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不等式
一、不等式的有关概念
1、不等式的定义：用数学符号“、、、、”连接的两个数或代数式表示不等关系的式子叫不等式。
不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号、、、或；
(2)所表示的关系是不等关系。
2、不等式的含义：不等式应读作“大于或者等于”，其含义是指“或者，或者”，等价于“不小于，即若或之中有一个正确，则正确。
不等式中的文字语言与符号语言之间的转换：
大于 大于等于 小于 小于等于
至少 至多
不少于 不多于
例1-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某隧道入口竖立着“限高米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车的整体高度满足关系为。 ( )
(2)用不等式表示“与的差是非负数”为。 ( )
(3)不等式的含义是指不小于。 ( )
(4)若或之中有一个正确，则正确。 ( )
二、实数比较大小的依据与方法
1、实数的两个特征
(1)任意实数的平方不小于，即。
(2)任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。
2、实数比较大小的依据
(1)如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么。
反之也成立，即；；＜。
(2)比较两个实数与的大小，需归结为判断它们的差的符号，至于差的值是什么无关紧要。
3、比较两数(式)大小的方法
作差比较法 作商比较法 乘方比较法
依据 ＜ ， ， ，若，则
，若，则
应用范围 数(式)符号不明显，作差后可通过配方、因式分解等恒等变形手段将差化积或商的形式。 同号两数比较大小或只是式之间比较大小。 要比较的两数(式)中有根号。
步骤 作差变形定号下结论 作商变形判断商值与的大小下结论 乘方用作差比较法或作商比较法
例2-1．比较与的大小。
变式2-1．比较与的大小，其中。
三、常用不等式的重要性质
名称 式子表达
性质1(对称性)
性质2(传递性) ，
性质3(可加性) 推论1：
推论2：，
性质4(可乘性) ，， 推论1：，
推论2： ()
推论3：()
例3-1．用不等号填空：
(1)若，则 ；
(2)若，，则 ；
(3)若，，则 ；
(4)已知，则 。
四、解一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论。常用的分类方法有三种：
1、按项的系数的符号分类，即，，。
例4-1．解不等式：。
2、按判别式的符号分类，即，，。
例4-2．解不等式。
例4-3．解不等式()。
3、按方程的根、的大小来分类，即，，。
例4-4．解不等式()。
例4-5．解下列关于的不等式：
(1)；(2)；(3)。
例4-6．解关于的不等式：()。
例4-7．解关于的不等式：()。
五、基本不等式
1、基本不等式原始形式：
(1)若，则；
(2)若，则。
2、基本不等式一般形式(均值不等式)：若，则。
3、基本不等式的两个重要变形：
(1)若，则；
(2)若，则。
4、利用均值不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
(1)一正：各项均为正数，若各项均为负数，则可以提负号；
(2)二定：如果两个正数的积是定值，则有最小值。
如果两个正数的和是定值，则有最大值。
(3)三相等：当且仅当时取最值。
5、常用结论：
(1)：①若，则 (当且仅当时取“”)；
②若，则 (当且仅当时取“”)；
(2)(，)：①若，则(当且仅当即时取“”)；
②若，则(当且仅当即时取“”)；
(3)(，)：①若，则(当且仅当即时取“”)；
②若，则(当且仅当即时取“”)；
(4)若，则(当且仅当时取“”)；
(5)若，则(当且仅当时取“”)；
(6)基本不等式链：若，则(当且仅当时取“”)。
注：算术平均数：；几何平均数：；调和平均数：；平方平均数：。
例5-1．设，，证明不等式：。
变式5-1．已知、、为两两不相等的实数，求证：。
例5-2．已知，，，求证：。
变式5-2．已知且，求证：。
例5-3．已知，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
变式5-3．已知，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
例5-4．已知()，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
变式5-4．已知，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
例5-5．已知，则的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
变式5-5．已知正数、、、满足，，的最小值为，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
例5-6．围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示。已知旧墙的维修费用为元/，新墙的造价为元/。设利用的旧墙长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元)。
(1)将表示为的函数；
(2)试确定使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
参考答案：
一、不等式的有关概念
1、不等式的定义：用数学符号“、、、、”连接的两个数或代数式表示不等关系的式子叫不等式。
不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号、、、或；
(2)所表示的关系是不等关系。
2、不等式的含义：不等式应读作“大于或者等于”，其含义是指“或者，或者”，等价于“不小于，即若或之中有一个正确，则正确。
不等式中的文字语言与符号语言之间的转换：
大于 大于等于 小于 小于等于
至少 至多
不少于 不多于
例1-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某隧道入口竖立着“限高米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车的整体高度满足关系为。 (√)
(2)用不等式表示“与的差是非负数”为。 (×)
(3)不等式的含义是指不小于。 (√)
(4)若或之中有一个正确，则正确。 (√)
【解析】(1)∵“限高米”即为“高度不超过米”。不超过用“≤”表示，故此说法正确。
(2)∵“非负数”即为“不是负数”，∴ ，故此说法错误。
(3)∵不等式表示或，即不小于，故此说法是正确的。
(4)∵不等式表示或，故若或中有一个正确，则一定正确。
二、实数比较大小的依据与方法
1、实数的两个特征
(1)任意实数的平方不小于，即。
(2)任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。
2、实数比较大小的依据
(1)如果是正数，那么；如果等于零，那么；如果是负数，那么。
反之也成立，即；；＜。
(2)比较两个实数与的大小，需归结为判断它们的差的符号，至于差的值是什么无关紧要。
3、比较两数(式)大小的方法
作差比较法 作商比较法 乘方比较法
依据 ＜ ， ， ，若，则
，若，则
应用范围 数(式)符号不明显，作差后可通过配方、因式分解等恒等变形手段将差化积或商的形式。 同号两数比较大小或只是式之间比较大小。 要比较的两数(式)中有根号。
步骤 作差变形定号下结论 作商变形判断商值与的大小下结论 乘方用作差比较法或作商比较法
例2-1．比较与的大小。
【解析】，
∴。
变式2-1．比较与的大小，其中。
【解析】∵，∴。
三、常用不等式的重要性质
名称 式子表达
性质1(对称性)
性质2(传递性) ，
性质3(可加性) 推论1：
推论2：，
性质4(可乘性) ，， 推论1：，
推论2： ()
推论3：()
例3-1．用不等号填空：
(1)若，则 ；
(2)若，，则 ；
(3)若，，则 ；
(4)已知，则 。
【解析】(1)∵当时，有，当时，有=，故应填“”；
(2)∵，，∴，故应填“”；
(3)∵，∴，又∵，∴，故应填“”；
(4)∵，而，∴，，则，
即，∴，故应填“”。
四、解一元二次不等式
解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论。常用的分类方法有三种：
1、按项的系数的符号分类，即，，。
例4-1．解不等式：。
【解析】①当时，不等式为，解集为，
②当时，，
恒有两个实根，。
当时，解集为；
当时，解集为。
2、按判别式的符号分类，即，，。
例4-2．解不等式。
分析：本题中由于的系数大于，故只需考虑与根的情况。
【解析】∵，
∴①当即当时，解集为，
②当即当时，解集为，
当时，解集为，
③当即或时，，，
解集为。
例4-3．解不等式()。
【解析】∵，，
∴①当即或时，解集为，
②当即时，解集为。
3、按方程的根、的大小来分类，即，，。
例4-4．解不等式()。
【解析】，原不等式可化为，对应方程的两根为、，
当时，即，解集为；
当时，即，解集为。
例4-5．解下列关于的不等式：
(1)；(2)；(3)。
【解析】(1)原不等式可化为，∴原不等式的解集为；
(2)，当，即或时，原不等式解集为，
当，即或时，
原不等式解集为，
当，即时，原不等式解集为；
(3)，当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为；
当时，原不等式解集为。
总结升华：对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：
①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；
②求根：求相应方程的根。当无法判断判别式与的关系时，要引入讨论，分类求解；
③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论。
例4-6．解关于的不等式：()。
【解析】原不等式化为，
①或时，解集为；
②当或时，，解集为；
③当或时，，解集为。
例4-7．解关于的不等式：()。
【解析】原不等式化为，
当或时解集为；
当时解集为；
当时解集为；
当时解集为。
五、基本不等式
1、基本不等式原始形式：
(1)若，则；
(2)若，则。
2、基本不等式一般形式(均值不等式)：若，则。
3、基本不等式的两个重要变形：
(1)若，则；
(2)若，则。
4、利用均值不等式求最值的条件：“一正，二定，三相等”。
(1)一正：各项均为正数，若各项均为负数，则可以提负号；
(2)二定：如果两个正数的积是定值，则有最小值。
如果两个正数的和是定值，则有最大值。
(3)三相等：当且仅当时取最值。
5、常用结论：
(1)：①若，则 (当且仅当时取“”)；
②若，则 (当且仅当时取“”)；
(2)(，)：①若，则(当且仅当即时取“”)；
②若，则(当且仅当即时取“”)；
(3)(，)：①若，则(当且仅当即时取“”)；
②若，则(当且仅当即时取“”)；
(4)若，则(当且仅当时取“”)；
(5)若，则(当且仅当时取“”)；
(6)基本不等式链：若，则(当且仅当时取“”)。
注：算术平均数：；几何平均数：；调和平均数：；平方平均数：。
证明：(1)；
(2)；
(3)；
综上，，当且仅当时“”成立。
例5-1．设，，证明不等式：。
【解析】∵、均为正数，，，
∴，。
变式5-1．已知、、为两两不相等的实数，求证：。
【解析】∵
又∵，则，，，
∴，即。
例5-2．已知，，，求证：。
【解析】∵，，，∴，
(当且仅当时等号成立)，即，∴原不等式成立。
变式5-2．已知且，求证：。
【解析】∵，且，，，
∴，，，
∴，
即，当且仅当时取等号。
例5-3．已知，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】若，，若，，
∴的取值范围为，故选A。
变式5-3．已知，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵，∴；∴的取值范围为，故选D。
例5-4．已知()，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，
当时，当时，
∴的取值范围为，故选D。
变式5-4．已知，则的取值范围为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】当时，，
当时，，时，，
时，，
∴的取值范围为，故选D。
例5-5．已知，则的最小值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】令，则且，∴。
∵，∴，当且仅当，即时，等号成立，
∴当时，取得最小值，故选D。
变式5-5．已知正数、、、满足，，的最小值为，则的值为( )。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】。
∵、、、均大于，∴，即，又，
∴或，，故选D。
例5-6．围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示。已知旧墙的维修费用为元/，新墙的造价为元/。设利用的旧墙长度为(单位：)，修建此矩形场地围墙的总费用为(单位：元)。
(1)将表示为的函数；
(2)试确定使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
分析：(1)首先，明确总费用旧墙维修费+建新墙费，
(2)其次，列出与的函数关系式；
(3)最后，利用基本不等式求最值，
(4)确定取得最值的条件，作出问题结论。
【解析】(1)如图，设矩形的另一边长为，则，
由已知，得，∴()；
(2)∵，∴，
∴，当且仅当时，等号成立，
即当时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元。
方法归纳：
(1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解。
(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解。

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