资源简介

北京市三帆中学2021-2022学年八年级上学期数学开学考试试卷
1．（2021八上·北京开学考）在下列各数 中，无理数的个数是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021八上·北京开学考）点P(2，－3)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2021八上·北京开学考）如图，直线a、b被直线c所截， ， ，则 的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
4．（2021八上·北京开学考）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021八上·北京开学考）已知 ， 满足方程组 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2021八上·北京开学考）如图， 是 的平分线， 是 的邻补角的平分线． ，则 （　　）
A． B． C． D．
7．（2021八上·北京开学考）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为 ，森林公园的坐标为 ，则终点水立方的坐标为（　　）
A． B． C． D．
8．（2021八上·北京开学考）为节约用电，某市根据每户居民每月用电量分为三档收费.第一档电价：每月用电量低于240度，每度0.4883元；第二档电价：每月用电量为240~400度，每度0.5383元；第三档电价：每月用电量为不低于400度，每度0.7883元.小灿同学对该市有1000户居民的某小区居民月用电量（单位：度）进行了抽样调查，绘制了如图所示的统计图.下列说法不合理的是（　　）
A．本次抽样调查的样本容量为50
B．估计该小区按第一档电价交费的居民户数最多
C．该小区按第二档电价交费的居民有220户
D．该小区按第三档电价交费的居民比例约为6%
9．（2021八上·北京开学考）25的算术平方根是　 　；7的平方根是　 　； 的立方根是　 　．
10．（2021八上·北京开学考）若a＜ ＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为　 　
11．（2021八上·北京开学考）已知 ，则 的值是　 　．
12．（2021八上·北京开学考）如图，直线 ，在平面直角坐标系 中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点 ，点 ，则图中C点在第　 　象限，D点在第　 　象限．
13．（2021八上·北京开学考）下列命题中：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的有　 　．（只填写正确命题的序号）
14．（2021八上·北京开学考）如图，将两张边长相等的正五边形和正方形纸片按如图1所示位置叠放在一起，设它们的公共边为 ．沿正方形的对角线 将两个多边形剪开，得到了四边形 ，如图2，则 的度数为　 　 ．
15．（2021八上·北京开学考）规定：在平面直角坐标系 中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变换．如图，已知正方形 ，顶点 ，若正方形 经过一次上述变换，则点A变换后的坐标为　 　；对正方形 连续做2021次这样的变换，则点D变换后的坐标为　 　．
16．（2021八上·北京开学考）对有序数对 定义“f运算”： ，其中a、b为常数，f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点 规定“F变换”：点 在F变换下的对应点即为坐标为 的点 ．
（1）当 时， 　 　；
（2）若点 在F变换下的对应点是它本身，则 　 　， 　 　．
17．（2021八上·北京开学考）计算：
18．（2021八上·北京开学考）解不等式组：
19．（2021八上·北京开学考）计算：
20．（2021八上·北京开学考）计算：
21．（2021八上·北京开学考）计算：
22．（2021八上·北京开学考）化简求值：当 时，求代数式 的值．
23．（2021八上·北京开学考）如图，在 中， ， 的外角 的平分线 交 的延长线于点E．
（1）补全图形；
（2）求 的度数；
（3）已知F为 延长线上一点，连接 ，若 ，请判断 与 的位置关系为　 　．
24．（2021八上·北京开学考）为了让市民享受到更多的优惠，某市针对乘坐地铁的人群进行了调查．
（1）为获得乘坐地铁人群的月均花费信息，下列调查方式中比较合理的是________；
A．对某小区的住户进行问卷调查
B．对某班的全体同学进行问卷谓查
C．在市里的不同地铁站，对进出地铁的人进行抽样问卷调查
（2）调查小组随机调查了该市1000人上一年乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了频数分布直方图，如图所示：
①根据图中伯息，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是　 　元；
A.20-60 B.60-120 C.120-180
②为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使30%左右的人获得折扣优惠．根据图中信息，乘坐地铁的月均花费达到　 　元的人可以享受折扣．
25．（2021八上·北京开学考）阅读材料
2020年3月，某学校到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元；已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
（1）学校购买一个A种品牌足球　 　元，购买一个B种品牌的足球　 　元．
（2）2021年9月，学校决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个．学校第二次购买足球有哪几种方案？
（3）学校在第二次购买活动中最少需要资金　 　元．
26．（2021八上·北京开学考） 中， 平分 交 于点 ， ，垂足为 ， ．
（1）如图①， ， ，则 　 　．
（2）若（ ）中的 ， ，则 　 　．（用 、 表示）
（3）如图②，点 在线段 的延长线上，（ ）中的结论还成立么？请说明理由．
27．（2021八上·北京开学考）在等边 中，过点A作一条射线 ，设 ，在射线 上取一点D，使得 且 ． 是 的角平分线，交直线 于E．
（1）如图1，当 时 　 　 ， 　 　 ；
（2）当 时， 　 　；
（3）如图2中，求出 的度数（可以用含 的等式表示）．
28．（2021八上·北京开学考）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为 和 ，则定 和 中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为 ．例如： ，因为 ； ，而 ，所以 ．
（1）请直接写出 和 的直角距离小分量 　 　；
（2）点D是坐标轴上的一点，它与点 的直角距离小分量 ，求出点D的坐标；
（3）若点 满足以下条件：
a）点M在第一象限；
b）点M与点 的直角距离小分量
c） ，O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标　 　．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： ， ， 是无理数，共有3个，
故答案为：C．
【分析】根据无理数和有理数的概念判断即可。
2．【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．
【解答】∵点P的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，-3)所在象限为第四象限．
故选D．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+)；第二象限（-，+)；第三象限（-，-)；第四象限（+，-)．
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵
∴∠2=∠3=40°.
故答案为：B.
【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答.
4．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
系数化为1得，x≤2，
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.
5．【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】 ，
+②得，4x+4y=16，解得x+y=4．
故答案为：C．
【分析】利用加减消元法求解即可。
6．【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 是 的平分线， 是 的邻补角的平分线，
， ，
， ，
，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义及一个三角形外角等于它不相邻的两个内角和，可求出 的度数。
7．【答案】A
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据玲珑塔的坐标为 可画出坐标系：
水立方的坐标为 ，
故答案为：A．
【分析】根据玲珑塔的坐标为 可画出坐标系，即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】A、本次抽样调查的样本容量为：4+12+14+11+6+3=50，A说法合理，不符合题意；
B、在样本中，按第一档电价交费的比例为： ，该小区按第一档电价交费的居民户数为：1000×60%=600户；
按第二档电价交费的比例为： ，该小区按第二档电价交费的居民户数为：1000×34%=340户；
按第三档电价交费的比例为： ，该小区按第一档电价交费的居民户数为：1000×6%=60户， B说法合理，不符合题意；
C、由选项B知该小区按第二档电价交费的比例为： ，该小区按第一档电价交费的居民户数为：1000×34%=340户，故该选项说法不合理，符合题意；
D、该小区按第三档电价交费的居民比例约为6%，该说法合理，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用直方图中的信息逐一判断即可。
9．【答案】；；
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：25的算术平方根是 ，
7的平方根是 ，
的立方根是 ．
故答案为： ， ， ．
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案。
10．【答案】11
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵5＜ ＜6，
∴a＝5，b＝6，
∴a＋b＝5＋6＝11，
故答案为：11．
【分析】先估算出的范围，即可得出a 、b的值，代入求出即可。
11．【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由2x+5y-3=0可得：2x+5y=3，
所以4x 32y=22x+5y=23=8，
故答案为：8．
【分析】根据幂的乘方的逆运算进行解答即可。
12．【答案】二；三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点 ，点 ，大致作出如下平面直角坐标系，
由图可知，C点在第二象限，D点在第四象限，
故答案是：二，三．
【分析】根据题意中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点 ，点 ，可做出平面直角坐标系，由图可知，点C、D所在的象限。
13．【答案】②③
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①若 ，则 ，故①不符合题意；
②若 ，则 ，故②符合题意；
③若 ， ， ，故③符合题意；
④若 ，当 时，则 ；当 ，则 ，故④不符合题意；
故正确的有：②③，
故答案是：②③．
【分析】根据不等式的基本性质判断即可。
14．【答案】
【知识点】角的运算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由正五边形的性质可得，
，
根据正多边形内角和公式得： ，
，
根据正方形的性质可得： ，
由四边形的内角和定理得： ，
，
故答案是： ．
【分析】根据正多边形的性质，可求出，由正方形的性质可知，再根据四边形的内角和可求出 的度数。
15．【答案】；
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据平面直角坐标系内关于 和 轴成轴对称点的坐标特征：关于 轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于 轴对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
点 先沿 轴翻折，再沿 轴翻折后的坐标为 ；
由于正方形 ，顶点 ， ，所以 ，
先沿 轴翻折，再沿 轴翻折一次后坐标为 ，
两次后坐标为 ，
三次后坐标为 ，
故连续做2021次这样的变化，则点 变化后的坐标为 ．
故答案为： ； ．
【分析】根据平面直角坐标系内关于 和 轴成轴对称点的坐标特征易得解。
16．【答案】（1）
（2）1；1
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意 ， ， ，
故答案为： ．
（2）由题意 ，解得 ，
， ．
【分析】（1）根据“F变换”的定义计算即可；
（2）根据“F变换”的定义列出方程组即可解决问题。
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式、立方根及绝对值的性质化简，再计算即可。
18．【答案】解： ，
解①， ，
解得： ，
解②， ，
，
解得： ，
则不等式组的解集为： ．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质和不等式组的解法求解即可。
19．【答案】解：
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【分析】先化简，再利用有理数的乘法分配律求解即可。
20．【答案】解：
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】利用积的乘方和幂的乘方化简求解即可。
21．【答案】解：原式 ；
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用单项式乘多项式的计算方法化简，再合并同类项即可。
22．【答案】解：原式 ，
当 ， 时，原式 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
23．【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解： 在 中， ， ，
，
．
是 的平分线，
；
（3）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） ，理由如下；
， ，
．
又 ，
，
．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 ， ，得出，由 是 的平分线，得出 的度数；
（3）由 ， ，得出的度数，由 ，得出 ，即可得出 与 的位置关系。
24．【答案】（1）C
（2）B；100
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；收集数据的过程与方法
【解析】【解答】解：（1）为获得乘坐地铁人群的月均花费信息，调查方式中比较合理是：在市里的不同地铁站，对进出地铁的人进行问卷调查；
故答案为：C．
（2）①根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在 之间，
估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 ，
故答案为：B；
② ，而 ，
乘坐地铁的月均花费达到100元的人可以享受折扣．
故答案为：100．
【分析】（1）根据抽样调查的有效性、合理性及普遍性求解即可；
（2）①根据条形统计图直接写出答案即可；②根据条形统计图即题干中的数据代入计算即可。
25．【答案】（1）50；80
（2）解：设第二次购买 种足球 个，则购买 种足球 个，
依题意得： ，
解得： ．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买 种足球25个， 种足球25个；
方案二：购买 种足球26个， 种足球24个；
方案三：购买 种足球27个， 种足球23个．
（3）3114
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设 种品牌足球的单价为 元， 种品牌足球的单价为 元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购买一个 种品牌的足球需要50元，购买一个 种品牌的足球需要80元，
故答案是： ．
（3） 第二次购买足球时， 种足球单价为 （元 ， 种足球单价为 （元 ，
当购买方案中 种足球最少时，费用最少，即方案三花钱最少．
（元 ．
答：学校在第二次购买活动中最少需要3114元资金，
故答案是：3114．
【分析】（1）设 种品牌足球的单价为 元， 种品牌足球的单价为 元，根据“总费用=买 种品牌的足球的费用+买 种品牌的足球的费用”，以及B种足球单价比A种足球贵30元，可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买 种足球 个，则购买 种足球 个，根据“总费用=买 种品牌的足球的费用+买 种品牌的足球的费用”，以及B种足球不小于23个可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，由此得出结论；
（3）分析第二次购买足球时， 、 种足球单价，即可得出哪种方案花钱最小，求出花费最小值即可得出结论。
26．【答案】（1）
（2）
（3）解：不变，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
，
又∵ ，
∴ ．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（ ）在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
又∵ ，
∴ ，
（ ）由（ ）可知，
，
，
∴
．
∵ ，
∴ ．
【分析】（1）在 中，利用三角形内角和定理得出，结合角平分线的定义得出 ，再次根据三角形内角和定理求得，结合 ，解答即可；
（2）根据（1）的方法将角的度数化为 、 即可解答；
（3）根据三角形内角和定理结合角平分线定义得出 ，结合 ，得出 ．进而得出答案。
27．【答案】（1）15；60
（2）60°
（3）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
【知识点】角的运算；平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ；
∵ 是 的角平分线，
∴
又
∴
故答案为：15°，60°
（2）如图，
∵
∴
∵
∴
∴ 平分
∴点C与点E重合
∵
∴ 是等边三角形
∴
故答案为：60°；
【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出即可求出；再根据角平分线以及三角形外角的性质可得；
（2）证明 是等边三角形即可得出结论；
（3）求出，根据三角形内角和以及等腰三角形的性质得出，同（1）的思路即可求解。
28．【答案】（1）3
（2）解： 点D是坐标轴上的一点，
若 在 轴上，
设 ，
由于 与题意矛盾，
故点D是在 轴上的一点，
设 ，
，
，
解得： 或 ，
或 ；
（3） 或
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） ， ，
，
；
故答案为3；
（3）由题意得： ，
解得 ，
，
，
当 时， ，
解得： ，
当 时， ，
解得： ，
的取值范围是： 或 ，
恰好为 的倾斜角，
，
，
解得： 或
综上： 的取值范围是： ，
横纵坐标都为整数，
和5，
或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】（1）根据题干中的定义直接写出答案即可；
（2）根据题干中的定义设 ，再分点D在x轴和y轴上两种情况求解即可；
（3）根据定义及要求列式求解即可。
1 / 1北京市三帆中学2021-2022学年八年级上学期数学开学考试试卷
1．（2021八上·北京开学考）在下列各数 中，无理数的个数是（　　）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解： ， ， 是无理数，共有3个，
故答案为：C．
【分析】根据无理数和有理数的概念判断即可。
2．（2021八上·北京开学考）点P(2，－3)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标
【解析】【分析】应先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断点P所在的象限．
【解答】∵点P的横坐标为正，纵坐标为负，
∴点P（2，-3)所在象限为第四象限．
故选D．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+)；第二象限（-，+)；第三象限（-，-)；第四象限（+，-)．
3．（2021八上·北京开学考）如图，直线a、b被直线c所截， ， ，则 的度数是（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1+∠3=180°，
∴∠3=180°-∠1=180°-140°=40°
∵
∴∠2=∠3=40°.
故答案为：B.
【分析】先根据邻补角相等求得∠3，然后再根据两直线平行、内错角相等即可解答.
4．（2021八上·北京开学考）不等式 的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：移项得，2x≤3+1，
合并同类项得，2x≤4，
系数化为1得，x≤2，
在数轴上表示为：
故答案为：C.
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.
5．（2021八上·北京开学考）已知 ， 满足方程组 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】 ，
+②得，4x+4y=16，解得x+y=4．
故答案为：C．
【分析】利用加减消元法求解即可。
6．（2021八上·北京开学考）如图， 是 的平分线， 是 的邻补角的平分线． ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；角平分线的概念
【解析】【解答】解： 是 的平分线， 是 的邻补角的平分线，
， ，
， ，
，
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的定义及一个三角形外角等于它不相邻的两个内角和，可求出 的度数。
7．（2021八上·北京开学考）“健步走”越来越受到人们的喜爱．一个健步走小组将自己的活动场地定在奥林匹克公园〔路线：森林公园—玲珑塔—国家体育场—水立方），如图假设在奥林匹克公园设计图上规定玲珑塔的坐标为 ，森林公园的坐标为 ，则终点水立方的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据玲珑塔的坐标为 可画出坐标系：
水立方的坐标为 ，
故答案为：A．
【分析】根据玲珑塔的坐标为 可画出坐标系，即可得出答案。
8．（2021八上·北京开学考）为节约用电，某市根据每户居民每月用电量分为三档收费.第一档电价：每月用电量低于240度，每度0.4883元；第二档电价：每月用电量为240~400度，每度0.5383元；第三档电价：每月用电量为不低于400度，每度0.7883元.小灿同学对该市有1000户居民的某小区居民月用电量（单位：度）进行了抽样调查，绘制了如图所示的统计图.下列说法不合理的是（　　）
A．本次抽样调查的样本容量为50
B．估计该小区按第一档电价交费的居民户数最多
C．该小区按第二档电价交费的居民有220户
D．该小区按第三档电价交费的居民比例约为6%
【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】A、本次抽样调查的样本容量为：4+12+14+11+6+3=50，A说法合理，不符合题意；
B、在样本中，按第一档电价交费的比例为： ，该小区按第一档电价交费的居民户数为：1000×60%=600户；
按第二档电价交费的比例为： ，该小区按第二档电价交费的居民户数为：1000×34%=340户；
按第三档电价交费的比例为： ，该小区按第一档电价交费的居民户数为：1000×6%=60户， B说法合理，不符合题意；
C、由选项B知该小区按第二档电价交费的比例为： ，该小区按第一档电价交费的居民户数为：1000×34%=340户，故该选项说法不合理，符合题意；
D、该小区按第三档电价交费的居民比例约为6%，该说法合理，不符合题意.
故答案为：C．
【分析】利用直方图中的信息逐一判断即可。
9．（2021八上·北京开学考）25的算术平方根是　 　；7的平方根是　 　； 的立方根是　 　．
【答案】；；
【知识点】平方根；算术平方根；立方根及开立方
【解析】【解答】解：25的算术平方根是 ，
7的平方根是 ，
的立方根是 ．
故答案为： ， ， ．
【分析】根据算术平方根的定义即可得出答案。
10．（2021八上·北京开学考）若a＜ ＜b，且a，b是两个连续的整数，则a+b的值为　 　
【答案】11
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵5＜ ＜6，
∴a＝5，b＝6，
∴a＋b＝5＋6＝11，
故答案为：11．
【分析】先估算出的范围，即可得出a 、b的值，代入求出即可。
11．（2021八上·北京开学考）已知 ，则 的值是　 　．
【答案】8
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：由2x+5y-3=0可得：2x+5y=3，
所以4x 32y=22x+5y=23=8，
故答案为：8．
【分析】根据幂的乘方的逆运算进行解答即可。
12．（2021八上·北京开学考）如图，直线 ，在平面直角坐标系 中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点 ，点 ，则图中C点在第　 　象限，D点在第　 　象限．
【答案】二；三
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：根据题意中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点 ，点 ，大致作出如下平面直角坐标系，
由图可知，C点在第二象限，D点在第四象限，
故答案是：二，三．
【分析】根据题意中，x轴，y轴分别与直线m，n平行，已知点 ，点 ，可做出平面直角坐标系，由图可知，点C、D所在的象限。
13．（2021八上·北京开学考）下列命题中：
①若 ，则 ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若 ，则 ．
正确的有　 　．（只填写正确命题的序号）
【答案】②③
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：①若 ，则 ，故①不符合题意；
②若 ，则 ，故②符合题意；
③若 ， ， ，故③符合题意；
④若 ，当 时，则 ；当 ，则 ，故④不符合题意；
故正确的有：②③，
故答案是：②③．
【分析】根据不等式的基本性质判断即可。
14．（2021八上·北京开学考）如图，将两张边长相等的正五边形和正方形纸片按如图1所示位置叠放在一起，设它们的公共边为 ．沿正方形的对角线 将两个多边形剪开，得到了四边形 ，如图2，则 的度数为　 　 ．
【答案】
【知识点】角的运算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：由正五边形的性质可得，
，
根据正多边形内角和公式得： ，
，
根据正方形的性质可得： ，
由四边形的内角和定理得： ，
，
故答案是： ．
【分析】根据正多边形的性质，可求出，由正方形的性质可知，再根据四边形的内角和可求出 的度数。
15．（2021八上·北京开学考）规定：在平面直角坐标系 中，“把某一图形先沿x轴翻折，再沿y轴翻折”为一次变换．如图，已知正方形 ，顶点 ，若正方形 经过一次上述变换，则点A变换后的坐标为　 　；对正方形 连续做2021次这样的变换，则点D变换后的坐标为　 　．
【答案】；
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据平面直角坐标系内关于 和 轴成轴对称点的坐标特征：关于 轴对称点的坐标特点，横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于 轴对称点的坐标特点，横坐标互为相反数，纵坐标不变．
点 先沿 轴翻折，再沿 轴翻折后的坐标为 ；
由于正方形 ，顶点 ， ，所以 ，
先沿 轴翻折，再沿 轴翻折一次后坐标为 ，
两次后坐标为 ，
三次后坐标为 ，
故连续做2021次这样的变化，则点 变化后的坐标为 ．
故答案为： ； ．
【分析】根据平面直角坐标系内关于 和 轴成轴对称点的坐标特征易得解。
16．（2021八上·北京开学考）对有序数对 定义“f运算”： ，其中a、b为常数，f运算的结果也是一个有序数对，在此基础上，可对平面直角坐标系中的任意一点 规定“F变换”：点 在F变换下的对应点即为坐标为 的点 ．
（1）当 时， 　 　；
（2）若点 在F变换下的对应点是它本身，则 　 　， 　 　．
【答案】（1）
（2）1；1
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由题意 ， ， ，
故答案为： ．
（2）由题意 ，解得 ，
， ．
【分析】（1）根据“F变换”的定义计算即可；
（2）根据“F变换”的定义列出方程组即可解决问题。
17．（2021八上·北京开学考）计算：
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】先利用二次根式、立方根及绝对值的性质化简，再计算即可。
18．（2021八上·北京开学考）解不等式组：
【答案】解： ，
解①， ，
解得： ，
解②， ，
，
解得： ，
则不等式组的解集为： ．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】利用不等式的性质和不等式组的解法求解即可。
19．（2021八上·北京开学考）计算：
【答案】解：
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【分析】先化简，再利用有理数的乘法分配律求解即可。
20．（2021八上·北京开学考）计算：
【答案】解：
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】利用积的乘方和幂的乘方化简求解即可。
21．（2021八上·北京开学考）计算：
【答案】解：原式 ；
．
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】先利用单项式乘多项式的计算方法化简，再合并同类项即可。
22．（2021八上·北京开学考）化简求值：当 时，求代数式 的值．
【答案】解：原式 ，
当 ， 时，原式 ．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简，再将a、b的值代入计算即可。
23．（2021八上·北京开学考）如图，在 中， ， 的外角 的平分线 交 的延长线于点E．
（1）补全图形；
（2）求 的度数；
（3）已知F为 延长线上一点，连接 ，若 ，请判断 与 的位置关系为　 　．
【答案】（1）解：根据题意作图如下：
（2）解： 在 中， ， ，
，
．
是 的平分线，
；
（3）
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：（3） ，理由如下；
， ，
．
又 ，
，
．
【分析】（1）根据题意作图即可；
（2）根据 ， ，得出，由 是 的平分线，得出 的度数；
（3）由 ， ，得出的度数，由 ，得出 ，即可得出 与 的位置关系。
24．（2021八上·北京开学考）为了让市民享受到更多的优惠，某市针对乘坐地铁的人群进行了调查．
（1）为获得乘坐地铁人群的月均花费信息，下列调查方式中比较合理的是________；
A．对某小区的住户进行问卷调查
B．对某班的全体同学进行问卷谓查
C．在市里的不同地铁站，对进出地铁的人进行抽样问卷调查
（2）调查小组随机调查了该市1000人上一年乘坐地铁的月均花费（单位：元），绘制了频数分布直方图，如图所示：
①根据图中伯息，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是　 　元；
A.20-60 B.60-120 C.120-180
②为了让市民享受到更多的优惠，相关部门拟确定一个折扣线，计划使30%左右的人获得折扣优惠．根据图中信息，乘坐地铁的月均花费达到　 　元的人可以享受折扣．
【答案】（1）C
（2）B；100
【知识点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；收集数据的过程与方法
【解析】【解答】解：（1）为获得乘坐地铁人群的月均花费信息，调查方式中比较合理是：在市里的不同地铁站，对进出地铁的人进行问卷调查；
故答案为：C．
（2）①根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在 之间，
估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是 ，
故答案为：B；
② ，而 ，
乘坐地铁的月均花费达到100元的人可以享受折扣．
故答案为：100．
【分析】（1）根据抽样调查的有效性、合理性及普遍性求解即可；
（2）①根据条形统计图直接写出答案即可；②根据条形统计图即题干中的数据代入计算即可。
25．（2021八上·北京开学考）阅读材料
2020年3月，某学校到商场购买A，B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元；已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A种品牌的足球多花30元．
（1）学校购买一个A种品牌足球　 　元，购买一个B种品牌的足球　 　元．
（2）2021年9月，学校决定再次购进A，B两种品牌足球共50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A，B两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个．学校第二次购买足球有哪几种方案？
（3）学校在第二次购买活动中最少需要资金　 　元．
【答案】（1）50；80
（2）解：设第二次购买 种足球 个，则购买 种足球 个，
依题意得： ，
解得： ．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买 种足球25个， 种足球25个；
方案二：购买 种足球26个， 种足球24个；
方案三：购买 种足球27个， 种足球23个．
（3）3114
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（1）设 种品牌足球的单价为 元， 种品牌足球的单价为 元，
依题意得： ，
解得： ．
答：购买一个 种品牌的足球需要50元，购买一个 种品牌的足球需要80元，
故答案是： ．
（3） 第二次购买足球时， 种足球单价为 （元 ， 种足球单价为 （元 ，
当购买方案中 种足球最少时，费用最少，即方案三花钱最少．
（元 ．
答：学校在第二次购买活动中最少需要3114元资金，
故答案是：3114．
【分析】（1）设 种品牌足球的单价为 元， 种品牌足球的单价为 元，根据“总费用=买 种品牌的足球的费用+买 种品牌的足球的费用”，以及B种足球单价比A种足球贵30元，可得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）设第二次购买 种足球 个，则购买 种足球 个，根据“总费用=买 种品牌的足球的费用+买 种品牌的足球的费用”，以及B种足球不小于23个可得出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，由此得出结论；
（3）分析第二次购买足球时， 、 种足球单价，即可得出哪种方案花钱最小，求出花费最小值即可得出结论。
26．（2021八上·北京开学考） 中， 平分 交 于点 ， ，垂足为 ， ．
（1）如图①， ， ，则 　 　．
（2）若（ ）中的 ， ，则 　 　．（用 、 表示）
（3）如图②，点 在线段 的延长线上，（ ）中的结论还成立么？请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）解：不变，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴
，
又∵ ，
∴ ．
【知识点】角的运算；平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（ ）在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
又∵ ，
∴ ，
（ ）由（ ）可知，
，
，
∴
．
∵ ，
∴ ．
【分析】（1）在 中，利用三角形内角和定理得出，结合角平分线的定义得出 ，再次根据三角形内角和定理求得，结合 ，解答即可；
（2）根据（1）的方法将角的度数化为 、 即可解答；
（3）根据三角形内角和定理结合角平分线定义得出 ，结合 ，得出 ．进而得出答案。
27．（2021八上·北京开学考）在等边 中，过点A作一条射线 ，设 ，在射线 上取一点D，使得 且 ． 是 的角平分线，交直线 于E．
（1）如图1，当 时 　 　 ， 　 　 ；
（2）当 时， 　 　；
（3）如图2中，求出 的度数（可以用含 的等式表示）．
【答案】（1）15；60
（2）60°
（3）解：∵
∴
∴
∴
∴
∴
【知识点】角的运算；平行线的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵ 是等边三角形，
∴
∵
∴
∵
∴
∴ ；
∵ 是 的角平分线，
∴
又
∴
故答案为：15°，60°
（2）如图，
∵
∴
∵
∴
∴ 平分
∴点C与点E重合
∵
∴ 是等边三角形
∴
故答案为：60°；
【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出即可求出；再根据角平分线以及三角形外角的性质可得；
（2）证明 是等边三角形即可得出结论；
（3）求出，根据三角形内角和以及等腰三角形的性质得出，同（1）的思路即可求解。
28．（2021八上·北京开学考）在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为 和 ，则定 和 中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为 ．例如： ，因为 ； ，而 ，所以 ．
（1）请直接写出 和 的直角距离小分量 　 　；
（2）点D是坐标轴上的一点，它与点 的直角距离小分量 ，求出点D的坐标；
（3）若点 满足以下条件：
a）点M在第一象限；
b）点M与点 的直角距离小分量
c） ，O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标　 　．
【答案】（1）3
（2）解： 点D是坐标轴上的一点，
若 在 轴上，
设 ，
由于 与题意矛盾，
故点D是在 轴上的一点，
设 ，
，
，
解得： 或 ，
或 ；
（3） 或
【知识点】点的坐标；定义新运算
【解析】【解答】解：（1） ， ，
，
；
故答案为3；
（3）由题意得： ，
解得 ，
，
，
当 时， ，
解得： ，
当 时， ，
解得： ，
的取值范围是： 或 ，
恰好为 的倾斜角，
，
，
解得： 或
综上： 的取值范围是： ，
横纵坐标都为整数，
和5，
或 ，
故答案为： 或 ．
【分析】（1）根据题干中的定义直接写出答案即可；
（2）根据题干中的定义设 ，再分点D在x轴和y轴上两种情况求解即可；
（3）根据定义及要求列式求解即可。
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