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2022届高考物理压轴题专项套题：万有引力定律及其应用
一、单项选择题（共1小题）
1. 由中国科学院、中国工程院两院院士评出的 年中国十大科技进展新闻，于 年 月 日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破 米分别排在第一、第二.若地球半径为 ，把地球看做质量分布均匀的球体.“蛟龙”下潜深度为 ，天宫一号轨道距离地面高度为 ，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度之比为
A. B.
C. D.
二、解答题（共8小题）
2. 已知地球的自转周期和半径分别为 和 ，地球同步卫星 的圆轨道半径为 。卫星 沿半径为 的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同。求：
（1）卫星 做圆周运动的周期；
（2）卫星 和 连续地不能直接通信的最长时间间隔（信号传输时间可忽略）。
3. 【 海淀一模 】有人设想：可以在飞船从运行轨道进入返回地球程序时，借飞船需要减速的机会，发射一个小型太空探测器，从而达到节能的目的。如图所示，飞船在圆轨道Ⅰ上绕地球飞行，其轨道半径为地球半径的 倍（）。当飞船通过轨道Ⅰ的 点时，飞船上的发射装置短暂工作，将探测器沿飞船原运动方向射出，并使探测器恰能完全脱离地球的引力范围，即到达距地球无限远时的速度恰好为零，而飞船在发射探测器后沿椭圆轨道Ⅱ向前运动，其近地点 到地心的距离近似为地球半径 。以上过程中飞船和探测器的质量均可视为不变。已知地球表面的重力加速度为 。
（1）求飞船在轨道Ⅰ运动的速度大小；
（2）若规定两质点相距无限远时引力势能为零，则质量分别为 、 的两个质点相距为 时的引力势能 ，式中 为引力常量。在飞船沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ的运动过程，其动能和引力势能之和保持不变；探测器被射出后的运动过程中，其动能和引力势能之和也保持不变。
① 求探测器刚离开飞船时的速度大小；
② 已知飞船沿轨道Ⅱ运动过程中，通过 点与 点的速度大小与这两点到地心的距离成反比。根据计算结果说明为实现上述飞船和探测器的运动过程，飞船与探测器的质量之比应满足什么条件。
4. 【 海淀一模 】根据题意解答
（1）科学家发现，除了类似太阳系的恒星—行星系统，还存在许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙有了较深刻的认识。双星系统是由两个星体构成，其中每个星体的线度（直径）都远小于两星体间的距离，一般双星系统距离其他星体很远，可以当做孤立系统处理。已知某双星系统中每个星体的质量都是 ，两者相距 ，它们正围绕两者连线的中点做匀速圆周运动，引力常量为 。求：
① 该双星系统中星体的加速度大小 。
② 该双星系统的运动周期 。
（2）微观世界与宏观世界往往存在奇妙的相似性。对于氢原子模型，因为原子核的质量远大于电子质量，可以忽略原子核的运动，形成类似天文学中的恒星—行星系统，记为模型 。另一种模型认为氢原子的核外电子并非绕核旋转，而是类似天文学中的双星系统，核外电子和原子核依靠库仑力作用使它们同时绕彼此连线上某一点做匀速圆周运动，记为模型 。已知核外电子的质量为 ，氢原子核的质量为 ，二者相距为 ，静电力常量为 ，电子和氢原子核的电荷量大小均为 。
① 模型 、 中系统的总动能分别用 、 表示，请推理分析，比较 、 的大小关系。
② 模型 、 中核外电子做匀速圆周运动的周期分别用 、 表示，通常情况下氢原子的研究采用模型 的方案，请从周期的角度分析这样简化处理的合理性。
5. “大自然每个领域都是美妙绝伦的。”随着现代科技发展，人类不断实现着“上天入地”的梦想，但是“上天容易入地难”，人类对脚下的地球还有许多未解之谜。地球可看作是半径为 的球体。
（1）以下在计算万有引力时，地球可看作是质量集中在地心的质点。
① 已知地球两极的重力加速度为 ，赤道的重力加速度为 ，求地球自转的角速度 ；
② 某次地震后，一位物理学家通过数据分析，发现地球的半径和质量以及两极的重力加速度 都没变，但赤道的重力加速度由 略微减小为 ，于是他建议应该略微调整地球同步卫星的轨道半径。请你求出同步卫星调整后的轨道半径 与原来的轨道半径 之比 。
（2）如图所示是地球内部地震波随深度的分布以及由此推断出的地球内部的结构图。在古登堡面附近，横波（）消失且纵波（）的速度与地表处的差不多，于是有人认为在古登堡面附近存在着很薄的气态圈层，为了探究气态圈层的压强，两位同学提出了以下方案。
甲同学的方案：如图所示，由于地球的半径非常大，设想在气态圈层的外侧取一底面积很小的柱体，该柱体与气态圈层的外表面垂直。根据资料可知古登堡面的半径为 ，气态圈层之外地幔及地壳的平均密度为 ，平均重力加速度为 ，地球表面的大气压强相对于该气态圈层的压强可忽略不计。
乙同学的方案：设想在该气态圈层内放置一个正方体，并且假定每个气体分子的质量为 ，单位体积内的分子数为 ，分子大小可以忽略，其速率均相等，且与正方体各面碰撞的机会均等，与各面碰撞前后瞬间，分子的速度方向都与各面垂直，且速率不变。根据古登堡面附近的温度可推知气体分子运动的平均速率为 。
请你选择其中的一种方案求出气态圈层的压强 。
6. 一球形人造卫星，其最大横截面积为 、质量为 在轨道半径为 的高空绕地球做圆周运动。由于受到稀薄空气阻力的作用，导致卫星运行的轨道半径逐渐变小。卫星在绕地球运转很多圈之后，其轨道的高度下降了 ，由于 ，所以可以将卫星绕地球运动的每一圈均视为匀速圆周运动。设地球可看成质量为 的均匀球体，万有引力常量为 。取无穷远处为零势能点，当卫星的运行轨道半径为 时，卫星与地球组成的系统具有的势能可表示为 。
（1）求人造卫星在轨道半径为 的高空绕地球做圆周运动的周期；
（2）某同学为估算稀薄空气对卫星的阻力大小，做出了如下假设：卫星运行轨道范围内稀薄空气的密度为 ，且为恒量；稀薄空气可看成是由彼此不发生相互作用的颗粒组成的，所有的颗粒原来都静止，它们与人造卫星在很短时间内发生碰撞后都具有与卫星相同的速度，在与这些颗粒碰撞的前后，卫星的速度可认为保持不变。在满足上述假设的条件下，请推导：
① 估算空气颗粒对卫星在半径为 轨道上运行时，所受阻力 大小的表达式；
② 估算人造卫星由半径为 的轨道降低到半径为 的轨道的过程中，卫星绕地球运动圈数 的表达式。
7. 万有引力和库仑力有类似的规律，有很多可以类比的地方。已知引力常量为 ，静电力常量为 。
（1）用定义静电场强度的方法来定义与质量为 的质点相距 处的引力场强度 的表达式；
（2）质量为 、电荷量为 的电子在库仑力的作用下以速度 绕位于圆心的原子核做匀速圆周运动，该模型与太阳系内行星绕太阳运转相似，被称为“行星模型”，如图甲。已知在一段时间内，电子走过的弧长为 ，其速度方向改变的角度为 （弧度）。求出原子核的电荷量 ；
（3）如图乙，用一根蚕丝悬挂一个金属小球，质量为 ，电荷量为 。悬点下方固定一个绝缘的电荷量为 的金属大球，蚕丝长为 ，两金属球球心间距离为 。小球受到电荷间引力作用在竖直平面内做小幅振动。不计两球间万有引力，求出小球在库仑力作用下的振动周期。
8. 天宫一号是我国研发的一个目标飞行器，目的是作为其他飞行器的接合点，是中国空间实验室的雏形，于北京时间 2011 年 9 月 29 日 21 时 16 分 03 秒发射升空。
（1）若万有引力常量为 ，地球质量为 ，地球半径为 ，天宫一号离地面的高度为 ，求：天宫一号的运行周期 ；
（2）发射天宫一号的速度必须大于第一宇宙速度，试推导第一宇宙速度的表达式；若 ， 取 ，求出第一宇宙速度的值；
（3）若万有引力常量为 ，中心天体的质量为 ，质量为 的物体距中心天体 时具有的引力势能为 （以无穷远处势能为 ）
① 求出第二宇宙速度的值；
② 若把地球绕太阳公转的轨道近似认为是圆，且不计其它星体对飞行物体的作用力，地球的公转速度为 ，求第三宇宙速度。
9. 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为 、 、 三颗星体质量不相同时的一般情况）。若 星体质量为 、 、 两星体的质量均为 ，三角形的边长为 ，求：

（1） 星体所受合力大小 ；
（2） 星体所受合力大小 ；
（3） 星体的轨道半径 ；
（4）三星体做圆周运动的周期 。
答案
第一部分
1. C
【解析】令地球的密度为 ，则在地球表面，重力和地球的的万有引力大小相等，有：。由于地球的质量：，所以重力加速度的表达式可写成：。质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于 的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙”号所在处的重力加速度 ，所以有 。根据万有引力提供向心力 ，“天宫一号”的加速度为 ，所以 所以 .
第二部分
2. （1）
【解析】设卫星 绕地心转动的周期为 ，根据万有引力定律和圆周运动的规律有
式中， 为引力常量， 为地球质量， 、 分别为卫星 、 的质量。由 式得
（2）
【解析】设卫星 和 连续地不能直接通信的最长时间间隔为 ；
在此时间间隔 内，卫星 和 绕地心转动的角度分别为 和 ，则
若不考虑卫星 的公转，两卫星不能直接通信时，卫星 的位置应在图中 点和 点之间，图中内圆表示地球的赤道。

由几何关系得
由 式知，当 时，卫星 比卫星 转得快，考虑卫星 的公转后应有
由 式得
3. （1）
【解析】设地球质量为 ，飞船质量为 ，探测器质量为 ，当飞船与探测器一起绕地球做圆周运动时的速度为
根据万有引力定律和牛顿第二定律有
对于地面附近的质量为 的物体有
解得
（2） ①
【解析】设探测器被发射出时的速度为 ，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以探测器刚好脱离地球引力应满足
解得
② 见解析
【解析】设发射探测器后飞船在 点的速度为 ，运动到 点的速度为 ，因其运动过程中动能和引力势能之和保持不变，所以有
对于飞船发射探测器的过程，根据动量守恒定律有
因飞船通过 点与 点的速度大小与这两点到地心的距离成反比，即
解得：
4. （1） ①
【解析】根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
解得 。
②
【解析】由运动学公式可知，
解得
。
（2） ① 模型 中，设电子和原子核的速度分别为 对于电子绕核的运动，根据库仑定律和牛顿第二定律有
解得：
模型 中，设电子和原子核的速度分别为 、 ，电子的运动半径为 ，原子核的运动半径为 。根据库仑定律和牛顿第二定律
对电子有：，解得
对于原子核有 ，解得
系统的总动能：
即在这两种模型中，系统的总动能相等。
② 模型 中，根据库仑定律和牛顿第二定律有
，解得
模型 中，电子和原子核的周期相同，均为
根据库仑定律和牛顿第二定律
对电子有 解得
对原子核有 解得
因 ，将以上两式代入，可解得
所以有
因为 ，可得 ，所以采用模型 更简单方便。
5. （1） ①
【解析】设地球的质量为 ，对于质量为 的物体，
在两极有：
在赤道，根据牛顿第二定律有：
联立①②可得：
②
【解析】设地震后地球自转的角速度为 ，
根据牛顿第二定律有：
设同步卫星的质量为m'，根据牛顿第二定律，
地震前有：
地震后有：
联立①②③④⑤可得：
（2） 甲同学的方案：
乙同学的方案：
【解析】甲同学的方案：
设该柱体的底面积为 ，则柱体的总重力为：
该柱体静止，支持力与重力的合力为零。即：
由牛顿第三定律可知，柱体对气态圈层的压力
气态圈层中的气体压强为
联立⑥⑦⑧⑨式可得：
乙同学的方案：
设正方体边长为 ， 时间内与一个面发生碰撞的气体分子数为 ，则：
设该面与气体分子间的压力大小为 ，由动量定理得：
则气体的压强为：
联立⑩ 式可得：
说明：用其他方法解答正确，给相应分数。
6. （1）
【解析】设卫星在 轨道运行的周期为
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
解得：
（2） ①
【解析】如图所示，最大横截面积为 的卫星，经过时间 从图中的实线位置运动到了图中的虚线位置
该空间区域的稀薄空气颗粒的质量为
以这部分稀薄空气颗粒为研究对象，碰撞后它们都获得了速度 ，设飞船给这部分稀薄空气颗粒的平均作用力大小为 ，根据动量定理有：
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
解得：
根据牛顿第三定律，卫星所受的阻力大小 。
② 或
【解析】设卫星在 轨道运行时的速度为 、动能为 、势能为 、机械能为
根据牛顿定律和万有引力定律有：
卫星的动能
势能
解得：
卫星高度下降 ，在半径为 轨道上运行
同理可知其机械能
卫星轨道高度下降
其机械能的改变量
卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。设卫星在沿半径为 的轨道运行一周过程中稀薄空气颗粒作用于卫星的阻力做的功为
利用小量累积的方法可知：
上式表明卫星在绕不同轨道运行一周，稀薄空气颗粒所施加的阻力做的功是一恒量，与轨道半径无关。
则
解得： 或 。
7. （1）
【解析】根据电场强度的定义式方法，那么质量为 的质点相距 处的引力场强度 的表达式：；
（2）
【解析】根据牛顿第二定律，依据库仑引力提供向心力，则有：，
由几何关系，得 ，
解得：；
（3）
【解析】因库仑力：，
等效重力加速度：，
小球在库仑力作用下的振动周期：。
8. （1）
【解析】 ；
（2）
【解析】
第一宇宙速度
（3） ①
【解析】由 可得
若摆脱地球的约束，则有
可得
②
【解析】同理：在地球绕太阳公转轨道运行的物体绕太阳做圆运动时
摆脱太阳的约束速度为
由于随地球绕太阳公转的物体已具有地球的公转速度 ，则只需沿太阳公转方向的速度达到 即可。
又因为发射地球表面的物体还需摆脱地球约束的动能 ，则：发射地球表面的物体摆脱太阳约束的第三速度为 ，有
解得：。
9. （1）
【解析】由万有引力定律， 星体所受 ， 星体引力大小为
方向如图，则合力大小为
（2）
【解析】同上， 星体所受 ， 星体引力大小分别为
方向如图，由
可得
（3）
【解析】通过分析可知，圆心 在中垂线 的中点，
（或：由对称性可知 ，），可得
（4）
【解析】三星体运动周期相同，对 星体，由
可得
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