资源简介

2021年河南省安阳市中考数学二模试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
2．（3分）我国的“北斗系统”已完成全球组网，其搭载原子钟的精度已经提升到了每3000000年误差1秒．3000000用科学记数法表示为（　　）
A．3×10﹣6 B．3×107 C．3×106 D．30×105
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3ab）2＝9a2b2 B．3a2﹣a2＝3
C．a2bc÷ac＝a D．a2 a3＝a6
5．（3分）如图，直线l1∥l2，一个含45°角的直角三角板如图所示放置，点A在直线l2上，直角顶点C在直线l1上，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．60° C．65° D．75°
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
7．（3分）定义运算：a☆b＝，例如：1☆3＝1+2×3＝7，2☆1＝2﹣2×1＝0，则关于函数y＝的下列说法中错误的是（　　）
A．图象经过点（1，3）
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．图象位于第二、四象限
D．当﹣3＜x＜﹣1时，函数值满足﹣3＜y＜﹣1
8．（3分）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米，乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟，已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时，设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时，根据题意可列方程（　　）
A．﹣＝2.6 B．﹣＝2
C．﹣＝ D．﹣＝2
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
10．（3分）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，点P从点D出发，沿D→C→B的方向以1cm/s的速度运动到点B．图（2）是点P运动时，△ADP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个大于﹣且小于的整数 　 　．
12．（3分）不等式组的解集是 　 　．
13．（3分）现有分别标有汉字“热”“爱”“劳”“动”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，不放回，再任意抽取一张，则两次抽取的卡片上的汉字能组成“劳动”的概率是 　 　．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，点E是OB的中点，点P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为 　 　．
15．（3分）如图，半圆O的直径AB＝2cm，＝2，点E是上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB交DE于点F，OH＝EF，则图中阴影部分周长的最大值为 　 　cm．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）（1）化简：（a+2）2﹣（a+3）（a﹣1）；
（2）计算：6sin60°+（π﹣100）0﹣+|﹣2|．
17．（9分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下：
[收集数据]
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：
甲：78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙：40 70 70 72 73 73 77 78 80 80 81 81 81 81 82 83 83 88 93 94
[整理、描述数据]
按如下分数段整理、描述两组样本数据：
成绩x人数部门 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 0 0 1 11 7 1
乙 1 0 0 7 10 a
[分析数据]
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门 平均数 中位数 众数
甲 78.3 77.5 75
乙 78 80.5 b
[得出结论]
若成绩在80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格．
请根据以上信息，回答下列各题：
（1）a＝　 　，b＝　 　．
（2）乙部门生产技能优秀的员工大约有多少人？
（3）请推断哪个部门的员工生产技能水平较高，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性．）
18．（9分）如图，CD是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，AD与⊙O相切于点D，点B是⊙O上一点（点B不与点C，D重合），连接AO，AB，BC．
（1）当BC与AO满足什么位置关系时，AB是⊙O的切线？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，当∠DAO＝　 　度时，四边形AOCB是平行四边形．
19．（9分）2021年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年（公元398年）的建筑，在1600多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现．
某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道FB上架设测角仪，先在点F处测得魁星阁顶端A的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达G处，在G处测得魁星阁顶端A的仰角是45°．若测角仪CF和DG的高度均为1.5米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中AB的值）．（参考数据：sin26°≈0.44，cos24°≈0.90，tan26°≈0.49，≈1.41，结果精确到0.1米）
20．（9分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交点为C，与x轴交点为A，B，点A位于点B左侧，且OB＝3OA，点P为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2）若经过点B，C的直线解析式为y＝kx+b，则不等式x2﹣2x+c≤kx+b的解集为 　 　．
21．（10分）“双十一”期间，甲、乙两家商场以相同价格销售同样的商品，它们的优惠方案分别为：甲商场，一次购物中不超过m元无优惠，超过m元后的价格部分打n折；乙商场，一次购物中不超过600元无优惠，超过600元后的价格部分打六折，设商品原价为x元（x≥0），购物应付金额为y元．
（1）求在乙商场购物时y2与x之间的函数关系；
（2）如图所示，在甲商场购物时y1与x之间的函数图象为线段OA和射线AC，在乙商场购物时y2与x之间的函数图象为线段OB和射线BC，且点A在OB上，请直接写出AC与BC的交点C的坐标，以及甲商场的优惠方案；
（3）根据函数图象，请直接写出“双十一”期间选择哪家商场购物更．
22．（10分）某数学兴趣小组的同学在学过函数的知识之后，对函数y＝﹣x3+3x的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程：
（1）列表：
x … ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 …
y … 2 m ﹣2 ﹣ 0 n ﹣2 …
表中m＝　 　；n＝　 　．
（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中补全该函数图象，并写出该函数的一条性质．
（3）若函数y＝﹣x3+3x的图象上有A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三个点，且﹣1＜x1＜x2＜x3＜1，则y1，y2，y3之间的大小关系为 　 　（用“＜”连接）
（4）若方程﹣x3+3x＝k至少有两个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围．
23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线AC上一个动点，点G是CB延长线上一点，且AD＝BG，DE∥BC，交直线AB于点E，EF平分∠AED，交射线AC于点F，FP∥DE，交直线AB于点P，连接DG交直线AB于点Q．
（1）①如图1，当AB＝AC＝BC＝4，点D是AC中点时，PQ的长是 　 　．
②如图2，当AB＝5，BC＝3，点D在边AC上移动时，PQ的长是否为定值？若是，请求出PQ的值；若不是，请说明理由；
（2）当AB＝a，BC＝b，点D在边AC的延长线上移动时，请直接写出PQ的长．（用含有a，b的代数式表示）
2021年河南省安阳市中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.
1．（3分）﹣2021的倒数是（　　）
A．2021 B．﹣2021 C． D．﹣
【分析】根据乘积是1的两个数互为倒数判断即可．
【解答】解：﹣2021的倒数是．
故选：D．
2．（3分）我国的“北斗系统”已完成全球组网，其搭载原子钟的精度已经提升到了每3000000年误差1秒．3000000用科学记数法表示为（　　）
A．3×10﹣6 B．3×107 C．3×106 D．30×105
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：3000000＝3×106，
故选：C．
3．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体是（　　）
A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥
【分析】根据几何体的三视图分析解答即可．
【解答】解：由几何体的三视图可得该几何体是圆锥，
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．（﹣3ab）2＝9a2b2 B．3a2﹣a2＝3
C．a2bc÷ac＝a D．a2 a3＝a6
【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝9a2b2，符合题意；
B、原式＝2a2，不符合题意；
C、原式＝ab，不符合题意；
D、原式＝a5，不符合题意．
故选：A．
5．（3分）如图，直线l1∥l2，一个含45°角的直角三角板如图所示放置，点A在直线l2上，直角顶点C在直线l1上，已知∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）
A．45° B．60° C．65° D．75°
【分析】根据等腰直角三角形的性质和平行线的性质得出∠2的度数即可．
【解答】解：∵一个含45°角的直角三角板，
∴∠CAB＝45°，
∵l1∥l2，
∴∠2＝∠CAB+∠1＝45°+30°＝75°，
故选：D．
6．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
【分析】先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m+2）2+4＞0，从而可判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）
＝m2+4m+8
＝（m+2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．（3分）定义运算：a☆b＝，例如：1☆3＝1+2×3＝7，2☆1＝2﹣2×1＝0，则关于函数y＝的下列说法中错误的是（　　）
A．图象经过点（1，3）
B．当x＞0时，y随x的增大而减小
C．图象位于第二、四象限
D．当﹣3＜x＜﹣1时，函数值满足﹣3＜y＜﹣1
【分析】根据定义的运算，求出1☆（﹣1）的值，再根据反比例函数的图象和性质进行判断即可．
【解答】解：由定义新运算可得，1☆（﹣1）＝1﹣2×（﹣1）＝3，
所以反比例函数的关系式为y＝，
当x＝1时，y＝3，因此图象过点（1，3），所以选项A不符合题意；
在第一象限，y随x的增大而减小，因此选项B不符合题意；
图象位于一、三象限，因此选项C符合题意；
根据反比例函数的意义和性质可知当﹣3＜x＜﹣1时，函数值满足﹣3＜y＜﹣1，因此选项D不符合题意；
故选：C．
8．（3分）中国标准动车组“复兴号”是世界上商业运营时速最高的动车组列车，达到世界先进水平，安全、舒适、快速是它的显著优点．从安阳东站到北京西站的距离是516千米，乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟，已知复兴号动车组的平均速度比特快列车快100千米/小时，设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时，根据题意可列方程（　　）
A．﹣＝2.6 B．﹣＝2
C．﹣＝ D．﹣＝2
【分析】设复兴号动车组的平均速度为x千米/小时，则特快列车的速度为（x﹣100）千米/时，根据乘坐复兴号动车组列车将比乘坐特快列车节省2小时6分钟列出方程即可．
【解答】解：设“复兴号”的速度为x千米/时，则特快列车的速度为（x﹣100）千米/时，
根据题意得：﹣＝2，
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝2，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN，交AC于点D，连接BD，则△BCD的周长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
【分析】依据MN垂直平分AB，即可得出AD＝BD，进而得到CD+BD＝CD+AD＝AC，再根据AC＝3，BC＝2，即可得出△BCD的周长．
【解答】解：依据作图可得，MN垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴CD+BD＝CD+AD＝AC＝3，
又∵BC＝2，
∴△BCD的周长为3+2＝5，
故选：B．
10．（3分）如图（1），Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，点P从点D出发，沿D→C→B的方向以1cm/s的速度运动到点B．图（2）是点P运动时，△ADP的面积y（cm2）随时间x（s）变化的图象，则a的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】由点P的运动可知，CD＝acm，BC＝a+2﹣a＝2cm，且当点P运动到点C时，△ADC的面积为2cm2，过点D作DE⊥AC于点E，可得DE＝1cm，则AC＝4cm，最后根据勾股定理可知AB＝2cm，所以a＝cm．
【解答】解：由点P的运动可知，CD＝acm，BC＝a+2﹣a＝2cm，且当点P运动到点C时，△ADC的面积为2cm2，
过点D作DE⊥AC于点E，
∴AC DE＝2，即AC DE＝4，
∵CD是中线，即点D是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝1cm，
∴AC＝4cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知，AB＝2cm，
∴a＝AD＝AB＝cm．
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个大于﹣且小于的整数 　﹣1（答案不唯一）　．
【分析】分别估算﹣和的大小，进而得出答案．
【解答】解；由于﹣2＜﹣＜﹣1，1＜＜2，
所以大于﹣且小于的整数有﹣1，0，1，
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
12．（3分）不等式组的解集是 　x＜﹣1　．
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≤2，
解不等式②，得x＜﹣1，
所以不等式组的解集是x＜﹣1，
故答案为：x＜﹣1．
13．（3分）现有分别标有汉字“热”“爱”“劳”“动”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀放在桌子上，然后任意抽取一张卡片，不放回，再任意抽取一张，则两次抽取的卡片上的汉字能组成“劳动”的概率是 　　．
【分析】列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而根据概率公式求解即可．
【解答】解：列表如下：
热 爱 劳 动
热 （爱，热） （劳，热） （动，热）
爱 （热，爱） （劳，爱） （动，爱）
劳 （热，劳） （爱，劳） （动，劳）
动 （热，动） （爱，动） （劳，动）
由表知，共有12种等可能结果，其中两次抽取的卡片上的汉字能组成“劳动”的有2种结果，
所以两次抽取的卡片上的汉字能组成“劳动”的概率为＝，
故答案为：．
14．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，点E是OB的中点，点P是CD的中点，连接PE，则线段PE的长为 　　．
【分析】取OD的中点H，连接HP，由菱形的性质可得AC⊥BD，AO＝CO＝2，OB＝OD＝3，由三角形中位线定理可得HP＝OC＝1，HP∥AC，可得EH＝3，∠DOC＝90°，由勾股定理可求PE的长．
【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝2，OB＝OD＝3，
∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，
∴OH＝，OE＝，HP＝OC＝1，HP∥AC，
∴EH＝3，∠DOC＝90°，
∴EP＝＝＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，半圆O的直径AB＝2cm，＝2，点E是上一个动点，弦DE∥AB，OF⊥AB交DE于点F，OH＝EF，则图中阴影部分周长的最大值为 　（+2）　cm．
【分析】连接OE，可证四边形HOEF是平行四边形，则DF+AH+HF＝2cm，所以当E与C点重合时，AD弧的长最大，可求∠BOC＝60°，即可求AD弧的长＝cm，进而求阴影部分周长的最大值．
【解答】解：连接OE，
∵DE∥AB，OH＝EF，
∴四边形HOEF是平行四边形，
∴HF＝OE，
∵HO＝EF，
∴DF+AH＝AO，
∴DF+AH+HF＝AO+OE＝AB，
∵AB＝2cm，
∴DF+AH+HF＝2cm，
∵点E是上一个动点，
∴当E与C点重合时，AD弧的长最大，
此时阴影部分周长最大，
∵＝2，
∴∠BOC＝60°，
∴AD弧的长＝＝cm，
∴阴影部分周长的最大值为（+2）cm，
故答案为：+2．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）（1）化简：（a+2）2﹣（a+3）（a﹣1）；
（2）计算：6sin60°+（π﹣100）0﹣+|﹣2|．
【分析】（1）根据完全平方公式以及多项式乘多项式的运算法则化简即可；
（2）根据特殊角的三角函数值，任何非零数零次幂等于1，算术平方根的定义以及绝对值的性质计算即可．
【解答】解：（1）原式＝a2+4a+4﹣（a2+2a﹣3）
＝a2+4a+4﹣a2﹣2a+3
＝2a+7；
（2）原式＝6×+1﹣+2
＝
＝3．
17．（9分）某工厂甲、乙两个部门各有员工400人，为了解这两个部门员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下：
[收集数据]
从甲、乙两个部门各随机抽取20名员工，进行生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：
甲：78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙：40 70 70 72 73 73 77 78 80 80 81 81 81 81 82 83 83 88 93 94
[整理、描述数据]
按如下分数段整理、描述两组样本数据：
成绩x人数部门 40≤x≤49 50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100
甲 0 0 1 11 7 1
乙 1 0 0 7 10 a
[分析数据]
两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
部门 平均数 中位数 众数
甲 78.3 77.5 75
乙 78 80.5 b
[得出结论]
若成绩在80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格．
请根据以上信息，回答下列各题：
（1）a＝　2　，b＝　81　．
（2）乙部门生产技能优秀的员工大约有多少人？
（3）请推断哪个部门的员工生产技能水平较高，并说明理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性．）
【分析】（1）根据频数之和等于样本容量可求出a的值，根据众数的定义可得b的值；
（2）求出样本中乙部门员工成绩优秀所占的百分比，即可估计总体400人中优秀所占的百分比即可；
（3）根据中位数、众数两个方面进行判断即可．
【解答】解：（1）a＝20﹣1﹣7﹣10＝2，
乙部门员工成绩出现次数最多的是81分，共有4人，因此众数是81分，即b＝81，
故答案为：2，81；
（2）400×＝240（人），
答：乙部门生产技能优秀的员工大约有240人；
（3）乙部门员工的成绩较好，理由为：乙部门员工成绩的中位数比甲部门员工成绩的中位数高；
乙部门员工成绩的众数比甲部门员工出的众数高．
18．（9分）如图，CD是⊙O的直径，点A是⊙O外一点，AD与⊙O相切于点D，点B是⊙O上一点（点B不与点C，D重合），连接AO，AB，BC．
（1）当BC与AO满足什么位置关系时，AB是⊙O的切线？请说明理由；
（2）在（1）的条件下，当∠DAO＝　45　度时，四边形AOCB是平行四边形．
【分析】（1）连结OB，当BC∥AO时，可得∠OBC＝∠BOA，∠OCB＝∠DOA，根据∠OBC＝∠OCB，得到∠BOA＝∠DOA，利用SAS判定△ABO≌△ADO，进而得出∠OBA＝∠ODA＝90°，即可得解；
（2）∠DAO＝45°时，∠DAO＝∠DOA，则AD＝OD，根据BD⊥BC，BC∥AO，得出BD⊥AO，则AO＝2OE，根据三角形中位线定理得出BC＝2OE，则AO＝BC，又BC∥AO，即可判定四边形AOCB是平行四边形．
【解答】解：（1）当BC∥AO时，AB是⊙O的切线，理由如下：
如图，连结OB，
∵AD与⊙O相切于点D，
∴∠ODA＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵BC∥AO，
∴∠OBC＝∠BOA，∠OCB＝∠DOA，
∴∠BOA＝∠DOA，
在△ABO和△ADO中，
，
∴△ABO≌△ADO（SAS），
∴∠OBA＝∠ODA＝90°，
∴AB⊥OB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）当∠DAO＝45°时，四边形AOCB是平行四边形，理由如下：
设OA交BD于点E，
∵∠DAO＝45°，∠ADO＝90°，
∴∠DOA＝45°，
∴∠DAO＝∠DOA，
∴AD＝OD，
∵CD是⊙O的直径，
∴BD⊥BC，
∵BC∥AO，
∴BD⊥AO，
又AD＝OD，
∴AO＝2OE，
∵BC∥AO，OC＝OD，
∴BC＝2OE，
∴AO＝BC，
又BC∥AO，
∴四边形AOCB是平行四边形，
故答案为：45．
19．（9分）2021年“五一”期间，修复后的安阳老城东南城墙及魁星阁与市民见面，这一始建于北魏天兴元年（公元398年）的建筑，在1600多年后，以崭新的面貌向世人展示历史印记，古代安阳“魁星取水”景观即将重现．
某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道FB上架设测角仪，先在点F处测得魁星阁顶端A的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达G处，在G处测得魁星阁顶端A的仰角是45°．若测角仪CF和DG的高度均为1.5米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中AB的值）．（参考数据：sin26°≈0.44，cos24°≈0.90，tan26°≈0.49，≈1.41，结果精确到0.1米）
【分析】解直角三角形求出AG即可解决问题．
【解答】解：由题意知，∠ADE＝45°，∠ACE＝26°，FG＝CD＝20米，CF＝DG＝1.5米，
设AE＝x米，
在Rt△ADE中，
∵AE＝x米，∠ADE＝45°，
∴ED＝AE＝x米，
∴CE＝CD+ED＝（20+x）米，
在Rt△ACE中，
∵tan26°＝＝，
∴tan26°（20+x）＝x，
即0.49×（20+x）≈x，
解得x≈19.22（米），
∴AB＝AE+BE≈19.22+1.5＝20.7（米）．
答：铁塔的高度AB约为20.7米．
20．（9分）如图，抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴交点为C，与x轴交点为A，B，点A位于点B左侧，且OB＝3OA，点P为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；
（2）若经过点B，C的直线解析式为y＝kx+b，则不等式x2﹣2x+c≤kx+b的解集为 　0≤x≤3　．
【分析】（1）由条件求出A点或B点坐标，代入即可；
（2）x2﹣2x+c≤kx+b的解集就是从图象来看抛物线在直线的下方，从图象可得出结果．
【解答】解：（1）设B（3x，0），
∴A（﹣x，0）
∵抛物线的对称轴x＝﹣＝1，
∴（3x﹣1）＝1﹣（﹣x），
∴x＝1，
∴B（﹣1，0），
∴1﹣2×（﹣1）+c＝0，
∴C＝﹣3，
∴y＝x2﹣2x﹣3
＝（x﹣1）2﹣4，
∴P（1，﹣4）；
（2）如图，
∵x2﹣2x+c≤kx+b，
∴抛物线在BC下方，
∴0≤x≤3，
故答案是0≤x≤3．
21．（10分）“双十一”期间，甲、乙两家商场以相同价格销售同样的商品，它们的优惠方案分别为：甲商场，一次购物中不超过m元无优惠，超过m元后的价格部分打n折；乙商场，一次购物中不超过600元无优惠，超过600元后的价格部分打六折，设商品原价为x元（x≥0），购物应付金额为y元．
（1）求在乙商场购物时y2与x之间的函数关系；
（2）如图所示，在甲商场购物时y1与x之间的函数图象为线段OA和射线AC，在乙商场购物时y2与x之间的函数图象为线段OB和射线BC，且点A在OB上，请直接写出AC与BC的交点C的坐标，以及甲商场的优惠方案；
（3）根据函数图象，请直接写出“双十一”期间选择哪家商场购物更．
【分析】（1）根据题意可得y2与x的函数关系式，注意分段考虑；
（2）把x＝900代入y2＝0.6x+240可得点C的坐标，再把x＝300代入y2＝x可得点A的坐标，根据点A与点C坐标之间的差可得甲商场m与n的值；
（3）根据函数图象可得哪家商场更优惠．
【解答】解：（1）由题意得，当0≤x≤600时，y2＝x，
当x＞600时，y2＝600+0.6（x﹣600）＝0.6x+240；
（2）把x＝900代入y2＝0.6x+240可得y2＝780，
∴C（900，780）；
把x＝300代入可得y2＝300，
∴A（300，300），
∴m＝300，n＝＝0.8，
故甲商场的优惠方案是一次购物中不超过300元无优惠，超过300元后的价格部分打八折；
（3）当0≤x≤300时，两家商场一样；
当300＜x≤900时，选择甲商场更优惠；
当x＞900时，选择乙商场更优惠．
22．（10分）某数学兴趣小组的同学在学过函数的知识之后，对函数y＝﹣x3+3x的图象与性质进行了探究，请补充完整以下探索过程：
（1）列表：
x … ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 …
y … 2 m ﹣2 ﹣ 0 n ﹣2 …
表中m＝　﹣　；n＝　2　．
（2）根据上表中的数据，在平面直角坐标系中补全该函数图象，并写出该函数的一条性质．
（3）若函数y＝﹣x3+3x的图象上有A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三个点，且﹣1＜x1＜x2＜x3＜1，则y1，y2，y3之间的大小关系为 　y3＜y2＜y1　（用“＜”连接）
（4）若方程﹣x3+3x＝k至少有两个不同的实数根，请根据函数图象，直接写出k的取值范围．
【分析】（1）从函数的对称性可得：m＝﹣，n＝2；
（2）描点如下函数图象；
（3）从图象看，确定x1、x2、x3，再图象上的位置，即可求解；则y1，y2，y3之间的大小关系为：y1＜y2＜y3；
（4）方程﹣x3﹣3x＝k有三个不同的实数根，从图象即可看出．
【解答】解：（1）从函数的对称性可得：m＝﹣，n＝2；
故答案为m＝﹣，n＝2；
（2）描点如下函数图象
由图象可知，函数图象关于原点对称；
（3）从图象看，﹣1＜x1＜x2＜x3＜1，则y1，y2，y3之间的大小关系为：y1＜y2＜y3，
故答案为：y1＜y2＜y3；
（4）从图象看，方程﹣x3﹣3x＝k有两个不同的实数根，在x轴下方的临界点是y＝﹣2，同理x轴上方的临界点是y＝2，
故方程﹣x3+3x＝k至少有两个不同的实数根，则﹣2≤k≤2．
23．（11分）在△ABC中，AB＝AC，点D是射线AC上一个动点，点G是CB延长线上一点，且AD＝BG，DE∥BC，交直线AB于点E，EF平分∠AED，交射线AC于点F，FP∥DE，交直线AB于点P，连接DG交直线AB于点Q．
（1）①如图1，当AB＝AC＝BC＝4，点D是AC中点时，PQ的长是 　2　．
②如图2，当AB＝5，BC＝3，点D在边AC上移动时，PQ的长是否为定值？若是，请求出PQ的值；若不是，请说明理由；
（2）当AB＝a，BC＝b，点D在边AC的延长线上移动时，请直接写出PQ的长．（用含有a，b的代数式表示）
【分析】（1）①由BE＝CD＝2，△DEQ≌△GBQ得EQ＝1，PE＝DF＝1，故PQ＝2；
②设AD＝5a，BC＝3a，由＝＝＝得EQ＝（5﹣a），由＝得PE＝DF＝，从而求得答案；
（2）类比②得PE＝，EQ＝（ax﹣a），从而得出解答．
【解答】解：（1）①如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠C＝60°，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝∠C＝∠ADE＝60°，
∠DEQ＝∠GBQ，∠EDQ＝∠G，
∴AE＝AD＝DE＝2，
∴DE＝BG，
∴△DEQ≌△GBQ（AAS），
∴EQ＝BQ＝BE＝1，
∵EF平分∠AED，FP∥ED，
∴PE＝DF＝，
∴PA＝PE+EQ＝2，
故答案是2；
②如图2，
设BG＝AD＝5a，
∵AB＝AC，DE∥BC，
∴则EB＝CD＝5﹣5a，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，△DEQ∽△GBQ，
∴，，
∴＝，DE＝3a，
∴EQ＝＝（5﹣5a）＝﹣，
∵PF∥DE，∠AEF＝∠FED，
∴∠AEF＝∠FED＝∠FFE，
∴PF＝PE＝FD，
∴＝＝，
∴＝，
∴PE＝DF＝ 5a＝，
∴PQ＝PE+EQ＝；
（2）如图3，
设AD＝ax，DE＝bx，
同理②得，
PE＝，
EQ＝（ax﹣a），
∴PQ＝PE﹣EQ＝．

展开更多......

收起↑