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2021年秋河东区八年级上册数学期中学情诊断试题
选择题（本大题共14小题，每小题3分，共42分）
1.下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
2．若点P（2，3）关于y轴对称点是P1，则P1点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
3．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
（第3题图） （第4题图） （第5题图）
4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（　　）
A．E，H两点之间 B．E，G两点之间
C．F，H两点之间 D．A，B两点之间
5．如图，在△ABC中AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝36°，则∠BAD＝（　　）
A．108° B．72° C．54° D．36°
6．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是（　　）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
7．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（　　）
A．180° B．360° C．210° D．270°
（第7题图） （第8题图）
8．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
9．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．45°
（第9题图） （第10题图） （第11题图）
10．如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
11．如图为八个全等的正六边形（六条边相等，六个角相等）紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，下列三角形中与△ACD全等的是（　　）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
12．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　　）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
（第12题图） （第13题图） （第14题图）
13．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
14．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
二．填空题（本题5个小题，每小题3分，共15分）
15．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC⊥BD，AC＝BD，若DE⊥BC，AB＝2.8，BC＝6，则CE的长为　 　．
16题图 17题图
17．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于　 　cm2．
18．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　 　．
19．在△ABC中给定下面几组条件：
①AB＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°；②AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝90°；③AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝120°；④AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝30°．若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是　 　（填序号）．
三．解答题（本大题共7小题，共63分）
20．（8分）如图，已知BD为△ABC的角平分线．请按如下要求操作与解答：
（1）过点D画DE∥BC交AB于点E．若∠A＝68°，∠AED＝42°，求△BCD各内角的度数；
（2）画△ABC的角平分线CF交BD于点M，若∠A＝60°，请找出图中所有与∠A相等的角，并说明理由．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）AD＝FC；
（2）AB＝BC+AD．
21．（8分）如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？，写出计算过程．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．
24．如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；
（2）求∠DFC的度数．
25．如图，BD和AD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠CAG，BD交AC于F.
（1）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，若AE＝BE，求∠ABC的大小．
26．（本题12分）在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分线于点M．
（1）如图1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AE＝EM；
（2）如图2，当点E在BC边的任意位置时（1）中的结论是否成立？请说明理由．
日期：2021/11/11 20:17:51；用户：18953961125；邮箱：18953961125；学号：38506659第1页（共1页）2021年秋河东区八年级上册数学期中学情诊断试题解析
一．选择题（共14小题，每小题3分，共42分）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
【分析】根据轴对称图形的定义（平面内，把图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是其对称轴），可得答案．
【解答】解：A、C、D不能找到对称轴，不是轴对称图形，不符合题意；B能找到对称轴，是轴对称图形，符合题意；故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的定义，解决本题的关键是找出各选项图的对称轴。
2．若点P（2，3）关于y轴对称点是P1，则P1点坐标是（　　）
A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，﹣3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．
【解答】解：点P（2，3）关于y轴对称点是P1，则P1点坐标是（﹣2，3），故选：C．
【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使点A、C、E在同一条直线上（如图），可以说明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此测得DE的长就是AB的长，判定△ABC≌△EDC，最恰当的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【解答】解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的应用，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时注意选择．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
4．如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E，F，G，H分别是四条边上的中点，为使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条应钉在（　　）
A．E，H两点之间 B．E，G两点之间
C．F，H两点之间 D．A，B两点之间
【分析】根据三角形的稳定性解答即可．
【解答】解：为使它稳固，根据三角形的稳定性，这根木条应钉在E，H两点之间，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的性质，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
5．如图，在△ABC中AB＝AC，D是BC的中点，∠B＝36°，则∠BAD＝（　　）
A．108° B．72° C．54° D．36°
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，然后利用直角三角形两锐角互余的性质解答．
【解答】解：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，
∵∠B＝36°，∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°．故选：C．
【点评】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
6．一个多边形的每个内角均为140°，则这个多边形是（　　）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【分析】根据多边形的内角和公式，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案．
【解答】解：设这个多边形为n边形，根据题意得
（n﹣2）×180°＝140°×n，解得n＝9，故选：C．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，多边形的内角和公式是（n﹣2）×180°．
7．小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α+∠β等于（　　）
A．180° B．210° C．360° D．270°
【分析】根据三角形的外角的性质分别表示出∠α和∠β，计算即可．
【解答】解：∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F，
∴∠α+∠β＝∠1+∠D+∠4+∠F＝∠2+∠D+∠3+∠F＝∠2+∠3+30°+90°＝210°，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
8．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS定理得到△COD≌△C'O'D'，由全等三角形的对应角相等得到∠A′O′B′＝∠AOB．
【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，
在△COD与△C′O′D′中，，∴△COD≌△C'O'D'（SSS），
∴∠A'O'B'＝∠AOB（全等三角形的对应角相等）．故选：D．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的对应角相等是正确解答本题的关键．
9．如图，在△ABC中，∠B＝55°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　　）
A．65° B．60° C．55° D．45°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠DAC，求得∠DAC＝30°，根据三角形的内角和得到∠BAC＝95°，即可得到结论．
【解答】解：由题意可得：MN是AC的垂直平分线，则AD＝DC，故∠C＝∠DAC，
∵∠C＝30°，∴∠DAC＝30°，
∵∠B＝55°，∴∠BAC＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝65°，
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
10．如图，△ABC的面积为12，AB＝AC，BC＝4，AC的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CP+PD的最小值，
∴△CDP的周长最短＝（CP+PD）+CD＝AD+BC＝6+×4＝6+2＝8．
故选：B．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
11．如图为八个全等的正六边形（六条边相等，六个角相等）紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，下列三角形中与△ACD全等的是（　　）
A．△ACF B．△ADE C．△ABC D．△BCF
【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．
【解答】解：根据图形可知△ACD和△ADE全等，
理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，
∴△ACD≌△AED（SSS），即△ACD和△ADE全等，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，主要考查学生的观察图形的能力和推理能力，注意：全等三角形的判定定理有：SAS，ASA，AAS，SSS．
12．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　　）
A．140米 B．150米 C．160米 D．240米
【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
【解答】解：∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°＝15，∴小华一共走了：15×10＝150米．
故选：B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数．
13．如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）
A．γ＝2α+β B．γ＝α+2β C．γ＝α+β D．γ＝180°﹣α﹣β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，
又∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．
14．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长为（　　）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
【分析】延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE＝AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC＝CE，AE＝BE＝2BD，根据AC＝5，BC＝3，即可推出BD的长度．
【解答】解：延长BD与AC交于点E，
∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，
∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∴2BD＝BE，
∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，
∴△BEC为等腰三角形，∴BC＝CE，
∵AC＝5，BC＝3，∴CE＝3，
∴AE＝AC﹣EC＝5﹣3＝2，
∴BE＝2，∴BD＝1．
故选：A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．
二．填空题（共5小题）
15．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为　3cm　．
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13﹣3﹣3＝7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故底边长是：3cm．
故答案是：3cm
【点评】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
16．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC⊥BD，AC＝BD，若DE⊥BC，AB＝2.8，BC＝6，则CE的长为　3.2　．
【分析】根据条件证△ABC≌△BED，得出AB＝BE即可．
【解答】解：∵AC⊥BD，DE⊥BC，
∴∠DFC＝∠DEC＝90°，
∴∠D＝∠C，
在△ABC≌和△BED中，
∵，
∴△ABC≌△BED（AAS），
∴BE＝AB＝2.8，
∵BC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣2.8＝3.2，
故答案为：3.2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的各种判定方法是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，已知D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝8cm2，则图中阴影部分△BEF的面积等于　2　cm2．
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
【解答】解：∵点E是AD的中点，
∴S△ABE＝S△ABD，S△ACE＝S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE＝S△ABC＝×8＝4，
∴S△BCE＝S△ABC＝4，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF＝S△BCE＝×4＝2（cm2）．
故答案为：2．
【点评】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．
18．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是　42　．
【分析】过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，根据角平分线性质求出OE＝OD＝OF＝4，根据△ABC的面积等于△ACO的面积、△BCO的面积、△ABO的面积的和，即可求出答案．
【解答】解：
过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，
∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC，
∴OE＝OD，OD＝OF，
即OE＝OF＝OD＝4，
∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC
＝×AB×OE+×AC×OF+×BC×OD
＝×4×（AB+AC+BC）
＝×4×21＝42，
故答案为：42．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
19．在△ABC中给定下面几组条件：
①AB＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°；②AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝90°；③AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝120°；④AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝30°．若根据每组条件画图，则△ABC能够唯一确定的是　②③④　（填序号）．
【分析】根据全等三角形的判定判断即可．
【解答】解：①AB＝4cm，AC＝3cm，∠ABC＝30°，SSA不能判定△ABC唯一，错误；
②AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝90°，HL能判定△ABC唯一，正确；
③AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝120°，能判定△ABC唯一，正确；
④AB＝3cm，AC＝4cm，∠ABC＝30°，能判定△ABC唯一，正确．
故答案为：②③④．
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是根据全等三角形的判定方法解答．
三．解答题（共7小题）
20．如图，已知BD为△ABC的角平分线．请按如下要求操作与解答：
（1）过点D画DE∥BC交AB于点E．若∠A＝68°，∠AED＝42°，求△BCD各内角的度数；
（2）画△ABC的角平分线CF交BD于点M，若∠A＝60°，请找出图中所有与∠A相等的角，并说明理由．
【分析】（1）由DE∥BC可知∠AED＝∠ABC＝42°，所以∠DBC＝∠ABC＝21°，从而可求出∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝70°，
（2）因为∠A＝60°，所以∠ABC+∠ACB＝120°，由于BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，所以∠MBC+∠MCB＝60°，所以∠BMC＝120°，由对顶角的性质可知∠BMF＝∠CMD＝60°．
【解答】解：（1）如图，过点D作DE∥BC交AB于点E，
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC＝42°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABC＝21°，
∴∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠A＝70°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠C＝89°；
（2）如图，作△ABC的角平分线CF交BD于点M，
∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴BD平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠MBC+∠MCB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BMC＝120°，
∴∠BMF＝∠CMD＝60°．
【点评】本题考查三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理以及平行线的性质．
21．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．求证：
（1）AD＝FC；
（2）AB＝BC+AD．
【分析】（1）根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB＝BF即可．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC＝∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE＝EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AD＝FC；（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF（全等三角形的对应边相等），
又∵BE⊥AF，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC+CF，
∵AD＝CF（已证），
∴AB＝BC+AD（等量代换）．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
22．如图，学校科技小组计划测量一处电信塔的高度，小明在A处用仪器测得到塔尖D的仰角∠DAC＝15°，向塔正前方水平直行260m到达点B，测得到塔尖的仰角∠DBC＝30°，若小明的眼睛离地面1.6m，你能计算出塔的高度DE吗？，写出计算过程．
【分析】首先证明BA＝BD，在Rt△BDC中，利用直角三角形30度角的性质，求出CD即可解决问题．
【解答】解：∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB，
又∵∠DBC＝30°，∠BAD＝15°，
∴∠BAD＝∠ADB＝15°，
∴BA＝BD＝260m，
在Rt△BDC中，∵∠DCB＝90°，∠DBC＝30°，
∴DC＝BD＝130m，
∵AF＝BG＝CE＝1.6m，
∴DE＝DC+CE＝131.6m，
【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝9，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，求DF的长．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，再求出∠DAE＝∠EAB＝30°，然后根据平行线的性质求出∠F＝∠BAE＝30°，从而得到∠DAE＝∠F，再根据等角对等边求出AD＝DF，然后求出∠B＝30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．
【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝×120°＝60°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠BAD＝×60°＝30°，
∵DF∥AB，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴AD＝DF，
∵∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝×9＝4.5，
∴DF＝4.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
24．如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD＝CE；
（2）求∠DFC的度数．
【分析】（1）求出∠B＝∠CAE，AC＝AB，根据SAS证出△ABD≌△CAE即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠BAD＝∠ACE，根据三角形外角性质推出∠DFC＝∠BAC，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠CAE＝∠ACB＝60°，AC＝AB，
∵在△ABD和△CAE中
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴AD＝CE．
（2）解：∵△ABD≌△CAE，
∴∠BAD＝∠ACE，
∴∠DFC＝∠FAC+∠ACE＝∠FAC+∠BAD＝∠CAE＝60°．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形外角性质，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
25．如图，BD和AD分别平分△ABC的内角∠CBA和外角∠CAG，BD交AC于F.
（1）若AB＝AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，若AE＝BE，求∠ABC的大小．
【解答】解：（1）△ABD为等腰三角形，证明如下：
∵AD平分∠CAG，
∴∠GAD=∠CAD=∠CAG
∵AB=AC,
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠GAC=∠ABC+∠ACB
∴∠GAD＝∠ABC，
∴AD//BC
∴∠ADB=∠DBC,
又∵∠ABD=∠DBC
∴∠ABD=∠ADB
∴AB＝AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（2）∵AE＝BE，
∴∠BAE＝∠ABE＝∠ABC，
又∵∠BAE+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝72°．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
26．在等边△ABC中，E为BC边上一点，G为BC延长线上一点，过点E作∠AEM＝60°，交∠ACG的平分线于点M．
（1）如图1，当点E在BC边的中点位置时，求证：AE＝EM；
（2）如图2，当点E在BC边的任意位置时（1）中的结论是否成立？请说明理由．
【分析】（1）取AB的中点N，连接EN，证明△ANE≌△ECM（ASA），即可得出AE＝EM；
（2）在AB上取点H，使BH＝BE，证明△AHE≌△ECM（ASA）．即可得出AE＝EM．
【解答】（1）证明：取AB的中点N，连接EN，如图1所示：
∵△ABC为等边三角形，E，N为中点，
∴AE⊥BC，且AE平分∠BAC，
∴AN＝NE＝EC，∠NAE＝∠NEA＝30°，
∴∠ANE＝120°，
∵∠AEM＝60°，
∴∠MEC＝30°，
∴∠NAE＝∠CEM，
∵CM平分∠ACG，
∴∠ACM＝60°，
∴∠ECM＝∠ANE＝120°，
在△ANE和△ECM中，，
∴△ANE≌△ECM（ASA），
∴AE＝EM；
（2）解：结论成立，理由如下：
在AB上取点H，使BH＝BE，连接FH，如图2所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠B＝60°．
∵BH＝BE，
∴AH＝CE．
∴△BHE是等边三角形，
∴∠BHE＝60°．
∴∠AHE＝120°．
∵∠ECM＝120°．
∴∠AHE＝∠ECM．
∵∠AEM+∠MEC＝∠ABC+∠EAH，
∴∠EAH＝∠MEC，
在△AHE和△ECM中，，
∴△AHE≌△ECM（ASA）．
∴AE＝EM．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
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日期：2021/11/11 20:17:51；用户：18953961125；邮箱：18953961125；学号：38506659第1页（共1页）

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