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专题七 概率与统计
05 排列与组合
考纲对本模块内容的具体要求如下：
排列组合是高考必考的知识点之一，主要考 ( http: / / www.21cnjy.com )查分类、分步计数原理的应用，突出分类讨论思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活，多以选择或填空为主,能否将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键.
1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.21世纪教育网版权所有
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.21教育名师原创作品
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝.(2)C＝eq \f(A,A)＝＝(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质 (1)0！＝1；A＝n！.(2)C＝C；C＝C＋C
【常用结论】
1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．
2．对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．
考点一　排列问题
（1）(2021·福州调研) 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
【答案】　D
【解析】“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
（2）（2021·河北省唐县第一中学高三月考）7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）21·cn·jy·com
A．400种 B．720种 C．960种 D．1200种
【答案】C
【分析】
根据题意，结合捆绑法分别计算甲、乙要求相邻的排法和甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法，再相减即可求解.
【详解】
根据题意，可知甲、乙要求相邻的排法有种，
而甲、乙要求相邻且丙、丁也相邻的排法有种，
故甲、乙要求相邻，丙、丁分开的排法有种.
故选：C.
【规律方法】
求解排列应用问题的六种常用方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
【跟踪练习】(1)（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】C
【分析】
由排列及分步乘法计数原理求解.
【详解】
司机、售票员各有种分配方法，由分步乘法计数原理知，共有种不同的分配方法.
故选：C
（2）(2020广东广州市高三月 ( http: / / www.21cnjy.com )考)在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲 乙 丙 丁 戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙 丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）【版权所有：21教育】
A．8种 B．12种 C．20种 D．24种
【答案】C
【解析】当甲排在第一位时，共有种发言顺序，
当甲排在第二位时，共有种发言顺序，
所以一共有种不同的发言顺序.
故选：C.
考点二 组合问题
（1）（2021·宁夏大学 ( http: / / www.21cnjy.com )附属中学三模（理））从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）
A．20 B．55 C．30 D．25
【答案】D
【分析】
根据题意，用间接法分析：先计算从2名教师和5名学生中选出3人的选法，再计算其中“入选的3人没有教师”的选法数目，分析可得答案．
【详解】
解：根据题意，从2名教师和5名学生中，选出3人，有种选法，
若入选的3人没有教师，即全部为学生的选法有种，
则有种不同的选取方案，
故选：D．
（2）（2020·江苏省天一中学高二期中）设，那么满足的所有有序数组的组数为_________.
【答案】26
【分析】
满足的所有有序数组，分为三个-1一个0，两个-1两个0，一个-1两个0一个2，三个0一个2共四类情况，分类求解.
【详解】
，所有有序数组中，
满足的所有有序数组，
分为三个-1一个0，两个-1两个0，一个-1两个0一个2，三个0一个2共四类情况，
不同的种数为
故答案为：26
【规律方法】
组合问题的常见类型与处理方法
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合 ( http: / / www.21cnjy.com )题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.
【跟踪练习】(1)（2021·全国·模拟 ( http: / / www.21cnjy.com )预测（理））全国劳动模范和先进工作者表彰大会于2020年11月24日在北京人民大会堂举行，受表彰的是民族的精英 人民的楷模，是共和国的功臣，同时他们也是亿万中国工人阶级和广大劳动群众中的一分子.某市有全国劳动模范和先进工作者10名进京受表彰，其中机关事业单位3人，企业单位5人，农民2人；表彰会后，该市为了弘扬劳模精神 劳动精神 工匠精神接续奋斗，再踏征程，奋力谱写新时代劳动者之歌!准备进行劳模和先进工作者巡回演讲，将这10名劳模和先进工作者平均分成2个巡回演讲团，每个巡回演讲团5人，要求第一巡回演讲团中机关事业单位 企业单位 农民代表都至少有1人参加，则第一巡回演讲团有（ ）种组成方法.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据分类计数原理分为五类，然后结合组合数即可求出结果.
【详解】
选5人的选法有5类，分别为：
第一类：1人机关事业单位，3人企业单位，1人农民，有种；
第二类：2人机关事业单位，2人企业单位，1人农民，有种；
第三类：3人机关事业单位，1人企业单位，1人农民，有种；
第四类：1人机关事业单位，2人企业单位，2人农民，有种；
第五类：2人机关事业单位，1人企业单位，2人农民，有种；
由分类计数原理得：
故第一巡回演讲团有175种组成方法，
故选：B.
（2）（2021·全国·高二课时练习）从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是（ ）
A．10 B．5 C．4 D．1
【答案】B
【分析】
根据组合的概念，即可求出结果.
【详解】
根据组合的概念，从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是种.
故选：B.
考点三 分组、分配问题
考法1 不等分问题
若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
【答案】　360
【解析】将6名教师分组，分三步完成：
第1步，在6名教师中任取1名作为一组，有C种取法；
第2步，在余下的5名教师中任取2名作为一组，有C种取法；
第3步，余下的3名教师作为一组，有C种取法．
根据分步乘法计数原理，共有CCC＝60(种)取法．
再将这3组教师分配到3所中学，有A＝6(种)分法，
根据分步乘法计数原理可得共有60×6＝360(种)不同的分法．
考法2 平均分组问题
将9名大学生志愿者安排在星期五、星期 ( http: / / www.21cnjy.com )六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
【答案】1680
【解析】　先选出3人，有C种，再由剩下的6人中选出3人，有C种，最后由剩下的3人为一组，有C种．【来源：21·世纪·教育·网】
由分步乘法计数原理以及每A中只能算一种不同的分组方法，可得不同的安排方案共有eq \f(CCC,A)·A＝1680(种)．【来源：21cnj*y.co*m】
考法3 部分平均分组问题
（1）10个人参加义务劳动，分成4组，各组分别为2人、2人、2人、4人，则不同的分组方案共有________种(用数字作答)．
【答案】3150
【解析】由于分成2人、2人、2人、 ( http: / / www.21cnjy.com )4人的四个组对应的种数分别为C，C，C，C种，由分步乘法计数原理以及每A中只能算一种不同的分组方法，可得不同的分组方案共有eq \f(CCCC,A)＝3150(种)．
（2）（2021·全国·高 ( http: / / www.21cnjy.com )二课时练习）某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.
【答案】1560
【分析】
先把6名技术人员分成4组，每组至 ( http: / / www.21cnjy.com )少一人，有两种情况：（1）4个组的人数按3,1,1,1分配，（2）4个组的人数为2,2,1,1，求出所有的分组方法，然后再把4个组的人分给4个分厂，从而可求得答案
【详解】
先把6名技术人员分成4组，每组至少一人.
（1）若4个组的人数按3,1,1,1分配，
则不同的分配方案有 (种).
（2）若4个组的人数为2,2,1,1，
则不同的分配方案有 (种).
故所有分组方法共有20＋45＝65(种).
再把4个组的人分给4个分厂，不同的方法有 (种).
故答案为：1560
【规律方法】
1.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.
当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数.2·1·c·n·j·y
2.（1）不同元素的分配问题，往往是先分组再 ( http: / / www.21cnjy.com )分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.
（2）对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
（3）对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！【出处：21教育名师】
【跟踪练习】（1）(2021·长沙 ( http: / / www.21cnjy.com )调研)学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答)．
【答案】　90
【解析】由已知可得，先将5名学生分成3组，有eq \f(CCC,A)＝15种，所以不同分法有15×A＝90种．
（2）国家教育部为了发展贫困地区的教 ( http: / / www.21cnjy.com )育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要将他们分配到相应的地区去任教．现要将6名免费培养的教育专业师范毕业生平均分配到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．21*cnjy*com
【答案】90　
【解析】先把这6名毕业生平均分成3组，有种方法，再将这3组毕业生分配到3所学校，有A种方法，故将这6名毕业生平均分配到3所学校去任教，共有·A＝90(种)分配方法．
1.（2020·山东·高考真题）现 ( http: / / www.21cnjy.com )从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
【答案】C
【分析】
首先选3名男生和2名女生，再全排列，共有种不同安排方法.
【详解】
首先从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，共有种情况，
再分别担任5门不同学科的课代表，共有种情况.
所以共有种不同安排方法.
故选：C
2．（2021·山东·高考真题）某值 ( http: / / www.21cnjy.com )日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
【答案】A
【分析】
根据组合的定义计算即可.
【详解】
从5人当选取3人负责教室内的地面卫生，共有种安排方式．（选取3人后剩下2名同窗干的活就定了）
故选：A
3．（2020·海南·高 ( http: / / www.21cnjy.com )考真题）要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【分析】
首先将3名学生分成两个组，然后将2组学生安排到2个村即可.
【详解】
第一步，将3名学生分成两个组，有种分法
第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法
所以，不同的安排方法共有种
故选：C
【点睛】
解答本类问题时一般采取先组后排的策略.
4. (2021·全国乙卷) 将5名 ( http: / / www.21cnjy.com )北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 (　　)
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
【答案】C
【解析】 先分组有=10种,再排序10=240种.
5．(2020·新高考山东卷) 6名同 ( http: / / www.21cnjy.com )学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
【答案】　C
【解析】先从6名同学中选1名安排到甲场馆 ( http: / / www.21cnjy.com )，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法．故选C.
6．(2020·全国Ⅱ卷) ( http: / / www.21cnjy.com )4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．21cnjy.com
【答案】36
【解析】将4名同学分成人数为2，1，1 ( http: / / www.21cnjy.com )的3组有C＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种．
7.（2021·重庆巴蜀中学高三月考）为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
对甲校分配的大学生人数进行分类讨论，利用排列、组合计数原理结合分类加法计数原理可得结果.
【详解】
若甲校分名大学生，此时有种分配方法；
若甲校分名大学生，此时有种分配方法.
综上所述，共有种分配方法.
故选：C.
8.（2021·湖北·武汉市黄陂区第一 ( http: / / www.21cnjy.com )中学模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有（ ）
A．192种 B．240种 C．432种 D．528种
【答案】C
【分析】
由题知，两大学习板块间最多隔1个答题板块，分为2种情况，隔1个答题板块，或者不隔答题板块，分别计算得到方法数，相加即可.
【详解】
由题知，两大学习板块间最多隔1个答题板块，分为2种情况，隔1个答题板块，有种；或者不隔答题板块，即种，
则共有种，
故选：C
9.（2021·河南许昌·高三月考（理） ( http: / / www.21cnjy.com )）某校组织甲 乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒 油坊 陶艺 打铁 纺织 插花 竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午 下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（ ）21*cnjy*com
A．1260 B．1302
C．1520 D．1764
【答案】B
【分析】
按两个班共选择活动项数进行分类，至少选两项，至多选四项，故分三类求解即可.
【详解】
按两个班共选择活动项数分三类：
第一类：两个班共选择2项活动，上午选两项活动安排给甲，乙，
下午将这两项活动交换给甲，乙，则有 种方法；
第二类：两个班共选择3项活动，上午选两项活动安排给甲，乙，
然后再在其中选一个活动并再下午将其安排给上午没有安排该活动的班级，
另一个班再从余下的5项活动中选1项，则有种方法；
第三类：两个班共选择4项活动，则有种方法.
则活动安排方案的种数为
故选：B.
10．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这人的名次排列所有可能的情况共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】
甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制 ( http: / / www.21cnjy.com )最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理即可得到结果．www.21-cn-jy.com
【详解】
由题意得：甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有可能是第二、三、四名3种情况；再排甲，也有3种情况；
余下3人有种排法．故共有种不同的情况．
故选：C.
11．（2021·江苏·吴江汾湖高级中 ( http: / / www.21cnjy.com )学高二月考）航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（ ）
A．72 B．324 C．648 D．1296
【答案】D
【分析】
先排2艘攻击型核潜艇，再利用间接法排驱逐舰和护卫舰，最后根据分步乘法计数原理可求舰艇分配方案的方法数.
【详解】
第一步：排2艘核潜艇，方法数为；
第二步：排3艘驱逐舰和3艘护卫舰，方法数为，
所以舰艇分配方案的方法数为：，
故选：D.
12．（2021·全国·高二课时练习）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲 乙 丙 丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有64种
B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
C．若甲 乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种www-2-1-cnjy-com
【答案】BD
【分析】
根据分类、分布计数原理和排列、组合，逐项判定，即可求解.
【详解】
对于A中，安排甲 乙 丙 丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，每人都有3种安排方法，则不同的安排方法共有（种），所以A错误；
对于B中，若恰有一地无人去，则需先在三地中选出两地，再将4人安排到这两个地方，不同的安排方法有（种），所以B正确.
对于C中，根据题意，需将4人分为3组，若甲 乙在同一组，有1种分组方法，
又甲 乙两人不能去地，所以安排甲 乙一组到地或地，有2种情况，
剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时不同的安排方法有（种）；
若甲 乙不在同一组，有种分组方法，又甲 乙两人不能去A地，
所以安排没有甲 乙的一组去地，甲 乙所在的两组安排到，两地，有种情况，
此时不同的安排方法有（种），则不同的安排方法共有（种），
所以C错误；
对于D中，只需将20辆救护车排成一排，在形成的19个间隙中插入挡板，将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，此时不同的安排方法有（种），所以D正确.21教育网
故选：BD.
13．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））甲、乙、丙、丁4个小球放入编号分别为，，，的四个盒子中，恰好只有一个空盒，若乙只能放入盒，甲不能放入盒，则分配方法共有_________种．（用数字作答）
【答案】26
【分析】
为空盒时， 中放一个球时， 中放两个球时，依次计算即可得出结果.
【详解】
为空盒时，若中只有一个球时， 中有两个球时，,则方法数为，
中放一个球时， 只能为丙或丁，若中只有一个球时，另外两个球放入一个盒中， 中有两个球时，则方法数为，21·世纪*教育网
中放两个球时，只能是丙丁，甲放入中的一个，方法数为.
综上方法数为种.
故答案为：26
14．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））已知，则方程表示不同的椭圆的个数为___________.
【答案】20
【分析】
表示椭圆，则且，则m，n的取值相当于从中5个不同的元素中任选2个，计算排列数即可．
【详解】
表示椭圆，则且，
将0，1，2，…，9分成五组，
m，n的取值相当于从中5个不同的元素中任选2个，
于是不同的椭圆个数为．
故答案为：20
15．（2021·全国·高二单元测试）从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：
（1）能组成多少个这样的七位数？
（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？
（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】
（1）先选出符合要求的数，再全排列即可；
（2）利用捆绑法计算可得；
（2）先将4个奇数排好，再3个偶数插空，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】
解：（1）分步完成：第一步，从4个偶数中取3个，有种情况；
第二步，从5个奇数中取4个，有种情况；
第三步，将取出的3个偶数和4个奇数进行全排列，有种情况.
所以符合题意的七位数的个数为.
（2）由题意，3个偶数排在一起的七位数的个数为
（3）由题意，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空隙中，则符合题意的七位数的个数为.
16．（2021·全国·高二课时练习）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
【答案】（1）2；（2）10；（3）65；（4）1560.
【分析】
(1)根据条件每个箱子先放一个，确定余下两个小球的放法即为答案；
(2)将6个相同的小球排成一列，利用隔板法求解即得；
(3)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，求出所有分组方法数即可；
(4)把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，再将每一种分法放入4个不同箱子即可得解.
【详解】
（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子至少放1个小球，每个箱子先放入1个小球，还剩下2个小球，
则余下2个小球放在1个箱子中，或分开放在2个箱子中，
所以共有2种放法；
（2）6个相同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，将6个相同的小球排成一列，在形成的中间5个空隙中插入3块隔板，
所以不同的放法种数为；
（3）6个不同的小球放入4个相同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求，一种分组方法即为一种放法，
所以不同的放法种数为；
（4）6个不同的小球放入4个不同的箱子，每个箱子至少放1个小球，先把6个不同的小球按2，2，1，1和3，1，1，1两种方案分成4组，
每一种分法的4组小球全排列，得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求，
所以不同的放法种数为．
17.（2021·云南师大附中高三 ( http: / / www.21cnjy.com )月考（文））2021年河北等八省举行首次“3+1+2”的新高考模式，“3”为全国统一高考的语文 数学 外语3门必考科目，“1”由考生在物理 历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治 地理 化学 生物4门中选考2门科目.则甲，乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中恰有两门科目相同且只有这两门相同的方法数为___________种.
【答案】60
【分析】
考查的是分类、分步计数原理，由于选 ( http: / / www.21cnjy.com )考科目有两种，“1”由考生在物理 历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治 地理 化学 生物4门中选考2门科目，故需考虑相同的一科在物理或历史中，另一科“思想政治、地理、化学、生物”4门中，以及甲乙两人选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物”4门中的两科，两种情况求解，再求和即可.
【详解】
分两种情况讨论：
1，甲乙两人选考科目相同的一科在物理或历史中，另一科“思想政治、地理、化学、生物”4门中，有 种方法；
2，甲乙两人选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物”4门中的两科，有 种方法；
则甲，乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中恰有两门科目相同且只有这两门相同的方法数为 种.
故答案为：60
18.（2021·全国·高二课时练习）将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
（1）要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？
（2）要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
【答案】
（1）60
（2）360
【分析】
（1）根据题意，分3步进行：①、 ( http: / / www.21cnjy.com )在6人中选出3人，将其分到甲组；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙组；③、将剩下的1人分到丙组；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算即可得答案．
（2）分2步进行：①、将6人分成3组，人数依次为3、2、1；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组；分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算即可得答案．
（1）
解：根据题意，分3步进行：①、在6人中选出3人，将其分到甲组，有种分法；②、在剩余3人中选出2人，将其分到乙组，有种分法；③、将剩下的1人分到丙组，有种分法；
所以共有种不同的分法；
（2）
解：根据题意，分2步进行：①、将6人分成3组，人数依次为3、2、1，有种分法；②、将分好的三组全排列，对应甲、乙、丙3个不同的公益小组，有种分法；
所以共有种不同的分法.
19.（2021·全国·高二课时练习）有6个人分成两排就座，每排3人：
（1）共有多少种不同的坐法？
（2）如果甲不能坐在第一排，乙不能坐在第二排，共有多少种不同的坐法？
（3）如果甲和乙必须在同一排且相邻，共有多少种不同的坐法？
（4）如果甲和乙必须在同一排且不相邻，共有多少种不同的坐法？
【答案】
（1）720
（2）216
（3）192
（4）96
【分析】
（1）前排3人任意排，后排3人任意排，根据乘法原理可得；
（2）采用元素分析法，先排甲，再排乙，剩下的任意排即可；
（3）相邻用捆绑，其他人任意排即可；
（4）先选1人排甲乙中间，其他人任意排即可.
（1）
分成两排就座，前排3人，后排3人，有种方法；
（2）
若甲不能坐在第一排有种坐法，乙不能坐在第二排有种坐法，剩余4人全排列，根据乘法原理，共有种不同坐法；2-1-c-n-j-y
（3）
当甲乙同时在第一排时，其余4人任选一人和甲乙组成整体进行排列，剩余3人全排列，有种不同坐法，
当甲乙同时在第二排时，其余4人任选一人和甲乙组成整体进行排列，剩余3人全排列，有种不同坐法，
由加法原理，共有种.
（4）
当甲乙同时在第一排时，其余4人任选一人坐甲乙中间，剩下3人全排列，有种种不同坐法，
当甲乙同时在第二排时，其余4人任选一人坐甲乙中间，剩下3人全排列，有种种不同坐法，
由加法原理，共有种.
20.（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：
（1）能组成多少个不同的四位数？
（2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（3）两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）
【答案】
（1）216
（2）108
（3）108
【分析】
（1）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将取出的四个数全排列，最后利用分步计数原理求解；
（2）分三步完成：第一步，取两个偶数，第二步，取两个奇数，第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，最后利用分步计数原理求解；
（3分三步完成：第一步，取两个偶数，第二 ( http: / / www.21cnjy.com )步，取两个奇数，第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，最后利用分步计数原理求解.
（1）
解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有种方法，
第二步，取两个奇数，有种方法，
第三步，将取出的四个数全排列，有种方法，
由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；
（2）
解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有种方法，
第二步，取两个奇数，有种方法，
第三步，将两个偶数看作一个整体与两个奇数排列，有种方法，
由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；
（3）
解：分三步完成：
第一步，取两个偶数，有种方法，
第二步，取两个奇数，有种方法，
第三步，先将两个奇数排列，再从三个空中选两个空，将两个偶数排列上，有种方法，
由分步计数原理得：共能组成个不同的四位数；
考纲解读
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3.1
例3.2
例3.3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题七 概率与统计
05 排列与组合
考纲对本模块内容的具体要求如下：
排列组合是高考必考的知识点之一，主 ( http: / / www.21cnjy.com )要考查分类、分步计数原理的应用，突出分类讨论思想、转化化归思想的应用，问题情景的设置越来越接近生活，多以选择或填空为主,能否将实际问题合理、正确地转化成排列组合问题，是解决这类试题的关键.
1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.
2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题．
1.排列与组合的概念
名称 定义
排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 并按照_____排成一列，叫做从n个元素中取出m个元素的一个排列
组合 作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示.21教育网
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有_____的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.21·cn·jy·com
3.排列数、组合数的公式及性质
公式 (1)A＝__________＝.(2)C＝eq \f(A,A)＝＝__________(n，m∈N*，且m≤n).特别地C＝1
性质 (1)0！＝_____；A＝_____.(2)C＝C；C＝_____
【常用结论】
1．解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)．分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏．2·1·c·n·j·y
2．对于分配问题，一般先分组、再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏．
考点一　排列问题
（1）(2021·福州调研) 6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144 B．120 C．72 D．24
（2）（2021·河北省唐县第一中学高三月考）7个人站成一排准备照一张合影，其中甲、乙要求相邻，丙、丁要求分开，则不同的排法有（ ）21·世纪*教育网
A．400种 B．720种 C．960种 D．1200种
【规律方法】
求解排列应用问题的六种常用方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法 相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
【跟踪练习】(1)（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）有4名司机，4名售票员要分配到4辆汽车上，使每辆汽车上有一名司机和一名售票员，则可能的分配方法有（ ）
A．种 B．种
C．种 D．种
（2）(2020广东广州市高三月考)在某 ( http: / / www.21cnjy.com )场新冠肺炎疫情视频会议中，甲 乙 丙 丁 戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙 丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ）21世纪教育网版权所有
A．8种 B．12种 C．20种 D．24种
考点二 组合问题
（1）（2021·宁夏大学附属中学三模（理 ( http: / / www.21cnjy.com )））从2名教师和5名学生中，选出3人参加“我爱我的祖国”主题活动.要求入选的3人中至少有一名教师，则不同的选取方案的种数是（ ）www-2-1-cnjy-com
A．20 B．55 C．30 D．25
（2）（2020·江苏省天一中学高二期中）设，那么满足的所有有序数组的组数为_________.2-1-c-n-j-y
【规律方法】
组合问题的常见类型与处理方法
（1）“含有”或“不含有”某 ( http: / / www.21cnjy.com )些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取.21*cnjy*com
（2）“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解.
【跟踪练习】(1)（20 ( http: / / www.21cnjy.com )21·全国·模拟预测（理））全国劳动模范和先进工作者表彰大会于2020年11月24日在北京人民大会堂举行，受表彰的是民族的精英 人民的楷模，是共和国的功臣，同时他们也是亿万中国工人阶级和广大劳动群众中的一分子.某市有全国劳动模范和先进工作者10名进京受表彰，其中机关事业单位3人，企业单位5人，农民2人；表彰会后，该市为了弘扬劳模精神 劳动精神 工匠精神接续奋斗，再踏征程，奋力谱写新时代劳动者之歌!准备进行劳模和先进工作者巡回演讲，将这10名劳模和先进工作者平均分成2个巡回演讲团，每个巡回演讲团5人，要求第一巡回演讲团中机关事业单位 企业单位 农民代表都至少有1人参加，则第一巡回演讲团有（ ）种组成方法.【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
（2）（2021·全国·高二课时练习）从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A．10 B．5 C．4 D．1
考点三 分组、分配问题
考法1 不等分问题
若将6名教师分到3所中学任教，一所1名，一所2名，一所3名，则有________种不同的分法．
考法2 平均分组问题
将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六 ( http: / / www.21cnjy.com )、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有________种(用数字作答)．
考法3 部分平均分组问题
（1）10个人参加义务劳动，分成4组，各组分别为2人、2人、2人、4人，则不同的分组方案共有________种(用数字作答)．21cnjy.com
（2）（2021·全国·高 ( http: / / www.21cnjy.com )二课时练习）某企业有4个分厂，新培训了一批6名技术人员，将这6名技术人员分配到各分厂，要求每个分厂至少1人，则不同的分配方案种数为________.
【规律方法】
1.排列组合综合题思路，先选后排，先组合后排列.
当有多个限制条件时，应以其中一个限制条件为标准分类，限制条件多时，多考虑用间接法，但需确定一个总数.【来源：21·世纪·教育·网】
2.（1）不同元素的分配问 ( http: / / www.21cnjy.com )题，往往是先分组再分配.在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法.
（2）对于相同元素的“分配”问题，常用的方法是采用“隔板法”.
（3）对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！21教育名师原创作品
【跟踪练习】（1）(20 ( http: / / www.21cnjy.com )21·长沙调研)学校在高一年级开设选修课程，其中历史开设了三个不同的班，选课结束后，有5名同学要求改修历史，但历史选修每班至多可接收2名同学，那么安排好这5名同学的方案有________种(用数字作答)．21*cnjy*com
（2）国家教育部为了发展 ( http: / / www.21cnjy.com )贫困地区的教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要将他们分配到相应的地区去任教．现要将6名免费培养的教育专业师范毕业生平均分配到3所学校去任教，有________种不同的分配方法．
1.（2020·山东·高考真题）现从4名男生 ( http: / / www.21cnjy.com )和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
2．（2021·山东·高考真题）某值 ( http: / / www.21cnjy.com )日小组共有5名同窗，假设任意安排3名同窗负责教室内的地面卫生，其余2名同窗负责教室外的走廊卫生，那么不同的安排方式种数是（ ）
A．10 B．20 C．60 D．100
3．（2020·海南·高考真题）要安 ( http: / / www.21cnjy.com )排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
4. (2021·全国乙卷) 将 ( http: / / www.21cnjy.com )5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有 (　　)
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
5．(2020·新高考山东 ( http: / / www.21cnjy.com )卷) 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种 B．90种 C．60种 D．30种
6．(2020·全国Ⅱ卷) 4 ( http: / / www.21cnjy.com )名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
7.（2021·重庆巴蜀中学高三月考）为了支援山区教育，现在安排名大学生到个学校进行支教活动，每个学校至少安排人，其中甲校至少要安排名大学生，则不同的安排方法共有（ ）种
A． B． C． D．
8.（2021·湖北·武汉市黄陂区第一 ( http: / / www.21cnjy.com )中学模拟预测）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门APP.该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有（ ）
A．192种 B．240种 C．432种 D．528种
9.（2021·河南许昌 ( http: / / www.21cnjy.com )·高三月考（理））某校组织甲 乙两个班的学生参加社会实践活动，安排有酿酒 油坊 陶艺 打铁 纺织 插花 竹编制作共七项活动可供选择，每个班上午 下午各安排一项活动（不重复），且同一时间内每项活动只允许一个班参加，则活动安排方案的种数为（ ）
A．1260 B．1302
C．1520 D．1764
10．（2021·山东潍坊·高三月考）甲、乙、丙、丁、戊共名同学进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说:“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说:“你不会是最差的”，从这两个回答分析，这人的名次排列所有可能的情况共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
11．（2021·江苏·吴江汾湖高级中 ( http: / / www.21cnjy.com )学高二月考）航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为（ ）
A．72 B．324 C．648 D．1296
12．（2021·全国·高二课时练习）为响应政府部门疫情防控号召，某红十字会安排甲 乙 丙 丁4名志愿者奔赴，，三地参加防控工作，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的安排方法共有64种
B．若恰有一地无人去，则不同的安排方法共有42种
C．若甲 乙两人都不能去A地，且每地均有人去，则不同的安排方法共有44种
D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则不同的安排方法共有171种
13．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））甲、乙、丙、丁4个小球放入编号分别为，，，的四个盒子中，恰好只有一个空盒，若乙只能放入盒，甲不能放入盒，则分配方法共有_________种．（用数字作答）
14．（2021·贵州·贵阳一中高三月考（理））已知，则方程表示不同的椭圆的个数为___________.
15．（2021·全国·高二单元测试）从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：【出处：21教育名师】
（1）能组成多少个这样的七位数？
（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？
（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？
16．（2021·全国·高二课时练习）（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法？
17.（2021·云南师大附中高三月考（文 ( http: / / www.21cnjy.com )））2021年河北等八省举行首次“3+1+2”的新高考模式，“3”为全国统一高考的语文 数学 外语3门必考科目，“1”由考生在物理 历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治 地理 化学 生物4门中选考2门科目.则甲，乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中恰有两门科目相同且只有这两门相同的方法数为___________种.
18.（2021·全国·高二课时练习）将6名中学生分到甲、乙、丙3个不同的公益小组：
（1）要求有3人分到甲组，2人分到乙组，1个人分到丙组，共有多少种不同的分法？
（2）要求三个组的人数分别为3，2，1，共有多少种不同的分法？
19.（2021·全国·高二课时练习）有6个人分成两排就座，每排3人：
（1）共有多少种不同的坐法？
（2）如果甲不能坐在第一排，乙不能坐在第二排，共有多少种不同的坐法？
（3）如果甲和乙必须在同一排且相邻，共有多少种不同的坐法？
（4）如果甲和乙必须在同一排且不相邻，共有多少种不同的坐法？
20.（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）从1到6的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数.试问：www.21-cn-jy.com
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（2）四位数中，两个偶数排在一起的有几个？
（3）两个偶数不相邻的四位数有几个？（所有结果均用数值表示）
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例3.2
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