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2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与四边形综合问题（二）
一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，矩形 的两边 ， 都在坐标轴的正半轴上，，另两边与反比例函数 的图象分别相交于点 ，，且 ．过点 作 轴于点 ，过点 作 于点 ．
（1）直接写出该反比例函数的解析式；
（2）当 时，矩形 与矩形 能否相似 若能相似，求出相似比；若不能相似，试说明理由．
2. 如图，点 是反比例函数 图象上一点，过点 分别向坐标轴作垂线，垂足为 ，．反比例函数 的图象经过 的中点 ，与 ， 分别相交于点 ，．连接 并延长交 轴于点 ，点 与点 关于点 对称，连接 ，．
（1）填空： ．
（2）求 的面积．
（3）求证：四边形 为平行四边形．
3. 如图 ，对角线长为 的正方形 的顶点 ， 在 轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过点 ，交 于点 ．
（1）当点 的坐标为 时，求 的值和反比例函数的解析式；
（2）如图 ，在（）的条件下，一次函数 的图象过 ， 两点，连接 ，，求 的面积，并根据图象直接写出当 时，不等式 的解集．
4. 如图，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，菱形 的顶点 在 轴的正半轴上，菱形 的边长为 ，顶点 的坐标为 ．
（1）求经过点 的反比例函数图象的解析式；
（2）求直线 的解析式；
（3）在第一象限内，当直线 在反比例函数图象的下方时，请直接写出自变量 的取值范围．
5. 如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 ，，四边形 是正方形，双曲线 在第一象限的图象经过点 ．
（1）求双曲线的函数解析式；
（2）将正方形 沿 轴向左平移 个单位长度时，点 的对应点 恰好落在（）中的双曲线上，求 的值．
6. 如图，反比例函数 的图象与正比例函数 的图象相交于 ， 两点，点 在第四象限， 轴．
（1）求 的值；
（2）以 ， 为边作菱形 ，求 点坐标．
7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 与坐标原点重合，， 分别在坐标轴上，点 的坐标为 ，直线 分别交 ， 于点 ，，反比例函数直线 的图象经过点 ，．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点 在 轴上，且 的面积与四边形 的面积相等，求点 的坐标．
8. 如图所示，已知点 在反比例函数 的图象上，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ．过点 的直线 与 轴交于点 ，且 ，．
（1）求反比例函数 和直线 的解析式；
（2）连接 ，试判断线段 与线段 的关系，并说明理由；
（3）点 为 轴上点 右侧的一点，且 ，连接 交直线 于点 ，求 的度数．
9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 的顶点 ， 在 轴的正半轴上，，．对角线 ， 相交于点 ，反比例函数 的图象经过点 ，分别与 ， 交于点 ，．
（1）若 ，求 的值；
（2）连接 ，若 ，求 的面积．
10. 如图 ，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与反比例函数 的图象交于点 ．
（1） ； ．
（2）点 是线段 上一点（不与 ， 重合），过点 且平行于 轴的直线 交该反比例函数的图象于点 ，连接 ，，，若四边形 的面积 ，求点 的坐标．
（3）将第（）小题中的 沿射线 方向平移一定的距离后，得到 ，若点 的对应点 恰好落在该反比例函数图象上（如图 ），求此时点 的对应点 的坐标．
答案
第一部分
1. （1） ．
（2） 当 时，矩形 与矩形 能相似．
矩形 与矩形 能相似，
，
设 ，则 ，
点坐标为 ，
把 代入 ，得 ，
解得 （舍去），，
，
相似比 ．
2. （1）
【解析】设点 坐标为 ，，
则点 ，
则 ．
（2）
（3） 设点 ，则点 ，
点 与点 关于点 对称，故点 ，则点 ，
设直线 的表达式为：，将点 ， 的坐标代入，得 解得
故直线 的表达式为：，
令 ，则 ，故点 ，
故 ，而 ，
又 ，故四边形 为平行四边形．
3. （1） 正方形 的对角线长为 ，
，
点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ，
点 和点 都在反比例函数 的图象上，
，
解得 ，
，
，
反比例函数的解析式为 ．
（2） ，，
，
当 时，不等式 的解集为 或 ．
4. （1） 四边形 是菱形，边长为 ， 的坐标为 ，
， 轴，点 的纵坐标为 ，
，
设反比例函数的解析式为 ，
把点 的坐标代入得 ，
反比例函数的解析式为 ．
（2） 设直线 的解析式为 ，
由 的坐标为 ， 可得 ，
，
把 ， 代入得
解得
则直线 的解析式为 ．
（3）
【解析】由题意，得直线 与反比例函数的图象在第一象限内的交点坐标为 ，
在第一象限内，当直线 在反比例函数图象的下方时，自变量 的取值范围为 ．
5. （1） 作 轴于 ，，
，，
，
．
（2） 作 轴于 ，，
，
，
，
，
，
，
．
6. （1） 根据题意，点 在正比例函数 上，故将点 代入正比例函数 中，得 ，故点 的坐标为 ，点 又在反比例函数图象上，设反比例函数解析式为 ，将 代入反比例函数解析中，得 ．
（2） 如图，， 为反比例函数与正比例函数的交点，故可得 ，解得 ，，如图，已知点 坐标为 ，故点 坐标为 ，根据两点间距离公式可得 ，根据已知条件中四边形 为菱形，故 ， 轴，则点 坐标为 ．
7. （1） ，四边形 是矩形，
，．
将 代入 得 ，
．
将 代入 得 ，
．
把 的坐标 代入 得 ，
反比例函数的解析式是 ．
（2） 由题意可得，
的面积与四边形 的面积相等，
．
，
，
点 的坐标是 或 ．
8. （1） ，
．
，
，解得 ，
，．
， 轴，
，
，
．
直线 过点 ，，
解得
．
（2） ，，理由如下：
，，
．
在 和 中，
，
，，
，
．
（3） 如图所示，连接 ．
，，
，
轴，
四边形 为平行四边形，
，
．
由（）知 ，，
为等腰直角三角形，
．
9. （1） 在矩形 的顶点 ，，，而 ，
，，，
对角线 ， 相交于点 ，
点 为 的中点，
，
把 代入 得 ．
（2） ，
，
，
，
设 ，则 ，，
反比例函数 的图象经过点 ，，
，解得 ，
，
反比例函数解析式为 ，
当 时，，
，
的面积 ．
10. （1） ；
【解析】把点 代入 中，，
点 ，将 代入 ，，解得 ，
，．
（2） 点 是线段 上一点，
设点 ，则点 ，
，
，
，即 ，
，
，
，
，．
，
，
点 ．
（3） ，
点 ，
由平移可知 ，
直线 的解析式为 ，由
解得 或
，
把 向左平移 个单位，向上平移 个单位得到 ，
．
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