资源简介

鸟头模型
☆教学目标：
1.能理解鸟头模型四种基本图形的证明方法。
2.能熟练利用鸟头模型解决基本图形的面积问题。
3.能够多次利用鸟头模型解决复杂图形的面积问题。
☆教学内容：
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形（鸟头模型）。共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。
如图在中，D、E分别是AB、AC上的点如图（1），或D在BA的延长线上，E在AC上如图（2），或D在BA的延长线上，E在CA延长线上如图（3），或两个角相加为180°如图（4），则。
知识点一 鸟头模型的证明
【知识铺垫】
（1）等底等高的两个三角形面积________。
（2）两个三角形高相等，面积比等于________之比。
（3）两个三角形底相等，面积比等于________之比。
1设置目的：掌握两个三角形中有一个角相等的鸟头模型的证明方法，并能运用相关结论进行解题。
【例题1】
（1）如图，在中，D、E分别是AB、AC上的点，且，，如果平方厘米，求的面积。
（2）如图，在中，D、E分别是BA、CA延长线上的点，试说明。
【例题1】
【答案】（1）24.5平方厘米（2）通过三角形等高模型，找边之间的比值关系
【解析】（1）连接BE，，，所以，设份，则份，因为平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，49份就是24.5平方厘米，的面积是24.5平方厘米。
结论：因为，，两个等式相乘得：。
（2）将旋转180度，得到，这样图形就跟（1）中一样，所以证明方法同上，结论是。
【练习1】
如图，中，，，如果的面积等于12，那么的面积是多少？
【练习1】
【答案】50平方厘米
【解析】根据鸟头模型可知：，设份，则份，因为平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，的面积是50平方厘米。
2设置目的：掌握两个三角形中有一个角互补的鸟头模型的证明方法，并能运用相关结论进行解题。
【例题2】
（1）如图，在中，D在BA的延长线上，E在AC上，你能否说明。已知，，平方厘米，求的面积。
（2）如图，与的比和AD、AE、AB、AC之间有什么样的关系？试着证明你的结论。
【例题2】
【答案】（1）50平方厘米（2）通过三角形等高模型，找边之间的比值关系
【解析】（1）连接BE，，，两个等式相乘得：，所以，设份，则份，因为平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，的面积是50平方厘米。
（2），将顺时针旋转90度，得到和（1）类似的图形，然后证明方法同上，进而得到结论。
【练习2】
如图，的面积为3平方厘米，其中，，的面积是多少？
【练习2】
【答案】12.5平方厘米
【解析】根据鸟头模型可知：，设份，则份，因为平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是12.5平方厘米，的面积是12.5平方厘米。
知识点二 鸟头模型的应用
【知识铺垫】
同学们说一说下图中两个三角形的面积之比是多少（用字母来表示）？
3设置目的：掌握一个角相等的鸟头模型的简单应用。
【例题3】
如图，被分成了甲、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？
【例题3】
【答案】5倍
【解析】根据鸟头模型可知：，即，设份，则份，即甲是1份，所以乙是5份，所以乙的面积是甲面积的5倍。
【练习3】
被线段DE分成和四边形ACDE两部分，问：的面积是四边形ACDE面积的几分之几？
【练习3】
【答案】
【解析】根据鸟头模型可知：，即，设份，则份，所以四边形ACDE的面积是25份，所以的面积是四边形ACDE面积的。
4设置目的：掌握一个角互补的鸟头模型的简单应用。
【例题4】
如图，以直角三角形的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED，连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知AB＝3厘米，AC＝4厘米，BC＝5厘米，求六边形DEFGHI的面积？
【例题4】
【答案】74平方厘米
【解析】因为，所以，（平方厘米），所以图中四个三角形的面积和是6×4＝24（平方厘米），三个正方形的面积和是（平方厘米），因此六边形的面积是50＋24＝74（平方厘米）。
【练习4】
园林小路，曲径通幽，如下图所示，小路由白色正方形石板和青、红两色的三角形石板铺成。问：内圈红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？请说明理由。
【练习4】
【答案】一样大
【解析】图中每相邻两个正方形和其间夹着的两个三角形都是经典的鸟头模型，以下图为例，。因此，图中每一个红色三角形和对应的青色三角形面积都相等。那么内圈三角形石板的总面积和外圈三角形石板的总面积一样大。
5设置目的：掌握鸟头模型的多次运用（模型拆分三角形）。
【例题5】
如图，在中，D、E、F分别是AB、AC、BC边上的点，且，，，的面积为43.5平方厘米，则的面积是多少平方厘米？
【例题5】
【答案】140平方厘米
【解析】根据鸟头模型分别求，，的面积与的面积的关系。
，
，
,
设份，则份，恰是43.5平方厘米，所以的面积是140平方厘米。
【练习5】
如图，已知，，，那么的比值是多少？
【练习5】
【答案】
【解析】根据鸟头模型分别求，，的面积与的面积的关系。
，
，
，
设份，则份，。
终极大挑战设置目的：掌握鸟头模型的多次运用（模型拆分四边形）。
【终极大挑战】
如图，四边形EFGH的面积是66平方米，EA＝AB，CB＝BF，DC＝CG，HD＝DA，求四边形ABCD的面积。
【终极大挑战】
【答案】13.2平方米
【解析】连接BD，根据鸟头模型得，即，同理，即，所以，连接AC，同理可以得到，，所以平方米。
课后作业
【作业1】
如图，中，AB是AD的4倍，AC是AE的3倍，如果的面积等于1，那么的面积是多少？
【作业1】
【答案】12
【解析】根据鸟头模型可知：，设份，则份，因为，所以的面积是12。
【作业2】
如图，已知点B、C、D在一条线上，E在AC上，且BC＝2CD，AC＝2CE，的面积是100平方厘米，则的面积是多少？
【作业2】
【答案】25平方厘米
【解析】根据鸟头模型可知：，设份，则份，因为平方厘米，所以1份是25平方厘米，所以的面积是25平方厘米。
【作业3】
如图，AD＝7，AE＝6，AB＝4，AC＝9，求的面积是面积的几倍？
【作业3】
【答案】倍
【解析】根据鸟头模型可知：，即，设份，则份，所以是的倍。
【作业4】
如图，以的三边分别向外做三个正方形ABIH、ACFG、BCED，连接HG、EF、ID，又得到三个三角形，已知的面积是10平方厘米，则另外三个三角形的面积和是多少？
【作业4】
【答案】30平方厘米
【解析】因为，所以，所以平方厘米，同理另外两个三角形的面积也是10平方厘米，所以另外三个三角形的面积和是30平方厘米。
【作业5】
已知的面积为6平方厘米，，求的面积。
【作业5】
【答案】18平方厘米
【解析】根据，同理，，设份，则份，份，份，份，恰好是6平方厘米，每份的面积是6÷3＝2（平方厘米），所以平方厘米。
【作业6】
如图，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比。
【作业6】
【答案】
【解析】连接AC、BD，根据鸟头模型，因为在和中，与互补，所以，又因为，所以。同理可得，，。所以。所以。
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