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计算机中的信息表示方法——二进制
信息技术
1+1=
10
逻辑代数的产生
1849年英国数学家乔治.布尔(George Boole)首先提出，用来描述客观事务逻辑关系的数学方法——称为布尔代数。
后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为开关代数或逻辑代数。
在实际运用中，我们经常会遇到各种各样的开关电路设计问题。对于一个实际问题，通常是先对问题作必要的理论分析，建立相应的数学模型，然后才进入实际解决问题的阶段。建立开关电路数学模型所用的工具就是逻辑代数的知识。
逻辑代数的产生
逻辑代数中用字母表示变量——逻辑变量，每个逻辑变量的取值只有两种可能——0和1。它们也是逻辑代数中仅有的两个常数。0和1只表示两种不同的逻辑状态，不表示数量大小。
日常生活中，我们经常会使用各种数字，如最新一部苹果iPhone 5S手机淘宝不同卖家的价格分别为5288.00元、4998.00元、4999.00元等。这些数都是十进制数。
在实际应用中，还使用其他的计数制，如三双鞋（两只鞋为一双）、两周实习（七天为一周）、4打信封（十二个信封为一打）、半斤八两（一斤十六两）、三天（72小时）、一刻钟（15分）、二小时（120分）等等。
这种逢几进一的计数法，称为进位计数制。简称“数制”或“进制”。
在实际应用中，还尝过哪些计数制？
1. 数制的概念
数制是用一组固定的数码(数字和符号)和一套统一的规则(逢N进一)来表示数目的方法。
数位：数码所在的位置叫做数位。
基数：每个数位上可以使用的数码的个数 叫做这种计数制的基数。
位权数：每个数位所代表的数叫做位权数。
十进制特点（规则）是：逢十进一
十进制数位就是个位、十位、百位、千位、万位、……，十分位、百分位，千分位等等。
十进制每个数位上都可以使用0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 十个数码，所以基数是10。
十进制位权数：
2. 十进制
位置 整数部分 小数部分
… 第3位 第2位 第1位 第1位 第2位 …
位权数 …
…
十进制数的意义是：各个数位的 数码与其位权数 乘积 之和。
例如，
365=3× 102+ 6 × 101+ 5 × 100
2.68=2 × 100 + 6 × 10-1 + 8 × 10-2
102
101
100
10-1
10-2
二进制特点是
二进制数位上只有 二个数码。
二进制基数是 。
二进制位权数：
3. 二进制
位置 整数部分
… 第3位 第2位 第1位
位权数 …
22 21 20
逢二进一
2
0,1
为了区别不同进位制的数，通常用下标指明基数。
例如，
（101）10 表示十进制的数 （101）2 表示二进制的数
3. 二进制与十进制对照
进制 十进制 二进制
1 规则
2 基数
3 位权
4 书写举例
5 意义
逢十进一
逢二进一
10
2
23，22，21，20
102 101 100 10-1 10-2 …
（123456）10
（101101）2
4. 数的按权展开式
将数表达为各个数位的数码与其相应位权数乘积之和的形式，这种式子叫做按权展开式。
　(365)10 = 3×102+6×101+5×100
　(2.68)10 = 2×100+6×10-1+8×10-2
(101)2 = 1×22+0×21+1×20
5. 二进制数转换成十进制数
①将二进制数写为按权展开式形式；
②计算按权展开式得十进制数.
例如 (110)2
= 1×22+1×21+0×20
= 4+2+0
= 6
6. 十进制数转换成二进制数
按“倒序除2取余法”的原则进行转换： 即用2连续去除十进制数，直至商等于1为止，逆序排列余数即可得到与该十进制相对应的二进制数各位的数值。
例如 (13)10
读数方向由下往上
于是 (13)10=(1101)2
余数
十进制整数转换成二进制整数的转换方法是： “除以2倒取余数法”
十进制整数转换成二进制整数的转换方法是： “除以2倒取余数法”
结果为：1101
例：十进制数13转化成二进制数
直到商为零
13
2
6
2
1
3
2
1
1
2
0
0
1
十进制整数转换成二进制整数
小数部分:按“顺序乘2取整法”的原则进行转换。
小数乘以2，第一次相乘结果的整数部分为目的数的最高位，将其小数部分再乘2依次记下整数部分，反复进行下去，直到乘积的小数部分为“0”，或满足要求的精度为止。
例如 (0.375 )10
读数方向由上往下
于是 (0.375)10=(0.011)2
8. 十进制数转换成二进制数
例1　将下列二进制数换算成十进制数
　 (101)2 ; (101011)2
解 (101)2 = 1×22+0×21+1×20=4+0+1=(5)10
(101011)2
= 1×25+0×24+1×23 +0×22 +1×21 +1×20
= 32+0+8+0+2+1=(43)10
例题与练习
例题与练习
例2　将下列各数换算成二进制数
　 (101)10 ; (93)10
解
(101)10=(1100101)2
读数方向由下往上
例题与练习
解
(93)10=(1011101)2
读数方向由下往上
补充
例4　将下列各数换算成二进制数
　 (105.625)10
解
(105)10=(1101001)2
读数方向由下往上
三、例题与练习
得 (0.625)10=(0.101)2
于是 (105.625)10=(1101001.101)2
读数方向由上往下
三、拓展练习
例3　将下列数换算成十进制数
　 (176)8 ;
解 (176)8 = 1×82+7×81+6×80=64+56+6
=(126)10
三、例题与练习
练习　
1、写出下列各数的按权展开式
①(15.82)10 ② ( 54210)8 ③ ( 11011.01)2
2、将二进制数换算成十进制数
①(1001110)2 ② ( 11111)2 ③ ( 1101.101)2
3、将十进制数换算成二进制数
①(1582)10 ② ( 542)10 ③ (1101)10
(3333)=3*103+3*102+3*101+3*100
十进制数具有以下特点：
(1)数字的个数等于基数10，即0、1、…、9十个数字。
(2)最大的数字比基数小1，采用逢十进一。
(3)这里个(100)、十(101)、百(102)称为位权，位权的大小是以基数为底，数码所在位置序号为指数的整数次幂。
(1)数字的个数等于基数2，即0、1二个数字。
(2)最大的数字比基数小1，采用逢二进一。
(3)这里的位权为(20)、(21)、(22)、(23)等等。位权的大小是以2为底，数码所在位置序号为指数的整数次幂。
二进制数具有以下特点：
10111 =1×24+0×23+1×22+1×21+1×20
八进制特点是逢八进一
八进制数位上有 0,1,2,3,4,5,6,7 八个数码。
八进制基数是 8 。
八进制位权数：
八进制
补充 二进制与八进制转换
转换方法：从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每三位分为一组，不足三位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的八进制码替代，即得八进制数。
例：（11010111.0100111）2 = （327.234）8
由于16=24，所以在将二进制数转换成十六进制数时，从小数点开始，将二进制数的整数和小数部分每四位分为一组，不足四位的分别在整数的最高位前和小数的最低位后加“0”补足，然后每组用等值的十六进制码替代，即得目的数。十六进制数转换成二进制数时正好相反，一位十六进制数用四位二进制数来替换。对于有小数的数，要分小数和整数部分处理。
补充二进制转与十六进制的相互转换
例: (111011.10101)2=(3B.A8)16
例: (111011.10101)2=(3B.A8)16
莱布尼兹
（Gottfriend Wilhelm von Leibniz 1646.7.1.—1716.11.14.）
德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才，和牛顿同为微积分的创建人。
在数学史上，他应该是第一个明确提出二进制数这个概念的科学家。
四、知识背景介绍
约翰·冯·诺依曼
（ John Von Nouma，1903－1957）
美藉匈牙利人 。20世纪最杰出的数学家之一 ，“计算机之父”、 “博弈论之父”，是上世纪最伟大的全才之一。
20世纪30年代中期，数学家冯.诺依曼大胆提出采用二进制作为数字计算机的数制基础。
目前计算机内部处理信息都是用二进制表示的。
五、课堂小结
一、进位计数制。
二、十进制构成。
二、二进制的表示方法。
三、二进制与十进制的相互转换

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