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专题07 等差数列与等比数列
【考情分析】
【题型一】等差、等比数列基本运算
【题组练透】
1.（山东省淄博市2021届高三二模数学试题）已知为等比数列，为其前项和，若，则公比（ ）．
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为，所以，
即，
因为，所以，
即，
因为，所以2.故选：D
2．我国明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题：今有钞二百三十八贯，令五等人从上作互和减半分之，只云戊不及甲三十三贯六百文，问：各该钞若干？其意思是：现有钱238贯，采用等差数列的方法依次分给甲 乙 丙 丁 戊五个人，现在只知道戊所得钱比甲少33贯600文(1贯=1000文)，问各人各得钱多少？在这个问题中，戊所得钱数为（ ）
A．30.8贯 B．39.2贯 C．47.6贯 D．64.4贯
【答案】A
【继续】依次记甲 乙 丙 丁 戊五个人所得钱数为a1，a2，a3，a4，a5，
由数列{an}为等差数列，可记公差为d，依题意得：
，
解得a1=64.4，d=﹣8.4，所以a5=64.4﹣33.6=30.8，
即戊所得钱数为30.8贯.故选：A.
3．（2021·武汉市第一中学高三二模）等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a1＞0，S10＝S20，则（　　）
A．d＜0 B．a16＜0
C．Sn≤S15 D．当且仅当Sn＜0时n≥32
【答案】ABC
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵S10＝S20，
∴10a1+45d＝20a1+190d，
∴2a1+29d＝0，
∵a1＞0，∴d＜0，故A正确；
∴a1+14d+a1+15d＝0，即a15+a16＝0，
∵d＜0，∴a15＞a16，
∴a15＞0，a16＜0，故B正确；
∴Sn≤S15，故C正确；
又，，
∴当且仅当Sn＜0时，n≥31，故D错误.故选：ABC．
4．（2021·湖南长沙市·高三其他模拟）已知等比数列中，，，则满足成立的最大正整数的值为______．
【答案】3
【解析】已知为等比数列，设其公比为，由得，，，解得，又．∴．
因为，所以数列也是等比数列，其首项为，公比为．
∴，从而有．
∴．故．故答案为：3.
【提分秘籍】
1.在等差(比)数列中,a1,d(q),n,an,Sn五个量中知道其中任意三个,就可以求出其他两个.解这类问题时,一般是转化为首项a1和公差d(公比q)这两个基本量的有关运算.
2.对于等比数列的前n项和公式,应按照公比q与1的关系分类讨论,一般地,若涉及n较小的等比数列前n项和问题,为防止遗忘分类讨论,可直接利用通项公式写出,而不必使用前n项和公式.
【题型二】等差、等比数列的性质
【题组练透】
1．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（文））等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．10 B．5 C．8 D．4
【答案】B
【分析】
应用等比数列等比中项的性质可得，运用对数的运算性质可得原式为，代入可计算结果.
【详解】
解：因为，且，则有
.
故选：B.
2．（2021·山东青岛市·高三三模）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：，已知是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．45 C．75 D．150
【答案】C
【分析】
先由行列式的定义化简，再根据等差数列的前项和公式求和即可.
【详解】
由行列式的定义有，即，
所以.
故选：C.
3．（2021·广东潮州市·高三二模）已知数列满足，下列命题正确的有（ ）
A．当时，数列为递减数列
B．当时，数列一定有最大项
C．当时，数列为递减数列
D．当为正整数时，数列必有两项相等的最大项
【答案】BCD
【分析】
分别代入和计算判断AB选项；再利用放缩法计算判断C选项；设，则，所以化简得，可知数列为常数数列，可判断D；
【详解】
当时，，知A错误；
当时，，当，，，，
所以可判断一定有最大项，B正确；
当时，，所以数列为递减数列，C正确；
当为正整数时，其值不妨取为，则，所以，
可知数列为常数数列，D正确；
故选：BCD.
4.已知数列{an}为等差数列，若a2＋a8＝，则tan(a3＋a7)的值为
A． B．－ C． D．－
【答案】－
【解析】∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a7＝a2＋a8＝．
∴tan(a3＋a7)＝tan＝－
【提分秘籍】
1.利用等差(等比)数列的性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系,从这些特点入手选择恰当的性质进行求解.
2.活用函数的性质:数列是一种特殊的函数,具有函数的一些性质,如单调性、周期性等,可利用函数的这些性质解题.
【题型三】等差、等比数列的判断与证明
【典例分析】
【典例】若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.
(1)求证：成等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)证明　当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，
得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，所以－＝2，
又＝＝2，
故是首项为2，公差为2的等差数列.
(2)　由(1)可得＝2n，∴Sn＝.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.
当n＝1时，a1＝不适合上式.
故an＝
【变式探究1】本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.
【解析】因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，
所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2).
所以－＝2(n≥2).
又＝＝2，
所以是以2为首项，2为公差的等差数列.
所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.
所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，
所以an＋1＝，又an＋1－an＝－
＝＝.
所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列.
【变式探究2】本例中，若将条件变为a1＝，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，试求数列{an}的通项公式.
【解析】由已知可得＝＋1，即－＝1，
又a1＝，
∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，
∴＝＋(n－1)·1＝n－，∴an＝n2－n.
【提分秘籍】
1.常见的判定等差数列的方法
(1)定义法:对于数列{an},若an+1-an=d(n∈N*)(d为常数),则数列{an}是等差数列;
(2)等差中项法:对于数列{an},若2an+1=an+an+2(n∈N*),则数列{an}是等差数列.
2.常见的判定等比数列的方法
(1)定义法:若=q(q≠0,n∈N*)或=q(q≠0,n≥2,n∈N*),则数列{an}是等比数列;
(2)等比中项法:若数列{an}中,an≠0且=an·an-2(n≥3,n∈N*),则数列{an} 是等比数列.
注意:如果要证明一个数列是等差(等比)数列,则必须用定义法或等差(等比)中项法.判断时易忽视定义中从第2项起,以后每项与前一项的差(比)是同一常数,即易忽视验证a2-a1=d(=q)这一关键条件
【变式演练】
1. (2021·广东省级名校联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.
(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
(1)证明　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
所以Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，
则Sn＝2Sn－1－n＋4(n≥2)，
所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2](n≥2)，
又由题意知a1－2a1＝－3，
所以a1＝3，则S1－1＋2＝4，
所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2等比数列.
(2)　由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，
所以Sn＝2n＋1＋n－2，
于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n
＝＋－2n＝.
1．（2021·山西阳泉市·高三三模（文））在正项等比数列中，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用广义通项公式计算，可得，即可得到答案；
【详解】
，
，
故选：C.
2．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）设是某个等差数列的前n项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由题设易得且，利用等差数列前n项和公式，由求d，即可求.
【详解】
由题意知：即，且，
∴，故，
∴.
故选：A
3．（2021·济南市·山东省实验中学高三二模）已知等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则该数列的中间项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题可设等差数列共有项，然后通过即可得出结果.
【详解】
设等差数列共有项，
则，，中间项为，
故
，
，
故选：B.
4．（2021·安徽马鞍山市·高三三模（文））在天然气和煤气还未普及时，农民通常会用水稻秸秆作为生火做饭的材料．每年水稻收割结束之后，农民们都会把水稻秸秆收集起来，然后堆成如图的草堆，供生火做饭使用．通常他们堆草堆的时候都是先把秸秆先捆成一捆一捆的，然后堆成下面近似成一个圆柱体，上面近似成一个圆锥体的形状．假设圆柱体堆了7层，每层所用的小捆草数量相同，上面收小时，每层小捆草数量是下一层的倍．若共用255捆，最上一层只有一捆，则草堆自上往下共有几层（ ）
A．13 B．12 C．11 D．10
【答案】B
【分析】
由题可知，上面的圆锥每层的数量是以为首项，为公比的等比数列；设草堆自上往下共有层，则圆锥有层，依题意列关系式.
【详解】
设草堆自上往下共有层，则圆锥有层，
由题可知，上面的圆锥每层的数量是以为首项，为公比的等比数列，
则，
，
解得：
草堆自上往下共有层.
故选：B.
【点睛】
知识点点睛：等比数列前项和.
5．（2021·全国高三其他模拟）已知数列满足，，若，当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将已知递推关系式变形可得，由此可知数列为等差数列，由等差数列通项公式可取得，进而得到；由可上下相消求得，结合解不等式可求得的最小值.
【详解】
由得：，
，
，即，
数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
由得：，又，且，
的最小值为.
故选：C.
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列中的不等式的求解问题，解题关键是能够根据已知的递推关系式，构造出全新的等差数列，利用等差数列通项公式求得通项后，即可确定.
6．（2021·四川内江市·高三一模（理））若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用等比数列的定义可推导出“梦想数列”是公比为的等比数列，进而结合题意可知数列是公比为的等比数列，由此可得，即可得解.
【详解】
由题意可知，若数列为“梦想数列”，则，可得，
所以，“梦想数列”是公比为的等比数列，
若正项数列为“梦想数列”，则，所以，，
即正项数列是公比为的等比数列，
因为，因此，.
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查数列的新定义“梦想数列”，解题的关键就是紧扣新定义，本题中，“梦想数列”就是公比为的等比数列，解题要将这种定义应用到数列中，推导出数列为等比数列，然后利用等比数列基本量法求解.
7．（2021·全国高三其他模拟）已知为等差数列的前项和，且，，则（ ）
A． B．
C． D．满足的的最小值为17
【答案】AD
【分析】
先由等差数列的性质及求得，结合及等差数列的性质即可判断选项A；由选项A得到数列的公差，进而得到等差数列的通项公式，然后求出，的值，结合的增减性即可判断选项B，C；由等差数列的性质及，易得到，的值，结合的增减性即可判断选项D．
【详解】
因为，所以.
又，所以，A选项正确；
设等差数列的公差为，由，解得，
所以.
，.
所以，B选项不正确；
由知数列为递减数列，又，.
所以为的最大值，C选项不正确；
因为，.
所以满足的的最小值为17，D选项正确.
故选AD．
【点睛】
结论点睛：在处理等差数列及其前n项和问题时，通常会用到如下的一些性质结论；
1.通项性质：
若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则有am＋an＝ap＋aq＝2ak.
2.前n项和的性质：
(1) Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差数列
(2) S2n－1＝(2n－1)an.
8．（2021·全国（文））《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（ ）
A．甲得钱是戊得钱的倍 B．乙得钱比丁得钱多钱
C．甲、丙得钱的和是乙得钱的倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱
【答案】AC
【分析】
由等差数列的性质，可设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，结合已知求，，即可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱，进而判断选项的正误.
【详解】
依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，，，，且，即，又，
∴，，即，，，，
∴甲得钱，乙得钱，丙得钱，丁得钱，戊得钱，则有如下结论：
甲得钱是戊得钱的倍，故A正确；
乙得钱比丁得钱多钱，故B错误；
甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，故C正确；
丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，故D错误．
故选：AC．
9．（2021·全国高二专题练习）数列为等比数列，公比q>1，其前n项和为Sn，若a5﹣a1=15，，则下列说法正确的是（ ）
A．Sn+1=2Sn+1
B．an=2n
C．数列{log3(Sn+1)}是等比数列
D．对任意的正整数k(k为常数)，数列{log2(Sn+k﹣Sn)}是公差为1的等差数列
【答案】AD
【分析】
根据条件可求出，，然后逐一判断即可.
【详解】
因为公比为q>1，由
可得，即，
所以4q4﹣15q2﹣4=0，
解得q2=4，
所以，所以，，
所以，Sn+1=2n，
所以log3(Sn+1)=nlog32，
所以数列{log3(Sn+1)}是等差数列，对任意的正整数n，k，Sn+k﹣Sn=2n+k﹣2n=(2k﹣1)2n，
所以log2(Sn+k﹣Sn)=n+log2(2k﹣1)，
所以数列{log2(Sn+k﹣Sn)}是公差为1的等差数列，
故选：AD
10．（2021·济南市历城第二中学高二开学考试）设等差数列的前项和为，若，则数列公差为___________.
【答案】4
【分析】
由等差数列性质可知，，从而得到结果.
【详解】
由等差数列性质可知，
又，
∴,
解得，
故答案为：4
11．（2021·河南高三月考（理））已知数列，，等比数列中，，，若数列中去掉与数列相同的项后余下的项按原顺序组成数列，则前200项的和为___________.
【答案】42962
【分析】
根据等差数列的定义，结合等比数列的通项公式、等差数列和等比数列的前项和公式进行求解即可.
【详解】
∵，∴为等差数列，又，∴，
∴，，则等比数列的公比为，
∴.∵，，，，，，
，，，.
∴
.
故答案为：42962
12．（2021·广东汕头市·高三三模）已知数列满足，则__________，若对任意的，恒成立，则的取值范围为_____________.
【答案】
【分析】
由可求得的值，令由可得出，两式作差可得出数列的通项公式，可得出的值，然后分为奇数和偶数两种情况讨论，分析数列的单调性，由此可求得实数的取值范围.
【详解】
当时，；
当时，，
可得，
上述两式作差可得，即，
不满足，所以，，则.
当时，，即，
所以，数列从第二项开始为递增数列，
对任意的，恒成立.
①若为正奇数，则，，则，可得；
②若为正偶数，则，可得.
综上所述，.
故答案为：；.
【点睛】
思路点睛：已知数列的前项和，求通项公式的步骤：
（1）当时，；
（2）当时，根据可得出，化简得出；
（3）如果满足当时的通项公式，那么数列的通项公式为；如果不满足当时的通项公式，那么数列的通项公式要分段表示为.
13．（2021·山东临沂市·高三二模）已知正项数列的前项和为，数列为等比数列，满足，且，．
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若从数列中去掉数列的项后余下的项按原来的顺序组成数列，求．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）由递推公式，将换成，与原式作差，化简，求出，结合等差数列的定义可证明.
（2）先求出的通项公式，求出数列的前100项中，与重合的项，然后再求和即可.
【详解】
（1）证明：∵，
∴当时，，所以，
∴，又，所以．
当时，，即，
又，∴，适合上式，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列．
（2）由（1）可知，设的公比为，
又，，∴，∴，
∴．
∴，，，，，
，，，．
∴
．
【点睛】
关键点睛：本题考查利用递推关系证明数列为等差数列，数列求和问题，解答本题的关键是应用时，注意的范围，以及求和时根据条件，属于中档题.
14．（2021·山东枣庄市·高三二模）已知数列中，，且.记，求证：
（1）是等比数列；
（2）的前项和满足：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）将变形为，并计算的值，由此根据定义可证明是等比数列；
（2）先根据等比数列的前项和公式求解出，然后根据并采用裂项相消的方法求解出的前项和，最后分析的前项和并完成证明.
【详解】
（1）证明：由，得，
又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）知，.
于是.
.
因为，所以.
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