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课时34 电磁感应现象中的动力学、动量和能量问题
考纲对本模块内容的具体要求如下：
理解安培力做功在电磁感应现象中能量转化方面所起的作用。
物理观念：
1.掌握应用动量定理处理电磁感应问题的方法技巧.
2.建立电磁感应问题中动量守恒的模型，并用动量守恒定律解决问题．
知识点一：动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解．
知识点二：动量守恒定律在电磁感应中的应用
1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便．
2．双棒模型
双棒无外力 双棒有外力
示意图 F为恒力
动力学观点 导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动 导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
能量观点 棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热 外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热
知识点三：电磁感应中的功能问题
电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化。图中金属棒沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功转化为电路中的电能，最终在上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能。若导轨足够长，棒最终达到稳定状态匀速运动时，重力势能的减少则完全用来克服安培力做功转化为电路中的电能。因此，从功和能的观点入手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径。
知识点四：电磁感应中的动力学问题
电磁感应中的力学与电学综合问题：思路概述电磁感应可以和平衡问题、牛顿力学、机械能（单体、连接体）、电场、磁场、直流电、交流电等几乎所有的章节结合，题型非常灵活；
知识点五：动态电路的分析流程
电磁感应的核心问题：感应电动势的大小、方向和电路结构
1.动势与电压（内电路与外电路)：感应部分是电源、流出是正极
2.变量的电路问题：深入分析影响电路因素的每个物理量
3.应电量与电量分配：感应电荷量的计算与串联、并联的分配
4.应焦耳热与热量分配：电路焦耳热的计算与串联、并联的分配
5.两个桥梁
①电动势：连接电磁感应与电路问题的桥梁；
②安培力：连接电磁感应与力学问题的桥梁；
考点一：导体棒进出磁场区域加速度的变化
例1.（2021·南京市中华中学高三）两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻．质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场垂直，如图所示。不计导轨的电阻，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．金属棒在磁场中运动时，流过电阻R的电流方向为
B．金属棒刚进磁场时一定做加速运动
C．金属棒的速度为v时，金属棒所受的安培力大小为
D．金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R的热功率为
【答案】D
【详解】
A．当金属棒向下运动时，根据楞次定律可判断通过电电阻R的方向为b→a，A错误；
B．由于无法确定金属棒刚进入磁场时与重力的大小关系，B错误；
C．金属棒进入磁场时，产生的感应电动势，产生的感应电流是
所受到的安培力大小
C错误；
D．金属棒稳定下滑时，电阻R的热功率
且
可求得
D正确。
故选D。
变式训练：（2021·福建漳州·高三）如图，电阻不计的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角θ=30°，间距为L=0.2 m，空间存在方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B=5 T，cd 为磁场上边界。导体棒MN锁定在cd处，导体棒GH在导轨下方，两棒质量均为m=0.1 kg、电阻均为R=2 Ω。现棒GH在平行于导轨的恒力F作用下，由静止开始沿导轨向上运动，到达ab处速度恰好最大，为v1=4 m/s，此时撤去F，再滑行x1 =0.6 m到达cd处时，棒MN立即解除锁定，两者发生完全弹性碰撞，棒MN滑行x2=0.9 m到达最高处ef，棒CH未到达导轨底端。榉始终与导轨垂直且接触良好，g取10 m/s2。
（1）求恒力F大小；
（2）求棒GH运动到cd处与棒MN碰前的速度大小v2；
（3）棒MN从cd处运动到ef处的过程中，若通过棒MN的电量q0 =0.2 C，求此过程棒GH产生的焦耳热Q。
【答案】（1）1.5 N；（2）3m/s；（3）0.175 J
【详解】
（1）在ab处，对GH棒有
①
②
③
④
解得∶ F=1.5 N；
（2）对两导体棒在碰撞瞬间∶碰后GH棒的速度，MN棒的速度为v3，有
⑤
⑥
对MN棒
⑦
解得，
（3）碰后至M棒到最高点，对GH棒有
⑧
此时导体棒GH运动的速度为v4，根据动定理有
⑨
其中，，
MV棒从cd处运动到ef处的过程中，对GH棒，根据能量守恒定律有
⑩
解得∶ Q=0.175 J。
考点二：双杆在导轨上的运动问题
例2.（2022·浙江）如图所示，两平行光滑导轨MN、M N 左端通过导线与电源和电容相连，导轨平面处于磁感应强度为B的匀强磁场中，开始时两阻值相同质量分别为m1和m2的导体棒a、b垂直导轨处于静止状态。现将单刀双掷开关K与1闭合，当棒a、b均达到稳定速度后，开关与2闭合，棒a、b再次达到稳定速度。已知导轨间距为l，电阻不计，m1>m2，电源内阻不计，电动势为E，电容器电容为C，两极板间的电压大小为2E，导轨足够长。求：
（1）K与1闭合时，棒a、b的稳定速度；
（2）K与2闭合时，棒a、b的稳定速度；
（3）K与1闭合过程中，棒a、b产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
(1)稳定后回路中的电流为零，棒a、b的稳定速度均为v1，由
得
(2)再次达到稳定速度时，棒a、b的速度均为v2，以速度v1增加到v2为过程，对导体棒a，由动量定理，得
同理，对导体棒b，有
得
，
得
(3)棒a、b的稳定速度均为v1，对导体棒a，由动量定理，得
对导体棒b，由动量定理，得
通过电源的电量
棒a、b产生的焦耳热
变式训练：（2021·河北衡水中学高三）如图，足够长的间距的平行光滑金属导轨、固定在水平面内，导轨间存在一个宽度的匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向如图所示。一根质量，阻值的金属棒a以初速度从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量，阻值的静止放置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则下列选项中不正确的是（　　）
A．金属棒a第一次穿过磁场的过程中，做加速度减小的减速直线运动
B．金属棒a第一次穿过磁场的过程中，回路中有顺时针方向的感应电流
C．金属棒a第一次穿过磁场的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为0.34375J
D．金属棒a最终停在距磁场左边界0.8m处
【答案】B
【详解】
A．金属棒a第一次穿过磁场时受到安培力的作用，做减速运动，由于速度减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，故金属棒a做加速度减小的减速直线运动，故A正确；
B．根据右手定则可知，金属棒a第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流，故B错误；
C．电路中产生的平均电动势为
平均电流为
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得
解得对金属棒第一次离开磁场时速度
金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量等于金属棒a机械能的减少量，即
联立并代入数据得
由于两棒电阻相同，两棒产生的焦耳热相同，则金属棒b上产生的焦耳热
故C正确；
D．规定向右为正方向，两金属棒碰撞过程根据动量守恒和机械能守恒得
联立并代入数据解得金属棒a反弹的速度为
设金属棒a最终停在距磁场左边界x处，则从反弹进入磁场到停下来的过程，电路中产生的平均电动势为
平均电流为
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得
联立并带入数据解得
故D正确。
由于本题选不正确的，故选B。
考点三：计算导体棒切割磁感线产生的热量
例3.（2022·浙江）如图所示，MN与PQ为在同一水平面内的平行光滑金属导轨，间距l=0.5m，电阻不计，在导轨左端接阻值为R=0.6Ω的电阻。整个金属导轨置于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B=2T。将质量m=1kg，电阻r=0.4Ω的金属杆ab垂直跨接在导轨上。金属杆ab在水平拉力F的作用下由静止开始向右做匀加速运动，开始时，水平拉力为F0=2N，则下列说法正确的是（　　）
A．2s末回路中的电流为10A
B．回路中有顺时针方向的感应电流
C．若2s内电阻R上产生的热量为6.4J，则水平拉力F做的功约为18.7J
D．若2s内电阻R上产生的热量为6.4J，则金属杆克服安培力做功6.4J
【答案】C
【详解】
A．在初始时刻，由牛顿第二定律
得
2s末时，杆ab的速度为
ab杆产生的感应电动势为
回路电流为
故A错误；
B．由楞次定律“增反减同”可知，回路中有逆时针方向的感应电流。故B错误；
CD．设拉力F所做的功为WF，由动能定理
为金属杆克服安培力做的总功，它与R上焦耳热QR关系为
得
所以
故C正确D错误。
故选C。
变式训练：（2021·陕西西安工业大学附中高三）如图所示，绝缘水平面上固定两条光滑的、间距为的、电阻不计的平行足够长金属导轨，导轨左端连接电源，电源电动势为，内阻为。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。现将质量为，电阻为的导体棒置于导轨上。现接通电源，导体棒沿导轨由静止开始向右运动，运动时始终与导轨垂直且接触良好，不计电磁辐射损失的能量，问：
（1）棒运动的最大速度；
（2）从静止开始到导体棒的速度达到过程中，回路通过的电荷量q；
（3）从静止开始到导体棒的速度达到过程中，棒产生的焦耳热。
【答案】(1)；(2) ；(3)
【详解】
(1)电源产生电流
方向由
则由右手定则感应电流方向由，由左手定则，向右运动
当时，上电流为零，不受安培力作用，此时速度达到最大为则
代入可得
水平向右
(2)由牛顿第二定律
得
，为任意时刻的加速度和感应电流
由
得两边同乘，则
则由
得
当时
则
(3)设棒与内阻产生的总焦耳热为由动能定理
由
得，则棒产生的焦耳热
1.（2020 海南）如图，足够长的间距d＝1m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨间存在一个宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B＝0.5T，方向如图所示。一根质量ma＝0.1kg、阻值R＝0.5Ω的金属棒a以初速度v0＝4m/s从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量mb＝0.2kg、阻值R＝0.5Ω的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则（　　）
A．金属棒a第一次穿过磁场时做匀减速直线运动
B．金属棒a第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流
C．金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为0.25J
D．金属棒a最终停在距磁场左边界0.8m处
【解答】解：A．金属棒a第一次穿过磁场时受到安培力的作用，做减速运动，由于速度减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，故金属棒a做加速度减小的减速直线运动，故A错误；
B．根据右手定则可知，金属棒a第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流，故B正确；
C．电路中产生的平均电动势为：＝＝
平均电流为：＝
金属棒a受到的安培力为：＝Bd
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得：﹣Bd △t＝mava﹣mav0
解得对金属棒第一次离开磁场时速度：va＝1.5m/s
金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量等于金属棒a机械能的减少量，即
Q＝ma﹣ma
联立并代入数据得：Q＝0.6875J
由于两棒电阻相同，两棒产生的焦耳热相同，则金属棒b上产生的焦耳热：Qb＝＝0.34375J，故C错误；
D．规定向右为正方向，两金属棒碰撞过程根据动量守恒和机械能守恒得：
mava＝mava′+mbvb
＝+
联立并代入数据解得金属棒a反弹的速度为：va＝﹣0.5m/s
设金属棒a最终停在距磁场左边界x处，则从反弹进入磁场到停下来的过程，
电路中产生的平均电动势为：＝n＝
平均电流为：＝
金属棒a受到的安培力为：＝Bd
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得：﹣Bd △t＝0﹣mava′
联立并代入数据解得：x＝0.8m，故D正确。
故选：BD。
2.（2021 天津）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2kg，电阻r＝1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求拉力的功率P；
（2）ab开始运动后，经t＝0.09s速度达到v2＝1.5m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0.06J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
【解答】解：（1）在ab棒运动过程中，由于拉力功率恒定，ab棒做加速度逐渐减小的加速运动，速度达到最大时，加速度为零，设此时拉力大小为F，安培力大小为FA。
由平衡条件得
F＝mgsinθ+FA
此时ab棒产生的感应电动势为E＝BLv
设回路中感应电流为I，根据闭合电路欧姆定律得
I＝
ab棒受到的安培力大小为FA＝BIL
拉力的功率P＝Fv
联立以上各式解得P＝4W
（2）ab棒从v1到v2的过程中，由动能定理得
Pt﹣W﹣mgxsinθ＝﹣
解得x＝0.1m
答：（1）拉力的功率P为4W；
（2）该过程中ab沿导轨的位移大小x为0.1m。
3．（2021 乙卷）如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6m。初始时CD与EF相距s0＝0.4m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1＝m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1T，重力加速度大小取g＝10m/s2，sinα＝0.6。求
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
【解答】解：（1）设金属棒的质量为m，金属棒与导体框一起做初速度为零的匀加速直线运动，
由牛顿第二定律得：（M+m）gsinα＝（M+m）a
代入数解得：a＝6m/s2
金属棒进入磁场时，设金属棒与导体框的速度大小为v0，
由匀变速直线运动的速度﹣位移公式得：v0＝m/s＝1.5m/s
金属棒切割磁感线产生的感应电动势：E＝BLv0
由闭合电路的欧姆定律可知，感应电流：I＝
金属棒在磁场中运动时受到的安培力大小：F安＝BIL
代入数据解得：F安＝0.18N
（2）金属棒在磁场中运动过程导体框做匀加速直线运动，
设金属棒与导体框间的滑动摩擦力大小为f，导体框进入磁场时的速度大小为v，
对导体框，由牛顿第二定律得：Mgsinα﹣f＝Ma框
由匀变速直线运动的速度﹣位移公式得：v2﹣v02＝2a框s0，
导体框刚进入磁场时所受安培力：F＝BIL＝
导体框刚进入磁场时做匀速直线运动，对导体框，由平衡条件得：+f＝Mgsinα
代入数据联立解得：a框＝5m/s2，f＝0.06N，v＝2.5m/s
金属棒在磁场中做匀速直线运动，由平衡条件得：F安＝mgsinα+f
代入数据解得，金属棒的质量：m＝0.02kg，
由滑动摩擦力公式得：f＝μmgcosα
代入数据解得，金属棒与导体框之间的动摩擦因数：μ＝0.375
（3）金属棒离开磁场后做匀加速直线运动，由牛顿第二定律得：mgsinα+f＝ma棒
代入数据解得：a棒＝9m/s2，
金属棒加速到与导体框速度v相等的过程，导体框做匀速直线运动。
由匀变速直线运动的速度﹣时间公式得：v＝v0+a棒t
金属棒加速到与导体框速度相等的时间：t＝s
在金属棒加速运动时间内，导体框做匀速直线运动，
导体框匀速运动的距离：s＝vt＝2.5×m＝m
答：（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小是0.18N；
（2）金属棒的质量是0.02kg，金属棒与导体框之间的动摩擦因数是0.375；
（3）导体框匀速运动的距离是m。
4．（2020 全国）如图，相距l＝0.20m的两条光滑平行导轨的一端向上翘起，另一端用R＝0.10Ω的电阻连接。两导轨的直线段MN、PQ段置于水平面上，其间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.50T。现将质量m＝0.10kg的导体棒在导轨的翘起端距导轨平面的高度为h＝0.80m处由静止释放。导体棒在运动过程中与两导轨接触良好，并始终与两导轨垂直。求从棒进入磁场向右运动1.00m的过程中，导体棒克服安培力所做的功。忽略导轨和导体棒的电阻，重力加速度g取10m/s2。（结果保留2位小数）
【解答】解：设导体棒刚进入磁场时的速度为v，导体棒进入磁场后向右运动1.00m时的速度为v′。
导体棒从静止开始到进入磁场的过程，由动能定理得
mgh＝
解得v＝4m/s
导体棒进入磁场向右滑行1.00m的过程，由动能定理得
﹣W安＝﹣
导体棒进入磁场向右滑行1.00m的过程，取向右为正方向，由动量定理得
﹣BL t＝mv1﹣mv
其中 t＝＝，d＝1m
由以上各式联立解得：W安＝0.35J
答：从棒进入磁场向右运动1.00m的过程中，导体棒克服安培力所做的功为0.35J。
5．（2020 上海）如图所示，足够长的光滑金属导轨L＝0.5m，电阻不计。左端接一个电动势为3V的电源，整个装置处于匀强磁场中。现闭合电键S，质量0.1kg的金属棒ab由静止开始运动，回路的电流逐渐减小，稳定后电源电动势为E，回路的电流为0，从闭合电键到逐渐稳定的过程中，电源提供的能量Es＝10J，电源、导体棒产生的焦耳热分别是Q1＝0.5J，Q2＝4.5J。
（1）求内阻r和电阻R的阻值之比；
（2）求导体棒稳定时的速度和匀强磁场磁感应强度；
（3）分析电键闭合后导体棒的运动情况和能量的转化关系。
【解答】解：（1）由焦耳定律得：Q＝I2Rt，r与R的电流始终相等，则＝＝
（2）由能量守恒定律得：
导体棒的动能 Ek＝Es﹣Q1﹣Q2＝10J﹣0.5J﹣4.5J＝5J
由Ek＝得导体棒稳定时运动的速度为：v＝10m/s
由E＝Blv得：B＝0.6T
（3）导体棒中电流由a指向b，根据左手定则知：安培力方向总与导体棒的运动方向相同，故速度一直增大。
由牛顿第二定律得：FA＝ma
又 EA＝Blv，I＝
联立得 a＝
当速度逐渐增大时，加速度逐渐减小，所以速度增加得越来越慢。
当加速度减小到零，即E＝BLv，v＝10m/s时，速度不再增大，此后做匀速直线运动。
在运动过程中电源将其他形式的能转化为电能10J，其中电流流过R和r时分别将4.5J和0.5J的电能转化为内能，流过导体棒的电流受安培力，安培力对导体棒做正功，将5J的电能转化为导体棒的动能。
答：（1）内阻r和电阻R的阻值之比是1：9；
（2）导体棒稳定时的速度是10m/s，匀强磁场磁感应强度是0.6T；
（3）电键闭合后先做加速度逐渐减小的变加速运动，最后做匀速直线运动。在运动过程中电源将其他形式的能转化为电能10J，其中电流流过R和r时分别将4.5J和0.5J的电能转化为内能，流过导体棒的电流受安培力，安培力对导体棒做正功，将5J的电能转化为导体棒的动能。
6．（2021 浙江）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r；“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
（1）求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E0；
（2）通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流I0；
（3）求船舱匀速运动时的速度大小v；
（4）同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量q。
【解答】解：（1）导体切割磁感线产生的感应电动势为：E0＝Blv0；
（2）整个过程中只有ab边切割磁感应线，则ba边为电源，外电阻是由船舱电阻、“∧”型线框其它六边的电阻，等效电路图如图所示：
并联总电阻为R并＝＝r，
着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流I0＝＝；
（3）匀速运动时线框受到安培力FA＝BIl＝
根据牛顿第三定律，质量为m1的部分受力F＝FA，方向竖直向上，根据平衡条件可得：F＝m1×＝，联立解得：v＝；
（4）匀速运动时电容器不充、放电，满足v′＝v＝；
设电路的总电流为I，则有：I＝＝＝
电容器两端电压为：UC＝＝；
电荷量为：q＝CUC＝。
答：（1）着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势为Blv0；
（2）等效电路图见解析，着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流为；
（3）船舱匀速运动时的速度大小为；
（4）船舱匀速运动时的速度大小为，此时电容器所带电荷量为。
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课时34 电磁感应现象中的动力学、动量和能量问题
考纲对本模块内容的具体要求如下：
理解安培力做功在电磁感应现象中能量转化方面所起的作用。
物理观念：
1.掌握应用动量定理处理电磁感应问题的方法技巧.
2.建立电磁感应问题中动量守恒的模型，并用动量守恒定律解决问题．
知识点一：动量定理在电磁感应中的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为：I安＝BLt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为：q＝Δt＝Δt＝nΔt＝n，磁通量变化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx.当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时常用动量定理求解
知识点二：动量守恒定律在电磁感应中的应用
1．在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力充当系统内力，如果它们不受摩擦力，且受到的安培力的合力为0时，满足动量守恒，运用动量守恒定律解题比较方便．
2．双棒模型
双棒无外力 双棒有外力
示意图 F为恒力
动力学观点 导体棒1受安培力的作用做加速度减小的减速运动，导体棒2受安培力的作用做加速度减小的加速运动，最后两棒以相同的速度做匀速直线运动 导体棒1做加速度逐渐减小的加速运动，导体棒2做加速度逐渐增大的加速运动，最终两棒以相同的加速度做匀加速直线运动
动量观点 系统动量守恒 系统动量不守恒
能量观点 棒1动能的减少量＝棒2动能的增加量＋焦耳热 外力做的功＝棒1的动能＋棒2的动能＋焦耳热
知识点三：电磁感应中的功能问题
电磁感应过程往往涉及多种能量形式的转化。图中金属棒沿导轨由静止下滑时，重力势能减少，一部分用来克服安培力做功转化为电路中的电能，最终在上转化为焦耳热，另一部分转化为金属棒的动能。若导轨足够长，棒最终达到稳定状态匀速运动时，重力势能的减少则完全用来克服安培力做功转化为电路中的电能。因此，从功和能的观点入手，分析清楚电磁感应过程中能量转化的关系，往往是解决电磁感应问题的重要途径。
知识点四：电磁感应中的动力学问题
电磁感应中的力学与电学综合问题：思路概述电磁感应可以和平衡问题、牛顿力学、机械能（单体、连接体）、电场、磁场、直流电、交流电等几乎所有的章节结合，题型非常灵活；
知识点五：动态电路的分析流程
电磁感应的核心问题：感应电动势的大小、方向和电路结构
1.动势与电压（内电路与外电路)：感应部分是电源、流出是正极
2.变量的电路问题：深入分析影响电路因素的每个物理量
3.应电量与电量分配：感应电荷量的计算与串联、并联的分配
4.应焦耳热与热量分配：电路焦耳热的计算与串联、并联的分配
5.两个桥梁
①电动势：连接电磁感应与电路问题的桥梁；
②安培力：连接电磁感应与力学问题的桥梁；
考点一：导体棒进出磁场区域加速度的变化
例1.（2021·南京市中华中学高三）两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，顶端接阻值为R的电阻．质量为m、电阻为r的金属棒在距磁场上边界某处由静止释放，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场垂直，如图所示。不计导轨的电阻，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．金属棒在磁场中运动时，流过电阻R的电流方向为
B．金属棒刚进磁场时一定做加速运动
C．金属棒的速度为v时，金属棒所受的安培力大小为
D．金属棒以稳定的速度下滑时，电阻R的热功率为
【答案】D
【详解】
A．当金属棒向下运动时，根据楞次定律可判断通过电电阻R的方向为b→a，A错误；
B．由于无法确定金属棒刚进入磁场时与重力的大小关系，B错误；
C．金属棒进入磁场时，产生的感应电动势，产生的感应电流是
所受到的安培力大小
C错误；
D．金属棒稳定下滑时，电阻R的热功率
且
可求得
D正确。
故选D。
变式训练：（2021·福建漳州·高三）如图，电阻不计的光滑平行金属导轨倾斜放置，倾角θ=30°，间距为L=0.2 m，空间存在方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B=5 T，cd 为磁场上边界。导体棒MN锁定在cd处，导体棒GH在导轨下方，两棒质量均为m=0.1 kg、电阻均为R=2 Ω。现棒GH在平行于导轨的恒力F作用下，由静止开始沿导轨向上运动，到达ab处速度恰好最大，为v1=4 m/s，此时撤去F，再滑行x1 =0.6 m到达cd处时，棒MN立即解除锁定，两者发生完全弹性碰撞，棒MN滑行x2=0.9 m到达最高处ef，棒CH未到达导轨底端。榉始终与导轨垂直且接触良好，g取10 m/s2。
（1）求恒力F大小；
（2）求棒GH运动到cd处与棒MN碰前的速度大小v2；
（3）棒MN从cd处运动到ef处的过程中，若通过棒MN的电量q0 =0.2 C，求此过程棒GH产生的焦耳热Q。
【答案】（1）1.5 N；（2）3m/s；（3）0.175 J
【详解】
（1）在ab处，对GH棒有
①
②
③
④
解得∶ F=1.5 N；
（2）对两导体棒在碰撞瞬间∶碰后GH棒的速度，MN棒的速度为v3，有
⑤
⑥
对MN棒
⑦
解得，
（3）碰后至M棒到最高点，对GH棒有
⑧
此时导体棒GH运动的速度为v4，根据动定理有
⑨
其中，，
MV棒从cd处运动到ef处的过程中，对GH棒，根据能量守恒定律有
⑩
解得∶ Q=0.175 J。
考点二：双杆在导轨上的运动问题
例2.（2022·浙江）如图所示，两平行光滑导轨MN、M N 左端通过导线与电源和电容相连，导轨平面处于磁感应强度为B的匀强磁场中，开始时两阻值相同质量分别为m1和m2的导体棒a、b垂直导轨处于静止状态。现将单刀双掷开关K与1闭合，当棒a、b均达到稳定速度后，开关与2闭合，棒a、b再次达到稳定速度。已知导轨间距为l，电阻不计，m1>m2，电源内阻不计，电动势为E，电容器电容为C，两极板间的电压大小为2E，导轨足够长。求：
（1）K与1闭合时，棒a、b的稳定速度；
（2）K与2闭合时，棒a、b的稳定速度；
（3）K与1闭合过程中，棒a、b产生的焦耳热。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
(1)稳定后回路中的电流为零，棒a、b的稳定速度均为v1，由
得
(2)再次达到稳定速度时，棒a、b的速度均为v2，以速度v1增加到v2为过程，对导体棒a，由动量定理，得
同理，对导体棒b，有
得
，
得
(3)棒a、b的稳定速度均为v1，对导体棒a，由动量定理，得
对导体棒b，由动量定理，得
通过电源的电量
棒a、b产生的焦耳热
变式训练：（2021·河北衡水中学高三）如图，足够长的间距的平行光滑金属导轨、固定在水平面内，导轨间存在一个宽度的匀强磁场区域，磁感应强度大小为，方向如图所示。一根质量，阻值的金属棒a以初速度从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量，阻值的静止放置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则下列选项中不正确的是（　　）
A．金属棒a第一次穿过磁场的过程中，做加速度减小的减速直线运动
B．金属棒a第一次穿过磁场的过程中，回路中有顺时针方向的感应电流
C．金属棒a第一次穿过磁场的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为0.34375J
D．金属棒a最终停在距磁场左边界0.8m处
【答案】B
【详解】
A．金属棒a第一次穿过磁场时受到安培力的作用，做减速运动，由于速度减小，感应电流减小，安培力减小，加速度减小，故金属棒a做加速度减小的减速直线运动，故A正确；
B．根据右手定则可知，金属棒a第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流，故B错误；
C．电路中产生的平均电动势为
平均电流为
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得
解得对金属棒第一次离开磁场时速度
金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，电路中产生的总热量等于金属棒a机械能的减少量，即
联立并代入数据得
由于两棒电阻相同，两棒产生的焦耳热相同，则金属棒b上产生的焦耳热
故C正确；
D．规定向右为正方向，两金属棒碰撞过程根据动量守恒和机械能守恒得
联立并代入数据解得金属棒a反弹的速度为
设金属棒a最终停在距磁场左边界x处，则从反弹进入磁场到停下来的过程，电路中产生的平均电动势为
平均电流为
规定向右为正方向，对金属棒a，根据动量定理得
联立并带入数据解得
故D正确。
由于本题选不正确的，故选B。
考点三：计算导体棒切割磁感线产生的热量
例3.（2022·浙江）如图所示，MN与PQ为在同一水平面内的平行光滑金属导轨，间距l=0.5m，电阻不计，在导轨左端接阻值为R=0.6Ω的电阻。整个金属导轨置于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B=2T。将质量m=1kg，电阻r=0.4Ω的金属杆ab垂直跨接在导轨上。金属杆ab在水平拉力F的作用下由静止开始向右做匀加速运动，开始时，水平拉力为F0=2N，则下列说法正确的是（　　）
A．2s末回路中的电流为10A
B．回路中有顺时针方向的感应电流
C．若2s内电阻R上产生的热量为6.4J，则水平拉力F做的功约为18.7J
D．若2s内电阻R上产生的热量为6.4J，则金属杆克服安培力做功6.4J
【答案】C
【详解】
A．在初始时刻，由牛顿第二定律
得
2s末时，杆ab的速度为
ab杆产生的感应电动势为
回路电流为
故A错误；
B．由楞次定律“增反减同”可知，回路中有逆时针方向的感应电流。故B错误；
CD．设拉力F所做的功为WF，由动能定理
为金属杆克服安培力做的总功，它与R上焦耳热QR关系为
得
所以
故C正确D错误。
故选C。
变式训练：（2021·陕西西安工业大学附中高三）如图所示，绝缘水平面上固定两条光滑的、间距为的、电阻不计的平行足够长金属导轨，导轨左端连接电源，电源电动势为，内阻为。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度。现将质量为，电阻为的导体棒置于导轨上。现接通电源，导体棒沿导轨由静止开始向右运动，运动时始终与导轨垂直且接触良好，不计电磁辐射损失的能量，问：
（1）棒运动的最大速度；
（2）从静止开始到导体棒的速度达到过程中，回路通过的电荷量q；
（3）从静止开始到导体棒的速度达到过程中，棒产生的焦耳热。
【答案】(1)；(2) ；(3)
【详解】
(1)电源产生电流
方向由
则由右手定则感应电流方向由，由左手定则，向右运动
当时，上电流为零，不受安培力作用，此时速度达到最大为则
代入可得
水平向右
(2)由牛顿第二定律
得
，为任意时刻的加速度和感应电流
由
得两边同乘，则
则由
得
当时
则
(3)设棒与内阻产生的总焦耳热为由动能定理
由
得，则棒产生的焦耳热
1.（2020 海南）如图，足够长的间距d＝1m的平行光滑金属导轨MN、PQ固定在水平面内，导轨间存在一个宽度L＝1m的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B＝0.5T，方向如图所示。一根质量ma＝0.1kg、阻值R＝0.5Ω的金属棒a以初速度v0＝4m/s从左端开始沿导轨滑动，穿过磁场区域后，与另一根质量mb＝0.2kg、阻值R＝0.5Ω的原来静置在导轨上的金属棒b发生弹性碰撞，两金属棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，则（　　）
A．金属棒a第一次穿过磁场时做匀减速直线运动
B．金属棒a第一次穿过磁场时回路中有逆时针方向的感应电流
C．金属棒a第一次穿过磁场区域的过程中，金属棒b上产生的焦耳热为0.25J
D．金属棒a最终停在距磁场左边界0.8m处
2.（2021 天津）如图所示，两根足够长的平行光滑金属导轨MN、PQ间距L＝1m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成θ＝30°角，N、Q两端接有R＝1Ω的电阻。一金属棒ab垂直导轨放置，ab两端与导轨始终有良好接触，已知ab的质量m＝0.2kg，电阻r＝1Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度大小B＝1T。ab在平行于导轨向上的拉力作用下，以初速度v1＝0.5m/s沿导轨向上开始运动，可达到最大速度v＝2m/s。运动过程中拉力的功率恒定不变，重力加速度g＝10m/s2。
（1）求拉力的功率P；
（2）ab开始运动后，经t＝0.09s速度达到v2＝1.5m/s，此过程中ab克服安培力做功W＝0.06J，求该过程中ab沿导轨的位移大小x。
3．（2021 乙卷）如图，一倾角为α的光滑固定斜面的顶端放有质量M＝0.06kg的U形导体框，导体框的电阻忽略不计；一电阻R＝3Ω的金属棒CD的两端置于导体框上，与导体框构成矩形回路CDEF；EF与斜面底边平行，长度L＝0.6m。初始时CD与EF相距s0＝0.4m，金属棒与导体框同时由静止开始下滑，金属棒下滑距离s1＝m后进入一方向垂直于斜面的匀强磁场区域，磁场边界（图中虚线）与斜面底边平行；金属棒在磁场中做匀速运动，直至离开磁场区域。当金属棒离开磁场的瞬间，导体框的EF边正好进入磁场，并在匀速运动一段距离后开始加速。已知金属棒与导体框之间始终接触良好，磁场的磁感应强度大小B＝1T，重力加速度大小取g＝10m/s2，sinα＝0.6。求
（1）金属棒在磁场中运动时所受安培力的大小；
（2）金属棒的质量以及金属棒与导体框之间的动摩擦因数；
（3）导体框匀速运动的距离。
4．（2020 全国）如图，相距l＝0.20m的两条光滑平行导轨的一端向上翘起，另一端用R＝0.10Ω的电阻连接。两导轨的直线段MN、PQ段置于水平面上，其间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝0.50T。现将质量m＝0.10kg的导体棒在导轨的翘起端距导轨平面的高度为h＝0.80m处由静止释放。导体棒在运动过程中与两导轨接触良好，并始终与两导轨垂直。求从棒进入磁场向右运动1.00m的过程中，导体棒克服安培力所做的功。忽略导轨和导体棒的电阻，重力加速度g取10m/s2。（结果保留2位小数）
5．（2020 上海）如图所示，足够长的光滑金属导轨L＝0.5m，电阻不计。左端接一个电动势为3V的电源，整个装置处于匀强磁场中。现闭合电键S，质量0.1kg的金属棒ab由静止开始运动，回路的电流逐渐减小，稳定后电源电动势为E，回路的电流为0，从闭合电键到逐渐稳定的过程中，电源提供的能量Es＝10J，电源、导体棒产生的焦耳热分别是Q1＝0.5J，Q2＝4.5J。
（1）求内阻r和电阻R的阻值之比；
（2）求导体棒稳定时的速度和匀强磁场磁感应强度；
（3）分析电键闭合后导体棒的运动情况和能量的转化关系。
6．（2021 浙江）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1。整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r；“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
（1）求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E0；
（2）通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流I0；
（3）求船舱匀速运动时的速度大小v；
（4）同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小v′和此时电容器所带电荷量q。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 3 页）
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