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专题03 导数与函数的单调性、极值、最值问题
【考情分析】
1.考查特点:(1)高考对导数几何意义的考查,多在选择题、填空题中出现,难度较小,有时出现在解析题第一问;(2)高考重点考查导数的简单应用,即利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题,多在选择题、填空题的后几题中出现,难度中等,有时也出现在解析题的第一问.
2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力,创新能力.
3.学科素养:逻辑推理、数学运算、数据分析.
【题型一】导数的几何意义
【典例分析】
1．（2020·湖北武汉市·华中师大一附中高三模拟）已知函数的图象在点的切线方程为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，则，
由题意可知点在直线上，所以，，
所以，，解得，因此，.故选：A.
2．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知是曲线上的动点，点在直线上运动，则当取最小值时，点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
若使得取值最小值，则曲线在点处的切线与直线平行，
对函数求导得，令，可得，，解得.故选：C.
【提分秘籍】
应用导数的几何意义解题时应注意：
(1)f′(x)与f′(x0)的区别与联系，f′(x0)表示函数f(x)在x＝x0处的导数值，是一个常数；
(2)函数在某点处的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率；
(3)切点既在原函数的图象上也在切线上.
【变式演练】
1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知曲线上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数可能的取值（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】AC
【解析】∵ ，
∴ ，
可令切点的横坐标为，且，
可得切线斜率即，
由题意，可得关于的方程有两个不等的正根，
且可知，
则，即，
解得：，
所以的取值可能为，.故选：AC.
2．（2021·湖北武汉市·汉阳一中高三模拟）曲线在处的切线与曲线相切，则_________．
【答案】1
【解析】因为，所以，则，且切点坐标为，故切线方程为，又，则，设切点坐标为，
则解得，故答案为：
【题型二】利用导数研究函数的单调性
【典例分析】
【例1】（2020·海南中学高三模拟）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，，，.
令，则，
由得；由得；
则函数在上单调递增，在上单调递减，
又，所以，
因此．故选：D．
【例2】（2020·武汉外国语学校高三模拟）定义在上的函数满足：，且当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【解析】因为，
所以，
令，则，所以为奇函数．
又因为当时，，
所以在上单调递减，
即在上单调递减．而不等式
，
所以，所以．故答案为：
【提分秘籍】利用导数研究函数单调性的关键：
(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
(2)单调区间的划分要注意对导数等于零的点的确认；
(3)已知函数单调性求参数范围，要注意导数等于零的情况
【变式演练】
1．（2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则　　
A． B．
C． D．
【答案】CD
【解析】根据题意，令，，则其导数，
又由，且恒有，
则有，
即函数为减函数，又由，则有，
即，分析可得；
又由，则有，
即，分析可得．故选：．
2.（2011·山东青岛市·高三一模）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为
【答案】
【解析】由题可设，，
则，
所以函数在上单调递增，，
将不等式转化为，
可得，即，
有，故得，所以不等式的解集为
【题型三】利用导数研究函数的极值和最值
【典例分析】
1.（安徽省宣城市2021届高三下学期第二次调研数学试题）已知函数的极小值为．
（1）求的值，并求出的单调区间；
（2）若函数在上的极大值不小于，求实数的取值范围．
【解析】（1），当时，恒成立，在上单调递增，无极值，
当时，，解得：，，，的变化如下：
递增 极大值 递减 极小值 递增
，即，解得：；
的递减区间是，，递减区间是；
（2）由（1）知，故，，
当时，恒成立，在上递增，无极值，
当时，，解得：，，，的变化如下：
+
递增 极大值 递减 极小值 递增
，
即，解得：，
又，解得：，，即实数的取值范围是．
2.（2021·重庆南开中学高三模拟）已知A、B两地相距200 km，一只船从A地逆水行驶到B地，水速为8 km/h，船在静水中的速度为v km/h(8【解析】设每小时的燃料费为y1，比例系数为k(k>0)，
则y1＝kv2，当v＝12时，y1＝720，
∴720＝k·122，得k＝5，即y1＝5v2.
设全程燃料费为y，由题意，得y＝y1·，
∴y′＝ ＝.
令y′＝0，得v＝16，
∴当v0≥16时，y在(8,16)上递减，在[16，v0]上递增，
即v＝16 km/h时全程燃料费最省，ymin＝32 000(元)；
当v0<16时，即y在(8，v0]上为减函数，
∴当v＝v0时，ymin＝ (元)．
综上，当v0≥16时，v＝16 km/h时全程燃料费最省，为32 000元；
当v0<16时，v＝v0时全程燃料费最省，为元．
【提分秘籍】
1.利用导数研究函数极值、最值的方法
(1)若求极值,则先求方程f′(x)=0的根,再检查f′(x)在方程根的左右函数值的符号.
(2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f′(x)=0根的大小或存在情况来求解.
(3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
2.已知函数极值点或极值求参数的方法
(1)列式:根据极值点处的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法 求解.
(2)验证:因为导数值等于0并不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.
3.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤
(1)建模：分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x).
(2)求导：求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.
(3)求最值：比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.
(4)结论：回归实际问题作答.
【变式演练】
（2021·山东滕州一中高三模拟）音乐是用声音来表达思想情感的一种艺术，数学家傅里叶证明了所有的器乐和声乐的声音都可用简单正弦函数的和来描述，其中频率最低的称为基音，其余的称为泛音，而泛音的频率都是基音频率的整数倍，当一个发声体振动发声时，发声体是在全段振动的，除了频率最低的外，其余各部分(如二分之一 三分之一…)也在振动，所以我们听到声音的函数是，则声音函数的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】，周期为，
只需要求y在上最大值.
令，
解得：或或，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以y在
时，；
时，y=0
.故选：C.2.（2021·福建省福州第一中学高三模拟）已知函数，.
（1）若在上有极值点，求的取值范围；
（2）若，时，，求的最大值.
【解析】（1），
依题意，有变号零点，令，则，
所以在有实根，注意到，
所以，解得，即.
（2），，
当时，，显然成立；
当时，，所以.
记，
则恒成立，，，在单调递增，，
若，则，记，，则，
所以存在，使得，当时，，单调递减，
所以时，，不符题意，
当时，，即时，单调递增，
所以，，符合题意，
当时，，
由，，所以，
而时，，所以成立，
综上所述，的最大值为3.
1．（2021·山东济宁市·高三一模）已知曲线在点处的切线与曲线在点处的切线相同，则（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】B
【解析】已知曲线在点处的切线方程为，即，
曲线在点处的切线方程为，即，
由题意得，得，，则.又，所以，所以，所以.故选B.
2．（2021·福建莆田市·高三模拟）已知函数，则“”是“有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若“有极值”，则有两个不等的实数根，所以，解得，
当时，令可得，
此时在单调递增，在单调递减，
在单调递增，所以“”可以推出“有极值”，所以“”是“有极值”的充要条件.故选：C
3．（2021·江西高三二模）已知函数，若恰有3个正整数解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意，恰有3个正整数解，转换为的图象与的图象交点问题，
作出和的图象，如图：
要使恰有3个正整数解，则需满足：，解得：，故选B．
4．（2021·钦州市第三中学高三模拟）若函数存在单调递增区间，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：f′（x）ax+，∴f′（x）＞0在x∈上成立，
即ax+0，在x∈上成立，
即a在x∈上成立．
令g（x），则g′（x），
∴g（x），在（0，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
∴g（x）的最小值为g（e）=∴a＞．故选B．
5．（2021·山东枣庄市·滕州市第一中学高三月考）函数的图象大致是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以函数的奇函数，排除答案A 、C ，又当时，，，函数单调递减，故排除答案B，应选答案D．
6．（2021·安徽省涡阳第一中学高三模拟）已知函数满足，当时，，那么函数的零点共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】D
【解析】根据题意，函数满足，则函数是周期为2的周期函数，
设，则函数的零点个数即图象与的交点个数，
由于的最大值为1，所以时，图象没有交点，在上有一个交点，，，，上各有两个交点，如图所示，在上有一个交点，故共有10个交点，即函数零点的个数为10；故选D．
7．（2021·江苏苏州大学附属中学高三模拟）已知函数，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若，则与异号，
如图所示，恒成立
∴问题等价于在与之间转动
根据重要不等式，.
∴，故选：A
8．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知函数，若存在实数，，，当时，满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
作出函数的图象，如图：
由图可知，，
所以，
令，则，
因为，所以，所以在上为单调递减函数，
所以，即，
所以的取值范围是.
故选：B
9．（2021·山东淄博实验中学高三模拟）已知函数，是函数的极值点，以下几个结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】函数,,
∵是函数的极值点，∴，即，
,当时，
,,即A选项正确,B选项不正确;
,
即D正确,C不正确.故答案为:AD.
10．（2021·江苏省南京师大附中高三模拟）已知函数定义域为，部分对应值如表，的导函数的图象如图所示. 下列关于函数的结论正确的有（ ）
A．函数的极大值点有个
B．函数在上是减函数
C．若时，的最大值是，则的最大值为4
D．当时，函数有个零点
【答案】ABD
【解析】由导数的正负性可知，函数的单调递增区间为、，单调递减区间为、，B选项正确；函数有个极大值点，A选项正确；
当时，函数最大值是，而最大值不是，C选项错误；
作出函数的图象如下图所示，由下图可知，当时，函数与函数的图象有四个交点，D选项正确.
故选：ABD.
12．（2021·山东省烟台高三一模）若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】设，则，
故函数在上单调递增，且，
，故，，
而，，故A正确，B错误．
，故，
所以，，
故C正确，D错误．故选：AC.
13．（2021·辽宁省实验中学高三模拟）定义在的函数满足，则的零点是_______．
【答案】
【解析】令，则，
又，所以，
则函数为常函数，又，
所以
令，所以
故答案为：
14．（2021·嘉祥县第一中学高三模拟）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1，高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中空的圆柱形空间，该中空的周柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模其体积的最小值为___________.
【答案】
【解析】设中空圆柱的底面半径为，圆柱的高为，
则，，
中空圆柱的体积．
，可得当时，，当，时，，
则当时，取得最大值为，
又毛坯的体积为，
该模具体积的最小值为．
故答案为：．
15．（2021·重庆高三模拟）已知函数为偶函数，函数，则______；若对恒成立，则的取值范围为______.
【答案】1
【解析】因为为奇函数，为偶函数，
所以为奇函数，
∴，所以，则.
因为对恒成立，
所以对恒成立.
设函数，则，
显然在上单调递增，且，
所以当时，；当时，.
从而可得，
故的取值范围为.
16.（2021·福建省福州第一中学高三模拟）已知函数，.
（1）若在上有极值点，求的取值范围；
（2）若，时，，求的最大值.
【解析】（1），
依题意，有变号零点，令，则，
所以在有实根，注意到，
所以，解得，即.
（2），，
当时，，显然成立；
当时，，所以.
记，
则恒成立，，，在单调递增，，
若，则，记，，则，
所以存在，使得，当时，，单调递减，
所以时，，不符题意，
当时，，即时，单调递增，
所以，，符合题意，
当时，，
由，，所以，
而时，，所以成立，
综上所述，的最大值为3.
17.（北京市海淀区2021届高三一模数学试题）已知函数.
（1）判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（2）求证：函数在内有且只有一个极值点；
（3）求函数在区间上的最小值.
【答案】（1）增函数，理由见解析（2）证明见解析（3）
【解析】（1）因为，所以，
因为，所以，
所以函数在区间上为增函数.
（2）设，则，
当时，，所以在上为减函数，
又，，
所以存在唯一，使得，
即存在唯一，使得，
与在区间内的变化情况如下：
+ 0
增函数 极大值 减函数
所以函数在内有且只有一个极值点.
（3）由（1）（2）知，在内单调递增，在内单调递减，
又因为，，所以当时，，
又因为当时，，
所以，当且仅当时等号成立，
所以在上的最小值为.
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