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专题10 空间位置关系的判断与证明
【考情分析】
1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题、解答题第一问的形式考查,难度为中档,主要考查空间中的点、线、面之间的位置关系,重点考查线、面平行与垂直的特殊位置关系的判定与性质,也常与充分必要条件相结合命题.
2.关键能力:空间想象能力、逻辑思维能力.
3.学科素养:直观想象、逻辑推理.
【题型一】空间点、线、面的位置关系
【题组练透】
1．（2021·山东省实验中学高三模拟）若l，m为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由且能推出，充分性成立；若且，则或者，必要性不成立，因此“”是“”的充分不必要条件.故选：A.
2．（2021·江苏金陵中学高三模拟）已知m，n是两条不同直线，、、是三个不同平面.下列命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
【答案】D
【解析】A、若，，则，平行，相交或异面，故错误；
B、若，，则，平行或相交，故错误；
C、若，，则，平行或相交，故错误；
D、若，，由线面垂直的性质定理得，故正确．故选：D．
3．【多选】（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E为A1B1的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．DE与CC1为异面直线
B．DE与平面BCC1B1所成角的正切值为
C．过D C E三点的平面截正方体所得两部分的体积相等
D．线段DE在底面ABCD的射影长为
【答案】ABC
【解析】由图可知：DE与CC1为异面直线，∴ A正确；
因为平面平面，所以与平面所成角即与平面所成角，连接A1D，显然，是与平面所成角. 在直角三角形EA1D中： ，∴ B正确；
过D C E三点的平面截正方体所得两部分的体积关系即为平面A1B1CD截正方体所得两部分的体积关系，由正方体的对称性可知截得两部分几何体的体积相等，∴ C正确；
取AB中点F，连接EF DF，∵EFB1B且B1B⊥底面ABCD，∴EF⊥底面ABCD，∴DF的长为线段DE在底面ABCD的射影长，在直角三角形DFE中：
EF=1，DE=，∴DF=，∴ D错.故选：ABC.
4．（2021北京人大附中高三模拟）如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足条件①BM⊥DM,②DM⊥PC,③BM⊥PC中的　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件序号即可)
【答案】②(或③)
【解析】连接AC(图略),因为PA⊥底面ABCD,所以PA⊥BD,因为底面各边都相等,所以AC⊥BD,
又PA∩AC=A,所以BD⊥平面PAC,所以BD⊥PC,所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC 平面PCD,所以平面MBD⊥平面PCD.
【提分秘籍】
高考中判断空间线面位置关系的注意点：
(1)对于空间线面位置关系的判断，常用的方法有：①根据定理逐项判断，可以举反例，也可以证明，要结合题目灵活选择；②必要时可以借助空间几何体模型，如借助长方体、正四面体中的线面位置关系来判断.
(2)求角时，一般先利用平行关系找到这个角，然后把这个角放到三角形中去求解.
【题型二】空间平行、垂直关系的证明
【典例分析】
【例1】（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知四棱锥的底面为平行四边形，平面平面，点在上，平面．
（1）求证：平面；
（2）若，在线段上是否存在一点，使得平面，请说明理由．
【解析】平面，平面，
，
四棱锥的底面为平行四边形，
，
，
平面平面，且平面平面，平面，
平面．
（2）解：存在，为上靠近的三等分点，
取上靠近的三等分点为，取上靠近的三等分点为，连接、、；
、分别为、上的三等分点，
且，
，且四棱锥的底面为平行四边形，
且，
四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
【提分秘籍】
1.证明线面平行问题的一般思路:(1)作(找)出所证线面平行中的平面内的一条直线;(2)证明线线平行;(3)根据线面平行的判定定理证明线面平行.
2.判定面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的判定定理;(2)利用垂直于同一条直线的两平面平行;(3)利用平面平行的传递性,即两个平面同时平行于第三个平面,则这两个平面平行.
3.判定线面垂直的四种方法:(1)利用线面垂直的判定定理;(2)利用“两平行线中的一条与已知平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”;(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个,则与另一个也垂直”;(4)利用面面垂直的性质定理.
4.证明面面垂直问题的两种思路:(1)用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线;
(2)用面面垂直的定义,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,把证明面面垂直的问题转化为证明二面角的平面角为直角的问题.
【变式演练】
1.（2021 河南郑州一中高三模拟）如图，在五面体中，四边形是正方形，，，．
（1）求证：平面平面；
（2）设是的中点，棱上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，说明理由．
【解析】（1）证明：四边形是正方形，．
又，，
平面，面，
平面平面．
（2）存在．
，面，面，并且面面，．
取中点，中点，取中点，中点，连，，，
可得，且，故四边形为平行四边形，．
又为中点，在中，，
，，
面面，
在棱上，故当且仅当与重合时，面，
．
【题型三】翻折问题
【典例分析】
【典例2】（安徽省安庆市2021届二模）如图是矩形和以边为直径的半圆组成的平面图形，．将此图形沿折叠，使平面垂直于半圆所在的平面．若点E是折后图形中半圆O上异于A，B的点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若异面直线和所成的角为，求三棱锥的体积．
【解析】（Ⅰ）∵面圆O，面圆O ，平面，，
∴圆O，又圆O，
∴，又是直角，即，而，
∴面，又面，
∴．
（Ⅱ） 在矩形中，，直线和所成的角为，
∴直线和所成的角为，即．
过E作于F，则面．
又，，易得，即有，
∴，由．
∴三棱锥的体积是．
【提分秘籍】
平面图形折叠问题的解题策略
(1)解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,折线同一侧的线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.
(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.
【变式演练】
1.（2021届青海省西宁市一模）如图，已知圆O的直径AB长为2，上半圆圆弧上有一点C，，点P是弧AC上的动点，点D是下半圆弧的中点，现以AB为折线，将上 下半圆所在的平面折成直二面角，连接，，.
（1）当平面PCD时，求的长；
（2）求三棱锥的最大体积
【解析】（1）因为平面，平面，平面平面，
所以由线面平行的性质定理得.
又，可得.
而，所以为正三角形，所以.
（2）因为二面角为直二面角，且，所以平面，
而，
则，
所以当时，三棱锥体积最大，最大值为.
2．（四川省宜宾市2021届二模）已知四边形是直角梯形，，，，，，分别为，的中点(如图1)，以为折痕把折起，使点到达点的位置且平面平面(如图2).
（1）求证：；
（2）求点到平面的距离.
【解析】（1）证明：连结，因为，为的中点，所以，
因为四边形是直角梯形，，所以是矩形，所以，
又，，所以，所以四边形是正方形，
是等腰直角三角形，又为的中点，所以，又，
所以与都是等腰直角三角形，所以，
所以，因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以；
（2）设的中点为，连结，
因为平面平面，
所以点到的距离，又，
所以，
由（1）可知，，所以，
设点到平面的距离为，
由等体积法可得，，所以，解得，
所以点到平面的距离为.
1．（2021·山东滕州一中高三模拟）如图，在斜三棱柱中，，且，过作底面，垂足为，则点在.
A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部
【答案】B
【解析】连接，如图.
∵，∴，
∵，，
∴平面.
又在平面内，∴根据面面垂直的判定定理，知平面平面，
则根据面面垂直的性质定理知，在平面内一点向平面作垂线，垂足必落在交线上.故选B.
2.（内蒙古赤峰市2021届二模）在棱长为1的正方体中，E为棱的中点，过B，E，的截面与棱交于F，则截面分别在平面和平面上的正投影的面积之和（ ）
A．有最小值1 B．有最大值2 C．为定值2 D．为定值1
【答案】D
【解析】因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，同理，
所以截面是平行四边形，所以，所以，从而，
截面在平面上的正投影是以为底，高为1的平行四边形，在平面上的正投影是以为底，高为1的平行四边形，
因此两个投影的面积和为为定值．故选：D．
3.（2021·河北衡水中学高三模拟）在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则动点的轨迹是　　
A．线段 B．线段 C．线段 D．平面
【答案】
【解析】如图，连接，，，
在正方体中，由正方体的结构特征，
可得：，，又，
面，
又点在侧面及其边界上运动，
根据平面的基本性质得：
点的轨迹为面与面的交线段．
故选：．
4．（山西省2021届二模）如图所示，在三棱锥中，且，，，则下列命题不正确的是（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面平面 D．平面平面
【答案】C
【解析】，，
在中，，
，
又且,
平面,
又平面，平面
平面平面，平面平面，
故AB正确；
在中，，
，
，
平面,
又平面,
平面平面，故D正确；
对于C选项，若假设平面平面，则过作于，如图
由平面平面,
平面，可得，又，,
平面，,
这与中矛盾，故假设不正确，故C选项错误.故选：C
5．（2021·辽宁东北育才中学高三模拟）如图，在长方体中，，，若面对角线上存在一点，使得取得最小值，则此最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将长方体对角面绕旋转至与平面在同一平面内，如下图所示：
则当三点共线时，取得最小值，
又，，，，，
在中，由余弦定理得：，
，即的最小值为.故选：D.
6．（江西省鹰潭市2021届高三高考一模）如图1，直线将矩形分为两个直角梯形和，将梯形沿边翻折，如图2，在翻折过程中（平面和平面不重合），下列说法正确的是（ ）
A．在翻折过程中，恒有直线平面 B．存在某一位置，使得平面
C．存在某一位置，使得 D．存在某一位置，使得平面
【答案】A
【解析】对于，由题意得：，，
∵，，∴平面平面，
∵平面，∴在翻折过程中，恒有直线平面，故A正确；
对于B，∵直线将矩形分为两个直角梯形和，
∴与相交，
∴不存在某一位置，使得平面，故B错误；
对于C，∵平面平面，平面，，所以直线与平面相交；∴不存在某一位置，使得，故C错误；
对于D，∵四边形是梯形，，
∴与不垂直，
∴不存在某一位置，使得平面，故D错误．故选：A．
7．（2021·山东潍坊一中高三模拟）已知，是两个平面，，是两个条件，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，，那么 B．如果，，，那么
C．如果，，那么 D．如果，且，那么
【答案】AC
【解析】对于A，若，，则,故A正确;
对于B，若，，，则或相交，故B错误;
对于C，若，，则，故C正确；
对于D，若，且，则平行、相交或异面，故D错误.故选：AC.
8.（2021·深圳中学高三模拟）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】由正方体的平面展开图还原正方体如图，
由图形可知，
，故A错误；
由，四边形为平行四边形，所以，故B正确；
因为,,所以平面,所以，故C正确；
因为，而,所以，故D正确.故选：BCD
9.（2021·山东曲阜师范大学附属中学高三模拟）如图，为圆O的直径，点C在圆周上（异于点A，B），直线垂直于圆O所在的平面，点M是线段的中点，下列命题正确的是（ ）
A．平面； B．平面；
C．平面 D．平面平面
【答案】AD
【解析】因为为圆O的直径，M是线段的中点，
所以；又平面，平面，所以平面；即A正确；
又平面，即平面，故B错；
因为点C在圆O的圆周上，所以，故不与垂直，所以不可能与平面垂直，即C错；
由直线垂直于圆O所在的平面，所以；
又，，平面、平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，即D正确.故选：AD.
10（2021·福建三明市·三明一中高三模拟）如图，在直四棱柱中，当底面四边形满足条件______时，有（注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况）.
【答案】
【解析】连接，
由直四棱柱可得平面，
因为平面，故，
当时，因为，故平面，
而平面，故.故答案为：.
11.（2021·浙江镇海中学高三模拟）是所在平面外一点，过作平面，垂足是，连接、、.
（1）若，则为的__________心；
（2），，，则是的__________心.
【答案】外 垂
【解析】（1）如下图所示：
平面，、、平面，，，，
，则、、均为直角三角形且全等，
所以，，因此，为的外心；
（2）如下图所示：
，，，平面，
平面，，
平面，平面，，
，平面，
平面，，同理可证，
所以为三条边上高线的交点，即为垂心．故答案为：外；垂.
12.（2021·广东珠海市·高三模拟）正方体的棱长为2，点为平面内的动点，，则长度的最小值为___________.
【答案】
【解析】在正方体中，连接B1D1交A1C1于点O，则B1D1⊥A1C1，而AA1⊥平面A1B1C1D1，即B1D1⊥AA1，如图：
从而有B1O⊥平面A1B1C1D1，连OE，Rt△B1OE中，，而，则，
所以点E在平面ACC1A1内的以O为圆心，为半径的矩形ACC1A1内的半圆上，
而点A及半圆弧在半圆O的直径A1C1同侧，且点A在半圆弧外，则有.
故答案为：
13.（宁夏银川市第二中学2021届一模）如图，矩形中，，E为的中点，把沿翻折，使得平面平面．
（1）求证：；
（2）在上确定一点F，使平面；
（3）求四棱锥的体积．
【解析】（1）证明：∵平面平面，平面平面
又由已知可得，，∴，则平面
∵平面，∴，故；
（2）连接交于G，则，在线段上取的三等分点F（靠近C），
连接，则，可得
而平面平面，则平面；
（3）取中点O，连接，则
又平面平面，且平面平面
∴平面，在中，可得
∵F为的三等分点F（靠近C），∴F到平面的距离为．
可得四棱锥的体积为．
14．（安徽省蚌埠市2021届三模）已知平面四边形中，，，现将沿折起，使得点移至点的位置(如图)，且.
（1）求证：；
（2）若为的中点，求点到平面的距离.
【解析】（1）证明：由题意知，，即，
∵，，，
∴，则，
∴，又，
∴平面，又平面，
∴；
（2）由为的中点，即，又，
在中，，得，
在中，，，易得，，
∴，
设点到平面的距离为，则由等体积法有，
故，即，解得，
故点到平面的距离为.
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