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专题02 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
【考情分析】
1.考查特点:基本初等函数作为高考的命题热点,多考查指数式与对数式的运算、利用函数的性质比较大小,难度中等;函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上,题目有时较难,而与实际应用问题结合考查的指数、对数函数模型也是近几年考查的热点,难度中等.
2.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力、创新能力.
3.学科素养:数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算.
【题型一】基本初等函数的图象与性质
【典例分析】
【例1】（2021 焦作一模）若函数的值域为，则函数的图象大致是　　
A．B． C． D．
【答案】B
【解析】若函数的值域为，
则，故函数的图象大致是：故选：．
【例2】（2021·陕西西安市·西安中学高三模拟）若，，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因，且函数是增函数，于是；
函数是增函数，，而，则，，即，综上得：故选：D
【例3】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）若函数存在2个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，且f(2)=0，即f(x)在(1，+∞)上有一个零点，
函数存在2个零点，当且仅当f(x)在(-∞，1]有一个零点，
x≤1时，，即函数在(-∞，1]上的图象与直线y=m有一个公共点，
在同一坐标系内作出直线y=m和函数的图象，如图：
而在(-∞，1]上单调递减，且有，则直线y=m和函数的图象有一个公共点，.故选：A
【提分秘籍】
1.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响,解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时,首先要看底数a的范围.
2.研究对数函数的性质,应注意真数与底数的限制条件.如求f(x)=ln(x2-3x+2)的单调区间,易只考虑t=x2-3x+2与函数y=ln t的单调性,而忽视t>0的限制条件.
3.指数、对数、幂函数值的大小比较问题的解题策略:(1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较.(2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较.(3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小.
【变式演练】
1．【多选】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为减函数
C．有且只有一个零点 D．的值域为
【答案】AC
【解析】,,
,
故为奇函数，又，
在R上单调递增，
，，，
，，即函数值域为
令，即，解得，故函数有且只有一个零点0.
综上可知，AC正确，BD错误.故选：AC
2．（2021·山东潍坊市·高二一模（理））设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是
【答案】
【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数
原不等式可化为，
∴，解得，∴的取值范围是．
【题型二】函数与方程
【典例分析】
【例4】（2021·宁夏中卫市·高三其他模拟）函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由为增函数，为增函数，故为增函数，由，
，根据零点存在性定理可得使得，故选：B.
【例5】（2021·北京高三一模）已知函数有2个零点，且过点，则常数t的一个取值为______．
【答案】（不唯一）．
【解析】由可得或
由可得
因为函数有2个零点，且过点，所以，故答案为：（不唯一）
【提分秘籍】
1.判断函数零点个数的方法
直接法 直接求零点,令f(x)=0,则方程解的个数即为函数零点的个数
定理法 利用零点存在性定理,利用该定理只能确定函数的某些零点是否存在,必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点
数形 结合法 对于给定的函数不能直接求解或画出图象的,常分解转化为两个能画出图象的函数的交点问题
2.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解.
【变式演练】
1．（2021·湖北十堰市高三模拟）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知在上是连续增函数，因为，，所以的零点所在的大致区间是.
故选：B
2．（2021·天津高三二模）设函数，若，则的最小值为______；若恰有2个零点，则实数a的取值范围是__________．
【答案】 或
【解析】当时，，
，，，
所以的最小值为.
设的零点为、，
若，，则，得
若，则，得，
综上:或.故答案为: ；或.
【题型三】函数的实际应用
【典例分析】
1．（2021·北京高三二模）20世纪30年代，里克特制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用地震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为，其中A是被测地震的最大振幅,是标准地震的振幅，2008年5月12日，我国四川汶川发生了地震，速报震级为里氏7.8级，修订后的震级为里氏8.0级，则修订后的震级与速报震级的最大振幅之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，可得，即，，
当时，地震的最大振幅为，当时，地震的最大振幅为，
所以，修订后的震级与速报震级的最大振幅之比是.故选：B.
2．为加强环境保护，治理空气污染，某环保部门对辖区内一工厂产生的废气进行了监测，发现该厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量与时间的关系为.如果在前5个小时消除了的污染物，那么污染物减少需要花的时间为（ ）
A．7小时 B．10小时 C．15小时 D．18小时
【答案】B
【解析】因为前5个小时消除了的污染物，所以，解得，所以，
设污染物减少所用的时间为t，则，
所以，解得，故选：B
3.（2021·山东滕州一中高三模拟）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度（毫克/立方米）与时间（分钟）之间的函数关系为（为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】根据函数的图象，可得函数的图象过点，
代入函数的解析式，可得，解得，所以，
令，可得或，
解得或，
所以如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是.故选：B.
【提分秘籍】
1.构建函数模型解决实际问题的失分点：
(1)不能选择相应变量得到函数模型；
(2)构建的函数模型有误；
(3)忽视函数模型中变量的实际意义.
2.解决新概念信息题的关键：
(1)依据新概念进行分析；
(2)有意识地运用转化思想，将新问题转化为我们所熟知的问题.
【变式演练】（2020·湖北黄冈市·黄冈中学高三模拟）“百日冲刺”是各个学校针对高三学生进行的高考前的激情教育，它能在短时间内最大限度激发一个人的潜能，使成绩在原来的基础上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人满意的成绩，特别对于成绩在中等偏下的学生来讲，其增加分数的空间尤其大．现有某班主任老师根据历年成绩在中等偏下的学生经历“百日冲刺”之后的成绩变化，构造了一个经过时间（单位：天），增加总分数（单位：分）的函数模型：，为增分转化系数，为“百日冲刺”前的最后一次模考总分，且．现有某学生在高考前天的最后一次模考总分为分，依据此模型估计此学生在高考中可能取得的总分约为（ ）（）
A．分 B．分 C．分 D．分
【答案】B
【解析】由题意得：，；
，
该学生在高考中可能取得的总分约为分.故选：B.
1.（2021·江苏金陵中学高三模拟）函数的零点所在的区间为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数为上的增函数，
由，，
可得函数的零点所在的区间为．故选：D.
2.（2021·山东潍坊一中高三模拟）若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数在上有两个不同的零点等价于方程在上有两个不同的解，
即在上有两个不同的解.
此问题等价于与有两个不同的交点.由下图可得.
故选：D.
3．（2021·长沙市·湖南师大附中高三三模）已知函数，则（ ）．
A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称
C．在上单调递增 D．在上单调递减
【答案】A
【解析】的定义域为，
A：因为，
所以函数的图象关于对称，因此本选项正确；
B：由A知，所以的图象不关于点对称，因此本选项不正确；
C：
函数在时，单调递增，
在时，单调递减，因此函数在时单调递增，在时单调递减，故本选项不正确；
D：由C的分析可知本选项不正确，
故选：A
4．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟高三模拟）设函数，则函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，定义域为，且，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A,B,C，故选：D.
5．（2021·新安县第一高级中学高三模拟）被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为bit/s：为信道带宽，单位为：为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；在信道带宽不变的情况下，若要使最大数据传输速率翻一番，则信噪比变为原来的多少倍（ ）
A．2 B．99 C．101 D．9999
【答案】C
【解析】当，时，，
由，得，所以，
所以，即信噪比变为原来的101倍.
故选：.
6．（2021·浙江温州市·瑞安中学高三模拟）已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，，则函数的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由可得关于对称，
由函数是定义在R上的奇函数，
所以，
所以的周期为4，
把函数的零点问题即的解，
即函数和的图像交点问题，
根据的性质可得如图所得图形，结合的图像，
由图像可得共有3个交点，故共有3个零点，故选：B.
7．（2021·珠海市第二中学高三模拟）设是奇函数，若函数图象与函数图象关于直线对称，则的值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以可得或，
所以的定义域为或，
因为是奇函数，定义域关于原点对称，所以，解得，
所以的定义域为，
因为函数图象与函数图象关于直线对称，
所以与互为反函数，
故的值域即为的定义域.故选：.
8．（2021·浙江杭州高级中学高三模拟）已知函数若函数有四个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数有四个不同的零点等价于函数的图象与直线有四个不同的交点.
画出的大致图象，如图所示.
由图可知.不妨设，则，且.
所以，所以，则，
因为，所以，所以，所以，
所以.故选：A
9．（2021·天津南开中学高三模拟）若函数与的图象恰有一个公共点，则实数可能取值为　　
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】BCD
【解析】函数的导数为；
所以过原点的切线的斜率为；则过原点的切线的方程为：；
所以当时，函数与的图象恰有一个公共点；故选BCD
10．（2021·广东佛山市·高三模拟）函数，下列说法正确的是（ ）
A．的定义域为
B．在定义域内单调递増
C．不等式的解集为
D．函数的图象关于直线对称
【答案】AD
【解析】要使函数有意义，则，故A正确；
，令，易知其在上单调递减，所以在上单调递减，故B不正确；
由于在上单调递减，所以对于，有，故C不正确；
令，解得，所以关于直线对称，故D正确.
故选：AD
11．（2021·福建厦门市高三模拟）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（ ）
A．
B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时
C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克
D．注射一次治疗该病的有效时间长度为时
【答案】AD
【解析】由函数图象可知，
当时，，即，解得，
，故正确，
药物刚好起效的时间，当，即，
药物刚好失效的时间，解得，
故药物有效时长为小时，
药物的有效时间不到6个小时，故错误，正确；
注射该药物小时后每毫升血液含药量为微克，故错误，故选：．
12．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）（多选题）已知函数，的图象分别如图1，2所示，方程，，的实根个数分别为a，b，c，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】由图，方程，，此时对应4个解，故；
方程，得或者，此时有2个解，故；
方程，取到4个值，如图所示：
即或或或，则对应的的解，有6个，故.
根据选项，可得A，D成立.故选AD．
13．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）如果函数y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在区间[-1，1]上的最大值是14，则a的值为________.
【答案】3或
【解析】令ax=t，则y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.
当a>1时，因为x∈[-1，1]，所以t∈，又函数y=(t+1)2-2在上单调递增，所以ymax=(a+1)2-2=14，解得a=3(负值舍去).
当014．（2021·北京高三一模）已知函数则________；的值域为_______．
【答案】1
【解析】；
当时，，
当时，，
所以的值域为
故答案为：1；．
15．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知定义域为的函数的部分图像如图所示，且，函数，则实数的取值范围为______．
【答案】
【解析】由题意知，且函数的定义域为，所以是偶函数．
由图知，且函数在上为增函数，
则不等式等价于，即，
所以，解得．
故实数的取值范围为．
故答案为：
16.（2021·湖南长沙市·长沙一中高三其他模拟）设函数，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】作出函数图像如下
互不相等的实数，，满足
不妨设，则关于对称，所以
根据图像可得
所以，所以的取值范围为
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