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专题七 概率与统计
04 分类加法原理与分步乘法原理
考纲对本模块内容的具体要求如下：
计数原理是高考常考知识点之一，主要是与排 ( http: / / www.21cnjy.com )列组合相联系出题，在应用计数原理计算时要分清分类与分步，以及两者的结合出题，题目主要以选择或者填空为主，难度不是很大.
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
数学抽象：通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
数学运算：会用两个计数原理解决计数问题.
逻辑推理：通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养.
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．21世纪教育网版权所有
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．21cnjy.com
3．分类加法和分步乘法计数原理，区别 ( http: / / www.21cnjy.com )在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
考点一　分类加法计数原理应用
（1）(2020浙江高三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考)某学校打算从高三（1）班的5位男生中选出一部分(不可以不选)，再从高三（2）班的4位女生中选出一部分(不可以不选)组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有（ ）21·cn·jy·com
A．30种 B．96种 C．120种 D．125种
(2)（2021·甘肃·静宁县第一中学高二月考（理））如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（ ）种.
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．9 B．11 C．13 D．15
【规律方法】
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复．www.21-cn-jy.com
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
【跟踪练习】（2021·全国·高二单元测试） ( http: / / www.21cnjy.com )甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．最高处的树枝为G，I中的一个
B．最低处的树枝一定是F
C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种
考点二 分步乘法计数原理应用
（1）(2021·石家庄模拟)将“福”、 ( http: / / www.21cnjy.com )“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．288种 B．144种 C．576种 D．96种
（2）(2020湖南永州市高三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（ ）21·世纪*教育网
A．320种 B．360种 C．370种 D．390种
（3）（2021·全国·高二课时练习）如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面．拋一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0．现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为，则可得不同的数组共有多少个？2-1-c-n-j-y
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【规律方法】
1.利用分步乘法计数原理解 ( http: / / www.21cnjy.com )决问题要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．21*cnjy*com
2．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
【跟踪练习】（1）（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）个人排队，其中甲 乙 丙人两两不相邻的排法有（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．种 B．种 C．种 D．种
（2）（2021·四川·雅安中学高二期 ( http: / / www.21cnjy.com )中（理））甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（ ）
A．12 B．24 C．64 D．81
考点三 两个计数原理的综合应用
考法1 与数字有关的问题
（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　)【版权所有：21教育】
A．30 B．20 C．10 D．6
（2）如果一个三位正整数如“a1a2a3 ( http: / / www.21cnjy.com )”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(　　)21教育名师原创作品
A．240 B．204 C．729 D．920
考法2 与几何有关的问题
（1）（2021·全国·高二课时练习）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）21*cnjy*com
A．18 B．30 C．36 D．54
（2）如果一条直线与一个平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)
A.60 B.48 C.36 D.24
考法3 涂色问题
（1）(2021·济南模拟)如图所示的几 ( http: / / www.21cnjy.com )何体由三棱锥P－ABC与三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6种 B．9种 C．12种 D．36种
（2）（2021·河北·大名县第一中学高二月考）四棱锥用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两个面不同色，则共有（ ）种涂法.
A．34 B．36 C．48 D．72
【规律方法】
1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：
(1)一般是先分类再分步．在分步 ( http: / / www.21cnjy.com )时可能又用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．
2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．
【跟踪练习】(1)(2020·衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A．243 B．252 C．261 D．279
(2)(2021·长沙模拟)如图，请 ( http: / / www.21cnjy.com )你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有________种不同的涂色方法(用具体数字作答)．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（3）（2021·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )高二课时练习）已知集合M∈{1，－2，3)，N∈{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）
A．18 B．10 C．16 D．14
1.（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）21教育网
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A．14条 B．12条 C．9条 D．7条
2. (2020·全国Ⅱ卷)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．8 C．10 D．15【出处：21教育名师】
3.（2019·河南·鹤壁高中高三月考（理））若一个正方体绕着某直线旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
4.（2021·福建·泉州科技中 ( http: / / www.21cnjy.com )学高三月考）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
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A． B． C． D．
5.（2020·广东·台山市华侨中学高二月考）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）.
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
6.（2021·全国·高二课时练习）设凸n (n≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)＝(　　)
A．n－1 B．n
C．n＋1 D．n＋2
7.（2022·江苏·高三专题练习）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（ ）
A．表示不同的正数的个数是6
B．表示不同的比1小的数的个数是6
C．（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6
D．（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6
8.（2020·浙江·高三月考）已知正整数，满足：，能整除2016，但不能整除2016，则的个数为（ ）
A．916 B．917 C．918 D．919
9.（2021·全国·高二单元测试）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
10.（2021·全国·高二单元测试）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法
C．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法
D．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法
11.（2021·全国·高二课时练习）如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
( http: / / www.21cnjy.com / )
12.（2020·浙江·镇海中学模拟预 ( http: / / www.21cnjy.com )测）某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．（用具体数字作答）
13.（2021·云南师大附 ( http: / / www.21cnjy.com )中高三月考（文））2021年河北等八省举行首次“3+1+2”的新高考模式，“3”为全国统一高考的语文 数学 外语3门必考科目，“1”由考生在物理 历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治 地理 化学 生物4门中选考2门科目.则甲，乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中恰有两门科目相同且只有这两门相同的方法数为___________种.
14.（2021·全国·高二单元测试）某考试监考规定：每个考场都必须有名监考教师，其中至少名是女教师．现从 名女教师和名男教师中选出名教师参加某考场的监考工作．要求名女教师在考场内流动监考，另外名教师固定在考场内监考，请问有多少种不同的安排方案？
15.（2021·全国·高二单元 ( http: / / www.21cnjy.com )测试）某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本．已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？
16.（2021·全国·高二课时练习）用种不同的颜色给如图所示的、、、四个区域涂色．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？
（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有种不同的涂色方案，求的值．
17．（2021·全国·高二课时练习）将封信全部投入个邮筒：
（1）不加任何限制，有多少种不同的投法？
（2）每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？
18．（2021·全国·高二课时练习）有不同的红球个，不同的白球个.
（1）从中取出一个球，共有多少种不同的取法？
（2）从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？
19．（2021·全国·高二课时练习）现有10件产品（除了2件一等品外，其余都是二等品），任意从中抽取3件：www-2-1-cnjy-com
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少种？
20．（2021·全国·高二单元测试）已知集合，表示平面上的点，问：
（1）P可表示平面上多少个第二象限的点？
（2）P可表示多少个不在直线上的点？
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3.1
例3.2
例3.3
真题演练
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专题七 概率与统计
04 分类加法原理与分步乘法原理
考纲对本模块内容的具体要求如下：
计数原理是高考常考知识点之一，主要是与排列组 ( http: / / www.21cnjy.com )合相联系出题，在应用计数原理计算时要分清分类与分步，以及两者的结合出题，题目主要以选择或者填空为主，难度不是很大.
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.
2.能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题.
数学抽象：通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
数学运算：会用两个计数原理解决计数问题.
逻辑推理：通过合理地分类或分步解决问题，提升逻辑推理的素养.
1．分类加法计数原理
完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．
2．分步乘法计数原理
完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．
3．分类加法和分步乘法计数原理，区别 ( http: / / www.21cnjy.com )在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．
考点一　分类加法计数原理应用
（1）(2020浙江高三月考)某学校打 ( http: / / www.21cnjy.com )算从高三（1）班的5位男生中选出一部分(不可以不选)，再从高三（2）班的4位女生中选出一部分(不可以不选)组成多人合唱团，要求男生与女生数量相等，则选择方法有（ ）
A．30种 B．96种 C．120种 D．125种
【答案】D
【解析】依题意可以选择1名男生，一名女生，选择方法共有种；
可以选择2名男生，2名女生，选择方法共有种；
可以选择3名男生，3名女生，选择方法共有种；
可以选择4名男生，4名女生，选择方法共有种；
由分类加法计数原理可得，选择方法共有种，
故选：D.
(2)（2021·甘肃·静宁县第一中学高二月考（理））如图所示，在，间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路，则电路不通，则焊接点脱落的不通情况有（ ）种.
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．9 B．11 C．13 D．15
【答案】C
【分析】
根据题意分脱落1个、2个、3个和4个，进而列举出所有情况得到答案.
【详解】
解：按照可能脱落的个数分类讨论，
若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，
若脱落2个，则有，，，，，共6种情况，
若脱落3个，则有，，，共4种情况，
若脱落4个，则有共1种情况，
综上共有种情况.
故选：C.
【规律方法】
分类标准是运用分类加法计数原理的难点所在，应抓住题目中的关键词、关键元素和关键位置．
(1)根据题目特点恰当选择一个分类标准．
(2)分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法才是不同的方法，不能重复．21·cn·jy·com
(3)分类时除了不能交叉重复外，还不能有遗漏．
【跟踪练习】（2021·全国·高二单元测试 ( http: / / www.21cnjy.com )）甲、乙、丙、丁、戊五只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E，则下列结论正确的是（ ）2·1·c·n·j·y
A．最高处的树枝为G，I中的一个
B．最低处的树枝一定是F
C．这九根树枝从高到低不同的顺序共有33种
D．这九根树枝从高到低不同的顺序共有32种
【答案】AC
【分析】
由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，根据的位置不同分类讨论，求得这九根树枝从高到低不同的顺序共33种.21*cnjy*com
【详解】
由题判断出部分树枝由高到低的顺序为，还剩下，，，且树枝比高，树枝在树枝，之间，树枝比低，最高可能为G或I，最低为F或H，故选项正确，B错误；【出处：21教育名师】
先看树枝，有4种可能，若在，之间，
则有3种可能：①在，之间，有5种可能；
②在，之间，有4种可能；
③在，之间，有3种可能，
此时树枝的高低顺序有（种）。
若不在，之间，则有3种可能，有2中可能，
若在，之间，则有3种可能，
若在，之间，则有三种可能，
此时树枝的高低顺序有（种）可能，
故这九根树枝从高到低不同的顺序共有种，故选项正确.
故选：AC.
考点二 分步乘法计数原理应用
（1）(2021·石家 ( http: / / www.21cnjy.com )庄模拟)将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有(　　)
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A．288种 B．144种 C．576种 D．96种
【答案】 C
【解析】第一步，先从16个格子中任选一格放一个汉字有16种方法，
第二步，任意的两个汉字既不同行也不同列，剩下的只有9个格子可以放，有9种方法，
第三步，第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法，
由分步乘法计数原理知共有16×9×4＝576(种)．
（2）(2020湖南永州 ( http: / / www.21cnjy.com )市高三月考)某县政府为了加大对一贫困村的扶贫力度，研究决定将6名优秀干部安排到该村进行督导巡视，周一至周四这四天各安排1名，周五安排2名，则不同的安排方法共有（ ）21教育网
A．320种 B．360种 C．370种 D．390种
【答案】B
【解析】由题意分步进行安排：
第一步：从6名优秀干部中任选4人，并排序到周一至周四这四天，有种排法；
第二步：剩余两名干部排在周五，只有1种排法.
故不同的安排方法共有种.
故选：B.
（3）（2021·全国·高二课时练习）如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面．拋一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0．现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，则结果可记为，则可得不同的数组共有多少个？【来源：21·世纪·教育·网】
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【答案】
【分析】
利用分步乘法计数原理求得正确答案.
【详解】
依题意可知不同的数组共有个.
【规律方法】
1.利用分步乘法计数原理解决问题要按事件发 ( http: / / www.21cnjy.com )生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤是相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事．2-1-c-n-j-y
2．分步必须满足两个条件：一是步骤互相独立，互不干扰；二是步与步确保连续，逐步完成．
【跟踪练习】（1）（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）个人排队，其中甲 乙 丙人两两不相邻的排法有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【分析】
先排除甲 乙 丙以外的人，再将甲乙丙插空，由分步乘法计数原理即可求解.
【详解】
先排除甲 乙 丙以外的人有种排法，
将甲 乙 丙人插入个空中有种排法，
由分步乘法计数原理可得：甲 乙 丙人两两不相邻的排法有种，
故选：B.
（2）（2021·四川·雅安中 ( http: / / www.21cnjy.com )学高二期中（理））甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名方法（ ）
A．12 B．24 C．64 D．81
【答案】C
【分析】
根据题意，可知三个同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理即可得到.
【详解】
甲、乙、丙三个同学报名参加学校运动会中设立的跳高、铅球、跳远、100米比赛，每人限报一项, 每人有4种报名方法，
根据分步计数原理，可知共有种不同的报名方法.
故选：C
考点三 两个计数原理的综合应用
考法1 与数字有关的问题
（1）从0，1，2，3，4，5这六个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法的种数为(　　)
A．30 B．20 C．10 D．6
【答案】　D
【解析】从0，1，2，3，4，5这六个数字中任取两个不同的数字的和为偶数可分为两类：
第一类，取出的两个数都是偶数，有0和2，0和4，2和4，共3种不同的取法；
第二类，取出的两个数都是奇数，有1和3，1和5，3和5，共3种不同的取法．
由分类加法计数原理得，共有3＋3＝6种不同的取法．
（2）如果一个三位正整数如“a1a2a ( http: / / www.21cnjy.com )3”满足a1a3，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等)，那么所有凸数的个数为(　　)
A．240 B．204 C．729 D．920
【答案】　A
【解析】若a2＝2，则百 ( http: / / www.21cnjy.com )位数字只能选1，个位数字可选1或0，“凸数”为120与121，共2个．若a2＝3，则百位数字有两种选择，个位数字有三种选择，则“凸数”有2×3＝6(个)．若a2＝4，满足条件的“凸数”有3×4＝12(个)，…，若a2＝9，满足条件的“凸数”有8×9＝72(个)．
所以所有凸数有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．
考法2 与几何有关的问题
（1）（2021·全国·高二课时练习）过三棱柱中任意两个顶点连线作直线，在所有这些直线连线中构成异面直线的对数为（ ）21*cnjy*com
A．18 B．30 C．36 D．54
【答案】C
【分析】
根据题意，分棱柱侧棱与底面边、棱柱侧棱与侧面对角线、底面边与侧面对角线、底面边与底面边、侧面对角线与侧面对角线五类依次计数即可得答案.
【详解】
解：如图，分以下几类：
棱柱侧棱与底面边之间所构成的异面直线有：对；
棱柱侧棱与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
底面边与底面边之间所构成的异面直线有：对；
侧面对角线与侧面对角线之间所构成的异面直线有：对；
所以共有对.
故选：C.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，异面直线的判断，分类加法计数原理，解题的关键在于根据题意合理分类，做到不重不漏，进而解决，是难题.
（2）如果一条直线与一个平 ( http: / / www.21cnjy.com )面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”.在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(　　)
A.60 B.48 C.36 D.24www-2-1-cnjy-com
【答案】B
【解析】长方体的6个表面构成的 ( http: / / www.21cnjy.com )“平行线面组”的个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面(非表面)构成的“平行线面组”的个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48.
考法3 涂色问题
（1）(2021·济南模拟) ( http: / / www.21cnjy.com )如图所示的几何体由三棱锥P－ABC与三棱柱ABC－A1B1C1组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面A1B1C1不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有(　　)
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．6种 B．9种 C．12种 D．36种
【答案】　C
【解析】先涂三棱锥P－ABC的三个侧面，有3×2×1种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有2×1×1种情况，
由分步乘法计数原理，共有3×2×1×2×1×1＝12种不同的涂法．故选C.
（2）（2021·河北·大名县第一中学高二月考）四棱锥用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上，要求相邻两个面不同色，则共有（ ）种涂法.
A．34 B．36 C．48 D．72
【答案】D
【分析】
利用分步计数法，先对底面涂色，再根据题设要求将余下3种颜色涂在4个侧面上，求涂色方法数.
【详解】
1、底面在4种颜色中选一种，种方法；
2、其它4个面与底面颜色都不同，其中一组对面颜色相同，有种方法.
∴共有种涂法.
故选：D
【规律方法】
1.在综合应用两个原理解决问题时应注意：
(1)一般是先分类再分步．在分步时可能又 ( http: / / www.21cnjy.com )用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．
2．解决涂色问题，可按颜色的种数分类，也可按不同的区域分步完成．
【跟踪练习】(1)(2020·衡水调研)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(　　)
A．243 B．252 C．261 D．279
【答案】B　
【解析】0，1，2，…，9共能组成9 ( http: / / www.21cnjy.com )×10×10＝900(个)三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648(个)，∴有重复数字的三位数有900－648＝252(个)．
(2)(2021·长沙模拟) ( http: / / www.21cnjy.com )如图，请你用4种不同的颜色为每个区域涂色，要求相邻区域不同色，共有________种不同的涂色方法(用具体数字作答)．
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】 72
【解析】　假设按a→b→c→d→e ( http: / / www.21cnjy.com )顺序涂色，对于a有4种涂色的方法，对于b有3种涂色方法，对于c有2种涂色方法，对于e，若c与d颜色相同，则e有2种涂色方法，若c与d颜色不相同，则e只有1种涂色方法，故共有4×3×2×(2＋1)＝72种不同的涂色方法．
（3）（2021·全国·高二课时练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）已知集合M∈{1，－2，3)，N∈{－4，5，6，－7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是（ ）
A．18 B．10 C．16 D．14
【答案】D
【分析】
分M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标和N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标两类讨论求解.
【详解】
解：M中的元素作点的横坐标，N中的元素作点的纵坐标，
在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．
N中的元素作点的横坐标，M中的元素作点的纵坐标，
在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．
所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个)．
故选：D.
1.（2021·江苏·高考真题）下图是某项工程的网络图(单位:天)，则从开始节点①到终止节点⑧的路径共有（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．14条 B．12条 C．9条 D．7条
【答案】B
【分析】
根据分步乘法计算原理即可求解.
【详解】
由图可知，由①④有3条路径，由④⑥有2条路径，由⑥⑧有2条路径，根据分步乘法计算原理可得从①⑧共有条路径.21·世纪*教育网
故选：B
2. (2020·全国Ⅱ卷)如图，将钢琴上的1 ( http: / / www.21cnjy.com )2个键依次记为a1，a2，…，a12.设1≤i( http: / / www.21cnjy.com / )
A．5 B．8 C．10 D．1521cnjy.com
【答案】　C
【解析】　满足条件1≤i3.（2019·河南·鹤壁高中高三月考（理））若一个正方体绕着某直线旋转不到一周后能与自身重合，那么这样的直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
正方体绕着直线旋转不到一周能与自身重合，则必过正方体中心，再分三种情况讨论得解.
【详解】
若正方体绕着直线旋转不到一周能与自身重合，则必过正方体中心，否则，正方体绕着直线旋转不到一周后，中心不能回到原来的位置；共有三种情况：如图所示；
当过正方体的对角线两顶点时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时的直线共有条；
当过正方体两相对棱中点时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有条；
当过正方体对面中心时，把正方体绕旋转，正方体回到原来的位置，此时直线共有条；
综上，符合条件的直线有条.
故选：D.
( http: / / www.21cnjy.com / )
【点睛】
本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
4.（2021·福建·泉州科技中学高三月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解.
【详解】
分两步,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用乘法原理可求解，由题设，四棱锥S - ABCD的顶点S, A, B所染的颜色互不相同,它们共有种染色方法；
当染好时，不妨设所染颜色依次为1, 2, 3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4,则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法,即当S, A, B染好时，C, D还有7种染法.
故不同的染色方法有种.
( http: / / www.21cnjy.com / )
故选：C
5.（2020·广东·台山市华侨中学高二月考）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）.
A．20种 B．16种 C．12种 D．8种
【答案】C
【分析】
正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个
共有组，再考虑重复情况得到答案.
【详解】
正方体共有条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有个
共有组，每组中包含两条棱，故有
故选：
6.（2021·全国·高二课时练习）设凸n (n≥3)棱锥中任意两个顶点的连线段的条数为f(n)，则f(n＋1)－f(n)＝(　　)
A．n－1 B．n
C．n＋1 D．n＋2
【答案】C
【详解】
,故选C.
7.（2022·江苏·高三专题练 ( http: / / www.21cnjy.com )习）已知集合M={1，-2，3}，N={-4，5，6，-7}，从M，N这两个集合中各选一个元素分别记作a，b．则下列说法正确的有（ ）
A．表示不同的正数的个数是6
B．表示不同的比1小的数的个数是6
C．（a，b）表示x轴上方不同的点的个数是6
D．（a，b）表示y轴右侧不同的点的个数是6
【答案】BC
【分析】
对于四个选项中的计数问题，分别用分类、分步计数法表示，并排除重复情况即得解
【详解】
对于选项A，若a，b均为正，共有2×2=4个，若a，b均为负，共有1×2=2个，但，所以共有5个，所以选项A错误；
对于选项B，若为正，显然均比1大，所以只需为负即可，共有2×2+1×2=6个，所以选项B正确；
对于选项C，要使（a，b）表示x轴上方的点，只需b为正即可，共有2×3=6个，所以选项C正确；
对于选项D，要使（a，b）表示y轴右侧的点，只需a为正即可，共有2×4=8个，所以选项D错误．
故选：BC
8.（2020·浙江·高三月考）已知正整数，满足：，能整除2016，但不能整除2016，则的个数为（ ）
A．916 B．917 C．918 D．919
【答案】C
【分析】
首先对进行分解，得到，设，，从反面考虑，找出不满足条件的，和总个数，利用减法运算求得结果.
【详解】
，
设，
则，
故有种情况，
若，能整除2016，则有种情况，
下面计算能整除2016的情况，
（1）当，时，，由，
共有种；
（2）当时，共有种；
（3）当时，有种；
（4）当时，有种，
（5）当时，有种；
（6）当时，有种；
故共有种，
所以符合条件的有种，
故选：C.
【点睛】
该题考查的是有关满足条件的解的个数的问题，在解题的过程中，注意对题意的正确分析，属于较难题目.
9.（2021·全国·高二单元测试）现有不同的黄球5个，黑球6个，蓝球4个，则下列说法正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．从中任选1个球，有15种不同的选法
B．若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法
C．若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法
D．若要不放回地选出任意的2个球，有240种不同的选法
【答案】AB
【分析】
根据分类加法计数原理即可判断A；
根据分步乘法计数原理即可判断B；
首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，即可判断C；
根据分步乘法计数原理即可判断D.
【详解】
解：对于A，从中任选1个球，共有种不同的选法，故A正确；
对于B，每种颜色选出1个球，可分步从每种颜色分别选择，共有种不同的选法，故B正确；
对于C，若要选出不同颜色的2个球，首先按颜色分三类“黄，黑”，“黄，蓝”，“黑，蓝”，再进行各类分步选择，共有种不同的选法，故C错误；
对于D，若要不放回地选出任意的2个球，直接分步计算，共有种不同的选法，故D错误．
故选：AB．
10.（2021·全国·高二单元测试）某学校高一年级数学课外活动小组中有男生7人，女生3人，则下列说法正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．从中选2人，1人做正组长，1人做副组长，共有100种不同的选法
B．从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，共有21种不同的选法
C．从中选1人参加数学竞赛，共有10种不同的选法
D．若报名参加学校的足球队、羽毛球队，每人限报其中的1个队，共有100种不同的报名方法
【答案】BC
【分析】
利用分步计数原理和分类计数原理逐一判断即可.
【详解】
对于A，选1人做正组长，1人做副组长需要分两步，
先选正组长有10种选法，再选副组长有9种选法，则共有种不同的选法，故A错误；
对于B，从中选2人参加数学竞赛，其中男、女生各1人，则共有种不同的选法，故B正确；
对于C，选1人参加数学竞赛，既可以选男生，也可以选女生，则共有种不同的选法，故C正确；
对于D，每人报名都有2种选择，共有10人，则共有种不同的报名方法，故D错误．
故选：BC．
11.（2021·全国·高二课时练习）如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】种
【分析】
先涂区域 、区域，区域，分情况讨论区域与区域同色和不同色两种情况，再涂区域，利用分步乘法和分类加法即可求解.
【详解】
首先涂区域有种，其次区域有种，再次区域有种，
若区域与区域同色有种，则区域有种，
若区域与区域不同色有种，则区域有种，
所以不同的着色方法共有种.
12.（2020·浙江·镇海 ( http: / / www.21cnjy.com )中学模拟预测）某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有__________种不同的排法，若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有__________种不同的排法．（用具体数字作答）
【答案】
【分析】
根据语文、数学、英语、物理、化学、体育的全排列得出第一空；
分类讨论体育所在节数，由分类加法计数原理得出第二空.
【详解】
某学校周三要排语文、数学、英语、物理、化学、体育共六节课，有种不同的排法
当体育在第一节时，在第三，四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第二节时，在第四，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第三节时，在第一，五，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第四节时，在第一，二，六节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第五节时，在第一，二，三节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
当体育在第六节时，在第一，二，三，四节中选2节排语文和数学，其余排英语、物理、化学，则共有种不同的排法
则若体育课既不能与语文相邻，也不能与数学相邻，有种不同的排法
故答案为：；
【点睛】
本题主要考查了全排列问题和不相邻排列问题，涉及了分类加法计数原理的应用，属于中档题.
13.（2021·云南师大附 ( http: / / www.21cnjy.com )中高三月考（文））2021年河北等八省举行首次“3+1+2”的新高考模式，“3”为全国统一高考的语文 数学 外语3门必考科目，“1”由考生在物理 历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治 地理 化学 生物4门中选考2门科目.则甲，乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中恰有两门科目相同且只有这两门相同的方法数为___________种.
【答案】60
【分析】
考查的是分类、分步计数原理，由于 ( http: / / www.21cnjy.com )选考科目有两种，“1”由考生在物理 历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治 地理 化学 生物4门中选考2门科目，故需考虑相同的一科在物理或历史中，另一科“思想政治、地理、化学、生物”4门中，以及甲乙两人选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物”4门中的两科，两种情况求解，再求和即可.
【详解】
分两种情况讨论：
1，甲乙两人选考科目相同的一科在物理或历史中，另一科“思想政治、地理、化学、生物”4门中，有 种方法；
2，甲乙两人选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物”4门中的两科，有 种方法；
则甲，乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中恰有两门科目相同且只有这两门相同的方法数为 种.
故答案为：60
14.（2021·全国·高二单元测试）某考试监考规定：每个考场都必须有名监考教师，其中至少名是女教师．现从 名女教师和名男教师中选出名教师参加某考场的监考工作．要求名女教师在考场内流动监考，另外名教师固定在考场内监考，请问有多少种不同的安排方案？
【答案】
【分析】
分两类：选名女教师名男教师；选名女教师名男教师，名女教师选名女教师在考场内流动监考，由分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解.
【详解】
依题意，可分两类：
第一类，从名女教师中选出名，有种不同的选法；
从名男教师中选出名，有种不同的选法，
根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法；
第二类，从名女教师中选出名，有种不同的选法；
从名男教师中选出名，有种不同的选法；
从选出的名女教师中选名作为考场内流动监考人员，有种不同的选法．
根据分步乘法计数原理，共有种不同的选法，
根据分类加法计数原理可得不同的安排方案共有种．
15.（2021·全国·高二单元测试）某同学 ( http: / / www.21cnjy.com )计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本．已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？【版权所有：21教育】
【答案】7
【分析】
根据分类加法计数原理求解即可．
【详解】
设购买笔支，笔记本本，
则，得，
将y的取值分为三类：
①当时，，因为x为整数，
所以x可取2，3，4，5，共4种方案．
②当时，，因为x为整数，
所以x可取2，3，共2种方案；
③当时，，因为x为整数，
所以x只能取2，只有1种方案．
由分类加法计数原理得不同的购买方案有（种）．
16.（2021·全国·高二课时练习）用种不同的颜色给如图所示的、、、四个区域涂色．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？
（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？
（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有种不同的涂色方案，求的值．
【答案】（1）种；（2）题图①：种，题图②：种；（3）．
【分析】
（1）利用分步乘法计数原理可得结果；
（2）题图①：依次涂、、、四个区域，确定每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
题图②：依次涂、、、四个区域，确定每个区域的涂色种数，利用分步乘法计数原理可得结果；
（3）依次涂、、、四个区域，确定每个区域的涂色种数，利用分步计数原理可得出关于的方程，结合可求得的值.
【详解】
（1）由题意知题图①中的四个区域，每个区域有种涂色方案，共有种方案；
（2）题图①：第一步，涂，有种不同的涂法；
第二步，涂，与的颜色不相同，有种不同的涂法；
第三步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法；
第四步，涂，只需与的颜色不相同，有种不同的涂法．
所以共有种不同的涂色方案.
题图②：第一步，涂，有种不同的涂法；
第二步，涂，与的颜色不相同，有种不同的涂法；
第三步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法；
第四步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法．
所以共有种不同的涂色方案；
（3）前三步与题图①的涂法类似，分别有、、种不同的涂法，
第四步，涂，与、的颜色都不相同，有种不同的涂法．
所以共有种不同的涂色方案，
所以，，所以．
17．（2021·全国·高二课时练习）将封信全部投入个邮筒：
（1）不加任何限制，有多少种不同的投法？
（2）每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？
【答案】
（1）种
（2）种
【分析】
（1）利用分步乘法计数原理可得结果；
（2）将封信分为三组，每组的信的数量分别为、、，利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）
解：不加任何限制，每封信均有种投法，
由分步乘法计数原理可知，不同的投法种数为种.
（2）
解：将封信分为三组，每组的信的数量分别为、、，共有种分组方法，
由分步乘法计数原理可知，不同的投法种数为种.
18．（2021·全国·高二课时练习）有不同的红球个，不同的白球个.
（1）从中取出一个球，共有多少种不同的取法？
（2）从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）分别计算出取出一个红球、取出一个白球的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果；
（2）利用分步乘法计数原理可求得结果.
（1）
解：从中取出一个红球，有种取法，
从中取出一个白球，有种取法，
由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有种不同的取法.
（2）
解：从中取出一个红球，有种取法，
从中取出一个白球，有种取法，
由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有种不同的取法.
19．（2021·全国·高二课时练习）现有10件产品（除了2件一等品外，其余都是二等品），任意从中抽取3件：
（1）一共有多少种不同的抽法？
（2）抽出的3件中恰有1件一等品的抽法共有多少种？
（3）抽出的3件中至少有1件一等品的抽法共有多少种？
【答案】
（1）120
（2）56
（3）64
【分析】
（1）直接利用组合的定义可得；
（2）抽出的3件中恰有1件一等品是指1件一等品，2件二等品；
（3）抽出的3件中至少有1件一等品包含两种情况：一是1件一等品，2件二等品；二是2件一等品，1件二等品.
（1）
从10件产品中任意抽取3件，共有种不同抽法；
（2）
从10件产品中任意抽取3件恰有1件一等品，这件事可分两步完成：
第一步，从2件一等品中抽取1件一等品，共有种抽法；
第二步，从8件二等品中抽取2件二等品，共有种抽法，
根据乘法原理，不同的抽法种数为种.
（3）
从10件产品中任意抽取3件至少有1件一等品，这件事可分两类：
第一类，抽取的3件产品中有1件一等品的抽法有种；
第二类，抽取的3件产品中有2件一等品的抽法有种；
由加法原理得，不同的抽法共有种.
20．（2021·全国·高二单元测试）已知集合，表示平面上的点，问：
（1）P可表示平面上多少个第二象限的点？
（2）P可表示多少个不在直线上的点？
【答案】（1）6（个）；（2）30（个）．
【分析】
(1)由分步乘法原理求第二象限的点的个数，(2)依次确定横坐标和纵坐标的可能取法，由分步乘法原理求不在直线上的点的个数.
【详解】
（1）因为P表示平面上第二象限的点，故可分两步：
第一步，确定a，a必须小于0，则有3种不同的情况；
第二步，确定b，b必须大于0，则有2种不同的情况；
根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有（个）．
（2）因为P表示不在直线上的点，故可分两步：
第一步，确定a，有6种不同的情况；
第二步，确定b，有5种不同的情况．
根据分步乘法计数原理，不在直线上的点共有（个）．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3.1
例3.2
例3.3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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