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第五章 一元函数的导数及其应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
第二课时
学案
一、学习目标
1.了解函数的最大（小）值的概念，能够区分极值与最值.
2.能利用导数求某些函数给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值.
2.体会导数与最大（小）值的关系，掌握其应用.
二、基础梳理
1.函数的最值：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
2.求函数最值的方法步骤：
一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数在区间上的极值；
（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
3.画函数的大致图象的步骤：
（1）求出函数的定义域；
（2）求导数及函数的零点；
（3）用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值；
（4）确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（5）画出的大致图象.
三、巩固练习
1.函数的最小值是( )
A. B. C.0 D.
2.若函数在区间上的最大值为，则m的值为( )
A.0 B.1 C.2 D.
3.已知函数，，的最大值为3，最小值为-6，则( )
A. B. C. D.
4.已知对任意恒成立，则实数a的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.
5.已知函数在区间上的最大值、最小值分别为M，N，则的值为( )
A.2 B.4 C.20 D.18
6.已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.-1
7.已知函数，对于任意，都有，则实数m的最小值为( )
A.0 B.2 C.4 D.6
8.已知不等式恒成立，则a的取值范围是( )
A. B. C. D.
9.已知（m为常数）在区间上有最大值3，则此函数在区间上的最小值是______________.
10.若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是____________.
11.已知函数在处取得极值，若，则的最小值为_____________.
12.已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是________.
13.近年来，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势.假设某网校的试卷每日的销售量y（单位：千套）与销售价格x（单位：元/套）满足关系式，其中，m为常数.已知当销售价格为4元/套时，每日可售出试卷21千套.
（1）求m的值；
（2）假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套试卷2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x的值，使网校每日销售试卷所获得的利润最大（保留1位小数）.
14.已知，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使在区间上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
15.设函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在上的最小值m和最大值M.
答案以及解析
1.答案：A
解析：由，得.当时，，当时，，所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数有最小值.故选A.
2.答案：C
解析：由题意，得，易知，当时，；当或时，，所以函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减.又，，所以最大值为，解得.故选C.
3.答案：C
解析：.令，得或（舍去）.当时，，当时，，故为极小值点，也是最小值点.，，，最小值为，最大值为，，解得，.故选C.
4.答案：C
解析：由题意，知对任意恒成立，令，则，令，得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以最小值为，所以，故选C.
5.答案：C
解析：由题意，得，令，解得，，当时，；当时，，所以函数在区间上单调递减，函数在区间上单调递增.因为，，，所以最大值，最小值，故.故选C.
6.答案：A
解析：因为是奇函数，当时，的最小值为1，所以在区间上的最大值为-1，当时，，令，得.又，所以，令，则，所以在区间上单调递增；令，则，所以在区间上单调递减，所以，所以，则.故选A.
7.答案：C
解析：对于任意，都有，即.由题意，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，.因为，，所以，所以，即m的最小值为4. 故选C.
8.答案：B
解析：令，则，，故当时，，当时，，在区间上，
，又不等式恒成立，，即，解得.故选B.
9.答案：-37
解析：由题意，得，则在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以为极大值点，也为最大值点，则，所以，，故最小值是-37.
10.答案：
解析：由题意得，由，得或，则在区间和上单调递增，由，得，则在区间上单调递减，所以，解得.
11.答案：-4
解析：，由在处取得极值，知，即，故.所以，，令，得或，若，则当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，所以当时，.
12.答案：
解析：存在，，使得成立，等价于.
，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，取得最小值，，又当时，取得最大值，，所以，即实数a的取值范围是.
13.解析：（1）将，，代入关系式，
得，解得.
（2）由（1）可知试卷每日的销售量，
所以每日销售试卷所获得的利润
，
从而.
令，得或（舍去），且在上，，函数单调递增；
在上，，函数单调递减，
所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，
所以当时，函数取得最大值.
故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售试卷所获得的利润最大.
14.解析：（1）当时，，，
所求切线的斜率为，切点为，
所求切线的方程为，即.
（2）假设存在实数a，使，有最小值3，
.
①当时，在上单调递减，
故，解得（舍去），所以此时不存在符合题意的实数a；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，满足条件；
③当时，在上单调递减，故，解得（舍去），所以此时不存在符合题意的实数a.
综上，存在实数，使得当时，有最小值3.
15.解析：（1）当时，，.
，
在R上恒成立，在R上单调递增，
的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2），.
①当，即时，在R上恒成立，
在R上单调递增，
在上的最小值，最大值.
②当，即时，
令，得，.
的图象的对称轴为直线，且恒过点，
作出的大致图象如图所示，可知，
当x变化时，，的变化情况如下表：
x k -k
+ 0 - 0 +
k 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表可知，.
，
.
，
.
综上所述，当时，函数在上的最小值，最大值.

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