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专题15 圆锥曲线的定义、方程与性质
【考情分析】
1.考查特点:(1)圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点,多以选择题、填空题或解答题第(1)问的形式命题,难度中等;(2)直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题,运算量大,能力要求高,突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.
2.关键能力: 逻辑思维能力、运算求解能力以及创新能力.
3.学科素养:逻辑推理、直观想象、数学运算.
【题型一】圆锥曲线的定义及标准方程
【典例分析】
1（2021·山东省实验中学高三模拟）已知双曲线上一点到其左焦点的距离为8，则的中点到坐标原点的距离为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【解析】由，得，则，所以，
所以，设双曲线的右焦点为，
因为到其左焦点的距离为8，所以点在双曲线的左支上，
所以，所以，
因为为的中点，为的中点，所以，故选：A
2．已知抛物线的焦点为F，准线为l，若点A在l上，点B在抛物线上，l与x轴的交点为C，是正三角形，且四边形ABFC的面积是，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】由抛物线的定义及为正三角形，可知轴，所以，
从而可知，，又因为四边形的面积是，
所以有，解得.故选：C.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2021·江苏金陵中学高三模拟）以椭圆的短轴的一个端点和两焦点为顶点的三角形为等边三角形，且椭圆上的点到左焦点的最大距离为6，则椭圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知：短轴端点与焦点形成等边三角形，则，
椭圆上的点到左焦点最大距离为6，即，
则，，.
则椭圆的标准方程为：.故选：C.
2．【多选】（2021·福建福州市·高三二模）在中，，为的中点，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．动点的轨迹是双曲线 B．动点的轨迹关于点对称
C．是钝角三角形 D．面积的最大值为
【答案】BD
【解析】以为原点，为轴建立直角坐标系．
设=，此时点在以为圆心，为半径的动圆上．
由，知点在以为焦点，的双曲线上且．
对点有，，从而，当时，最大，故，，故正确；
时，得到另一个点，此时为直角三角形，故错误；
∵非定值，∴不以双曲线为轨迹，故错误；
∵，∴一定有关于的对称点关于原点对称，故正确．故选：BD．
3.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，M是抛物线C上一点，若FM的延长线交x轴的正半轴于点N，交抛物线C的准线l于点T，且＝，则|NT|＝________.
【答案】3
【解析】由x2＝4y，知F(0，1)，准线l：y＝－1.设点M(x0，y0)，且x0>0，y0>0.
由＝，知点M是线段FN的中点，N是FT中点，
利用抛物线定义，|MF|＝|MM′|＝y0＋1，且|FF′|＝2|NN′|＝2.
又2(y0＋1)＝|FF′|＋|NN′|＝3，知y0＝.∴|MF|＝＋1＝，从而|NT|＝|FN|＝2|MF|＝3.
【题型二】圆锥曲线的几何性质
【典例分析】
1．已知，分别为椭圆：的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，分别为椭圆：的两个焦点，
是椭圆上的点，，且，由正弦定理可得，
令，则，，可得，
所以椭圆的离心率为：.故选：B．
2．（2021·天津南开中学高三模拟）已知双曲线的中心为，左焦点为，左顶点为，点为双曲线右支上一点，直线交双曲线于另一点，若直线恰好平分线段，则该双曲线的离心率为__________．
【答案】
【解析】设的中点为，连接，
、分别为、的中点，则且，所以，，
即，，因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.
【提分秘籍】
【变式演练】
1．（2021湖南长沙长郡中学高三模拟）已知抛物线的焦点为F，经过点P(1，1)的直线l与该曲线交于A B两点，且点P恰好为AB的中点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】B
【解析】抛物线中，，其焦点，准线方程，
如图过点作准线的垂线，垂足为，
由抛物线定义可知，，
而P恰好为AB的中点，故是梯形ABNM的中位线，故，
又P(1，1)，故，所以.故选：B.
2．已知，分别为双曲线（，）的左、右焦点，过点作圆的切线交双曲线左支于点，且，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【答案】．
【解析】设切点为，过作，垂足为，
由题意可得，，，
由为的中位线，可得，，
又，可得，，
，
又，所以，
所以双曲线的渐近线方程为．故答案为：．
3.已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________.
【答案】－1.
【解析】设椭圆的右焦点为F(c，0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，
由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b2c2＋3a2c2＝4a2b2，∵b2＝a2－c2，∴(a2－c2)c2＋3a2c2＝4a2(a2－c2)，则4a4－8a2c2＋c4＝0，e4－8e2＋4＝0，∴e2＝4＋2(舍)，e2＝4－2.由0【题型三】直线与圆锥曲线
【典例分析】
1．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知直线与抛物线交于，两点.若点满足，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】直线与抛物线联立得：，
设，所以，
点满足，所以有：
，
所以解得，
故选：C
2．已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，，所以，
所以，即直线的斜率为，故选：A.
【提分秘籍】
1.求解弦长的4种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时,可直接利用两点间的距离公式求解.
(2)联立直线与圆锥曲线方程,解方程组求出两个交点坐标,代入两点间的距离公式求解.
(3)联立直线与圆锥曲线方程,消元得到关于x或y的一元二次方程,利用根与系数的关系得到(x1-x2)2或(y1-y2)2,代入两点间的距离公式求解.
(4)当弦过焦点时,可结合焦半径公式求解弦长.
[提醒]利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形,若k不存在,可直接求交点坐标再求弦长.涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用.
2.处理中点弦问题常用的2种方法
(1)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点和直线的斜率,借用中点公式即可求得斜率.
(2)根与系数的关系:联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组,化为一元二次方程后由根与系数的关系求解.
[提醒]中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端:根与系数的关系在解题过程中易产生漏解,需关注直线的斜率问题;点差法在确定范围方面略显不足.
【变式演练】
1．（2021·陕西高三模拟）已知抛物线焦点为为坐标原点，直线过点与抛物线交于两点，与轴交于，若，则的面积为___________.
【答案】32
【解析】
抛物线焦点，而直线l过点，则直线l的斜率为，其方程为，即，
由消去x得，
显然，设，则，而，
由抛物线定义知，，解得，
即，，而，于是得，
所以的面积为32.故答案为：32
2．（2021·湖南长沙长郡中学高三模拟）已知椭圆：.
（1）椭圆是否存在以点为中点的弦？若存在，求出弦所在的直线的方程，若不存在，请说明理由；
（2）已知椭圆的左 右顶点分别为，，点是椭圆上的点，若直线，分别与直线交于，两点，求线段的长度取得最小值时直线的斜率.
【解析】（1）因为，所以点在椭圆的内部，
则椭圆存在以点为中点的弦.
设弦所在的直线与椭圆相交于，，则，
两式相减，得，即.
又，，
，整理得.
所以直线的方程为，即.
（2）因为，，三点共线所以可知当线段的长度取得最小值时，直线的斜率显然存在，且，，设直线的方程为，从而点.
联立，消整理得，
设点，则.
所以，从而，所以.
又点，则直线的斜率为.
由，得，所以.
故.
又，则，当且仅当，即时等号成立
所以当时，线段的长度取得最小值.
所以此时直线的斜率为.
1．（2021山师大附中高三模拟） “”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，方程表示焦点在轴上的双曲线；
当时，可化为，
因为椭圆的焦点在轴上，所以即，
故方程表示焦点在轴上的圆锥曲线时，或，
故“”是“方程表示焦点在轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.
2．（2021·浙江镇海中学高三模拟）已知抛物线的准线与双曲线相交于，两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的准线，焦点，不妨设A点坐标，
为直角三角形，∠AFB＝90°，由对称性可知，为等腰直角三角形，
由直角三角形的性质得，解得.故选：D
3．已知双曲线的一条渐近线方程为，、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上一点，若，则（ ）
A． B．或 C．或 D．
【答案】D
【解析】由题意知，所以，所以，
所以，所以点在双曲线的左支上，
所以，所以，故选：D.
4．（2021·山东省淄博市实验中学高三模拟）2016年1月14日，国防科工局宣布，嫦娥四号任务已经通过了探月工程重大专项领导小组审议通过，正式开始实施.如图所示，假设“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：
①a1＋c1＝a2＋c2； ②a1－c1＝a2－c2； ③c1a2>a1c2. ④
其中正确式子的序号是（ ）
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【解析】由图可得，所以，即①错误；因为，所以，即②正确，由，得，即，即,即，可得，即③正确，由，可得，即④错误；综上所述选项B正确.故选:B.
5． （2021·湖南长沙雅礼中学高三模拟）为双曲线（，）上一点，，分别为其左、右焦点，为坐标原点.若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由，以及正弦定理可得，
因为，所以，，
因为，，所以，所以，
在中，.
化简可得，所以的离心率.故选：B
6．设，为椭圆与双曲线的公共焦点，，分别为左 右焦点，与在第一象限的交点为.若是以线段为底边的等腰三角形，且双曲线的离心率，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆长轴长为2，双曲线实轴长为，焦点为，
，则，
又，所以，即，又，
所以椭圆的离心率为．故选：C．
7．（2021·重庆南开中学高三模拟）已知曲线C的方程为，则（ ）
A．当时，曲线C为圆
B．当时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为
C．当时，曲线C为焦点在x轴上的椭圆
D．存在实数使得曲线C为双曲线，其离心率为
【答案】AB
【解析】对于A选项：m=1时，方程为，即，曲线C是圆，A正确；
对于B选项：m=5时，方程为，曲线C为双曲线，其渐近线方程为，B正确；
对于C选项：m>1时，不妨令m=5，由选项B知，曲线C为双曲线，C不正确；
对于D选项：要曲线C为双曲线，必有，即m<-1或m>3，
m<-1时，曲线C：，m>3时，曲线C：，
因双曲线离心率为时，它实半轴长与虚半轴长相等，而-(m+1)≠3-m，m+1≠m-3，D不正确.故选：AB
11．（2021·湖南雅礼中学高三模拟）设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过F的直线与C分别交于两点，则（ ）
A．为定值
B．可能为直角
C．以为直径的圆与y轴有两个交点
D．对于确定的直线，在C的准线上存在三个不同的点P，使得为直角三角形
【答案】AD
【解析】设，与联立可得：，故A对；
因为，所以，∴，故B错；
设的中点，则以为直径的圆与y轴相切，故C错；
设的中点，N到C准线的距离为当，因为
故有以为直径的圆与C的准线相切，对于确定的直线，当为直角，此时P为切点；
当或为直角，此时P为过A（或B）的的垂线与准线的交点，故D正确．故选：AD
12．已知双曲线的左 右顶点分别为，，点是上的任意一点，则（ ）
A．双曲线的离心率为
B．焦点到渐近线的距离为3
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与 不重合时，直线，的斜率之积为3
【答案】BCD
【解析】对于A，，，故A错误；
对于B，双曲线的右焦点到渐近线的距离为，故B正确；
对于C，设，满足，即，则点到两条渐近线的距离之积为，故C正确；
对于D，设，由C得，，，故D正确；
故选：BCD
13．（2021·湖北襄阳五中高三模拟）已知椭圆：的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点在椭圆上，且满足，当变化时，给出下列三个命题：
①点的轨迹关于轴对称；②的最小值为2；
③存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个，
其中，所有正确命题的序号是__________．
【答案】①②
【解析】椭圆的两个焦点分别为和，
短轴的两个端点分别为和，
设，点在椭圆上，且满足，
由椭圆定义可得，，即有在椭圆上，
对于①，将换为方程不变，则点的轨迹关于轴对称，故①正确.；
对于②，由图象可得，当满足，即有，
即时，取得最小值，可得时，
即有取得最小值为，故②正确；
对于③，由图象可得轨迹关于轴对称，且，
则椭圆上满足条件的点有个，
不存在使得椭圆上满足条件的点有个，故③不正确.，故答案为①②.
14．（2021·山东滕州一中高三模拟）某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值，且与水平方向所成角为变量，已知张燕投铅球的最远距离为．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为____．（空气阻力不计，重力加速度为）
【答案】5
【解析】设铅球运动时间为，t时刻的水平方向位移为x，则．
由知
故当时，，
解得：，
如图建立平面直角坐标系，，设抛物线方程为
则抛物线的焦点到准线的距离
故答案为：5
15．（2021·山东枣庄一中高三模拟）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，，且，则双曲线的离心率为________；渐近线方程为________.
【答案】
【解析】由，，
解得，，
由题意可得四边形为平行四边形，
又，可得，
在中，可得，
即有，则，
所以，
则渐近线方程为.
故答案为：；.
16.（2021 南充模拟）已知椭圆的左，右焦点分别为，，点在椭圆上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在斜率为一1的直线与椭圆相交于，两点，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．
【解析】（1）由题意得，，，，解得：，，
所以椭圆的标准方程：；
（2）假设存在满足条件的直线，设直线的方程：，设，
与椭圆联立整理：，△，，，，
由于，设线段的中点为，则，所以
又，，所以，解得，当时，不满足，
所以不存在满足条件的直线．
17．（2021·湖南高三模拟）已知双曲线的离心率为，双曲线上的点到焦点的最小距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）四边形的四个顶点均在双曲线C上，且，轴，若直线和直线交于点，四边形的对角线交于点D，求点D到双曲线C的渐近线的距离之和.
【解析】（1）由题意，，解得，，所以双曲线C的方程为；
（2）由轴，，可知四边形MNPQ为等腰梯形，且关于轴对称，故四边形MNPQ的对角线的交点D在轴上，如图所示：
设点，则对角线MP的方程为，
设，由对称性知，
联立，消去得，
所以，即，
由韦达定理得，
由三点共线知，即，
所以，整理得，
所以，所以，即，
所以直线MP过定点，即D，
因为双曲线C的渐近线方程为，取方程为时，
由点到直线距离公式得，
由对称性知点D到双曲线C的渐近线的距离之和为.
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