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专题12 概率、随机变量及其分布列
【考情分析】
1.考查特点:对古典概型的考查多以选择或填空题的形式命题,中低档难度;概率模型多考查条件概率、n重伯努利试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件等;对离散型随机变量的分布列及期望的考查是重点中的“热点”,多在解析题的前三题的位置呈现,常考查独立事件的概率及二项分布的期望等.
2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力、数学建模能力.
3.学科素养:数学抽象、数学建模、数学运算.
【题型一】相互独立事件、古典概型
【典例分析】
【例1】（2021·山东省实验中学高三模拟）甲 乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知：每局甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，
∴至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，
当第一局甲队获胜，其概率为；
当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为.
∴甲队获得冠军的概率为.故选：B.
【例2】(2021·广东省深圳外国语学校高三月考)2021年广东新高考将实行3+1+2模式,即语文、数学、英语必选,物理、历史二选一,政治、地理、化学、生物四选二,共有12种选课模式.今年高一的小明与小芳都准备选历史,假如他们都对后面四科没有偏好,则他们选课相同的概率为(　D　)
A． B． C． D．
【解析】今年高一的小明与小芳都准备选历史,假如他们都对后面四科没有偏好,则基本事件总数n==36,
他们选课相同包含的基本事件数m==6,所以他们选课相同的概率P=.故选D.
【提分秘籍】
1.求古典概型的概率,关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识.求解时要注意两点:(1)对于较复杂的题目,列出事件数时要正确分类,分类时做到不重不漏.(2)当直接求解有困难时,可考虑求其对立事件的概率.
【变式演练】
1.先后抛掷一枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6),骰子朝上的面的点数分别为x,y,则事件log2xy=1发生的概率为　　　　.
解析:先后抛掷一枚均匀的正方体骰子,骰子朝上的面的点数x,y的所有可能情况有6×6=36(种),而满足log2xy=1,即y=2x(1≤x≤6,1≤y≤6,x,y∈Z)的情况有共3种情况,故所求的概率为.
答案:
2.(2021·北京东城区期末)已知甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5,0.4,0.3,a,如果甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率,则a的最大值是　　　　.
解析:甲、乙、丙、丁四人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5,0.4,0.3,a,因为甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率不小于丁独立解决这一问题的概率,所以1-(1-0.5)(1-0.4)(1-0.3)≥a,解得a≤0.79.所以a的最大值是0.79.
答案:0.79
【题型二】条件概率与全概率公式
【题组练透】
1．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的名男医生(含一名主任医师) 名女医生(含一名主任医师)中分别选派名男医生和名女医生，则在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为.故选：A.
2．托马斯·贝叶斯(ThomasBayes)在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式(贝叶斯定理)，其中称为的全概率.这个定理在实际生活中有着重要的应用价值.假设某种疾病在所有人群中的感染率是，医院现有的技术对于该疾病检测准确率为，即已知患病情况下，的可能性可以检查出阳性，正常人的可能性检查为正常.如果从人群中随机抽一个人去检测，经计算检测结果为阳性的全概率为0.01098，请你用贝叶斯公式估计在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】记一个人得病为事件，检测结果为阳性为事件，
则，，，
所以，
所以在医院给出的检测结果为阳性的条件下这个人得病的概率为，故选：C.
3．（2021·天津南开中学高三模拟）为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼.已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为______.
【答案】
【解析】设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，
在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，因为，
所以.
【提分秘籍】
1.条件概率：P(B|A)＝＝.
2.应用全概率公式求概率的步骤
(1)根据题意找出完备事件组，即满足全概率公式的Ω的一个划分A1，A2，A3，…，An；
(2)用Ai(i＝1,2,3，…，n)来表示待求的事件；
(3)代入全概率公式求解．　　
【题型三】随机变量的分布列、均值与方差
【典例分析】
【例3】（2021·湖南长沙市长郡中学高三模拟）乒乓球是中国国球，它是一种世界流行的球类体育项目.某中学为了鼓励学生多参加体育锻炼，定期举办乒乓球竞赛，该竞赛全程采取“一局定输赢”的比赛规则，首先每个班级需要对本班报名学生进行选拔，选取3名学生参加校内终极赛与其他班级学生进行同台竞技.
（Ⅰ）若高三（1）班共有6名男生和4名女生报名，且报名参赛的选手实力相当，求高三（1）班选拔的校内终极赛参赛选手均为男生的概率.
（Ⅱ）若高三（1）班选拔的选手甲、乙、丙分别与高三（2）班选拔的选手A，B，C对抗，甲、乙、丙获胜的概率分别为，，，且甲、乙丙三人之间获胜与否互不影响，记为在这次对抗中高三（1）班3名选手获胜的人数，.
（ⅰ）求；
（ⅱ）求随机变量的分布列与数学期望.
【解析】（Ⅰ）设“高三（1）班选拔的参数选手均为男生”为事件，则；
（Ⅱ）（ⅰ）由题意，解得；
（ⅱ）随机变量的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
故的分布列为：
0 1 2 3
所以的数学期望.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2021·湖南长沙市长郡中学高三模拟）现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为20%，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同.在一次演习中，红方的甲 乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝方战机的概率分别为和，两名飞行员各携带4枚空对空导弹.
（1）甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？
（2）蓝方机群共有8架战机，若甲 乙共同攻击(战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机).
①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为X，求X的分布列；
②若实施两轮攻击(用完携带的导弹)，记命中蓝方战机数为Y，求Y的数学期望E(Y).
【解析】设甲 乙两名飞行员发射的第i枚导弹命中对方战机分别为事件，则，.
（1）设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件M，则，
所以
.
（2）①，则
，
，
，
，
，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
②记两轮攻击中甲命中战机数为，则，乙命中战机数为，则，
所以.
1．（2021春 禅城区期末）一批产品的二等品率为0.03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则　　
A．3 B．2.91 C．0.97 D．0.09
【解析】解：一批产品的二等品率为0.03，
从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，
，
．
故选：．
2．（2021 泰安模拟）某工厂生产一批医疗器械的零件，每件零件生产成型后，得到合格零件的概率为0.7，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，技术精加工后得到合格零件的概率是0.3，而此时得到的不合格零件将不能再加工，只能成为废品，则生产时得到合格零件的概率是（　　）
A．0.49 B．0.73 C．0.79 D．0.91
【解析】解：生产时得到合格零件的情况有两种：
①零件生产成型后，得到合格零件，概率为p1＝0.7，
②零件生产成型后，得到的不合格零件可以进行一次技术精加工，
技术精加工后得到合格零件，概率为P2＝0.3×0.3＝0.09，
∴生产时得到合格零件的概率是：
P＝0.7+0.09＝0.79．
故选：C．
3．（2021 重庆三模）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率为　　
A． B． C． D．
【解析】解：某县科技特派员带着，，三个农业扶贫项目进驻某村，
对仅有的四个贫困户甲、乙、丙、丁进行产业帮扶，
若每个贫困户只能选择一个扶贫项目，每个项目至少有一户选择，
基本事件总数，
甲乙两户选择同一个扶贫项目包含的基本事件个数，
则甲乙两户选择同一个扶贫项目的概率．
故选：．
4．（2021 石嘴山模拟）学校从高一、高二、高三中各选派10名同学参加“建党100周年党史宣讲”系列报告会，其中三个年级参会同学中女生人数分别为5、6、7，学习后学校随机选取一名同学汇报学习心得，结果选出一名女同学，则该名女同学来自高三年级的概率为　　
A． B． C． D．
【解析】解：设事件为“30人中抽出一名女同学”，
事件为“30人中抽出一名高三学生”，
则（A），，
选出一名女同学，该名女同学来自高三年级的概率为：
．
故选：．
5．（2021 庐阳区校级模拟）某批零件的尺寸X服从正态分布N（10，σ2），且满足P（x＜9）＝，零件的尺寸与10的误差不超过1即合格，从这批产品中抽取n件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，则n的最小值为（　　）
A．7 B．6 C．5 D．4
【解析】解：任取一件产品是合格品的概率为p＝P（9≤x≤11）＝1﹣．
从此批产品中抽取n件零件中，合格品的件数X服从二项分布，即X～B（n，），
由已知得≥0.9．
即①，（n∈N*）．
令，因为＜0当x≥1时恒成立，
故的值随着n（n∈N*）的增大而减小，
因为n＝4时，①式不成立，n＝5时①式成立，
故n的最小值为5．
故选：C．
6．（2021 合肥模拟）某校高三年级在迎新春趣味运动会上设置了一个三分线外定点投篮比赛项目，规则是：每人投球5次，投中一次得1分，没投中得0分，且连续投中2次额外加1分，连续投中3次额外加2分，连续投中4次额外加3分，全部投中额外加5分．某同学投篮命中概率为，则该同学投篮比赛得3分的概率为　　
A． B． C． D．
【解析】解：该同学投篮比赛得3分的情况有为：
①第一、三、五次分别投中，第二、四次都没有投中，
概率为；
②第一、二次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为：；
③第二、三次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为：；
④第三、四次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为：；
⑤第四、五次连续两次投中，其它三次都没有投中，
概率为：．
该同学投篮比赛得3分的概率为：
．
故选：．
7．（2021 株洲模拟）从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是　　
A．2个球都是红球的概率为
B．2个球中恰有1个红球的概率为
C．至少有1个红球的概率为
D．2个球不都是红球的概率为
【解析】解：设从甲袋中摸出一个红球为事件，从乙袋中摸出一个红球为事件，
则2个球都是红球的概率为，故正确，
2个球中恰有1个红球的概率为，故正确，
至少有1个红球的概率为，故正确，
2个球不都是红球的概率为，故不正确．
故选：．
8．（2021 山东二模）将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是　　
A．4位女同学分到同一组的概率为
B．男生甲和女生乙分到甲组的概率为
C．有且只有3位女同学分到同一组的概率为
D．4位男同学不同时分到甲组的概率为
【解析】解：8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为，
选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为，故正确；
选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为，其概率为，故正确；
选项，有且只有3位女同学分到同一组不同分法为种，
则有且只有3位女同学分到同一组的概率为，故错误；
选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为，
则4位男同学不同时分到甲组的概率为，故错误，
故选：．
9．（2021 连云港模拟）医用口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材质，中层为隔离过滤层，外层为特殊材料抑菌层．根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，，，，．则　　
A．
B．
C．
D．假设生产状态正常，记表示抽取的100只口罩中过滤率大于的数量，则
【解析】解：对于，，故选项正确；
对于，因为，又，
所以，显然，故选项错误；
对于，，故选项正确；
对于，，
则，
由，故选项正确．
故选：．
10．（2021 义乌市模拟）设随机变量的分布列如表：
0 1 2 3
0.1 0.4
则　0.5　，若数学期望，则方差　　．
【解析】解：由分布列的性质可得，，则①，
又，
则，则②，
由①②可得，，，
所以．
故答案为：0.5；1．
11．（2021 天津一模）甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为　0.28　；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是　　．
【解析】解：甲、乙两人每次投篮命中的概率分别是0.7，0.6．甲、乙各投篮一次，
设事件表示“甲命中且乙未命中”，
则甲命中且乙未命中的概率为（A）；
若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次包含的基本事件有两种情况：
①甲命中一次，乙两次都没命中，概率为：，
②甲命中两次，乙命中一次，概率为：，
甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是：
．
故答案为：0.28，0.3024．
12．（2021 北辰区模拟）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的4个小球，其中白色球2个，黑色球2个．若从中随机取球，每次只取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好取到两次白球”的概率为　　；若从中一次取2个球，只取一次，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为　　．
【解析】解：由题意可知，每一次取到白球的概率为，
所以连续取球四次，恰好取到两次白球的概率为；
随机变量的可能取值为0，1，2，
则，
，
，
故．
故答案为：；1．
13．（2021 淄博二模）某市在司法知识宣传周活动中，举办了一场司法知识网上答题考试．要求本市所有机关、企事业单位工作人员均要参加考试．试题满分为100分，考试成绩大于等于90分的为优秀，考试结束后，组织部门从所有参加考试的人员中随机抽取了200人的成绩作为统计样本，得到样本平均数为82、方差为64．假设该市机关、企事业单位工作人员有20万人，考试成绩服从正态分布．
（1）估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有多少万人？
（2）该市组织部门为调动机关、企事业单位工作人员学习司法知识的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加考试者，均可参与网上“抽奖赢手机流量”活动，并且成绩优秀者可有两次抽奖机会，其余参加者抽奖一次．抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数，11，，，若产生的两位数的数字相同，则可获赠手机流量，否则获赠手机流量．假设参加考试的所有人均参加了抽奖活动，试估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有多少？
参考数据：若，．
【解析】解：（1）由题意知，，，
所以，
故估计该市此次司法考试成绩优秀者的人数有万人．
（2）设抽奖一次获得手机流量为，则，，
所以抽奖一次获得手机流量的期望值为，
又由于20万人均参与抽奖，且优秀者抽奖两次，
所以抽奖总次数为万次，
故估计此次抽奖活动赠予的手机流量总共有（万．
14．（2021 武汉模拟）某工厂购进一批加工设备，由于该设备自动模式运行不稳定，因此一个工作时段内会有的概率出现自动运行故障．此时需要1名维护人员立刻将设备切换至手动操控模式，并持续人工操作至此工作时段结束，期间该人员无法对其它设备进行维护．工厂在每个工作时段开始时将所有设备调至自动模式，若设备的自动模式出现故障而得不到人员的维护，则该设备将停止运行，且每台设备运行的状态相互独立．
（1）若安排1名人员负责维护3台设备，求这3台设备能顺利运行至工作时段结束的概率；
（2）设该工厂有甲，乙两个车间．甲车间有6台设备和2名维护人员，将6台设备平均分配给2人，每名维护人员只负责维护分配给自己的3台设备；乙车间有7台设备和2名维护人员，7台设备由这2人共同负责维护．若用车间所有设备顺利运行至工作时段结束的概率来衡量生产的稳定性，试比较两个车间稳定性的高低．
【解析】解：（1）设3台设备自动模式不出故障的台数记为，则，
记“1名人员维护3台设备能顺利运行至工作时段结束”为事件，
则（A）；
（2）甲车间分得的两个小组相互对立，由（1）可知，每个小组能保证设备顺利运行至结束的概率为，
设“甲车间设备能顺利运行至工作时段结束”为事件，
则（B），
乙车间7台设备自动模式不出故障的台数记为，则，
记“乙车间设备能顺利运行至工作时段结束”为事件，
则（C），
因为，
所以（B）（C），
故乙车间生产稳定性更高．
15．春节是中国人的团圆节，年春节期间，某超市为了给“就地过年”的外来务工人员营造温馨的新春佳节氛围，在月日至月日期间举行购物抽奖活动，活动规定：凡是一次性购物满元的顾客就可以从装有个球(其中个球上写有“牛转乾坤”，另个球上写有“谢谢惠顾”，每个球除写的字不同外，其他都相同)的抽奖箱中一次性摸出个球，只有摸到“牛转乾坤”才能获奖，若个球都是“牛转乾坤”，则获一等奖，奖励元；若有个球是“牛转乾坤”，则获二等奖，奖励元；若只有个球是“牛转乾坤”，则获三等奖，奖励元.
（1）若一位顾客在此活动期间购物满元并且参加抽奖，求这位顾客中奖的概率；
（2）经统计，月日有人次购物满元，其中有人次没有参加抽奖，设参加一次抽奖所得奖金的金额为元，试求的分布列，并求月日该超市发放奖金总金额的数学期望.
【解析】（1）解法一：设一位顾客在此活动期间购物满元参加抽奖且中奖为事件，参加抽奖且中一等奖为事件，参加抽奖且中二等奖为事件，参加抽奖且中三等奖为事件，则，
.
一位顾客在此活动期间购物满元参加抽奖且中奖的概率为.
解法二：一位顾客在此活动期间购物满元且参加抽奖，设中奖为事件，则事件的对立事件为，为一位顾客在此活动期间购物满元参加抽奖且没有中奖，即摸出的个球都是“谢谢惠顾”，
，
一位顾客在此活动期间购物满元参加抽奖且中奖的概率为；
（2）依题意得：的所有可能取值为，，，，
，，，，
的分布列为：
数学期望，
月日该超市发放奖金总金额的数学期望为元.
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