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突破1.3 空间向量及其坐标表示
A组 基础巩固
1．（2020·全国高二课时练习）已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
2．（2021·全国高二单元测试）已知点A的坐标为A(1，1，0)，向量＝(4，0，2)，则点B的坐标为（ ）
A．(7，－1，4) B．(9，1，4)
C．(3，1，1) D．(1，－1，1)
3．（2021·陕西（理））已知且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（2021·陕西（理））已知向量，则（ ）
A． B． C． D．0
5．（2020·河南高二月考（理））已知，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C． D．
6．（2020·天津高二期中）已知向量则（ ）
A．21 B．－21 C．20 D．－20
7．（2020·河北巨鹿中学高二月考）若向量且，则实数（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·山东宁阳县一中高二期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·福清西山学校高二期中）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·浙江镇海中学高一期末）已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
11．（2021·上海市建平中学高二期末）空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
12．（2020·江苏省镇江第一中学高二月考）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A．2 B．4 C． D．5
13．（2021·浙江高二开学考试）已知向量，下列与垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
14．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·浙江高二单元测试）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则___________；___________.
16．（2020·天津市滨海新区汉沽第六中学）已知，，，则________.
17．（2020·衡阳市第二十六中学高二期中）若，，，则______.
18．（2020·天津高二月考）若向量，，，则________．
19．（2020·天津市第五十五中学高二月考）已知空间向量，1，，，3，，则___________.
20．（2020·全国高二课时练习）已知，，若向量与共线，则的值是_____.
21.（2021·全国高二课时练习）已知，，．求：
（1）；
（2）．
22．（2021·全国高二课时练习）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
B组 能力提升
23．（2021·海南高三其他模拟）（多选题）如图，正方体中，点为棱的中点，点是线段上的动点，，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．三棱锥的体积为
C．过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则
D．点到平面的距离是一个常数
24．（2021·广东高二期末）（多选题）如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（第二章空间向量与立体几何（能力提升）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（北师大版选修2-1））如图，在正四棱台ABCD- A1B1C1D1中，O、O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则，_______，________.
26．（2020·大连市第二十三中学高二月考）设，向量，，，且，，则___________.
27．（2021·北京高三其他模拟）已知边长为1的正方体，为中点，为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最大值为_______．
28．（2020·河北巨鹿中学高二月考）正四棱锥中，底面正方形的边长为，点是底面中心..且的中点.
（1）求；
（2）若求
29．（2020·全国高二单元测试）如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点.
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.
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突破1.3 空间向量及其坐标表示
A组 基础巩固
1．（2020·全国高二课时练习）已知＝(1，－2，1)，＝(－1，2，－1)，则＝（ ）
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【答案】A
【分析】
根据空间向量的坐标运算直接计算结果.
【详解】
解析：．
故选：A
2．（2021·全国高二单元测试）已知点A的坐标为A(1，1，0)，向量＝(4，0，2)，则点B的坐标为（ ）
A．(7，－1，4) B．(9，1，4)
C．(3，1，1) D．(1，－1，1)
【答案】B
【分析】
求出的坐标，再由向量的坐标表示得出点坐标．
【详解】
由题意，∴，
即点坐标为．
故选：B．
3．（2021·陕西（理））已知且，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
由空间向量数量积的坐标运算求解．
【详解】
由已知，解得．
故选：C．
4．（2021·陕西（理））已知向量，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】
根据空间向量数量积的坐标表示求解.
【详解】
，，
则.
故选：B
5．（2020·河南高二月考（理））已知，，若，则实数的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】
由得：，代入坐标计算可解出的值.
【详解】
解：由，得：.
又，，则
解得：.
故选：A.
6．（2020·天津高二期中）已知向量则（ ）
A．21 B．－21 C．20 D．－20
【答案】A
【分析】
先求的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求数量积.
【详解】
，所以.
故选：A
7．（2020·河北巨鹿中学高二月考）若向量且，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据数量积的坐标表示计算．
【详解】
由题意，．
故选：C．
8．（2020·山东宁阳县一中高二期中）已知向量，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出向量的坐标，利用空间向量的减法运算可得答案．
【详解】
，
故选：A
9．（2020·福清西山学校高二期中）已知向量，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据空间向量的坐标运算即可计算求得结果.
【详解】
由，
，
，
故选：C.
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，涉及到加法运算和数量积运算，属于容易题.
10．（2021·浙江镇海中学高一期末）已知空间三点，，，若向量与的夹角为60°，则实数（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】
直接由空间向量的夹角公式计算即可
【详解】
，，，
，
由题意有
即，
整理得，
解得
故选：B
11．（2021·上海市建平中学高二期末）空间有四点A、B、C、D，其中，且，则直线AB与CD（ ）
A．平行 B．重合 C．必定相交 D．必定垂直
【答案】D
【分析】
结合向量的加法运算求出，然后验证，所以，即可得出结论.
【详解】
，由因为，所以，即，所以，
又因为，所以，
故选：D.
12．（2020·江苏省镇江第一中学高二月考）若直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则（ ）
A．2 B．4 C． D．5
【答案】C
【分析】
由题设知：直线的方向向量与平面的法向量垂直，即，即可求m.
【详解】
由题设知：，
∴.
故选：C
13．（2021·浙江高二开学考试）已知向量，下列与垂直的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用数量积为零确定正确选项.
【详解】
，
，
，
，
所以与垂直，D选项符合.
故选：D
14．（2021·全国高二单元测试）（多选题）已知向量，则与共线的单位向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】
根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法， ，即可求出．
【详解】
设与共线的单位向量为，所以，因而，得到．
故，而，所以或．
故选：AC．
【点睛】
本题主要考查单位向量的求法以及共线向量定理的应用．
15．（2021·浙江高二单元测试）在棱长为1的正方体中，分别为的中点，则___________；___________.
【答案】
【分析】
以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴 y轴 z轴建立直角坐标系,利用空间向量求解即可
【详解】
以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴 y轴 z轴建立直角坐标系
因为正方体棱长为1，则
.
故答案为：；
16．（2020·天津市滨海新区汉沽第六中学）已知，，，则________.
【答案】5
【分析】
利用空间向量的坐标运算求得结果.
【详解】
.
故答案为：
17．（2020·衡阳市第二十六中学高二期中）若，，，则______.
【答案】3
【分析】
利用空间向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
由，，
所以，
又，
所以.
故答案为：3
18．（2020·天津高二月考）若向量，，，则________．
【答案】
【分析】
计算出、的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得结果.
【详解】
由已知可得，，
因此，.
故答案为：.
故答案为：，，.
19．（2020·天津市第五十五中学高二月考）已知空间向量，1，，，3，，则___________.
【答案】
【分析】
根据空间向量数量积的坐标运算，计算即可.
【详解】
空间向量，1，，，3，，
所以.
故答案为：.
20．（2020·全国高二课时练习）已知，，若向量与共线，则的值是_____.
【答案】
【分析】
由空间向量共线的坐标表示，即得解.
【详解】
，，向量与共线，
则
故答案为：
【点睛】
本题考查了空间向量共线的坐标表示，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.
21.（2021·全国高二课时练习）已知，，．求：
（1）；
（2）．
【答案】（1）9，（2）
【分析】
（1）先求出，再利用数量积运算性质求解即可；
（2）直接利用向量坐标的加减法运算性质求解
【详解】
解：（1）因为，，
所以，
因为，
所以，
（2）因为，，，
所以
22．（2021·全国高二课时练习）已知长方体中,，点N是AB的中点，点M是的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出点的坐标；
（2）求线段的长度；
（3）判断直线与直线是否互相垂直，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不垂直，理由见解析.
【分析】
（1）根据长方体的长，宽，高，结合中点坐标公式，即可得出点的坐标；
（2）根据空间中两点的距离公式求解即可；
（3）由空间中向量的数量积公式，证明即可.
【详解】
（1）由于为坐标原点，所以
由得：
点N是AB的中点，点M是的中点，；
（2）由两点距离公式得：，
；
（3）直线与直线不垂直
理由：由（1）中各点坐标得：
与不垂直，所以直线与直线不垂直
【点睛】
本题主要考查了空间向量的坐标表示，求空间中两点间的距离，数量积的应用，属于中档题.
B组 能力提升
23．（2021·海南高三其他模拟）（多选题）如图，正方体中，点为棱的中点，点是线段上的动点，，则下列选项正确的是（ ）
A．直线与是异面直线
B．三棱锥的体积为
C．过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则
D．点到平面的距离是一个常数
【答案】ACD
【分析】
选项A. 取的中点,可得平面，从而可判断；选项B.由，求出其体积可判断；选项C. 取的中点，设，可得，建立空间坐标系，证明平面平面，从而可判断；选项D. 由选项A的解答可知，平面，点到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离，从而可判断.
【详解】
选项A. 取的中点，连接,则
又，所以,所以四点共面.
又平面, 平面, 则平面
由, 所以平面，又平面
所以直线与是异面直线，故A正确
选项B. ,故B不正确.
选项C. 在正方体中，分别以为轴建立空间直角坐标系.
取的中点，连接,
则,
设平面的法向量,则,即
取
设平面的法向量,则,即
取
由，可得，即平面平面，
设,连接,且平面平面
此时由与相似，由，可得，
即此时点满足.
过点在平面内作,则平面
由,则与不平行，所以与一定相交，设为.
又平面，则平面.
所以过点作平面的垂线，与平面交与点，若，则
所以选项C正确.
选项D. 设点到平面的距离为.
由选项A的解答可知，平面
所以点到平面的距离等于直线上任意一点到平面的距离.
则点到平面的距离等于点到平面的距离.
,即 ,所以
由在正方体中，由题意， 为给定三角形，所以，为定值，
故点到平面的距离为常数. 故D正确.
故选：ACD
【点睛】
关键点睛：本题考查异面直线的判断，点到面的距离的求解和体积的求解，线面和面面垂直的判断和证明，解答本题的关键是取的中点，设，可得，建立空间坐标系，证明平面平面，从而根据面面垂直的性质可判断选项C，属于中档题.
24．（2021·广东高二期末）（多选题）如图，在正方体中，点，分别是棱和的中点，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，得出各点坐标，由向量的运算判断ABC三个选项，由向量的线性运算判断D．
【详解】
以为轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，，，，
，
，，，，A正确；
，，B错；
，，C正确；
，D正确．
故选：ACD．
【点睛】
方法点睛：本题考查空间向量的数量积，考查空间向量的线性运算．解题方法建立空间直角坐标系，把空间向量的数量积用坐标进行运算，向量垂直用数量积进行表示，这样直接计算可减少证明．简化的解题过程．
25．（第二章空间向量与立体几何（能力提升）-2020-2021学年高二数学单元测试定心卷（北师大版选修2-1））如图，在正四棱台ABCD- A1B1C1D1中，O、O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则，_______，________.
【答案】0° 90°
【分析】
根据向量夹角的定义求解．
【详解】
由题意得方向相同，是在同一条直线AC上，故〈〉＝0°；
可平移到直线AC上，与重合，故〈〉＝0°；
由题意知OO1是正四棱台ABCD0- A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，平面，所以OO1⊥A1B1，故〈〉＝90°.
故答案为：0°；90°．
26．（2020·大连市第二十三中学高二月考）设，向量，，，且，，则___________.
【答案】3
【分析】
利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出，，再由空间向量坐标运算法则求出，由此能求出．
【详解】
解：设，，向量，，，
且，，
，解得，，所以，，
，
．
故答案为：．
27．（2021·北京高三其他模拟）已知边长为1的正方体，为中点，为平面上的动点，若，则三棱锥的体积最大值为_______．
【答案】
【分析】
以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，由，得到a，b的关系，确定a的范围，再由求解.
【详解】
以D为原点，分别以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系：
则，设，
所以，
因为，
所以，即，
又，
所以，
所以，当等号成立，
所以 三棱锥的体积最大值为 ，
故答案为：
28．（2020·河北巨鹿中学高二月考）正四棱锥中，底面正方形的边长为，点是底面中心..且的中点.
（1）求；
（2）若求
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据正四棱锥的特点，以及点为原点，建立空间直角坐标系，求，（2）根据条件，求，再代入（1）的结果求的值.
【详解】
（1）如图建立直角坐标系，
，，，，
，，，.
（2），则得，
由（1）可知.
【点睛】
本题考查空间坐标法求向量所成的角，重点考查计算能力，属于基础题型.
29．（2020·全国高二单元测试）如图，在四棱锥中中，底面，，，，，点为棱的中点.
（1）证明：；
（2）若为棱上一点，满足，求线段的长.
【答案】（1）略；（2）
【分析】
（1）以A为原点建立空间直角坐标系，分别表示出和的坐标，数量积为0即可证明两向量垂直；
（2）设F点的坐标，由计算出F点的位置，再根据向量计算出的长。
【详解】
（1）底面ABCD，，
∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，，，，
，，
，
.
（2），
，
由点F在棱PC上，设，，
，
，，解得，
即线段的长为。
【点睛】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，向量垂直的性质和模长公式是解题的关键，注意计算的准确，属于中等题。
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