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第五章 三角函数
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
第2课时 正弦函数 余弦函数的单调性和最值
学案
一、学习目标
1.理解正弦函数、余弦函数的单调性具有周期性变化规律，通过一个周期内的单调性进而研究在整个定义域上的性质，达到数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.
2.能够利用单调性解决一些问题，比如比较大小，求最值等，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
二、基础梳理
1. 正弦函数、余弦函数的图象和性质
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在，k∈Z上单调递增，在，k∈Z上单调递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上单调递增，在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上单调递减
最值 x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
三、巩固练习
1.已知函数，为图象的对称中心，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，则的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
2.函数的一个单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
3.函数在区间上的最小值是( )
A.-1 B. C. D.0
4.若在是减函数，则a的最大值是( )
A. B. C. D.π
5.已知函数在上单调递增,且存在两条对称轴的距离为,则当时，的值域为( )
A. B. C. D.
6.设函数，则下列结论正确的是( )
A.的一个周期为 B.的图像关于直线对称 C.的一个零点是 D.在上单调递增
7.若 在是减函数,则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.函数的单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
参考答案
巩固练习
1.答案：C
解析：函数，
为图象的对称中心，是该图象上相邻的最高点和最低点，若，
，即，求得．
再根据，可得，．
令，求得，
故的单调递增区间为
2.答案：B
解析：对于函数，
令，，解得，，可得函数的单调递减区间为，，
令，可得选项B正确，
故选：B．
3.答案：B
解析：,,
,
.故选B.
4.答案：A
解析：，且函数在区间上单调递减，则由，得.因为在上是减函数，所以，解得，所以，所以a的最大值是，故选A.
5.答案：D
解析：令,解得.又，且在上单调递增，当时有解得.又存在两条对称轴的距离为，则,
的值域为，故选D.
6.答案：B
解析：本题考查余弦型函数的周期性、对称性、零点和单调性.由可知,的最小正周期，选项A错误：因为
，所以的图像关于直线对称,选项B正确，选项C错误；因为的最小正周期为，所以在上不可能是单调的，选项D错误.故选B.
7.答案：C
解析：因为 ,所以由 得因此 ∴,从而的最大值为,选C.
8.答案：D
解析：
.
要递增,则,
,
所以.
故的单调递增区间为.

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