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黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2021-2022学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021七上·龙门月考）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：﹣2的倒数是 ．
故答案为：C．
【分析】利用倒数的定义可直接得到答案。
2．（2021九上·哈尔滨开学考）下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则和同底数幂的除法法则计算求解即可。
3．（2021九上·哈尔滨开学考）下列图形中，是轴对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：从左到右，第一、二、三、四个图形都是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个图形一一判断即可。
4．（2021九上·甘州期末）在ΔABC中，∠C＝90 ，AB＝5，BC＝3，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= =4，
∴cosA= = .
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据余弦函数的定义即可得答案.
5．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝ BC＝3，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝30°，
∴AB＝ ，
由翻折变换的性质可知，DB＝DA＝ ，
∴DE＝BD·tan30°＝1，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出BH=3，再利用锐角三角函数求出AB的值，最后计算求解即可。
6．（2021九上·哈尔滨开学考）关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D． 且
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得， 且 ；
故答案为：D．
【分析】先求出，再计算求解即可。
7．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米 ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，由题意得，
（100﹣x）（80﹣x）＝7644，
故答案为：C．
【分析】根据绿化面积为7644平方米列方程求解即可。
8．（2017八下·安岳期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=3，
∴DC=AB=DE=3，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=DC，AD∥BC，由平行线的性质得∠DEC=∠BCE，再根据角平分线的定义可得∠DCE=∠BCE，则∠DEC=∠DCE，根据等角对等边得DE=DC=AB，结合已知条件可得AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3，故选项B符合题意。
9．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，矩形ABCD申，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（　　）
A．5 B．5 C．5 D．10
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：因为在矩形ABCD中，AO＝ AC＝ BD＝BO，
又因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝5，
所以BD＝2AO＝10，
所以AD2＝BD2﹣AB2＝102﹣52＝75，
所以AD＝5 ．
故答案为：A．
【分析】先求出AO＝AB＝5，再求出BD＝2AO＝10，最后利用勾股定理计算求解即可。
10．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在 中，点D为 上一点，过点D作 的平行线交 于点E，过点E作 的平行线交 于点F，连接 ，交 于点K．则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ， ，故A、C不符合题意；
∵EF∥AB，同理可得，
∴ ， ，故B符合题意；
∴ ，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。
二、填空题
11．（2021九上·哈尔滨开学考）把202200000用科学记数法表示为　 　．
【答案】2.022×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 202200000＝2.022×108．
故答案为：2.022×108．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。 根据科学记数法的定义计算求解即可。
12．（2018·平房模拟）函数 的自变量 的取值范围是　 　.
【答案】x≠-3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x+6≠0，解得：x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为0，得出不等式，求解即可得出x的取值范围。
13．（2017九上·哈尔滨期中）计算 的结果是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】根据二次根式的运算法则进行计算可得： ，故答案为： .
【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再进行合并。
14．（2017九上·哈尔滨期中）把多项式 分解因式的结果是　 　．
【答案】a(a-2b)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】先运用提公因式法进行因式分解，再用公式法进行因式分解，注意应该因式分解彻底。
15．（2021九上·哈尔滨开学考）不等式组 的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解 得， ；
解 得， ；
不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后求不等式组的解集即可。
16．（2021九上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，将直线 的图象向上平移3个单位，所得到直线与坐标轴围成的三角形面积为　 　．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 向上平移3个单位得到 ，
的图象如图所示：
令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：4．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
17．（2021九上·哈尔滨开学考）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为　 　．
【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得：
1000（1+x）2＝1210，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【分析】先求出1000（1+x）2＝1210，再解方程求解即可。
18．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7， ），则D点的坐标是　 　．
【答案】（5，0）
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7， ），
∴C的坐标为（7， ）．
∴CH= ，CE= ，
∵△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC= ．
∴AH=9．
∵OH=7，
∴AO=DH=2．
∴OD=5．
∴D点的坐标是（5，0）．
【分析】根据题意先求出CH= ，CE= ，再求出AO=DH=2，最后求点的坐标即可。
19．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP=　 　．
【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC= =3．
如图1，当AC=AP时，作PD⊥BC于D，则BP=AB-AP=2，
∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴PD∥AC，
∴ ，
∴ ，
解得，BD=1.6，PD=1.2，
则CD=4-1.6=2.4，
tan∠BCP= ；
如图2，当CP=CA时，作CE⊥AB于E，PD⊥BC于D，
∵∠C=90°，CE⊥AB，
∴AC2=AE·AB，
解得，AE=1.8，
∵CP=CA，
∴PE=AE=1.8，
则BP=1.4，
PD∥AC，
∴ ，
∴ ，
解得，BD= ，PD= ，
则CD=4- = ，
tan∠BCP= ，
故答案为 或 ．
【分析】利用勾股定理求出AC=3，再分类讨论，利用相似三角形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
20．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在 中， ， ，垂足为D， 平分 交 于点E，过点E作 ，垂足为F，过点E作 ，交 于点G，若 ，则 　 　．
【答案】4
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【解答】在BC延长线上取一点I，使EB=EI，将△EGF沿EF翻折得到△EHF，
∵AB＝CA， ，
∴BD＝DC，∠ABC=∠ACB，
∵BE＝IE，EF⊥BC，
∴BF＝FI，∠EBI=∠I，
∵DF＝DC﹣FC＝DC﹣（FI﹣CI）＝ BC﹣ BI+CI＝ CI，
∴CI＝2DF＝2，
由翻折可知，EG=EH，∠EGH=∠EHG，
∵ ，
∴∠EGH+∠EBI=90°，
∴∠EHG+∠I=90°，
∴∠EGH+∠EBI=90°，
∴∠BEG=∠IEH=90°，
∵ 平分 ，∠ABC=∠ACB，∠EBI=∠I，
∴∠I= ∠ACB，
∴∠CEI=∠I，CE＝CI，
∵∠I+∠EHI=90°，∠CEI+∠CEH=90°，
∴∠EHI=∠CEH，
∴CE＝CH，
∴IH=2CI=4，
∵BE＝IE，EG=EH，∠BEG=∠IEH=90°，
∴△BEG≌△IEH，
∴BG=IH=4，
【分析】先求出∠BEG=∠IEH=90°，再求出IH=2CI=4，最后证明三角形全等求解即可。
三、解答题
21．（2021九上·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
【答案】解：原式 ，
∵ ，
∴原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简代数式，再将x的值代入计算求解即可。
22．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在小正方形的边长均为1的方格中，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格中画出以 为斜边的等腰直角 ，点E在小正方形的顶点上；
（2）在方格中画出平行四边形 ，且点C和点D均在小正方形的格点上， ．连接 ，请直接写出线段 的长．
【答案】（1）解：△ABE即为所求．
（2）解：平行四边形ABCD即为所求．
；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作三角形即可；
（2）根据平行四边形的性质作图即可，再利用勾股定理计算求解即可。
23．（2021九上·哈尔滨开学考）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在暑假期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若规定：假期阅读3本及3本以上课外书者为完成假期作业，请你估计该校2500名学生中，完成假期作业的有多少人？
【答案】（1）解：被抽查学生人数为：10÷20%＝50（人）；
（2）解：阅读量为4本的人数为：50﹣4﹣10﹣15﹣6＝15（人），补全条形统计图如图：
（3）解： ×2500＝1800（人），
答：估计该校2500名学生中，完成假期作业的有1800名学生．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）求出 10÷20%＝50 即可作答；
（2）根据题意先求出阅读量为4本的人数为5人，再补全条形统计图即可；
（3）求出 ×2500＝1800 即可作答。
24．（2019八下·香坊期末）已知四边形 是菱形，点 分别在 上，且 ，点 分别在 上， 与 相交于点 ．
（1）如图1，求证：四边形 是菱形；
（2）如图2，连接 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形
【答案】（1）证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵BM＝DN，
∴AB BM＝AD DN，
∴AM＝AN，
∴四边形AMEN是菱形
（2）四边形MBFE与四边形DNEG，四边形MBCG与四边形DNFC，四边形ABFE与四边形ADGE，四边形ABFN与四边形ADGM．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：∵四边形AMEN是菱形，
∴ME=NE，∴S△AEM＝S△AEN，
如图所示，过点M作MH⊥BC于点H，过点N作NK⊥CD于点K，
∴∠MHB=∠NKD=90°
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，
∵BM=DN，
∴△MHB≌△NKD（AAS），
∴MH=NK
∴S四边形MBFE＝S四边形DNEG，
∴S四边形MBCG＝S四边形DNFC，S四边形ABFE＝S四边形ADGE，S四边形ABFN＝S四边形ADGM．
∴面积相等的四边形有：四边形MBFE与四边形DNEG，四边形MBCG与四边形DNFC，四边形ABFE与四边形ADGE，四边形ABFN与四边形ADGM．
【分析】（1）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM＝DN，可得AM＝AN，即可证得四边形AMEN是菱形；（2）根据四边形AMEN是菱形得到ME=NE，S△AEM＝S△AEN，作出辅助线，证明△MHB≌△NKD（AAS），得到MH=NK，从而得到S四边形MBFE＝S四边形DNEG，继而求得答案．
25．（2021九上·哈尔滨开学考）某商店第一次用600元购进 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30支．
（1）求两次购进的铅笔每支进价分别是多少元；
（2）若商店以第二次进价提高40%作为两次购进铅笔统一售价，按此同一售价销售部分铅笔后，又以八折销售完其余的铅笔，要使全部销售完后获利不低于592元，求至少销售多少支铅笔后开始打八折？
【答案】（1）解：设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得， ，
解得x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解．则第二次每支铅笔的进价为4×1.25＝5（元），
答：第一次每支铅笔的进价为4元，第二次每支铅笔的进价为5元．
（2）解：铅笔统一售价为5×（1+40%）=7（元），
设销售y支铅笔后开始打八折，根据题意列不等式为：
，
解得y≥200．
答：至少销售200支铅笔后开始打八折．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列方程 ， 即可作答；
（2）先求出铅笔统一售价为7元，再列不等式求解即可。
26．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在正方形 中，点E在 边上，点F在 边上， ，连接 ，与对角线 交于点O．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点A作 于点H，交 边于点K，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】（1）证明：如图一中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
（2）证明：作BM∥EF交CD于M．
∵BE∥FM，EF∥BM，
∴四边形EFMB是平行四边形，
∴BE＝FM＝DF，
∵AK⊥EF，EF∥BM，
∴AK⊥BM，
∴∠MBC+∠ABM＝90°，∠ABM+∠BAK＝90°，
∴∠BAK＝∠MBC，
∵AB＝BC，∠ABK＝∠BCM＝90°，
∴△ABK≌△BCM（ASA），
∴BK＝CM，
∵BC＝CD，
∴CK＝DM＝2DF
（3）解：连接并延长CH交AB于P，延长HF至L，使FL=HK，连接LC，
∵∠KHF=∠BCD=90°，
∴∠HKC+∠CFH=180°，
∵∠CFL+∠CFH=180°，
∴∠CFL=∠HKC，
∵EK∥AC，
∴ ＝ ，
∵BA＝BC，
∴BK＝BE＝DF，
∴KC＝CF，
∴△CKH≌△CFL，
∴∠HCK=∠FCL，HC=CL，
∵∠HCK+∠DCH=90°，
∴∠FCL +∠DCH=90°，即∠LCH=90°，
∵ ，
∴CH=6，
∵CK＝2DF＝2BE，
∴CK＝2BK，
∴ ＝ ＝ ，
∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝OF，
∵ ＝ ，
∵PE∥CF，
∴ ＝ ＝ ，
设PE＝a，则CF＝4a，DF＝BE＝2a，AB＝CD＝BC＝6a，
∴BP＝3a＝PA，
∵ ＝ ＝ ，CH＝6，
∴PH＝ ，
在Rt△BCP中，9a2+36a2＝ ，
∴a2＝ ，
∵a＞0，
∴a＝ ，
∴EK＝ BE＝2 a＝ ．
【知识点】正方形的性质；平行线分线段成比例；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EAO＝∠FCO， 再利用AAS证明 △AOE≌△COF 最后求解即可；
（2）先求出 ∠BAK＝∠MBC， 再利用ASA证明 △ABK≌△BCM ，最后证明求解即可；
（3）根据题意求出 ∠CFL=∠HKC，再利用全等三角形的判定与性质，最后利用勾股定理计算求解即可。
27．（2021九上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ．
（1）求直线 的解析式；
（2）在线段 上有一点P，连接 ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线 的第一象限上取一点D，连接 ，若 ， ，求点D的坐标．
【答案】（1）解：当x=0时， ，点B的坐标为（0， ），OB= ，
∵ ，
∴ ，OA=10，A点坐标为（10，0），代入 得， ，解得， ，
直线 的解析式为
（2）解：把点P的横坐标t代入 得， ，
∵点P在线段 上，
∴ ，即
（3）解：当 时， ，解得， ，代入 得， ，
点P的坐标为（6，-3），
∵点B的坐标为（0， ），
∴BP= ，
∴BP=OB，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），
，AF=10-b，
∵ ，
∴ ，解得， （舍去）， ，
则点E坐标为（2，4），AE=DE= ，
OD= ，
∵点D坐标为（a，2a），
∴ ，解得， ， （舍去），
D点坐标为（6，12）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可；
（3）结合图象，利用勾股定理计算求解即可。
1 / 1黑龙江省哈尔滨市第四十七中学2021-2022学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、单选题
1．（2021七上·龙门月考）﹣2的倒数是（　　）
A．2 B． C．﹣ D．﹣2
2．（2021九上·哈尔滨开学考）下列运算中，结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2021九上·哈尔滨开学考）下列图形中，是轴对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2021九上·甘州期末）在ΔABC中，∠C＝90 ，AB＝5，BC＝3，则 的值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，△ABC是一张顶角为120°的三角形纸片，AB＝AC，BC＝6，现将△ABC折叠，使点B与点A 重合，折痕为DE，则DE的长为（　　）
A．1 B．2 C．2 D．3
6．（2021九上·哈尔滨开学考）关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．
C． 且 D． 且
7．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644米 ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2017八下·安岳期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（　　）
A．4 B．3 C． D．2
9．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，矩形ABCD申，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（　　）
A．5 B．5 C．5 D．10
10．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在 中，点D为 上一点，过点D作 的平行线交 于点E，过点E作 的平行线交 于点F，连接 ，交 于点K．则下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021九上·哈尔滨开学考）把202200000用科学记数法表示为　 　．
12．（2018·平房模拟）函数 的自变量 的取值范围是　 　.
13．（2017九上·哈尔滨期中）计算 的结果是　 　．
14．（2017九上·哈尔滨期中）把多项式 分解因式的结果是　 　．
15．（2021九上·哈尔滨开学考）不等式组 的解集是　 　．
16．（2021九上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，将直线 的图象向上平移3个单位，所得到直线与坐标轴围成的三角形面积为　 　．
17．（2021九上·哈尔滨开学考）某电动自行车厂三月份的产量为1000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到1210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为　 　．
18．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是（7， ），则D点的坐标是　 　．
19．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4，点P在边AB上，若△APC为以AC为腰的等腰三角形，则tan∠BCP=　 　．
20．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在 中， ， ，垂足为D， 平分 交 于点E，过点E作 ，垂足为F，过点E作 ，交 于点G，若 ，则 　 　．
三、解答题
21．（2021九上·哈尔滨开学考）先化简，再求代数式 的值，其中 ．
22．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在小正方形的边长均为1的方格中，线段 的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格中画出以 为斜边的等腰直角 ，点E在小正方形的顶点上；
（2）在方格中画出平行四边形 ，且点C和点D均在小正方形的格点上， ．连接 ，请直接写出线段 的长．
23．（2021九上·哈尔滨开学考）某学校为了解学生的课外阅读情况，王老师随机抽查部分学生，并对其暑假期间的课外阅读量进行统计分析，绘制成如图所示但不完整的统计图．已知抽查的学生在暑假期间阅读量为2本的人数占抽查总人数的20%，根据所给出信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若规定：假期阅读3本及3本以上课外书者为完成假期作业，请你估计该校2500名学生中，完成假期作业的有多少人？
24．（2019八下·香坊期末）已知四边形 是菱形，点 分别在 上，且 ，点 分别在 上， 与 相交于点 ．
（1）如图1，求证：四边形 是菱形；
（2）如图2，连接 ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出面积相等的四边形
25．（2021九上·哈尔滨开学考）某商店第一次用600元购进 铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的1.25倍，且购进的数量比第一次少了30支．
（1）求两次购进的铅笔每支进价分别是多少元；
（2）若商店以第二次进价提高40%作为两次购进铅笔统一售价，按此同一售价销售部分铅笔后，又以八折销售完其余的铅笔，要使全部销售完后获利不低于592元，求至少销售多少支铅笔后开始打八折？
26．（2021九上·哈尔滨开学考）如图，在正方形 中，点E在 边上，点F在 边上， ，连接 ，与对角线 交于点O．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，过点A作 于点H，交 边于点K，求证： ；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ，若 ， ，求 的长．
27．（2021九上·哈尔滨开学考）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ．
（1）求直线 的解析式；
（2）在线段 上有一点P，连接 ，设点P的横坐标为t， 的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线 的第一象限上取一点D，连接 ，若 ， ，求点D的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：﹣2的倒数是 ．
故答案为：C．
【分析】利用倒数的定义可直接得到答案。
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A. ，符合题意；
B. ，不符合题意；
C. ，不符合题意；
D. ，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘法法则，合并同类项法则，幂的乘方法则和同底数幂的除法法则计算求解即可。
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：从左到右，第一、二、三、四个图形都是轴对称图形，
故答案为：D．
【分析】 在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 。根据轴对称图形的定义对每个图形一一判断即可。
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，BC=3，
∴AC= =4，
∴cosA= = .
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理可求出AC的长，根据余弦函数的定义即可得答案.
5．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作AH⊥BC于H，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝ BC＝3，
∵∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝30°，
∴AB＝ ，
由翻折变换的性质可知，DB＝DA＝ ，
∴DE＝BD·tan30°＝1，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出BH=3，再利用锐角三角函数求出AB的值，最后计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有实数根，
∴ ，
解得， 且 ；
故答案为：D．
【分析】先求出，再计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设道路的宽为x米，把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，由题意得，
（100﹣x）（80﹣x）＝7644，
故答案为：C．
【分析】根据绿化面积为7644平方米列方程求解即可。
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=3，
∴DC=AB=DE=3，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得AB=DC，AD∥BC，由平行线的性质得∠DEC=∠BCE，再根据角平分线的定义可得∠DCE=∠BCE，则∠DEC=∠DCE，根据等角对等边得DE=DC=AB，结合已知条件可得AE=DE=3，所以DC=AB=DE=3，故选项B符合题意。
9．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：因为在矩形ABCD中，AO＝ AC＝ BD＝BO，
又因为∠AOB＝60°，所以△AOB是等边三角形，所以AO＝AB＝5，
所以BD＝2AO＝10，
所以AD2＝BD2﹣AB2＝102﹣52＝75，
所以AD＝5 ．
故答案为：A．
【分析】先求出AO＝AB＝5，再求出BD＝2AO＝10，最后利用勾股定理计算求解即可。
10．【答案】B
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ， ，故A、C不符合题意；
∵EF∥AB，同理可得，
∴ ， ，故B符合题意；
∴ ，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】先求出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质对每个选项一一判断即可。
11．【答案】2.022×108
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 202200000＝2.022×108．
故答案为：2.022×108．
【分析】 将一个数表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫科学记数法。 根据科学记数法的定义计算求解即可。
12．【答案】x≠-3
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2x+6≠0，解得：x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．
【分析】根据分式有意义的条件：分母不能为0，得出不等式，求解即可得出x的取值范围。
13．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【解答】根据二次根式的运算法则进行计算可得： ，故答案为： .
【分析】先将二次根式化为最简二次根式，再进行合并。
14．【答案】a(a-2b)2
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 = ．
故答案为： ．
【分析】先运用提公因式法进行因式分解，再用公式法进行因式分解，注意应该因式分解彻底。
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解 得， ；
解 得， ；
不等式组的解集为： ，
故答案为： ．
【分析】先求出，再求出，最后求不等式组的解集即可。
16．【答案】4
【知识点】三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 向上平移3个单位得到 ，
的图象如图所示：
令 ，得 ，
∴ ，
令 ，得 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：4．
【分析】先求出 ，再求出 ，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
17．【答案】10%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设四、五月份的月平均增长率为x，根据题意得：
1000（1+x）2＝1210，
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去），
则该厂四、五月份的月平均增长率为10%．
故答案为：10%．
【分析】先求出1000（1+x）2＝1210，再解方程求解即可。
18．【答案】（5，0）
【知识点】点的坐标；平行四边形的性质
【解析】【解答】∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7， ），
∴C的坐标为（7， ）．
∴CH= ，CE= ，
∵△ACE是以 ABCD的对角线AC为边的等边三角形，
∴AC= ．
∴AH=9．
∵OH=7，
∴AO=DH=2．
∴OD=5．
∴D点的坐标是（5，0）．
【分析】根据题意先求出CH= ，CE= ，再求出AO=DH=2，最后求点的坐标即可。
19．【答案】 或
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=5，BC=4，
∴AC= =3．
如图1，当AC=AP时，作PD⊥BC于D，则BP=AB-AP=2，
∵∠C=90°，PD⊥BC，
∴PD∥AC，
∴ ，
∴ ，
解得，BD=1.6，PD=1.2，
则CD=4-1.6=2.4，
tan∠BCP= ；
如图2，当CP=CA时，作CE⊥AB于E，PD⊥BC于D，
∵∠C=90°，CE⊥AB，
∴AC2=AE·AB，
解得，AE=1.8，
∵CP=CA，
∴PE=AE=1.8，
则BP=1.4，
PD∥AC，
∴ ，
∴ ，
解得，BD= ，PD= ，
则CD=4- = ，
tan∠BCP= ，
故答案为 或 ．
【分析】利用勾股定理求出AC=3，再分类讨论，利用相似三角形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】4
【知识点】翻折变换（折叠问题）；三角形的综合
【解析】【解答】在BC延长线上取一点I，使EB=EI，将△EGF沿EF翻折得到△EHF，
∵AB＝CA， ，
∴BD＝DC，∠ABC=∠ACB，
∵BE＝IE，EF⊥BC，
∴BF＝FI，∠EBI=∠I，
∵DF＝DC﹣FC＝DC﹣（FI﹣CI）＝ BC﹣ BI+CI＝ CI，
∴CI＝2DF＝2，
由翻折可知，EG=EH，∠EGH=∠EHG，
∵ ，
∴∠EGH+∠EBI=90°，
∴∠EHG+∠I=90°，
∴∠EGH+∠EBI=90°，
∴∠BEG=∠IEH=90°，
∵ 平分 ，∠ABC=∠ACB，∠EBI=∠I，
∴∠I= ∠ACB，
∴∠CEI=∠I，CE＝CI，
∵∠I+∠EHI=90°，∠CEI+∠CEH=90°，
∴∠EHI=∠CEH，
∴CE＝CH，
∴IH=2CI=4，
∵BE＝IE，EG=EH，∠BEG=∠IEH=90°，
∴△BEG≌△IEH，
∴BG=IH=4，
【分析】先求出∠BEG=∠IEH=90°，再求出IH=2CI=4，最后证明三角形全等求解即可。
21．【答案】解：原式 ，
∵ ，
∴原式 .
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】先化简代数式，再将x的值代入计算求解即可。
22．【答案】（1）解：△ABE即为所求．
（2）解：平行四边形ABCD即为所求．
；
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；作图-三角形
【解析】【分析】（1）根据题意作三角形即可；
（2）根据平行四边形的性质作图即可，再利用勾股定理计算求解即可。
23．【答案】（1）解：被抽查学生人数为：10÷20%＝50（人）；
（2）解：阅读量为4本的人数为：50﹣4﹣10﹣15﹣6＝15（人），补全条形统计图如图：
（3）解： ×2500＝1800（人），
答：估计该校2500名学生中，完成假期作业的有1800名学生．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图
【解析】【分析】（1）求出 10÷20%＝50 即可作答；
（2）根据题意先求出阅读量为4本的人数为5人，再补全条形统计图即可；
（3）求出 ×2500＝1800 即可作答。
24．【答案】（1）证明：∵MG∥AD，NF∥AB，
∴四边形AMEN是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵BM＝DN，
∴AB BM＝AD DN，
∴AM＝AN，
∴四边形AMEN是菱形
（2）四边形MBFE与四边形DNEG，四边形MBCG与四边形DNFC，四边形ABFE与四边形ADGE，四边形ABFN与四边形ADGM．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】（2）解：∵四边形AMEN是菱形，
∴ME=NE，∴S△AEM＝S△AEN，
如图所示，过点M作MH⊥BC于点H，过点N作NK⊥CD于点K，
∴∠MHB=∠NKD=90°
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D，
∵BM=DN，
∴△MHB≌△NKD（AAS），
∴MH=NK
∴S四边形MBFE＝S四边形DNEG，
∴S四边形MBCG＝S四边形DNFC，S四边形ABFE＝S四边形ADGE，S四边形ABFN＝S四边形ADGM．
∴面积相等的四边形有：四边形MBFE与四边形DNEG，四边形MBCG与四边形DNFC，四边形ABFE与四边形ADGE，四边形ABFN与四边形ADGM．
【分析】（1）由MG∥AD，NF∥AB，可证得四边形AMEN是平行四边形，又由四边形ABCD是菱形，BM＝DN，可得AM＝AN，即可证得四边形AMEN是菱形；（2）根据四边形AMEN是菱形得到ME=NE，S△AEM＝S△AEN，作出辅助线，证明△MHB≌△NKD（AAS），得到MH=NK，从而得到S四边形MBFE＝S四边形DNEG，继而求得答案．
25．【答案】（1）解：设第一次每支铅笔进价为x元，
根据题意列方程得， ，
解得x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解．则第二次每支铅笔的进价为4×1.25＝5（元），
答：第一次每支铅笔的进价为4元，第二次每支铅笔的进价为5元．
（2）解：铅笔统一售价为5×（1+40%）=7（元），
设销售y支铅笔后开始打八折，根据题意列不等式为：
，
解得y≥200．
答：至少销售200支铅笔后开始打八折．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）根据题意列方程 ， 即可作答；
（2）先求出铅笔统一售价为7元，再列不等式求解即可。
26．【答案】（1）证明：如图一中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵BE＝DF，
∴AE＝CF，
∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF．
（2）证明：作BM∥EF交CD于M．
∵BE∥FM，EF∥BM，
∴四边形EFMB是平行四边形，
∴BE＝FM＝DF，
∵AK⊥EF，EF∥BM，
∴AK⊥BM，
∴∠MBC+∠ABM＝90°，∠ABM+∠BAK＝90°，
∴∠BAK＝∠MBC，
∵AB＝BC，∠ABK＝∠BCM＝90°，
∴△ABK≌△BCM（ASA），
∴BK＝CM，
∵BC＝CD，
∴CK＝DM＝2DF
（3）解：连接并延长CH交AB于P，延长HF至L，使FL=HK，连接LC，
∵∠KHF=∠BCD=90°，
∴∠HKC+∠CFH=180°，
∵∠CFL+∠CFH=180°，
∴∠CFL=∠HKC，
∵EK∥AC，
∴ ＝ ，
∵BA＝BC，
∴BK＝BE＝DF，
∴KC＝CF，
∴△CKH≌△CFL，
∴∠HCK=∠FCL，HC=CL，
∵∠HCK+∠DCH=90°，
∴∠FCL +∠DCH=90°，即∠LCH=90°，
∵ ，
∴CH=6，
∵CK＝2DF＝2BE，
∴CK＝2BK，
∴ ＝ ＝ ，
∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∵OE＝OF，
∵ ＝ ，
∵PE∥CF，
∴ ＝ ＝ ，
设PE＝a，则CF＝4a，DF＝BE＝2a，AB＝CD＝BC＝6a，
∴BP＝3a＝PA，
∵ ＝ ＝ ，CH＝6，
∴PH＝ ，
在Rt△BCP中，9a2+36a2＝ ，
∴a2＝ ，
∵a＞0，
∴a＝ ，
∴EK＝ BE＝2 a＝ ．
【知识点】正方形的性质；平行线分线段成比例；四边形的综合
【解析】【分析】（1）先求出 ∠EAO＝∠FCO， 再利用AAS证明 △AOE≌△COF 最后求解即可；
（2）先求出 ∠BAK＝∠MBC， 再利用ASA证明 △ABK≌△BCM ，最后证明求解即可；
（3）根据题意求出 ∠CFL=∠HKC，再利用全等三角形的判定与性质，最后利用勾股定理计算求解即可。
27．【答案】（1）解：当x=0时， ，点B的坐标为（0， ），OB= ，
∵ ，
∴ ，OA=10，A点坐标为（10，0），代入 得， ，解得， ，
直线 的解析式为
（2）解：把点P的横坐标t代入 得， ，
∵点P在线段 上，
∴ ，即
（3）解：当 时， ，解得， ，代入 得， ，
点P的坐标为（6，-3），
∵点B的坐标为（0， ），
∴BP= ，
∴BP=OB，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
作AE⊥OD于E，作EF⊥OA于F，设点D坐标为（a，2a），点E坐标为（b，2b），
，AF=10-b，
∵ ，
∴ ，解得， （舍去）， ，
则点E坐标为（2，4），AE=DE= ，
OD= ，
∵点D坐标为（a，2a），
∴ ，解得， ， （舍去），
D点坐标为（6，12）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 ， 再计算求解即可；
（3）结合图象，利用勾股定理计算求解即可。
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