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课时30 带电粒子在复合场中的运动
考纲对本模块内容的具体要求如下：
掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路.
学会处理磁场和磁场组合、电场和磁场组合带电粒子运动问题．
1.物理观念：
（1）知道带电粒子在复合场中运动的特点及规律，会用力的观点、运动的观点和能量的观点熟练解决相关问题
（2）用到的知识有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．
知识点一：带电粒子在复合场中的受力
1.三种场力的特点
　　（1）重力的大小为mg，方向竖直向下，重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与初、末位置的高度差有关。
　　（2）电场力的大小为qE，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与初、末位置的电势差有关。
　　（3）洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时，f=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，f=qvB；洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。
2.复合场的组成和特点：
复合场:指电场、磁场和重力场并存，或其中两个场并存，或分区域存在。粒子连续运动时，一般要同时考虑电场力、洛伦兹力和重力的作用。抓住三个力的特点是分析和求解相关问题的前提和基础。
3.带电粒子在复合场中运动的处理方法
　　（1）正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提
①带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。
②当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。
③当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段所组成。
　　（2）灵活选用力学规律是解决问题的关键
①当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解。　
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。
③当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。
说明：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，还要根据动量守恒定律列出方程，再与其他方程联立求解。
由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。
知识点二：带电粒子在复合场中运动的力学观点
要点诠释：
带电粒子在复合场中的运动问题是力学和电学知识的一次“大综合”，其分析方法和力学综合问题的分析方法基本相同，只是在受力分析时多加了电场力和洛伦兹力，在考虑能量转化时多了电势能。基本思路如下：
1.正确的受力分析：除重力、弹力、摩擦力外，要特别注意电场力和洛伦兹力的分析，弄清楚场和力的空间方向及关系。
2.正确的运动分析：即根据受力情况进一步明确物体的运动情况，找出物体的速度、位置及其变化规律，分析运动过程。如果出现临界状态，要分析临界条件。
3.运用动力学三大方法解决问题。
（1）牛顿运动定律与运动学公式；
（2）用动量观点分析，包括动量定理、动量守恒定律；
（3）用能量观点分析，包括动能定理、机械能（或能量转化）守恒定律。
要针对不同的问题、模型灵活选用，必须弄清各种规律的成立条件与适用范围。
技巧点拨：
带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．
第3步：用规律
知识点三：带电粒子在复合场中运动的实例分析
质谱仪的原理和分析
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图1所示)
图1
(1)加速电场：qU＝mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；
由以上两式可得r＝ ，
m＝，＝.
回旋加速器的原理和分析
1．构造：
如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．
图4
2．原理：
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．
3．最大动能：
由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．
4．总时间：
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.
考点一：质谱仪
例1.（2020·大名县第一中学高考模拟）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
【答案】（1）；（2）1∶4
【详解】
（1）设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
由几何关系知
解得，磁场的磁感应强度大小为
（2）设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有
，
由几何关系知
解得，甲、乙两种离子的比荷之比为
变式训练：（2021·宁夏银川一中）如图所示为质谱仪的结构图，该质谱仪由速度选择器与偏转磁场两部分组成，已知速度选择器中的磁感应强度大小为、电场强度大小为E，荧光屏下方匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为。三个带电荷量均为q、质量不同的粒子沿竖直方向经速度选择器由荧光屏上的狭缝O进入偏转磁场，最终打在荧光屏上的、、处，相对应的三个粒子的质量分别为、、，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　）
A．三个粒子均带负电
B．打在位置的粒子质量最大
C．如果，则
D．粒子进入偏转磁场的速度是
【答案】BD
【详解】
A．荧光屏下方匀强磁场的方向垂直纸面向外，由左手定则知三种粒子均带正电，A错误；
BD．三种粒子在速度选择器中做匀速直线运动，受力平衡
解得
则粒子进入偏转磁场的速度是
根据
解得
打在位置的粒子半径最大，则打在位置的粒子质量最大，BD正确；
C．根据
解得
解得
C错误。
故选BD。
考点二：回旋加速器
例2.（2022·全国高三专题练习）图甲是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。带电粒子从静止开始运动的速率v随时间t变化如图乙，已知tn时刻粒子恰射出回旋加速器，不考虑相对论效应、粒子所受的重力和穿过狭缝的时间，下列判断正确的是（　　）
A．t3-t2=t2-t1=t1
B．v1：v2：v3=1：2：3
C．粒子在电场中的加速次数为
D．同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差保持不变
【答案】AC
【详解】
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由
可得
粒子运动周期为
故周期与粒子速度无关，每运动半周被加速一次，可知
t3-t2=t2-t1=t1
A正确；
B．粒子被加速一次，动能增加qU，被加速n次后的动能为
可得
故速度之比为
v1：v2：v3=1：：
B错误；
C．由B的分析可得
联立解得
故粒子在电场中的加速次数为，C正确；
D．由A的分析可得
由B的分析可知
故
即同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差会改变，D错误。
故选AC。
变式训练：（2021·福建莆田二中高三）如图为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场场强大小恒定，且被限制在AC板间，虚线中间不需加电场，如图所示，带电粒子从P0处以速度v0沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，对这种改进后的回旋加速器，下列说法正确的是（　　）
A．加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸无关
B．带电粒子每运动一周被加速一次
C．带电粒子每运动一周P1P2等于P2P3
D．加速电场方向需要做周期性的变化
【答案】B
【详解】
BD．带电粒子只有经过AC板间时被加速，即带电粒子每运动一周被加速一次，电场的方向没有改变，则在AC间加速，电场方向不需要做周期性的变化，故B正确，D错误；
C．根据
和
式中n为加速次数，得
可知
所以
故C错误；
A．当粒子从D形盒中出来时，速度最大，根据
知加速粒子的最大速度与D形盒的半径有关，故A错误。
故选B。
【点睛】
带电粒子经加速电场加速后，进入磁场发生偏转，电场被限制在A、C板间，只有经过AC板间时被加速，所以运动一周加速一次，电场的方向不需改变。当带电粒子离开回旋加速器时，速度最大。
考点三：带电粒子在电磁组合场中的运动
例3.（2021·吉林长春·农安县教育局高三）在竖直平面，上建立如图所示的直角坐标系Oxy，在第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；在第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场和沿y轴负方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，一质量g、电荷量C的带负电小球从x轴上的点以一定的初速度垂直x轴射入第一象限，并能从y轴上的点垂直y轴进入第二象限，并能从x轴上的c点（图中未标出）进入第三象限做匀速圆周运动，最后从y轴上的d点垂直y轴进入第四象限。已知重力加速度g取10。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）d点到O点的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）粒子在第一象限内的运动过程中：
在竖直方向上，小球做末速度为0的竖直上抛运动，则有
在水平方向上，小球做初速度为0的匀加速直线运动，根据公式有
根据牛顿第二定律
解得
（2）带电小球在第二象限做平抛运动，初速度为其在第一象限内运动的末速度，则有
解得
竖直方向
水平方向
则小球进入第三象限的速度为
因为从y轴上的d点垂直y轴进入第四象限，则其圆心一定在y轴上，做出粒子运动轨迹，
由三角形相似可得
有几何关系可以得到
根据牛顿第二定律
解得
（3）设小球圆周运动的圆心为，由几何关系可知
故
所以d点到O点的距离为
变式训练：（2022·浙江高三）在xoy坐标系内第二象限存在沿y轴负方向电场强度为E的匀强电场，第四象限存在垂直平面向内磁感应强度为B的匀强磁场，在射线OP上的AC之间有同种带正电粒子以不同的初速度沿x轴正方向连续射出，均能打到O点，A点和C点出发的带电粒子经匀强磁场偏转后分别在x轴上的F点、D点射出磁场，且在F点射出的粒子在O点的速度方向与y轴负方向成 30°。已知带电粒子质量m，电荷量q，OF=2L，OD=L，不计重力。求：
（1）F点射出磁场的粒子在O点时的速度v1；
（2）同时从A点和C出发的粒子到达x轴的时间差；
（3）AC之间的距离；
（4）在第四象限处放一与x轴平行的挡板，能挡住在AC之间发射的上述粒子，则挡板的最小长度Δx为多少。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】
（1）F 点射出磁场的粒子半径
洛伦兹力提供向心力
（2）从 A 点射到 O 点的粒子做类平抛运动，到 O 点时竖直分速度
电场中运动时间
C 点射到 O 点的粒子也做类平抛，根据平抛知识可知在 O 点速度方向与 y 轴负方向成 30°角，在磁场中做圆周运动，转过的圆心角与 A 点出射粒子相同。
所以时间差
（3）A 出射粒子水平位移
C 出射粒子水平位移
OP 与 x 轴负方向夹角α
（4）轨迹如图所示，最短的挡板为图中 MN 所示。
根据图中数据可得
三角形 O1GN 中勾股定理得
所以
考点四：带电粒子在复合场中的运动
例4.（2022·浙江高三）如图所示，真空中有两间距为L、足够长的正对金属板A、B，A板的附近的电子源S能向纸面内各个方向持续释放最大速度为v0的电子。已知电子质量为m，电荷量为-e，不计电子重力，电子打到极板后即被吸收导走。
（1）若A板接正极、B板接负极，且电路中恰好无电流，A、B板间的电势差U1为多大？
（2）在第（1）问情况下，若两极板间加垂直于纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场，此时B板上有电子到达的区域的长度为多大？能到达B板的电子的速度应满足什么条件？
（3）在第（1）问情况下，若A板接正极、B板接负极，且电子打到B板的范围与（2）题中的相同，A、B板间的电势差U2为多大？
（4）若A板接负极、B板接正极、两极板电压U3=，同时加（2）题中的匀强磁场，S发出的速度为v0、方向垂直于极板的电子能否到达B极板？若能，求出到达B极板的位置；若不能，求出电子离A的最远距离。
【答案】（1）；（2）2L，；（3）；（4）能、打到B板的位置为B板上S点正下方右侧处
【详解】
（1）在电场中减速，电场力做负功
可得
（2）由题意，根据洛伦兹力提供向心力则
可得
由几何关系可得在B板上能打到的距离为2L，当，即时，有电子能打到B板
（3）水平方向
竖直方向
可得
而且
解得
又
可得
（4）
如图所示，假设水平方向同时有大小均为v0的向右、向左的速度
向左的速度所受到的洛伦兹力恰好为
因此水平向左方向为v0的匀速直线运动
剩下向右、向下的两速度的合速度大小为、方向为与A板成45o斜向右下方，做圆周运动，圆周运动半径为
离A板最远距离
因此能到达B板，如果只做圆周运动打到B板的位置为B板上S点正下方右侧处，此时粒子向左匀速运动的距离为
因此粒子的位置为S点正下方左侧
变式训练：（2021·宁夏大学附属中学高三）如图所示，在空间坐标系区域中有竖直向上的匀强电场，在一、四象限的正方形区域内有方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场，已知，，。在负x轴上有一质量为m、电量为的金属球以速度v0沿轴向右匀速运动，并与静止在坐标原点处用绝缘细支柱支撑的（支柱与球不粘连、无摩擦）质量为、不带电金属球发生弹性碰撞。已知、球体积相等、材料相同且都可视为点电荷，碰后电荷总量平均分配，重力加速度为，不计、球间的静电力，不计、球产生的场对电场、磁场的影响，求：
（1）碰撞后，、球的速度大小；
（2）、碰后，要使球恰好从边界的点射出，求磁感应强度的取值。
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）a匀速，则
a、b碰撞，动量守恒
机械能守恒
得
（2）碰后a、b电量总量平分，则
碰撞后对b
故b做匀速圆周运动，则
恰从D射出，则由几何关系
得
得
1．（2021 河北）如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是（　　）
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
2．（2021 天津）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿+y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿﹣z方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz，求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。
3．（2021 北京）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。
4.（2021 甲卷）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
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课时30 带电粒子在复合场中的运动
考纲对本模块内容的具体要求如下：
掌握带电粒子在组合场中的运动规律和分析思路.
学会处理磁场和磁场组合、电场和磁场组合带电粒子运动问题．
1.物理观念：
（1）知道带电粒子在复合场中运动的特点及规律，会用力的观点、运动的观点和能量的观点熟练解决相关问题
（2）用到的知识有：动力学观点(牛顿运动定律)、运动学观点、能量观点(动能定理、能量守恒定律)、电场的观点(类平抛运动的规律)、磁场的观点(带电粒子在磁场中运动的规律)．
知识点一：带电粒子在复合场中的受力
1.三种场力的特点
　　（1）重力的大小为mg，方向竖直向下，重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与初、末位置的高度差有关。
　　（2）电场力的大小为qE，方向与电场强度E及带电粒子所带电荷的性质有关，电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与初、末位置的电势差有关。
　　（3）洛伦兹力的大小跟速度与磁场方向的夹角有关，当带电粒子的速度与磁场方向平行时，f=0；当带电粒子的速度与磁场方向垂直时，f=qvB；洛伦兹力的方向垂直于速度v和磁感应强度B所决定的平面。无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功。
2.复合场的组成和特点：
复合场:指电场、磁场和重力场并存，或其中两个场并存，或分区域存在。粒子连续运动时，一般要同时考虑电场力、洛伦兹力和重力的作用。抓住三个力的特点是分析和求解相关问题的前提和基础。
3.带电粒子在复合场中运动的处理方法
　　（1）正确分析带电粒子的受力及运动特征是解决问题的前提
　　①带电粒子在复合场中做什么运动，取决于带电粒子所受的合外力及其初始状态的速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析，当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，做匀速直线运动（如速度选择器）。
　　②当带电粒子所受的重力与电场力等值反向，洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动。
　　③当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子的运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线，由于带电粒子可能连续通过几个情况不同的复合场区，因此粒子的运动情况也发生相应的变化，其运动过程可能由几种不同的运动阶段所组成。
　　（2）灵活选用力学规律是解决问题的关键
①当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解。
②当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解。
③当带电粒子在复合场中做非匀变速曲线运动时，应选用动能定理或能量守恒定律列方程求解。
说明：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，还要根据动量守恒定律列出方程，再与其他方程联立求解。
由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。
知识点二：带电粒子在复合场中运动的力学观点
要点诠释：
带电粒子在复合场中的运动问题是力学和电学知识的一次“大综合”，其分析方法和力学综合问题的分析方法基本相同，只是在受力分析时多加了电场力和洛伦兹力，在考虑能量转化时多了电势能。基本思路如下：
1.正确的受力分析：除重力、弹力、摩擦力外，要特别注意电场力和洛伦兹力的分析，弄清楚场和力的空间方向及关系。
2.正确的运动分析：即根据受力情况进一步明确物体的运动情况，找出物体的速度、位置及其变化规律，分析运动过程。如果出现临界状态，要分析临界条件。
3.运用动力学三大方法解决问题。
（1）牛顿运动定律与运动学公式；
（2）用动量观点分析，包括动量定理、动量守恒定律；
（3）用能量观点分析，包括动能定理、机械能（或能量转化）守恒定律。
要针对不同的问题、模型灵活选用，必须弄清各种规律的成立条件与适用范围。
技巧点拨：
带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：粒子按照时间顺序进入不同的区域可分成几个不同的阶段．
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如图所示．
第3步：用规律
知识点三：带电粒子在复合场中运动的实例分析
质谱仪的原理和分析
1．作用
测量带电粒子质量和分离同位素的仪器．
2．原理(如图1所示)
图1
(1)加速电场：qU＝mv2；
(2)偏转磁场：qvB＝，l＝2r；
由以上两式可得r＝ ，
m＝，＝.
回旋加速器的原理和分析
1．构造：
如图4所示，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒处于匀强磁场中，D形盒的缝隙处接交流电源．
图4
2．原理：
交流电周期和粒子做圆周运动的周期相等，使粒子每经过一次D形盒缝隙，粒子被加速一次．
3．最大动能：
由qvmB＝、Ekm＝mvm2得Ekm＝，粒子获得的最大动能由磁感应强度B和盒半径R决定，与加速电压无关．
4．总时间：
粒子在磁场中运动一个周期，被电场加速两次，每次增加动能qU，加速次数n＝，粒子在磁场中运动的总时间t＝T＝·＝.
考点一：质谱仪
例1.（2020·大名县第一中学高考模拟）如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U加速后在纸面内水平向右运动，自M点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。已知甲种离子射入磁场的速度大小为v1，并在磁场边界的N点射出；乙种离子在MN的中点射出；MN长为l。不计重力影响和离子间的相互作用。求：
（1）磁场的磁感应强度大小；
（2）甲、乙两种离子的比荷之比。
【答案】（1）；（2）1∶4
【详解】
（1）设甲种离子所带电荷量为q1、质量为m1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R1，磁场的磁感应强度大小为B，由动能定理有
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有
由几何关系知
解得，磁场的磁感应强度大小为
（2）设乙种离子所带电荷量为q2、质量为m2，射入磁场的速度为v2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R2.同理有
，
由几何关系知
解得，甲、乙两种离子的比荷之比为
变式训练：（2021·宁夏银川一中）如图所示为质谱仪的结构图，该质谱仪由速度选择器与偏转磁场两部分组成，已知速度选择器中的磁感应强度大小为、电场强度大小为E，荧光屏下方匀强磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为。三个带电荷量均为q、质量不同的粒子沿竖直方向经速度选择器由荧光屏上的狭缝O进入偏转磁场，最终打在荧光屏上的、、处，相对应的三个粒子的质量分别为、、，忽略粒子的重力以及粒子间的相互作用。则下列说法正确的是（　　）
A．三个粒子均带负电
B．打在位置的粒子质量最大
C．如果，则
D．粒子进入偏转磁场的速度是
【答案】BD
【详解】
A．荧光屏下方匀强磁场的方向垂直纸面向外，由左手定则知三种粒子均带正电，A错误；
BD．三种粒子在速度选择器中做匀速直线运动，受力平衡
解得
则粒子进入偏转磁场的速度是
根据
解得
打在位置的粒子半径最大，则打在位置的粒子质量最大，BD正确；
C．根据
解得
解得
C错误。
故选BD。
考点二：回旋加速器
例2.（2022·全国高三专题练习）图甲是回旋加速器的示意图，其核心部分是两个D形金属盒，在加速带电粒子时，两金属盒置于匀强磁场中，并分别与高频电源相连。带电粒子从静止开始运动的速率v随时间t变化如图乙，已知tn时刻粒子恰射出回旋加速器，不考虑相对论效应、粒子所受的重力和穿过狭缝的时间，下列判断正确的是（　　）
A．t3-t2=t2-t1=t1
B．v1：v2：v3=1：2：3
C．粒子在电场中的加速次数为
D．同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差保持不变
【答案】AC
【详解】
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，由
可得
粒子运动周期为
故周期与粒子速度无关，每运动半周被加速一次，可知
t3-t2=t2-t1=t1
A正确；
B．粒子被加速一次，动能增加qU，被加速n次后的动能为
可得
故速度之比为
v1：v2：v3=1：：
B错误；
C．由B的分析可得
联立解得
故粒子在电场中的加速次数为，C正确；
D．由A的分析可得
由B的分析可知
故
即同一D形盒中粒子的相邻轨迹半径之差会改变，D错误。
故选AC。
变式训练：（2021·福建莆田二中高三）如图为一种改进后的回旋加速器示意图，其中盒缝间的加速电场场强大小恒定，且被限制在AC板间，虚线中间不需加电场，如图所示，带电粒子从P0处以速度v0沿电场线方向射入加速电场，经加速后再进入D形盒中的匀强磁场做匀速圆周运动，对这种改进后的回旋加速器，下列说法正确的是（　　）
A．加速粒子的最大速度与D形盒的尺寸无关
B．带电粒子每运动一周被加速一次
C．带电粒子每运动一周P1P2等于P2P3
D．加速电场方向需要做周期性的变化
【答案】B
【详解】
BD．带电粒子只有经过AC板间时被加速，即带电粒子每运动一周被加速一次，电场的方向没有改变，则在AC间加速，电场方向不需要做周期性的变化，故B正确，D错误；
C．根据
和
式中n为加速次数，得
可知
所以
故C错误；
A．当粒子从D形盒中出来时，速度最大，根据
知加速粒子的最大速度与D形盒的半径有关，故A错误。
故选B。
【点睛】
带电粒子经加速电场加速后，进入磁场发生偏转，电场被限制在A、C板间，只有经过AC板间时被加速，所以运动一周加速一次，电场的方向不需改变。当带电粒子离开回旋加速器时，速度最大。
考点三：带电粒子在电磁组合场中的运动
例3.（2021·吉林长春·农安县教育局高三）在竖直平面，上建立如图所示的直角坐标系Oxy，在第一象限内存在沿x轴正方向的匀强电场，电场强度大小为E；在第三象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场和沿y轴负方向的匀强电场，磁感应强度大小为B，一质量g、电荷量C的带负电小球从x轴上的点以一定的初速度垂直x轴射入第一象限，并能从y轴上的点垂直y轴进入第二象限，并能从x轴上的c点（图中未标出）进入第三象限做匀速圆周运动，最后从y轴上的d点垂直y轴进入第四象限。已知重力加速度g取10。求：
（1）电场强度E的大小；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）d点到O点的距离。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】
（1）粒子在第一象限内的运动过程中：
在竖直方向上，小球做末速度为0的竖直上抛运动，则有
在水平方向上，小球做初速度为0的匀加速直线运动，根据公式有
根据牛顿第二定律
解得
（2）带电小球在第二象限做平抛运动，初速度为其在第一象限内运动的末速度，则有
解得
竖直方向
水平方向
则小球进入第三象限的速度为
因为从y轴上的d点垂直y轴进入第四象限，则其圆心一定在y轴上，做出粒子运动轨迹，
由三角形相似可得
有几何关系可以得到
根据牛顿第二定律
解得
（3）设小球圆周运动的圆心为，由几何关系可知
故
所以d点到O点的距离为
变式训练：（2022·浙江高三）在xoy坐标系内第二象限存在沿y轴负方向电场强度为E的匀强电场，第四象限存在垂直平面向内磁感应强度为B的匀强磁场，在射线OP上的AC之间有同种带正电粒子以不同的初速度沿x轴正方向连续射出，均能打到O点，A点和C点出发的带电粒子经匀强磁场偏转后分别在x轴上的F点、D点射出磁场，且在F点射出的粒子在O点的速度方向与y轴负方向成 30°。已知带电粒子质量m，电荷量q，OF=2L，OD=L，不计重力。求：
（1）F点射出磁场的粒子在O点时的速度v1；
（2）同时从A点和C出发的粒子到达x轴的时间差；
（3）AC之间的距离；
（4）在第四象限处放一与x轴平行的挡板，能挡住在AC之间发射的上述粒子，则挡板的最小长度Δx为多少。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】
（1）F 点射出磁场的粒子半径
洛伦兹力提供向心力
（2）从 A 点射到 O 点的粒子做类平抛运动，到 O 点时竖直分速度
电场中运动时间
C 点射到 O 点的粒子也做类平抛，根据平抛知识可知在 O 点速度方向与 y 轴负方向成 30°角，在磁场中做圆周运动，转过的圆心角与 A 点出射粒子相同。
所以时间差
（3）A 出射粒子水平位移
C 出射粒子水平位移
OP 与 x 轴负方向夹角α
（4）轨迹如图所示，最短的挡板为图中 MN 所示。
根据图中数据可得
三角形 O1GN 中勾股定理得
所以
考点四：带电粒子在复合场中的运动
例4.（2022·浙江高三）如图所示，真空中有两间距为L、足够长的正对金属板A、B，A板的附近的电子源S能向纸面内各个方向持续释放最大速度为v0的电子。已知电子质量为m，电荷量为-e，不计电子重力，电子打到极板后即被吸收导走。
（1）若A板接正极、B板接负极，且电路中恰好无电流，A、B板间的电势差U1为多大？
（2）在第（1）问情况下，若两极板间加垂直于纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场，此时B板上有电子到达的区域的长度为多大？能到达B板的电子的速度应满足什么条件？
（3）在第（1）问情况下，若A板接正极、B板接负极，且电子打到B板的范围与（2）题中的相同，A、B板间的电势差U2为多大？
（4）若A板接负极、B板接正极、两极板电压U3=，同时加（2）题中的匀强磁场，S发出的速度为v0、方向垂直于极板的电子能否到达B极板？若能，求出到达B极板的位置；若不能，求出电子离A的最远距离。
【答案】（1）；（2）2L，；（3）；（4）能、打到B板的位置为B板上S点正下方右侧处
【详解】
（1）在电场中减速，电场力做负功
可得
（2）由题意，根据洛伦兹力提供向心力则
可得
由几何关系可得在B板上能打到的距离为2L，当，即时，有电子能打到B板
（3）水平方向
竖直方向
可得
而且
解得
又
可得
（4）
如图所示，假设水平方向同时有大小均为v0的向右、向左的速度
向左的速度所受到的洛伦兹力恰好为
因此水平向左方向为v0的匀速直线运动
剩下向右、向下的两速度的合速度大小为、方向为与A板成45o斜向右下方，做圆周运动，圆周运动半径为
离A板最远距离
因此能到达B板，如果只做圆周运动打到B板的位置为B板上S点正下方右侧处，此时粒子向左匀速运动的距离为
因此粒子的位置为S点正下方左侧
变式训练：（2021·宁夏大学附属中学高三）如图所示，在空间坐标系区域中有竖直向上的匀强电场，在一、四象限的正方形区域内有方向如图所示的正交的匀强电场和匀强磁场，已知，，。在负x轴上有一质量为m、电量为的金属球以速度v0沿轴向右匀速运动，并与静止在坐标原点处用绝缘细支柱支撑的（支柱与球不粘连、无摩擦）质量为、不带电金属球发生弹性碰撞。已知、球体积相等、材料相同且都可视为点电荷，碰后电荷总量平均分配，重力加速度为，不计、球间的静电力，不计、球产生的场对电场、磁场的影响，求：
（1）碰撞后，、球的速度大小；
（2）、碰后，要使球恰好从边界的点射出，求磁感应强度的取值。
【答案】（1）；（2）
【详解】
（1）a匀速，则
a、b碰撞，动量守恒
机械能守恒
得
（2）碰后a、b电量总量平分，则
碰撞后对b
故b做匀速圆周运动，则
恰从D射出，则由几何关系
得
得
1．（2021 河北）如图，距离为d的两平行金属板P、Q之间有一匀强磁场，磁感应强度大小为B1，一束速度大小为v的等离子体垂直于磁场喷入板间。相距为L的两光滑平行金属导轨固定在与导轨平面垂直的匀强磁场中，磁感应强度大小为B2，导轨平面与水平面夹角为θ，两导轨分别与P、Q相连。质量为m、电阻为R的金属棒ab垂直导轨放置，恰好静止。重力加速度为g，不计导轨电阻、板间电阻和等离子体中的粒子重力。下列说法正确的是（　　）
A．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
B．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
C．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向上，v＝
D．导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下，v＝
【解答】解：平行金属板P、Q之间磁感应强度方向由N极指向S极，由左手定则判断，等离子体中的正离子向金属板Q偏转，负离子向金属板P偏转，可知金属板Q带正电荷（电源正极），金属板P带负电荷（电源负极），金属棒ab中电流方向由a流向b，已知磁场B2的方向垂直导轨平面，由左手定则可知，金属棒ab所受安培力平行于导轨平面向上或者向下，金属棒ab处于静止，由受力平衡条件判断其所受安培力沿导轨平面向上，再由左手定则判断出导轨处磁场的方向垂直导轨平面向下。
金属棒ab恰好静止，由受力平衡可得：B2IL＝mgsinθ，
由闭合电路欧姆定律可得，平行金属板P、Q之间的电压U＝IR，
金属板P、Q之间电场强度，
等离子体的正负离子在磁场B1中受到电场力与洛伦兹力，稳定后此二力平衡，则
qvB1＝qE，
联立解得，故B正确，ACD错误。
故选：B。
2．（2021 天津）霍尔元件是一种重要的磁传感器，可用在多种自动控制系统中。长方体半导体材料厚为a、宽为b、长为c，以长方体三边为坐标轴建立坐标系xyz，如图所示。半导体中有电荷量均为e的自由电子与空穴两种载流子，空穴可看作带正电荷的自由移动粒子，单位体积内自由电子和空穴的数目分别为n和p。当半导体材料通有沿+x方向的恒定电流后，某时刻在半导体所在空间加一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，沿+y方向，于是在z方向上很快建立稳定电场，称其为霍尔电场，已知电场强度大小为E，沿﹣z方向。
（1）判断刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力方向；
（2）若自由电子定向移动在沿+x方向上形成的电流为In，求单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小Fnz；
（3）霍尔电场建立后，自由电子与空穴在z方向定向移动的速率分别为vnz、vpz，求Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数与空穴数，并说明两种载流子在z方向上形成的电流应满足的条件。
【解答】解：（1）根据左手定则可知，自由电子受到的洛伦兹力沿+z方向；
（2）设t时间内流过半导体垂直于x轴某一横截面自由电子的电荷量为q，由电流定义式，有：In＝①
设自由电子在x方向上定向移动速率为vnx，可导出自由电子的电流微观表达式为：In＝neabvnx②
单个自由电子所受洛伦兹力大小为：F洛＝evnxB ③
霍尔电场力大小为：F电＝eE ④
自由电子在z方向上受到的洛伦兹力和霍尔电场力方向相同，联立②③④式，可得其合力大小为：
Fnz＝e（+E）；
（3）设Δt时间内在z方向上运动到半导体上表面的自由电子数为Nn、空穴数为Np，
则：Nn＝nacvnzΔt
Np＝pacvpzΔt
霍尔电场建立后，半导体z方向的上表面的电荷量就不再发生变化，则应Nn＝Np，
即在任何相等时间内运动到上表面的自由电子数与空穴数相等，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反。
答：（1）刚加磁场瞬间自由电子受到的洛伦兹力沿+z方向；
（2）单个自由电子由于定向移动在z方向上受到洛伦兹力和霍尔电场力的合力大小为e（+E）；
（3）Δt时间内运动到半导体z方向的上表面的自由电子数为nacvnzΔt，空穴数为pacvpzΔt，这样两种载流子在z方向形成的电流应大小相等、方向相反。
3．（2021 北京）如图所示，M为粒子加速器；N为速度选择器，两平行导体板之间有方向相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度为B。从S点释放一初速度为0、质量为m、电荷量为q的带正电粒子，经M加速后恰能以速度v沿直线（图中平行于导体板的虚线）通过N。不计重力。
（1）求粒子加速器M的加速电压U；
（2）求速度选择器N两板间的电场强度E的大小和方向；
（3）仍从S点释放另一初速度为0、质量为2m、电荷量为q的带正电粒子，离开N时粒子偏离图中虚线的距离为d，求该粒子离开N时的动能Ek。
【解答】解：（1）根据功能关系：
得：；
（2）电场力与洛伦兹力平衡：qE＝qBv
得：E＝Bv；
由左手定则判定电场的方向垂直导体板向下。
（3）电场力做正功，根据功能关系：Ek＝qU+qEd
得：
答：（1）加速电压为；
（2）场强E的方向垂直于导体板向下，大小为Bv；
（3）粒子离开N时的动能为。
4.（2021 甲卷）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【解答】解：（1）带电粒子在电场中受到竖直向下的电场力作用，粒子做类平抛运动，在P点对速度进行分解，如图1所示：
图1
tan60°＝
粒子做类平抛运动：
水平方向上：x＝v0t0
竖直方向上：y＝，vy＝at0
其中a＝
粒子发射位置到P点的距离s＝
在P点的速度大小：v＝
联立解得：s＝，v＝
（2）带电粒子从Q点射出磁场，运动轨迹如图2所示：
图2
由几何关系可知：粒子从下边缘Q点射出时，轨迹圆的半径为R1＝
由洛伦兹力提供向心力可知：，磁感应强度B＝
由此可知，＝
带电粒子从N点射出磁场，运动轨迹如图3所示：
图3
由几何关系可知：粒子从下边缘N点射出时，设轨迹圆的半径为R2
在△ONE中：，解得：R2＝
由洛伦兹力提供向心力可知：，磁感应强度B＝
由此可知，＝
磁感应强度大小的取值范围为：B2＜B＜B1
即：＜B＜
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，画出粒子在磁场中的运动轨迹如图4所示：
图4
由几何关系可知，在△OAF中，
该轨迹与MN极板最近的距离：
△x＝l﹣
联立解得：
△x＝
答：
（1）粒子发射位置到P点的距离为；
（2）磁感应强度大小的取值范围为：＜B＜；
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离为。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 3 页）
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