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专题七 概率与统计
02 用样本估计总体
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.21·cn·jy·com
2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.
4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本 ( http: / / www.21cnjy.com )的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
数据分析：通过频率分布直方图求概率等，提升数据分析能力.
逻辑推理：通过频率分布直方图，体现逻辑推理的素养.
数学运算：在学习和应用百分位数的过程中 ( http: / / www.21cnjy.com )，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，对数据进行分析，发展学生的数学建模能力、数学运算素养和数据分析素养.
1.画频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差是一组数据中最大值与最小值的差.
(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成5～12组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.21教育网
(3)将数据分组.
(4)列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、频率.其中频数合计应是样本容量，频率合计是1.
(5)画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝频率.各小长方形的面积和等于1.
2.其它统计图表
统计图表 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
3.总体百分位数的估计
(1)第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值， ( http: / / www.21cnjy.com )它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据.
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数.
4.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
【常用结论】
1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.21cnjy.com
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
考点一　样本的数字特征的计算与应用
（1）(多选) (2021·武汉调研)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如下表所示，
甲 乙
环数 4 5 6 7 8 5 6 9
频数 1 1 1 1 1 3 1 1
下列说法正确的有(　　)
A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
B．甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
D．甲成绩的极差等于乙成绩的极差
【答案】CD
【解析】由表中数据，得甲＝×(4＋5＋6＋7＋8)＝6，
乙＝×(5×3＋6＋9)＝6，
所以甲＝乙，A错误；
甲成绩的中位数是6，乙成绩的中位数是5，
所以甲成绩的中位数大于乙成绩的中位数，B错误；
s＝×[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝2，
s＝×[3×(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝2.4，
所以s甲成绩的极差为8－4＝4，乙成绩的极差为9－5＝4，
所以甲成绩的极差等于乙成绩的极差，D正确.
（2）(2021·重庆诊断 ( http: / / www.21cnjy.com ))“平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即.国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015—2019年GDP数据：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
国内生产总值/万元 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09
根据表中数据，2015—2019年我国GDP的平均增长量为(　　)
A．5.03万亿元 B．6.04万亿元
C．7.55万亿元 D．10.07万亿元
【答案】C　
【解析】由题意知，2015 ( http: / / www.21cnjy.com )—2019年我国GDP增长量之和为99.09－68.89＝30.2(万亿元)，所以2015—2019年我国GDP的平均增长量为＝7.55(万亿元)，故选C.
（3）（2021·辽宁丹东·高三期中）高三（1）班男女同学人数之比为，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】
设男同学为人，女同学为人，根据平均数公式及方差公式计算可得；
【详解】
解：设男同学为人，女同学为人，则全班的平均数为，
设男同学为，，，，女同学为，，，，则，所以男同学的方差①，女同学的方差②；由①可得，即，由②可得，即，所以全班同学的方差为
即
故选：D
【规律方法】
众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论
(1)平均数与方差都是重要的数字特征，是对总 ( http: / / www.21cnjy.com )体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小.
(2)方差的简化计算公式：，或写成s2＝，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.
【跟踪练习】（1）（2021·湖北·高二月 ( http: / / www.21cnjy.com )考）有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的（ ）www.21-cn-jy.com
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
【答案】C
【分析】
根据中位数的性质，结合题设按成绩排序7选3，即可知还需明确的成绩数据信息.
【详解】
由题设，7名同学参加百米竞赛，要取前3名参加决赛，则成绩从高到低排列，确定7名同学成绩的中位数，即第3名的成绩便可判断自己是否能进入决赛.【来源：21cnj*y.co*m】
故选：C.
（2）（2021·云南师大附中高三月考（文））某校高三年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下：
成绩 [80，90] (90，100] (100，110] (110，120] (120，130] (130，140] (140，150]
频数 30 40 15 12 12 5 2
则以上考生成绩的中位数（ ）
A．在（90，100]内 B．在（100，110]内
C．在（110，120]内 D．在（120，130]内
【答案】A
【分析】
直接根据中位数的定义可得答案.
【详解】
由表知，考生共有30+（人），在，内有30人，在内有40人，所以及格的所有考生成绩的中位数在，内.【来源：21·世纪·教育·网】
故选：A．
（3）（2020·安徽·高三学业考试）已知某学校高二年级的一班和二班分别有人和人.某次学校考试中，两班学生的平均分分别为和，则这两个班学生的数学平均分为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用平均数公式可求得结果.
【详解】
这两个班学生的数学总分为，故这两个班学生的数学平均分为.
故选：C.
考点二 统计图表及应用
考法1 茎叶图
（1）（2021·广西·玉林市第十一中学 ( http: / / www.21cnjy.com )高二月考）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的极差是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．56 B．53 C．55 D．51
【答案】A
【分析】
根据极差的定义，结合茎叶图中的数据，即得解
【详解】
由题意，茎叶图中数据最大值为68，最小值为12
故极差
故选：A
（2）（2021·云南师大附中高三月考（文 ( http: / / www.21cnjy.com )））袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农. 50 多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘.不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队在发现“野败”后，将其带回实验，设计了试验田一、二通过随机抽样法在两块试验田中分别抽取20株水稻，并统计每株水稻的稻穗数(单位:颗)得到如图所示的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．试验田二的中位数是246
B．试验田一的标准差小于试验田二的标准差
C．试验田一的平均数小于试验田二的平均.
D．试验田一的众数是215
【答案】B
【分析】
由茎叶图提供的数据根据中位数定义确定中位数，根据数据的离散程度判断标准差的大小，根据数据集中度估计平均值，由众数定义确定众数，判断各选项．21世纪教育网版权所有
【详解】
根据茎叶图知试验田二稻穗数的中位数是246，故A正确；
试验田一数据的离散程度较大，所以试验田一稻穗数的标准差大于试验田二稻穗数的标准差，故B错误；
试验田一的数据集中于区间(200，220)，而试验田二的数据集中于区间(240，260)，所以，故C正确；
试验田一稻穗数的众数是215，故D正确，
故选：B．
考法2 扇形图
（1）（2021·重庆市实验中学高 ( http: / / www.21cnjy.com )三月考）旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和．随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论不正确的有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半
B．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%
C．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多
D．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为25%
【答案】ACD
【分析】
利用图表可知游客中老年人、中年人、青年人的人数比例以及选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数比例，即可判断.
【详解】
本题考查统计图表，考查数据处理能力．
设2020年到该地旅游的游客总人数为 ( http: / / www.21cnjy.com )a，由题意可知游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为0.2a，0.35a，0.45a，其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为0.04a，0.0875a，0.135a．
因为，所以A错误；
2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数与总游客人数的比值为，则B正确；
因为，所以C错误；
2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为，则D错误．
故选：ACD.
（2）（2021·湖北武汉 ( http: / / www.21cnjy.com )·高三开学考试）某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍，调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则下列结论中正确的有（ ）
A．调整后房地产业的利润有所下降 B．调整后医疗器械的利润增长量最大
C．调整后生物制药的利润增长率最高 D．调整后金融产业的利润占比最低
【答案】BCD
【分析】
根据题目条件结合扇形图逐一分析各个选项即可得出答案.
【详解】
解：设三年前的总利润为a，则今年的总利润为3a，
对于A，调整前房地产业的利润为，调整后房地产业的利润为，
所以调整后房地产业的利润有所上升，故A错误；
对于B，调整后医疗器械的利润增长量为，
调整后房地产业的利润增长量为，
调整后金融产业的利润增长量为，
调整后生物制药的利润增长量为，
所以调整后医疗器械的利润增长量最大，故B正确；
对于C，调整后生物制药的利润增长率为，
调整后金融产业的利润增长率为，
调整后房地产业的利润增长率为，
调整后医疗器械的利润增长率为，
所以调整后生物制药的利润增长率最高，故C正确；
对于D，根据调整后的扇形图可知调整后金融产业的利润占比最低，故D正确.
故选：BCD.
考法3 折线图
（1）(多选)(2021·淄博模拟)区域经济变化影响着人口的流动，下图为过去某连续5年各省、自治区及直辖市(不含港澳台)人口增长统计图．【版权所有：21教育】
某连续5年各省、自治区及直辖市(不含港澳台)人口增长统计图
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据图中的信息，下面结论中正确的是(　　)
A．广东人口增量最多，天津增幅最高
B．黑龙江无论是增量还是增幅均居末尾
C．天津、北京、重庆和上海四大直辖市增幅均超过5%
D．人口增量超过200万的省、自治区或直辖市共有7个
【答案】　ABD
【解析】对于A，由图知广东5年人口增加 ( http: / / www.21cnjy.com )超过400万，增量最多，天津增幅达到了19.2%，增幅最高，A正确；对于B，由图易知正确；对于C，上海的人口增幅为4.9%，未超过5%，不正确；对于D，人口增量超过200万的省或直辖市有天津、北京、重庆、广东、河北、湖南和山东，正确．综上，选ABD.
（2）（2021·河南·高三月考（文））随 ( http: / / www.21cnjy.com )着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是2012—2020年我国快递业务量变化情况统计图，则这9年我国快递业务量同比增速的中位数为（ ）
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A．30.5% B．48.0%
C．51.4% D．51.9%
【答案】B
【分析】
将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列，结合中位数的概念即可求出结果.
【详解】
将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得
%，%，%，%，%，%，%，%，%，
故中位数为第5个数%.
故选：B.
（3）（2021·全国·高二单元测试）如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0~50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51~100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101~150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由题知X的取值范围为，再计算即得.
【详解】
由题意知，X的取值范围为，空气质量级别不超过二级的为10月份的1日、2日、3日、7日、12日、13日、14日，，
即要连续两天的空气质量级别不超过二级，所以此人应在10月份的1日、2日、12日、13日中的某一天到达该市，所以．
故选：C．
【规律方法】
1.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
2．折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．21教育名师原创作品
3.茎叶图中的两个关注点
(1)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
(2)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.
易错警示：茎叶图中数字大小排列不一定从小到大排列，一定要看清楚.
【跟踪练习】(1)(2021·洛阳模拟)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．200，20 B．100，20
C．200，10 D．100，10
【答案】　A　
【解析】由图①得样本容量为(3500＋2000＋4500)×2%＝10000×2%＝200，
抽取的高中生人数为2000×2%＝40(人)，
则近视人数为40×0.5＝20(人)，故选A.
(2)(多选)某同学在微信上查询到近十 ( http: / / www.21cnjy.com )年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．全国高考报名人数逐年增加
B．2018年全国高考录取率最高
C．2019年高考录取人数约820万
D．2019年山东高考报名人数在全国的占比最小
【答案】BCD
【解析】2016年的人数少于201 ( http: / / www.21cnjy.com )5年人数，故A错误；2018年的录取率为81.1%，为最高，B正确；2019年高考录取人数为1031×79.5%≈820，故C正确；从2010～2019年山东高考报名人数在全国的占比分别为：6.9%，6.3%，5.6%，5.5%，5.9%，7.4%，6.4%，6.2%，6.1%，5.4%，故D正确．2·1·c·n·j·y
（3）（2021·云南·曲靖一中高三月考 ( http: / / www.21cnjy.com )（文））有20名学生参加数学夏令营活动，分A， B两组进行，每组10人夏令营结束时对两组学生进行了一次考核，考核成绩的茎叶图如图所示.则下列说法错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．A组学生考核成绩的众数是78
B．A，B两个组学生平均成绩一样
C．B组考核成绩的中位数是79
D．A组学生成绩更稳定
【答案】C
【分析】
利用茎叶图逐项求解判断.
【详解】
A. A组学生考核成绩的众数是78，故正确；
B. 因为 ，
，故正确；
C. B组考核成绩的中位数是，故错误；
D. ，
，
，
，故正确.
故选：C
考点三 频率分布直方图
（2021·安徽·淮北一中高二月考）某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求20位同学成绩的平均分；
（3）估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数（保留三位有效数字）．
【答案】（1）；（2）；（3）第一四分位数为70.0；第80分位数为．
【分析】
(1)根据频率分布直方图中的频率之和为1即可求解；
(2)根据频率分布直方图中平均数的计算公式即可求解；
(3)根据题意，结合百分位数的概念与计算公式，即可求解.
【详解】
(1)依图可得：，解得：．
(2)根据题意得，．
(3)由图可知，，，，，对应频率分别为：0.1，0.15，0.35，0.3，0.1，前两组频率之和恰为0.25，故第一四分位数为70.0．
前三组频率之和为0.6，前四组频率之和为0.9，所以第80分位数在第四组．
设第80分位数为，则，解得：．
【规律方法】
1.频率分布直方图的性质．
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；
(2)各小长方形的面积之和等于1；
(3)小长方形的高＝.
2．要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系．
【跟踪练习】（2021·云南省玉溪第一中学高二月考（文））某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）平均年龄岁，第80百分位数为；（2）10.
【分析】
（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；
（2）由分层抽样得第四组和第五组分别抽取人和人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为，进而根据方差公式有，代入计算即可得答案.
【详解】
解：（1）设这人的平均年龄为，则
.
设第80百分位数为，由，解得.
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取人和人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为，，方差分别为，，
则，，，，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为，方差为.
则，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，
据此，可估计这人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
1. (2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 (　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】D
【解析】解：低于4.5万元的比率估计为
0.02×1+0.04×1 ( http: / / www.21cnjy.com )=0.06=6%,故A正确;不低于10.5万元的比率估计为(0.04+0.02×3)×1=0.1=10%,故B正确;平均值为:(3×0.02+4×0.04+5×0.1+6×0.14+7×0.2+8×0.2+9×0.1+10×0.1+11×0.04+12×0.02+13×0.02+14×0.02)×1=7.68万元,故C不正确;4.5万元到8.5万元的比率为:0.1×1+0.14×1+0.2×1+0.2×1=0.64=64%,故D正确.
2.（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量.
【详解】
由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.
故选：D.
3．（2021·全国·高考真题 ( http: / / www.21cnjy.com )（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【分析】
根据直方图的意义直接计算 ( http: / / www.21cnjy.com )相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.【出处：21教育名师】
【详解】
因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.21*cnjy*com
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
4. (2021·新高考I卷)有一组样本数据x1, ( http: / / www.21cnjy.com )x2,…,xn,由这组数据得到的新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 (　　)
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】由题可知=,
==+c=+c,
因为c≠0,所以≠,所以A错;
若x1,x2,…,xn的中位数为xk,因为yi=xi+c,所以y1,y2,…,yn的中位数为yk =xk+c≠xk,所以B错;
y1,y2,…,yn的标准差为s ( http: / / www.21cnjy.com )y==
==sx,所以C正确;
设样本数据x1,x2,…,xn中 ( http: / / www.21cnjy.com )最大为xn,最小为x1,因为yi=xi+c,所以样本数据y1,y2,…,yn中最大为yn,最小为y1,极差为yn-y1=(xn+c)-(x1+c)=xn- x1,所以D正确.21·世纪*教育网
故选CD.
5．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺 ( http: / / www.21cnjy.com )炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(　　)
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
【答案】　B
【解析】由题意，第二天完成积压订单及当 ( http: / / www.21cnjy.com )日订单的配货的概率不小于0.95，即第二天确保完成新订单1600份，减去超市每天能完成的1200份，再加上积压的500份，共有1600－1200＋500＝900(份)，至少需要志愿者900÷50＝18(名)．
6.(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(　　)
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
【答案】　C
【解析】　10x1，10x2，…，10xn的方差为102×0.01＝1.故选C.
7. (2020·新高考海南卷)某中学的学 ( http: / / www.21cnjy.com )生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56% C．46% D．42%
【答案】　C
【解析】如图，用Venn图表示 ( http: / / www.21cnjy.com )该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.
8. (2020·天津卷)从一批零 ( http: / / www.21cnjy.com )件中抽取80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】　B
【解析】因为直径落在区间[5.43，5.4 ( http: / / www.21cnjy.com )7)内的频率为0.02×(6.25＋5.00)＝0.225，所以个数为0.225×80＝18.故选B.
9.（2021·江西·南城县第二中学高二月考）已知一组数据的平均数是1，那么另一组数据的平均数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
根据平均数公式计算可得；
【详解】
解：因为一组数据的平均数是1，所以
即，所以，即一组数据的平均数为；
故选：C
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在“双”促销活动中，某网店在月日时到时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知时到时的销售额为万元，则时到时的销售额为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
【答案】D
【分析】
先求出时到时频率，即可得总的销售额，再乘以时到时频率即可求解.
【详解】
由频率分布直方图可知：时到时的频率为，
所以总的销售额为万元，
所以时到时的销售额为万元，
故选：D.
11.（2021·内蒙古赤峰·高三月考（文 ( http: / / www.21cnjy.com )））汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B．甲车以km/h的速度行驶1h消耗8L汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．若机动车最高限速km/h，在相同条件下，乙，丙两辆车节油情况无法比较．
【答案】B
【分析】
结合图象逐项分析即得.
【详解】
由题可知，当乙车速度大于40km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5km，A错误；
甲车以km/h的速度行驶时，燃油效率为10km/L,则行驶1h消耗8L汽油，B正确；
以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高耗油越少，故三辆车中甲车消耗汽油最少，C错误；
在机动车最高限速km/h在相同条件下，丙车比乙车燃油效率更高，所以更节油，D错误.
故选：B
12.（2021·安徽·高二月考）已知样本甲：a，b，c，d，e，样本乙：，，，，，其中a，b，c，d，e为正实数，则下列叙述中一定正确的是（ ）
A．样本乙的极差大于样本甲的极差
B．样本乙的众数均大于样本甲的众数
C．若c为样本甲的中位数，则为样本乙的中位数
D．若c为样本甲的平均数，则为样本乙的平均数
【答案】CD
【分析】
利用极差，众数，中位数，平均数的定义和性质同时结合举反例的方法即可直接判断选项.
【详解】
若，则样本甲和乙的极差均为0，所以选项A错误：
若样本甲：1，1，2，5，5，样本乙：3，3，5，11，11，则甲的众数为1和5，乙的众数为3和11，而，所以选项B错误；2-1-c-n-j-y
若c为样本甲的中位数，则为样本乙的中位数，所以选项C正确；
若c为样本甲的平均数，即，
则，故D正确.
故选：CD.
13.（2021·全国·高三专题练习）下 ( http: / / www.21cnjy.com )图是2020年2月15日至3月2日来巾新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B．该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
C．2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于人的有天
D．2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势
【答案】D
【分析】
根据折线图对选项逐一分析，由此确定说法不正确的选项.
【详解】
A，2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数，正确.
B，该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低，正确.
C，2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于人的有天，正确.
D，2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势，错误，因为这三天有反弹.
故选：D
14.（2021·四川郫都· ( http: / / www.21cnjy.com )高三月考（文））为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；
②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；
③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；
④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①④
C．①③ D．②④
【答案】A
【分析】
根据茎叶图得到甲、乙的得分，求出中位数、平均数、方差，即可判断；
【详解】
甲的得分为25,28,29,31,32；
乙的得分为28,29,30,31,32；
因为，
故甲、乙得分中位数分别为29、30；平均数分别为29、30；方差分别为、；
故正确的有②③；
故选：A
15.（2021·全国·高一专题练习）某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，从甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示如图所示.若，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的平均分，，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则________；________.（填“>”“<”或“=”）
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】= <
【分析】
直接计算甲、乙两班随机抽取的5名学生的学分的平均分和标准差进行比较即可
【详解】
由茎叶图可得
，
，
所以，
因为，
，
所以，
故答案为：=，<
16.（2021·广东肇庆·模拟预测）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求，的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）.
【答案】（1）；（2）90；（3）平均值为69.5，中位数为69.4
【分析】
（1）根据题意得到方程组，解得答案.
（2）计算高分频率为高分的频率约为，得到人数.
（3）直接利用平均数公式计算得到平均值，再设中位数为，则，解得答案.
【详解】
（1）由题意可知：，解得.
（2）高分的频率约为：.
故高分人数为：.
（3）平均值为：
.
设中位数为，则，.
故中位数为.
17.（2021·山西· ( http: / / www.21cnjy.com )大同市平城中学校高一月考）如图，从参加数学竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次数学竞赛的 ( http: / / www.21cnjy.com )平均数、众数、方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，平均数精确到0.01，方差只列必要的关系式，不要求计算）．
（3）估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
【答案】（1）15，0.25 （2）平均数70.5，众数74.5，方差见详解 （3）0.75
【分析】
（1）直方图中各个矩形的面积代表了频率，频率乘以样本数为频数，代入计算即得解；
（2）根据直方图估计平均数、众数、方差的公式，结合直方图中数据计算即可；
（3）利用直方图中代表60分以上的矩形面积和估计即可.
【详解】
（1）由题意，这一组的矩形的高为0.025，直方图中各个矩形的面积代表了频率，则这一组的频率，频数.
（2）数学竞赛的平均数:
数学竞赛的众数:
数学竞赛的方差:
（3）估计这次数学竞赛的及格率为：
18.（2021·全国·高考真题（理））某 ( http: / / www.21cnjy.com )厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．www-2-1-cnjy-com
【答案】（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
【分析】
（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.
（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.
【详解】
（1），
，
，
.
（2）依题意，，，
，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2.1
例2.2
例2.3
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题七 概率与统计
02 用样本估计总体
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.了解分布的意义与作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.www.21-cn-jy.com
2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.
3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.
4.会用样本的频率分布估计总体分布，会 ( http: / / www.21cnjy.com )用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．
数据分析：通过频率分布直方图求概率等，提升数据分析能力.
逻辑推理：通过频率分布直方图，体现逻辑推理的素养.
数学运算：在学习和应用百分位数的过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，对数据进行分析，发展学生的数学建模能力、数学运算素养和数据分析素养.
1.画频率分布直方图的步骤
(1)求极差：极差是一组数据中______与______的差.
(2)决定组距与组数：当样本容量不超过100时，常分成______组，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”.【版权所有：21教育】
(3)将数据分组.
(4)列频率分布表：一般分四列，即分组、频数累计、频数、______.其中频数合计应是样本容量，频率合计是______.21教育名师原创作品
(5)画频率分布直方图：横轴表示样本数据，纵轴表示.小长方形的面积＝组距×＝______.各小长方形的面积和等于1.
2.其它统计图表
统计图表 主要应用
扇形图 直观描述各类数据占总数的比例
条形图和直方图 直观描述不同类别或分组数据的频数和频率
折线图 描述数据随时间的变化趋势
3.总体百分位数的估计
(1)第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位 ( http: / / www.21cnjy.com )数是这样一个值，它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.21·cn·jy·com
(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按______排列原始数据.
第2步，计算i＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而 ( http: / / www.21cnjy.com )大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第______项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的______.21*cnjy*com
4.样本的数字特征
(1)众数：一组数据中______的那个数据，叫做这组数据的众数.
(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于______位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.
(3)平均数：把______称为a1，a2，…，an这n个数的平均数.
(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是
s＝，
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2].
【常用结论】
1.频率分布直方图与众数、中位数、平均数的关系
(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.
(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.
(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.
2.平均数、方差的公式推广
(1)若数据x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋a.
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，那么
①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；
②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.
考点一　样本的数字特征的计算与应用
（1）(多选) (2021·武汉调研)甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的统计表如下表所示，
甲 乙
环数 4 5 6 7 8 5 6 9
频数 1 1 1 1 1 3 1 1
下列说法正确的有(　　)
A．甲成绩的平均数小于乙成绩的平均数
B．甲成绩的中位数等于乙成绩的中位数
C．甲成绩的方差小于乙成绩的方差
D．甲成绩的极差等于乙成绩的极差
（2）(2021·重庆诊断)“平均增长量 ( http: / / www.21cnjy.com )”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即.国内生产总值(GDP)被公认为是衡量国家经济状况的最佳指标，下表是我国2015—2019年GDP数据：
年份 2015 2016 2017 2018 2019
国内生产总值/万元 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09
根据表中数据，2015—2019年我国GDP的平均增长量为(　　)
A．5.03万亿元 B．6.04万亿元
C．7.55万亿元 D．10.07万亿元
（3）（2021·辽宁丹东·高三期中）高三（1）班男女同学人数之比为，班级所有同学进行踢毽球（毽子）比赛，比赛规则是：每个同学用脚踢起毽球，落地前用脚接住并踢起，脚接不到毽球比赛结束.记录每个同学用脚踢起毽球开始到毽球落地，脚踢到毽球的次数，已知男同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，女同学用脚踢到毽球次数的平均数为，方差为，那么全班同学用脚踢到毽球次数的平均数和方差分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【规律方法】
众数、中位数、平均数、方差的意义及常用结论
(1)平均数与方差都是重要的数字特征， ( http: / / www.21cnjy.com )是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小.
(2)方差的简化计算公式：，或写成s2＝，即方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方.
【跟踪练习】（1）（2021·湖北·高 ( http: / / www.21cnjy.com )二月考）有7名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，取前3名参加决赛，小明同学已经知道了自己的成绩，为了判断自己是否能进入决赛，他还需要知道7名同学成绩的（ ）21教育网
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
（2）（2021·云南师大附中高三月考（文））某校高三年级在某次数学测验中成绩不低于80分的所有考生的成绩统计表如下：21·世纪*教育网
成绩 [80，90] (90，100] (100，110] (110，120] (120，130] (130，140] (140，150]
频数 30 40 15 12 12 5 2
则以上考生成绩的中位数（ ）
A．在（90，100]内 B．在（100，110]内
C．在（110，120]内 D．在（120，130]内
（3）（2020·安徽·高三学业考试）已知某学校高二年级的一班和二班分别有人和人.某次学校考试中，两班学生的平均分分别为和，则这两个班学生的数学平均分为（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
考点二 统计图表及应用
考法1 茎叶图
（1）（2021·广西·玉林市 ( http: / / www.21cnjy.com )第十一中学高二月考）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的极差是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．56 B．53 C．55 D．51
（2）（2021·云南师大 ( http: / / www.21cnjy.com )附中高三月考（文））袁隆平院士是中国杂交水稻事业的开创者，是当代神农. 50 多年来，他始终在农业科学的第一线辛勤耕耘.不懈探索，为人类运用科技手段战胜饥饿带来了绿色的希望和金色的收获.袁老的科研团队在发现“野败”后，将其带回实验，设计了试验田一、二通过随机抽样法在两块试验田中分别抽取20株水稻，并统计每株水稻的稻穗数(单位:颗)得到如图所示的茎叶图，则下列说法错误的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．试验田二的中位数是246
B．试验田一的标准差小于试验田二的标准差
C．试验田一的平均数小于试验田二的平均.
D．试验田一的众数是215
考法2 扇形图
（1）（2021·重庆市实验中学 ( http: / / www.21cnjy.com )高三月考）旅游是人们为寻求精神上的愉快感受而进行的非定居性旅行和游览过程中所发生的一切关系和现象的总和．随着经济生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从2020年到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数和旅游方式如图所示，则下列结论不正确的有（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的中年人的人数少于选择自助游的青年人人数的一半
B．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的青年人的人数占总游客人数的13.5%
C．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的老年人和中年人的人数之和比选择自助游的青年人多
D．估计2020年到该地旅游的游客选择自助游的比率为25%
（2）（2021·湖北武汉· ( http: / / www.21cnjy.com )高三开学考试）某公司经营四种产业，为应对市场变化，在三年前进行产业结构调整，优化后的产业结构使公司总利润不断增长，今年总利润比三年前增加一倍，调整前后的各产业利润与总利润的占比如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
则下列结论中正确的有（ ）
A．调整后房地产业的利润有所下降 B．调整后医疗器械的利润增长量最大
C．调整后生物制药的利润增长率最高 D．调整后金融产业的利润占比最低
考法3 折线图
（1）(多选)(2021·淄博模拟)区域经济变化影响着人口的流动，下图为过去某连续5年各省、自治区及直辖市(不含港澳台)人口增长统计图．
某连续5年各省、自治区及直辖市(不含港澳台)人口增长统计图
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据图中的信息，下面结论中正确的是(　　)
A．广东人口增量最多，天津增幅最高
B．黑龙江无论是增量还是增幅均居末尾
C．天津、北京、重庆和上海四大直辖市增幅均超过5%
D．人口增量超过200万的省、自治区或直辖市共有7个
（2）（2021·河南·高三月考（文） ( http: / / www.21cnjy.com )）随着互联网和物流行业的快速发展，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分.下图是2012—2020年我国快递业务量变化情况统计图，则这9年我国快递业务量同比增速的中位数为（ ）21cnjy.com
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A．30.5% B．48.0%
C．51.4% D．51.9%
（3）（2021·全国·高二单元测试）如图是某市10月份1日至14日的空气污染指数折线图，空气污染指数为0~50，空气质量级别为一级；空气污染指数为51~100，空气质量级别为二级；空气污染指数为101~150，空气质量级别为三级．某人随机选择10月份的1日至13日中的某一天到达该市，并停留2天．设X是此人停留期间空气质量级别不超过二级的天数，则（ ）
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A． B． C． D．
【规律方法】
1.通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量同总数之间的关系．
2．折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势．
3.茎叶图中的两个关注点
(1)重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.
(2)给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心”下移者平均数较大，数据集中者方差较小.
易错警示：茎叶图中数字大小排列不一定从小到大排列，一定要看清楚.
【跟踪练习】(1)(2021·洛阳模拟)已 ( http: / / www.21cnjy.com )知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)【来源：21cnj*y.co*m】
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A．200，20 B．100，20
C．200，10 D．100，10
(2)(多选)某同学在微 ( http: / / www.21cnjy.com )信上查询到近十年全国高考报名人数、录取人数和山东夏季高考报名人数的折线图，其中2019年的录取人数被遮挡了．他又查询到近十年全国高考录取率的散点图，结合图表中的信息判定下列说法正确的是(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
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A．全国高考报名人数逐年增加
B．2018年全国高考录取率最高
C．2019年高考录取人数约820万
D．2019年山东高考报名人数在全国的占比最小
（3）（2021·云南·曲靖一中高三月考（文 ( http: / / www.21cnjy.com )））有20名学生参加数学夏令营活动，分A， B两组进行，每组10人夏令营结束时对两组学生进行了一次考核，考核成绩的茎叶图如图所示.则下列说法错误的是（ ）
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A．A组学生考核成绩的众数是78
B．A，B两个组学生平均成绩一样
C．B组考核成绩的中位数是79
D．A组学生成绩更稳定
考点三 频率分布直方图
（2021·安徽·淮北一中高二月考）某次数学考试后，抽取了20名同学的成绩作为样本绘制了频率分布直方图如下：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求频率分布直方图中的值；
（2）求20位同学成绩的平均分；
（3）估计样本数据的第一四分位数和第80百分位数（保留三位有效数字）．
【规律方法】
1.频率分布直方图的性质．
(1)小长方形的面积＝组距×＝频率；
(2)各小长方形的面积之和等于1；
(3)小长方形的高＝.
2．要理解并记准频率分布直方图与众数、中位数及平均数的关系．
【跟踪练习】（2021·云南省玉溪第一中学高二月考（文））某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图.2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这人中35~45岁所有人的年龄的方差.
1. (2021·全国甲卷)为了解某地农村经济情况,对该地农户家庭年收入进行抽样调查,将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图:
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据此频率分布直方图,下面结论中不正确的是 (　　)
A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D.估计该地有一半以上的农户,其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
2.（2021·天津·高考真题）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
3．（2021·全国·高考真题 ( http: / / www.21cnjy.com )（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
( http: / / www.21cnjy.com / )
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
4. (2021·新高考I卷)有一组样本数据x ( http: / / www.21cnjy.com )1,x2,…,xn,由这组数据得到的新样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=xi+c(i=1,2,…,n),c为非零常数,则 (　　)【出处：21教育名师】
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据的样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样本数据的样本极差相同
5．(2020·全国Ⅱ卷)在新冠 ( http: / / www.21cnjy.com )肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(　　)
A．10名 B．18名 C．24名 D．32名
6.(2020·全国Ⅲ卷)设一组样本数据x1，x2，…，xn的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10xn的方差为(　　)
A．0.01 B．0.1 C．1 D．10
7. (2020·新高考海南卷) ( http: / / www.21cnjy.com )某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A．62% B．56% C．46% D．42%
8. (2020·天津卷)从一批零件中抽取 ( http: / / www.21cnjy.com )80个，测量其直径(单位：mm)，将所得数据分为9组：[5.31，5.33)，[5.33，5.35)，…，[5.45，5.47)，[5.47，5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43，5.47)内的个数为(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．10 B．18 C．20 D．36
9.（2021·江西·南城县第二中学高二月考）已知一组数据的平均数是1，那么另一组数据的平均数为（ ）www-2-1-cnjy-com
A．4 B．3 C．2 D．1
10．（2021·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在“双”促销活动中，某网店在月日时到时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知时到时的销售额为万元，则时到时的销售额为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．万元 B．万元 C．万元 D．万元
11.（2021·内蒙古赤峰 ( http: / / www.21cnjy.com )·高三月考（文））汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km
B．甲车以km/h的速度行驶1h消耗8L汽油
C．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
D．若机动车最高限速km/h，在相同条件下，乙，丙两辆车节油情况无法比较．
12.（2021·安徽·高二月考）已知样本甲：a，b，c，d，e，样本乙：，，，，，其中a，b，c，d，e为正实数，则下列叙述中一定正确的是（ ）
A．样本乙的极差大于样本甲的极差
B．样本乙的众数均大于样本甲的众数
C．若c为样本甲的中位数，则为样本乙的中位数
D．若c为样本甲的平均数，则为样本乙的平均数
13.（2021·全国·高三专题练习）下图 ( http: / / www.21cnjy.com )是2020年2月15日至3月2日来巾新冠肺炎新增确诊病例的折线统计图.则下列说法不正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．2020年2月19日该市新增新冠肺炎确诊病例大幅下降至三位数
B．该市新冠肺炎疫情防控取得了阶段性的成果，但防控要求不能降低
C．2020年2月19日至3月2日该市新增新冠肺炎确诊病例低于人的有天
D．2020年2月15日到3月2日该市新冠肺炎新增确诊病例一直呈下降趋势
14.（2021·四川郫都· ( http: / / www.21cnjy.com )高三月考（文））为比较甲，乙两名篮球运动员的近期竞技状态，选取这两名球员最近五场的得分制成如图所示的茎叶图. 有下列结论：
( http: / / www.21cnjy.com / )
①甲最近五场比赛得分的中位数高于乙最近五场比赛得分的中位数；
②甲最近五场比赛得分的平均数低于乙最近五场比赛得分的平均数；
③从最近五场比赛的得分看，乙比甲更稳定；
④从最近五场比赛的得分看，甲比乙更稳定.
其中所有正确结论的序号是（ ）
A．②③ B．①④
C．①③ D．②④
15.（2021·全国·高一专题练习）某校高一年级开设了丰富多彩的校本课程，从甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示如图所示.若，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的平均分，，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则________；________.（填“>”“<”或“=”）
( http: / / www.21cnjy.com / )
16.（2021·广东肇庆·模拟预测）为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中，600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组.已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同.
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求，的值；
（2）估算高分（大于等于80分）人数；
（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）.
17.（2021·山西·大同市 ( http: / / www.21cnjy.com )平城中学校高一月考）如图，从参加数学竞赛的学生中抽出 60 名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次数学竞赛的平均数、众数 ( http: / / www.21cnjy.com )、方差（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，平均数精确到0.01，方差只列必要的关系式，不要求计算）．2·1·c·n·j·y
（3）估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）．
18.（2021·全国·高考真题（ ( http: / / www.21cnjy.com )理））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备 9.8 10.3 10.0 10.2 9.9 9.8 10.0 10.1 10.2 9.7
新设备 10.1 10.4 10.1 10.0 10.1 10.3 10.6 10.5 10.4 10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．【来源：21·世纪·教育·网】
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2.1
例2.2
例2.3
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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