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专题14 直线与圆
【考情分析】
1.考查特点:高考对此部分内容主要以选择题、填空题的形式考查,难度中等,主要考查利用两直线平行、垂直求参数;求圆的方程,进而研究直线与圆的位置关系,求弦长或切线;也常与圆锥曲线结合命题,难度中等偏上.
2.关键能力:逻辑思维能力、运算求解能力.
3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.
【题型一】直线与圆的方程
【题组练透】
1．（2021·衡水市第十四中学高三模拟）“”是“直线与直线平行”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当，；两直线方程分别为：与直线此时两直线重合，充分性不成立．
若直线与直线平行，
则当时，两直线方程分别为或，此时两直线不平行，
当，若两直线平行，则，
即且，解得，即必要性不成立，
故“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件，故选：．
2．（2021·北京高三二模）点到直线的距离的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由点到直线距离公式有：
P到直线的距离为，
其中，
由三角函数性质易知，，
故，故选：C.
3．（2021·重庆市万州第三中学高三模拟）已知圆和直线及轴都相切，且过点，则该圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AB
【解析】由题意设所求圆的方程为，则有，
解得或
所以该圆的方程为或，
故选：AB
4.已知A,B分别是双曲线C:-=1的左、右顶点,P(3,4)为C上一点,则△PAB的外接圆的标准方程为　　　　　　　.
【答案】x2+(y-3)2=10.
【解析】因为P(3,4)为C上一点,则-=1,解得m=1,则B(1,0),所以kPB==2,
直线PB的中垂线方程为y=-(x-2)+2,令x=0,则y=3,所以外接圆圆心为M(0,3),
外接圆半径r=|MB|==,所以△PAB的外接圆的标准方程为x2+(y-3)2=10.
【提分秘籍】
解决圆的方程问题一般有两种方法：(1)几何法:通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法:即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.
【题型二】直线与圆位置关系
【典例分析】
【例1】（多选）（2021·辽宁高三模拟）已知直线：和圆：，则（ ）
A．存在使得直线与直线：垂直
B．直线恒过定点
C．若，则直线与圆相交
D．若，则直线被圆截得的弦长的取值范围为
【答案】AC
【解析】A：当时，直线：，即，斜率为，与直线：垂直，故A正确；
B：直线：，恒过，故B不正确；
C：圆心到直线的距离为，，则，若，则直线与圆相交，故C正确；
D：，则直线被圆截得的弦长，
，，则，所以弦长.故D不正确；
故选：AC.
【例2】（2021·山东省实验中学高三模拟）已知圆C：(x﹣1)2+y2=1，点P(x0，y0)在直线x﹣y+1=0上运动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x0的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
如图圆，在直线上，
若圆存在点，使得，
当在直线上运动，极端情况，与圆相切，.
在中，，所以.
所以以为圆心，为半径的圆与直线交于，两点.
符合条件的点在线段之间.
所以或.
故的取值范围为.
故答案为：
【提分秘籍】
1.直线与圆相切问题的解题策略
(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直,圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式,所以求切线方程时主要选择点斜式.过圆外一点求解切线段长的问题,可先求出圆心到圆外点的距离,再结合半径利用勾股定理计算.
(2)直线l与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)相切于点T,点P(x0,y0)是直线l上异于点T的一点,则切线长|PT|=(即抓住切点三角形).
2.直线与圆相交问题的求法
(1)弦长的求解方法
①直线l与圆C相交于M,N两点,设d表示圆心C到l的距离,r表示半径,则弦长|MN|=2(即抓住垂径三角形);
②根据公式l=|x1-x2|求解(其中l为弦长,x1,x2为直线与圆相交所得交点的横坐标,k为直线的斜率),一般不用;
③求出交点坐标,用两点间距离公式求解.一般不用.
(2)直线与圆的位置关系常用几何法解决.
【变式演练】
1．（2021·江西省万载中学高三模拟）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，
令，得，令，得，
，，，
圆的圆心坐标为，半径，则圆心到直线的距离，点在圆上，所以三角形的高，即，所以
故选：A
2．（2021·江西省万载中学高三模拟）已知圆与直线相交于两点且；
（1）求的值；
（2）过点作圆的切线，切点为，再过作圆的切线，切点为，若，求的最小值(其中为坐标原点).
【解析】（1）的圆心，半径，
圆心到直线距离的距离，则弦MN长，得，
所以的值为1；
（2）由(1)知圆的圆心，半径，设，
由切线的性质得，
圆的圆心，半径，同理：，
而，即，化简得到：，
又点到直线距离为，点到直线距离为，
即直线与两圆都无公共点，点的轨迹为直线，
所以最小值即为原点到直线距离.
1．（2021·西藏拉萨市·高三二模）已知点，则当点到直线的距离最大时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为直线恒过定点，
则当与直线垂直时﹐点到直线的距离达到最大值，
此时过的直线的斜率为
所以直线的斜率为，即，所以.故选：B．
2．已知向量，，，且，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题知，
又，所以，得，
所以，则直线的斜率，故倾斜角为.故选：D
3．（2021·天津南开中学高三模拟）已知圆，过点向这个圆作两条切线，则两切线的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为圆，所以，所以圆心为，半径，
又点，所以点P到圆心C的距离为，所以切线与直线PC的夹角的正弦值为，
所以两切线的夹角的余弦值为，故选：A.
4.（湖南长沙长郡中学高三模拟）某条公共汽车线路收支差额与乘客量的函数关系如下图所示（收支差额＝车票收入－支出费用），由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议（1）不改变车票价格，减少支出费用；建议（2）不改变支出费用，提高车票价格.下面给出的四个图形中，实线和虚线分别表示目前和建议后的函数关系，则（ ）
A．①反映建议（2），③反映建议（1） B．①反映建议（1），③反映建议（2）
C．②反映建议（1），④反映建议（2） D．④反映建议（1），②反映建议（2）
【答案】B
【解析】对于建议（1），因为不改变车票价格，减少支出费用，故建议后的图象与目前的图象倾斜方向相同，且纵截距变大，故①反映建议（1）；
对于建议（2），因为不改变支出费用，提高车票价格，故建议后的图象比目前的图象的倾斜角大，故③反映建议（2）.
故选：B.
5.（2021·安徽合肥市·合肥一中高三模拟）“”是“直线与圆相交”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由直线与圆相交，得圆心到直线的距离为，
解得，而
由集合的关系可知，是直线与圆相交的必要不充分条件.
故选：B
6．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知的顶点，，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，的垂直平分线方程为，
又外心在欧拉线上，
联立，解得三角形的外心为，
又，
外接圆的方程为．
设，则三角形的重心在欧拉线上，即．
整理得．
联立，解得或．
所以顶点的坐标可以是．故选：．
7.（2021·山师大附中高三模拟）已知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，函数的图象恒过定点，
由于点在直线上，则，则，
，则，
，
当且仅当时，等号成立，
因此，的最小值为.故选：D.
8．（2021·河南洛阳市·高三模拟）从直线上的动点作圆的两条切线，切点分别为、，则最大时，四边形（为坐标原点）面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】圆的圆心为坐标原点，连接、、，则，
设，则，，则，
当取最小值时，，此时，
，，，故，
此时，.
故选：B.
9．（2021·山东省济南历城二中高三模拟）已知直线，，则（ ）
A．恒过点 B．若，则
C．若，则 D．当时，不经过第三象限
【答案】BD
【解析】，
当，即，即直线恒过点，故A不正确；
若，则有 ，解得：，故B正确；
若，则有，得，故C不正确；
若直线不经过第三象限，则当时，， ，解得：，
当时，直线，也不过第三象限，
综上可知：时，不经过第三象限，故D正确.
故选：BD
10.（2021·广东高三模拟）一条斜率不为0的直线，令，则直线l的方程可表示为.现光线沿直线l射到x轴上的点，反射后射到y轴上的点，再经反射后沿直线射出.若和中和y的系数相同，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【解析】由题意知的图象过点和，所以直线，
，又和中和y的系数相同，且的图象过，所以.
对于A，，所以A正确；
对于B，，
，所以，选项B正确；
对于C，，所以C错误；
对于D，，，所以D错误.故选AB.
11．（2021·江苏南京外国语高三模拟）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是，（　　）
A．C的方程为（x+4）2+y2＝9
B．在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得
C．当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线
D．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
【答案】BC
【解析】在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足，
设P（x，y），则 ，
化简可得（x+4）2+y2＝16，故A错误；
假设在x轴上存在异于A，B的两定点D，E，使得，
可设D（m，0），E（n，0），可得2，
化简可得3x2+3y2﹣（8m﹣2n）x+4m2﹣n2＝0，
由P的轨迹方程为x2+y2+8x＝0，可得8m﹣2n＝﹣24，4m2﹣n2＝0，
解得m＝﹣6，n＝﹣12或m＝﹣2，n＝4（舍去），即存在D（﹣6，0），E（﹣12，0），故B正确；
当A，B，P三点不共线时，由，可得射线PO是∠APB的平分线，故C正确；
若在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|，可设M（x，y），即有2，
化简可得x2+y2x0，联立x2+y2+8x＝0，可得方程组无解，故不存在M，故D错误．
故选：BC．
12．（2021·山东淄博市·高三三模）已知圆和圆的交点为，，则（ ）
A．圆和圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．圆上存在两点和使得
D．圆上的点到直线的最大距离为
【答案】ABD
【解析】对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；
对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦的方程为，故B正确；
对于C，直线经过圆的圆心，所以线段是圆的直径，故圆中不存在比长的弦，故C错误；
对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线的距离为，所以圆上的点到直线的最大距离为，D正确.
故选：ABD.
13.（2021·湖南长沙市长郡中学高三模拟）已知l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，则直线l1的方程是________.
【答案】x＋2y－3＝0.
【解析】当直线AB与l1，l2垂直时，l1，l2间的距离最大.
∵A(1，1)，B(0，－1)，∴kAB＝＝2.
∴两平行直线的斜率k＝－.
∴直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
14．（2021·辽宁本溪高级中学高三模拟）已知圆心为的圆C与倾斜角为的直线相切于点，则圆C的方程为___________
【答案】
【解析】由题意得，圆的半径，
直线的方程为：，整理得：，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，
所以，解得，
所以圆C的方程为.
故答案为：
15．（2021江苏连云港市·高三模拟）在平面直角坐标系中，已知直线与圆交于、两点，过点、分别作圆的两条切线与，直线与交于点，则线段长度的最小值是___________.
【答案】
【解析】圆的圆心坐标为，半径为．
直线过定点，连接、，如图，
为圆的半径是定值，，
要使最小，则最大，即最小，也就是最小，此时，
，，．求得，
线段长度的最小值是．
故答案为：．
16．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线：，（），圆：.则坐标原点到直线的距离为______，若直线与圆相切，则直线的斜率是______.
【答案】1
【解析】原点到直线的距离为；
直线与圆相切，则，则或（舍），所以，则，斜率.故答案为：；.
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