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专题05 三角函数的图象与性质
【考情分析】
考查特点： 从2020年新高考山东卷及2021全国甲、乙卷来看，对三角函数的图象与性质考查的力度在增强，常与多选题结合，主要考查三角函数的图象和性质，题目灵活多变，难度中等或以下.
2.关键能力:逻辑推理能力、运算求解能力.
3.学科素养:数学抽象、直观想象、数学运算.
【题型一】三角函数的定义、诱导公式及基本关系
【题组练透】
1．（2021·浙江宁波市·镇海中学高三其他模拟）平面直角坐标系中，为第四象限角，角的终边与单位圆交于，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据三角函数的定义可得，，，又，
所以.故选B.
2．（2021·山东潍坊高三一模）已知则（ ）
A．2 B．-2 C． D．3
【答案】A
【解析】
即
，故选A．
3．（2021·山东省实验中学高三模拟）复数是纯虚数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于是纯虚数，所以，
所以.故选：C
4．（2021·北京顺义区·高三二模）已知是任意角，且满足，则常数k的一个取值为__________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】满足，，得，，
当时，.故答案为：（答案不唯一）
【提分秘籍】
1.已知点的坐标,可根据三角函数的定义求解.若是求参数,可以列方程求解;
2.已知条件中的角中含有加减的整数倍时,首先要用诱导公式化简为锐角的三角函数;
3.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用可以实现角α的弦切互化,求解时要注意三角函数在各个象限内的符号;
【题型二】三角函数的图象与解析式
【典例分析】
【典例1】（2021·江西九江市·高三二模（理））将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象，则是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数
C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
【答案】C
【解析】将函数图象上所有点的横坐标都缩短到原来的，可得的图象，
再向左平移个单位，得到函数的图象，
故是周期为的奇函数.故选：C.
【典例2】（2021·福建福州市·高三模拟）已知曲线，则下面结论正确的是（ ）
A．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线
D．把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线
【答案】AC
【解析】由变换到，
若先伸缩后平移，则把上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线.
若先平移后伸缩，则把向左平移个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标变为原来的倍．纵坐标不变，得到曲线.所以正确的选项为AC，故选A
【典例3】【多选】（2021·山东济南外国语学校高三模拟）如图所示，点是函数(，)图象的最高点， 是图象与轴的交点，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题知的纵坐标为，又，所以，，
所以，所以的周期，所以，，故B正确；
所以，故C正确；，故A错误，
将代入函数解析式可得：，()，故D错误.故选：BC.
【提分秘籍】
【变式演练】
1.（2021·山师附中高三模拟）已知函数的部分图象如图所示，若，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【解析】由图象可得函数的最小正周期满足，
所以该函数图象在y轴右侧的第一个对称轴，又，
所以该函数图象在y轴右侧的第二个对称轴，且，
所以函数的最小正周期满足即，
所以，，
所以，所以，
又，所以.故选：C.
2．（2021·山东省实验中学高三模拟）在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边上有点，则要得到函数的图象，需将函数的图象向左至少平移______个单位长度.
【答案】1
【解析】由题意，且在第一象限，
.向左平移1个单位可得的图象．故答案为：1．
【题型三】三角函数的性质及应用
【典例分析】
【典例4】（2021·山东临沂市·高三其他模拟）已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于点对称
D．函数在上单调递增
【答案】AB
【解析】对于A，的最小正周期为，所以A正确；
对于B，因为，所以直线为的一条对称轴，所以B正确；
对于C，因为，所以点不是的图象的对称点，所以C错误；
对于D，由，得，所以在上不是单调递增，所以D错误.故选：AB
【例5】已知x1＝，x2＝是函数相邻的两个零点，则φ＝_ _；若函数在上的最大值为1，则m的取值范围是__.
【答案】 （﹣，]
【解析】设函数f（x）的最小正周期为T，由题意可得，则T＝π，
所以＝π，所以ω＝2，则f（x）＝sin（2x+φ），
由题意知2×+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝kπ﹣，k∈Z，
又0＜φ＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin（2x+），
因为函数g（x）在[﹣，m]上的最大值为1，且当x∈[﹣，m]上的最大值为1，
当x∈[﹣，m]时，﹣≤2x+≤2m+，所以﹣＜2m+≤，
所以﹣＜m≤.
【提分秘籍】
三角函数的单调性、对称性、周期性及最值的求法
(1)三角函数单调性的求法:求形如y=Asin(ωx+)(或y=Acos(ωx+))(A,ω,为常数,A≠0,ω>0)的单调区间的一般思路:令ωx+=z,则y=Asin z(或y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得.
（2）对于可化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)(或y=Acos(ωx+))形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)（或ωx＋φ＝kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)（或ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)），求x即可.
(3)三角函数周期性的求法:函数y=Asin(ωx+)(或y=Acos(ωx+))的最小正周期T=.应特别注意y=|Asin(ωx+)|的最小正周期为T=.
(4)三角函数最值的求法:在求最值时,一般要先确定函数的定义域,然后结合三角函数的性质可得函数的最值.
【变式演练】
1.已知函数的图象关于直线对称，则下面不是的零点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，
所以
代入选项验证可知.都是函数的零点，不是函数的零点，故选C.
2.（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）关于函数有如下四个命题，其中正确的命题有（ ）
A．的图象关于轴对称
B．的图象关于原点对称
C．的图象关于直线对称
D．的值域为
【答案】AD
【解析】由题意知的定义域为，且关于原点对称.又，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，
所以A正确，B错误.
因为，，所以，
所以函数的图象不关于直线对称，C错误.
当时，，当且仅当 ，
即时取等号，所以，
当时，，当且仅当，即时取等号，
所以 ，所以的值域为，所以D正确.故选AD
一、单选题
1．（2021·山东日照市·高三模拟）已知点是角终边上一点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，，
=+=××，故选：A．
2．（2021·云南昆明市·昆明一中高三模拟）中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.按如下方法剪裁，扇面形状较为美观.从半径为的圆面中剪下扇形，使剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，再从扇形中剪下扇环形制作扇面，使扇环形的面积与扇形的面积比值为.则一个按上述方法制作的扇环形装饰品（如图）的面积与圆面积的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】记扇形的圆心角为，扇形的面积为，扇环形的面积为，圆的面积为，
由题意可得，，，，所以，
因为剪下扇形后所剩扇形的弧长与圆周长的比值为，所以，则，
所以.故选D.
3．（2021·湖南高三模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以.故选A.
4．（2021·山东青州实验·高三二模）的最小值为（　　）
A．18 B．16 C．8 D．6
【答案】B
【解析】
，故选B．
5．（2021·浙江省宁海中学高三模拟）将函数的图象向左平移个单位得到的图象，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
因此，.故选D.
6．（2021·山东泰安市·高三一模）已知函数(ω>0)，若f(x)在上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，且ω>0，所以，又f(x)在上恰有两个零点，所以且，解之得.故选：A.
7．（2021·河南新乡市·高三三模（文））已知函数的定义域是，值域为，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数的定义域是，
∴，
又值域为，
∴，
根据正弦函数性质及，
∴，
∴，
∴的最大值是，故选B
8．（2021·北京高三一模）如图的曲线就像横放的一个葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），它经过点和Q，其对应的方程为，若记为不超过的最大整数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若，则，
令，得，故A错；
若，则，
令，得；
令，得，故B错；
若，则，
令，得，C错误；
若，则，
令，得；
令，得，则或，满足题意.
故选：D
二、多选题
9．下列在(0,2π)上的区间能使cos x＞sin x成立的是（ ）
A． B． C． D．∪
【答案】AC
【解析】在同一平面直角坐标系中画出正、余弦函数的图象，
在(0,2π)上，当时，或，
结合图象可知，在(0,2π)上的区间能使成立的是和.
故选：AC
10．（2021·湖南长沙市·雅礼中学高三月考）已知三角函数，以下对该函数的说法正确的是（ ）
A．该函数周期为 B．该函数在上单调递增
C．为其一条对称轴 D．将该函数向右平移个单位得到一个奇函数
【答案】AD
【解析】中，，周期，A正确；
因，而，原函数在上不单调，B错误；
又，不是的对称轴，C错误；
把向右平移个单位得，所得函数是奇函数，D正确；
故选：AD
11．（2021·山东日照市·高三月考）若函数（，）的部分图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
A．是函数图像的一个对称中心
B．两数的图像关于直线对称
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图像可由的图像向左平移个单位得到
【答案】AD
【解析】由函数的图象，可得，即，
又由，根据五点对应法，可得，
解得，因为，所以，所以，
当时，可得，所以是的一个对称中心，所以A正确；
当时，可得，所以不是函数的对称轴，所以B不正确；
由，可得，此时函数先增后减，
即函数在区间先增后减，所以C不正确；
由的图像向左平移个单位，可得，
所以D正确.故选：AD.
12．（2021·天津市耀华中学高三模拟）关于函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的最大值为2
B．的最小正周期为
C．的图象关于直线对称
D．在上单调递增
【答案】CD
【解析】因为
所以是的一个周期，故B错误
当时，，所以当时，，故A错误
因为
所以的图象关于直线对称，故C正确
当时，，
因为，所以在上单调递增，故D正确
故选：CD
三、填空题
13．（2021·江苏盐城市·盐城中学高三模拟）已知函数，若对任意都有，则常数的一个取值为__.
【答案】（答案不唯一，只要是即可）
【解析】由于对任意恒成立，，
所以，故利用诱导公式得都可满足条件.
故答案为：（答案不唯一，只要是即可）
14．（2021·山东省青岛二中高三模拟）据市场调查，某种商品一年内的销售量按月呈的模型波动（为月份），已知3月份达到最高量9000，然后逐步降低，9月份达到最低销售量5000，则7月份的销售量为_______．
【答案】6000
【解析】依题意，解得.
，
当时，，由于，所以，
则，.
15．（2021·福建漳州市·高三二模）已知，函数的图象向右平移个单位得到的图象，若函数与函数的极值点完全相同，则___________，的最小值为___________.
【答案】3
【解析】由题意，，又与极值点完全相同，
∴与周期相同，有，且令，，则，得
∴最小.
16．（2021·河北邯郸市·高三二模）当时，函数的最大值为______．
【答案】-4
【解析】由题意得
所以，
当时，，
设
所以，
所以当时，函数取最大值.
所以的最大值为-4．故答案为：
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