥0的解集
为________________．
简答题
1.解下列不等式
(1)(x－1)(3－x)＜5－2x
(2)x(x＋11)≥3(x＋1)2
(3)(2x＋1)(x－3)＞3(x2＋2)
2．已知A＝{x|x2－x－2>0}，B＝{x|2x＋a<0}，A∩B＝B，求实数a的取值范围．
3.函数求该函数的定义域
4方程的两个根都是正数，求的值，
创新题
已知A＝{x|x2－2x－8<0}，B＝{x|x2＋2x－3>0}，C＝{x|x2－3ax＋2a2<0}．试确定a的取值范围，使C (A∩B)．
二元一次不等式与简单线性规划
考点汇集：
1.二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2.由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)即可。
3、线性规划的有关概念
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
选择题
1．以下四个命题中，正确的是（　　　）
Ａ．原点与点（2，3）在直线2x+y-3=0的同侧
　Ｂ．点（3，2）与点（2，3）在直线x－y=0同侧
Ｃ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0异侧
Ｄ．原点与点（2，1）在直线2y-6x+1=0同侧
2．不等式x+3y-1<0表示的平面区域在直线x+3y-1=0的（ ）
A．右上方 B．右下方
C． 左下方 D．左上方
3．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）
A． B．
Ｃ．　　　　　Ｄ．2
4．如右图所示的阴影部分﹙包括边界﹚对应的二元一次不等式组为( )
A．
　 　 B．
C．　　 D．
5．下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域的是(　　)
A．(0,0)　　　　B．(－1,1)
C．(－1,3) D．(2，－3)
6．不等式组表示的平面区域为(　　)
A．四边形及其内部
B．等腰三角形及其内部
C．在第一象限内的一个无界区域
D．不包含第一象限内的点的一个有界区域
7．下列命题正确的是（ ） A．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y的值 B．线性规划中最优解指的是使目标函数的最大值或最小值 C．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域 D．线性规划中最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解
8．已知x、y满足约束条件，则z=2x+4y的最小值为( )
A．5 B．－6 C．10 D.－10
填空题
1．已知1≤x≤3, －1≤y≤4,则3x+2y的取值范围是 。
2.若x、y满足条件，则目标函数z=6x+8y的最大值为 ，最小值为 。
3．若实数x、y满足，则x+y的范围是 。
4．已知 且u=x2+y2－4x－4y+8，则u的最小值是 ．
简答题
1. 画出不等式组，表示的平面区域，并求其面积
2.求满足不等式组的整数解（x,y）
3.设实数x、y满足条件，求 的最大值。
4.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益
对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下：
班级学生数 配备教师数 硬件建设（万元） 教师年薪（万元/人）
初中 60 2.0 28 1.2
高中 40 2.5 58 1.6
根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜. 初、高中的教育周期均为三年.根据以上情况，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大利润多少万元？
5.已知实数x，y满足，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，求实数m的值
创新题
若不等式组表示的平面区域是一个三角形，求a的取值范围。
基本不等式
考点汇集：
1.基本不等式：
若则；
若则
选择题
1. 若，下列不等式恒成立（　 　）
A．　　　B．　　
C．　 D．
2. 若且，则下列四个数中最大的是 　　　　　（ ）
Ａ．　　 Ｂ. 　　　　　
Ｃ．2ab　　　　　　Ｄ．a
3. 设x>0,则的最大值为 （ 　　）
Ａ．3　　　Ｂ．
Ｃ．　　　　Ｄ．－1
4. 设的最小值是( )
A. 10 B. C.. D.
5. 若x, y是正数，且，则xy有（　 ）
Ａ．最大值16　 Ｂ．最小值
Ｃ．最小值16　　 Ｄ．最大值
6. 若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是 （ ）
A．
B．
C．
D．
7. 若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是 （ ）
A． B．
C． D．
8. a,b是正数，则三个数的大小顺序是　（　 　）
Ａ．　　
Ｂ．　　
Ｃ．　　
Ｄ．
9. 某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（　 　）　
Ａ．　　Ｂ．
Ｃ． 　　Ｄ．
10. 下列函数中，最小值为4的是（　 　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．　　　　
Ｄ．
填空题
1.若x>0,y>0且，则xy的最小值是 ；
2.若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最小值是 ；
3.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy最大值为 ；
4.点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为 ；
5. 函数的最大值为 .
简答题
1.已知：, 求mx+ny的最大值
.
2.设a, b, c且a+b+c=1，求证：
3. 建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为 元.
创新题
已知定点与定直线，过 点的直线与交于第一象限点，与x轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程.不等关系与不等式
答案；
一1.B 2.B 3．D　4.C 5.D　6.D 7.D 8.A 9.D 10.B
二1. .c＞b＞a 2. D＜B＜A＜C 3. a＜2ab＜＜a2+b2＜b
4. -2≤4a-2b≤10 5 ．
三、1.（1）a>0；（2）a+b≥0；（3）－1≤a<3；（4）│a－b│≤5；
2.解析：∵ab－(a＋b)＝(a－1)(b－1)－1，又a＞2，b＞2，
∴a－1＞1，b－1＞1.
∴(a－1)(b－1)＞1，(a－1)(b－1)－1＞0.∴ab＞a＋b.
3. (1)∵a>b>0,c>d>0∴ac>bc,bc>bd∴ac>bd
(2)∵a>b>0,c>d>0∴>0，>0∴>0 ∴>
4. 解:f(x)＝＝m(),所以f(a)＝m(),f(b)＝m().
由a＞b＞1,知a-1＞b-1＞0,所以＜.
①当m＞0时,m()＜m(),即f(a)＜f(b);
②当m＝0时,m()＝m(),即f(a)＝f(b);
③当m＜0时,m()＞m(),即f(a)＞f(b).
5. [－1，10]
四．1)该命题正确．
∵≤x≤，∴－≤－x≤－.∴≤1－x≤，
即1－x的取值范围是.
(2)该命题是假命题．
∵x(1－x)＝－x2＋x＝－2＋在上单调递增，在上单调递减．故x(1－x)的取值范围是.
一元二次不等式的解法
答案
一、1D 2C 3B 4A 5B 6B 7C 8D 9B 10C
二1. 2.3．{x│2三1. (1){x|x＜2或x＞4}
2. 解析：A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|x<－}，
若A∩B＝B，则有－≤－1，所以a≥2.
所以a的取值范围为[2，＋∞)．
3. [][来 4.源4
4.0＜m≤1
四、解析：A＝{x|－21}，∴A∩B＝{x|10时，C＝{x|a∴解得1≤a≤2.当a＝0时，C＝ ，满足条件；当a<0时，C＝{x|2a二元一次不等式及简单的线性规划
答案
一、1.C 2. C 3.B 4.A 5.C 6.D 7.D 8.B
二、1.[1,17] 2.最大值为40，最小值为0； 3．2.8≤x+y≤5.2 4.
三、1.21
2. 整数解有: (－1,－1)、( －1,－2)、( －2,－1)、( －2,－2)、( －3,－1)
3. 最大值为。
4.规划初中18个班，高中12个班，可获最大年利润为45.6万元.
5.5
四、【解析】　如图作出可行域，要构成三角形，直线y＝a只能介于y＝5和y＝8两直线间，故5≤a＜8.
【答案】　5≤a＜8
基本不等式
答案
一、1.A 2.B 3.C 4.D 5C .6.A 7.B 8.C 9.C 10.C
二、1.64 2.6 3.4 4.9 5.
三1. 2.证明略 3.3600
四、.设
①时，
令，得
故
，（当且仅当时取“＝”号）
所以当时，
②当时，
由①②得，当时，，此时，
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来源：高考学习网

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