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空间点、直线、平面的位置关系
一、证明空间平行的方法
1、证明线线平行的方法：
(1)利用直线平行的传递性：，；
(2)利用垂直于同一平面的两条直线平行：，；
(3)中位线法：选中点，连接形成中位线；
(4)平行四边形法：构造平行四边形；
(5)利用线面平行推线线平行：，，。
2、证明线面平行的方法：
(1)利用线面平行的判定定理(主要方法)：，，；
(2)利用面面平行的性质定理：，；
(3)利用面面平行的性质：，，。
3、证明面面平行的方法：
(1)利用面面平行的判定定理(主要方法：证明两个平面内的两组相交直线相互平行)：
，，，，，；
(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行(客观题可用)：，；
(3)利用平面平行的传递性：，。
解决空间问题的关键是如何将“空间问题”转化为“平面问题”的转化思想的应用。
题型一、“线线平行”到“线面平行”
例1-1．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，，平面，且，点是的中点。求证：平面。
分析：证明本题的关键：在平面中“找”一条与平行的直线，由于点在平面中，所以可以在平面中过点“找”(显然，要“找”的直线就是平面与平面的交线)。最终将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题。
【解析】证明：连接，与相交与，连接，
∵是平行四边形，∴是的中点，
又是的中点，∴，
又平面，平面，∴平面。
例1-2．如图所示，在五面体中，点是矩形的对角线的交点，面是等边三角形，棱。求证：平面。
【解析】证明：取中点，连结，
在矩形中，，
又，则，
连结，于是四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，平面。
题型二、“面面平行”到“线面平行”
例2-1．如图所示，长方体中，、分别是、的中点，、分别是、的中点。求证：平面。
分析：本题如果利用“线线平行”找“线”比较复杂，所以我们可以考虑利用“面面平行”来将问题转化。关键是：考虑到点、都是中点，于是我们就轻松的可以找到另一个比较特殊的中点(的中点)，将“线面平行”问题转化为“面面平行”问题。
【解析】证明：取的中点，连结、，
∵、、分别为、、的中点，
∴，，又，，
∴平面平面，∴平面。
例2-2．如图，正三棱柱中，是的中点，。求证：平面。
【解析】证明：法一：作的中点，连接，
∵是正三棱柱，
∴≌，且平面平面，
∴，又由题意得，
则四边形为平行四边形，则，
又∵，，
∴平面平面，又∵平面，∴平面。
法二：连接，设，连接，
∵是正三棱柱，且，
∴四边形是正方形，∴是的中点，又是的中点，
∴，∵平面，平面，∴平面。
二、证明空间垂直的方法
1、证明线线垂直的方法：
(1)利用平行直线的性质：，；
(2)利用直面垂直的推理：，；
(3)中线法：等腰三角形中选中点，三线合一；
(4)利用勾股定理的逆定理：若，则是直角三角形；
2、证明直线与平面垂直的方法：
(1)利用线面垂直的判定定理(主要方法：证明直线和平面内两条相交直线都垂直)：
，，，；
(2)利用线面垂直的推理：
①若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
②若一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它必垂直于另一个平面(客观题常用)；
(3)若两平面垂直，则在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面(常用方法)：
，，，；
(4)若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面。
3、证明面面垂直的方法：
(1)利用面面垂直的定义，即证明这两个平面所成二面角的平面角为；
(2)可以考虑证线面垂直，即设法先找到其中一个平面的一条垂线，再证这条垂线在另一个平面内或与另一个平面内的一条直线平行(常用方法：即证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面)。
题型三、“线线垂直”到“线面垂直”
例3-1．如图所示，四面体中，为的中点，，，求证：平面。
【解析】证明：连接，∵，，∴，
在中，由已知可得，，而，
∴，∴，即，
∵，∴平面。
例3-2．已知直角梯形中，，，是边长为的等边三角形，。沿将折起，使至处，且；然后再将沿折起，使至处，且面面，和在面的同侧。求证：平面。
【解析】证明：如图，在直角梯形中，由是边长为的等边三角形，，
得：，，，，∴，
即，又，，∴平面。
例3-3．如图，在多面体中，底面是梯形，，，，底面，，，点为的中点。证明：平面。
【解析】证明：在梯形中，∵，则，
∴，，∴，
∵点为的中点，∴，∴，
∴四边形是平行四边形，，∴，
又∵底面，底面，∴，
又平面，平面，，
∴平面。
题型四、“线面垂直”到“线线垂直”
例4-1．如图所示的三棱锥中，侧面、是全等的直角三角形，是公共的斜边，且，，另一个侧面是正三角形。求证：。
【解析】证明：取的中点，连、，
则有，，
∴面，∴。
例4-2．如图所示，是边长为的正六边形所在平面外一点，，在平面内的射影为的中点。证明。
【解析】证明：连结，则易知与的交点为，
∵，，，
∴平面，
∵平面，∴。
例4-3．如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，且，、分别为、的中点。求证：。
【解析】证明：∵是的中点，，∴。
∵平面，∴，
从而平面，
∵平面，∴。
三、等积法求三棱锥的体积及点到面的距离
由于三棱锥是由个三角形围成的四面体，任何一个三角形都可以看成其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵活换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能随意换底，不能用等积法求体积。另外，等积法的优越性还体现在求“点到平面的距离”中。
题型五、等积法求三棱锥的体积
注意：等积法求体积时，要谨记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。
例5-1．如图所示，边长为的正方体中，与相交于点。
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求四面体的体积。
【解析】(1)证明：连接，则在正方体中，
∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
(2)证明：在正方体中，，，
，∴平面，∴，
又∵与交于点，∴平面；
(3)解：在正方体中，，
点到平面的距离等于点到平面的距离为，
∴。
例5-2．如图所示，已知三棱锥中，，，为中点，为中点，且为正三角形。
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若，，求三棱锥的体积。
【解析】(1)证明：是的中位线，∴，
又∵平面，平面，∴平面；
(2)证明：∵为正三角形，为中点，∴，∴，
又，，∴平面，
又平面，∴；又，，∴平面，
又平面，∴平面平面；
(3)解：∵平面，∴是三棱锥的高，且，
又在直角三角形中，由，，可得，
∴，∴。
例5-3．如图，在底面是菱形的四棱锥中，，。
(1)证明：平面；
(2)在侧棱上是否存在点，使得平面？请证明你的结论；
(3)若，求几何体的体积。
【解析】(1)证明：∵四棱锥底面是菱形，∴且，
又∵，，
∴，，∴，，
又，∴平面，平面，
从而，又，∴平面；
(2)在侧棱上存在点，使得平面，其中为的中点，
证明如下：设，则为的中点，
又为的中点，连接，则为的中位线。
∴，又平面，平面，∴平面；
(3)当时，，
∴几何体的体积为。
题型六、点到平面的距离
求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用。
1、求点到面的距离主要方法：
(1)直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判定及性质来作。
例6-1．在棱长为的正方体中求出下列距离：
(1)点到面的距离；
(2)线段到面的距离；
(3)点到面的距离；
(4)到平面的距离。
【解析】(1)点到面的距离为；
(2)线段到面的距离为；
(3)点到面的距离为面对角线的，即；
(4)到平面的距离为体对角线的，即。
(2)转移法：若直线平面，则直线上任意一点到平面的距离相等。
例6-2．棱长为的正方体中，、分别是棱、中点，求点到平面的距离。
【解析】∵平面，
∴点到平面的距离即为点到平面的距离，
作，证明平面，。
例6-3．在棱长为的正方体中，、分别是棱、的中点，求点到平面的距离。
【解析】①直接法：将三角形扩大到平行四边形，高平面，
取的中点，连接、，过作垂线，
∴，∴平面即平面，∴平面，∴，
由、，，可知平面，
∴即到平面距离，根据勾股定理可以求得：，
解得：，
又知：，
。
②转移法：平面，作，其后同(1)。
(3)等积法：用同一个三棱锥选不同底计算体积，再求高，即点到面的距离。
例6-4．如图，在四棱锥中，平面，，，，，求点到平面的距离。
【解析】①直接法：分别取、的中点、，连、，
则：易证，平面，点、到平面的距离相等，
又点到平面的距离等于到平面的距离的倍，
∵平面，∴平面平面于，
∵，，∴，∴平面于，易知，
故点到平面的距离等于。
②等体积法：连结，设点到平面的距离为，
∵，，∴，
从而，，得的面积，
由平面及，
得三棱锥的体积，
∵平面，平面，∴，
又，∴，
由，，得的面积，
由得，
故点到平面的距离等于。
例6-5．如图，弧是半径为的半圆，为直径，点为弧的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足平面，。
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离。
【解析】(1)证明：∵点和点为线段的三等分点，
∴点为圆的圆心，又∵是弧的中点，为直径，
∴即，∵平面，平面，
∴，又平面，平面，
且，∴平面，又∵平面，∴；
(2)解：设点到平面的距离(即三棱锥的高)为，
∵平面， ∴是三棱锥的高，且为，
由已知可得，又，∴，
在中，，，故
∴，
又∵平面，故和为，∴，，
在中，，∴，
∵，即，故，
即点到平面的距离为。

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