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专题七 概率与统计
06 二项式定理
考纲对本模块内容的具体要求如下：
对二项式定理的考查，主要是利用 ( http: / / www.21cnjy.com )通项求展开式的特定项及参数值.利用二项式定理展开式的性质求有关系数、最值、参数等问题.一般以选择、填空的形式出现，难度中等.
1. 能用计数原理证明二项式定理.
2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.
数学抽象：能从教材实例中抽象出二项式定理及其展开式的通项公式.
数学运算：1.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单问题.
2.能用计数原理证明二项式定理.
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是递增的
当k＞(n∈N*)时，是递减的
二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项Cn取得最大值
当n为奇数时，中间的两项Cn与Cn相等且取得最大值
3．各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n．
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．21世纪教育网版权所有
【常用结论】
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.21教育网
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
考点一　通项公式及其应用
考法1 求二项展开式的特定项
（1）（2021·湖南·高考真题）的展开式中常数项是______．（用数字作答）
【答案】15
【分析】
写出二项展开式的通项，由的指数为0求得值，则答案可求．
【详解】
解：由．
取，得．
展开式中常数项为．
故答案为：15．
（2）（2021·全国·高二单元测试）的展开式中的第7项为（ ）
A．3546 B．5437 C．4532 D．5376
【答案】D
【分析】
直接根据二项展开式通项公式计算．
【详解】
，
故选：D.
（3）（2021·全国·模拟预测）若二项式展开式的各项系数和为81，则展开式中的常数项是___________.21·世纪*教育网
【答案】32
【分析】
利用赋值法求得，结合二项式展开式的通项公式求得展开式中的常数项.
【详解】
令得，
二项式展开式的通项公式为，
由解得，所以展开式中的常数项为.
故答案为：
考法2 求二项展开式的特定项的系数
（1）（2021·全国·高二课时练习）的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出二项式展开式的通项，令的指数位置等于求得的值，即可求解.
【详解】
的展开式的通项为：，
令可得，
所以含项的二项式系数为，
故选：D.
（2）（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））已知的展开式中的系数等于8，则展开式中的系数等于（ ）www-2-1-cnjy-com
A．4 B．7 C．-5 D．-8
【答案】C
【分析】
由题设乘积形式的二项式展开式可知含的项为，结合已知求参数a，进而写出含的项，即可确定其系数.
【详解】
由题设，展开式中含的项为，
∴，又，可得，
∴展开式中的项为.
故选：C
【规律方法】
求二项展开式中的特定项的方法, ( http: / / www.21cnjy.com )求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n).2-1-c-n-j-y
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.21*cnjy*com
(4)求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.
【跟踪练习】（1）（2020·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【版权所有：21教育】
【答案】
【分析】
写出二项式展开通项，即可求得常数项.
【详解】
其二项式展开通项：
当，解得
的展开式中常数项是：.
故答案为：.
（2）（2021·全国·高二课时练习）如果n的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________，其x2项的系数为________．21*cnjy*com
【答案】8 28
【分析】
先求得二项式展开式的通项公式，根据项为第三项，列方程，求得自然数的值，进而得到x2项的系数．
【详解】
二项式展开式的通项公式为，
当时，为，即；
x2项的系数为．
故答案为：8，28
考点二 二项式系数和与各项系数的和问题
(1) (2020·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．29 B．210 C．211 D．212
【答案】　A　
【解析】　由题意知C＝C，由组合数性质得n＝10，则奇数项的二项式系数和为2n－1＝29.
（2）（2021·江西·贵溪市实验中学高三月考）已知的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，求得n的值，即可求得答案.
【详解】
解：因为的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，
即，所以，
所以二项式系数和是.
故选：A.
（3）（2021·广东茂名·高三月考）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第5项的系数最大 B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为
【答案】BD
【分析】
第9项系数大于第5项系数，可判断A；令，可得所有项的系数和，可判断B；所有奇数项的二项式系数和、所有偶数项的二项式系数和都为，可判断C，D
【详解】
选项A，由于，，第9项系数大于第5项系数，A错误；
选项B，令，可得所有项的系数和为，可知B正确；
选项C，所有奇数项的二项式系数和为，C错误；
选项D，所有偶数项的二项式系数和为，D正确.
故选:BD
【规律方法】
（1）“赋值法”普遍适用于恒等式，对形如 a ( http: / / www.21cnjy.com )x＋b n， ax2＋bx＋c m a，b，c∈R 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.2·1·c·n·j·y
（2）若f x ＝a0＋a1x＋a2x2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋…＋anxn，则f x 展开式中各项系数之和为f 1 ，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝
【跟踪练习】（2021·全国·高二课时练习）在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和；
（4）系数绝对值的和.
【答案】（1）29；（2）－1；（3）；（4）59.
【分析】
（1）根据二项式系数的性质即可求解；
（2）设,令，代入即可求解；
（3）由（2），再令，两式相加即可求解.
（4）利用赋值法即求.
【详解】
设，
（1）二项式系数之和为
（2）令，
得，
即各项系数之和为－1；
（3）由（2）知，①
令，
得，②
将①②两式相加，得
此即为所有奇数项系数之和.
（4）方法一：|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋－a9，
令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a9|＝a0－a1＋a2－a3＋－a9＝59
即系数绝对值的和为59.
方法二：|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a9|即为(2x＋3y)9的展开式中各项系数之和，
令x＝1，y＝1得，|a0|＋|a1|＋|a2|＋＋|a9|＝59，
即系数绝对值的和为59.
考点三 二项式系数的最值问题
（1）（2021·全国·高二单元测试）在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【分析】
根据末尾两项二项式系数和可求得，进而确定第项的二项式系数最大，利用展开式第项构造方程求得后，结合特殊角三角函数值可得结果.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
由题意知：，解得：，展开式的第项的二项式系数最大，
，即，，又，或.
故选：D．
（2）（2021·上海建平中学高三月考）在的二项展开式中，系数最大的是第（ ）项
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】
由题意利用二项展开式的通项公式，利用组合数的计算公式，求得该二项展开式中系数最大的项．
【详解】
在二项式的展开式中，通项公式为，
故第r+1项的系数为 ，当时，系数为正，
因为,
所以当r＝4时，系数最大的项是第5项.
故选：C
（3）（2021·全国·高二课时练习）已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.【来源：21cnj*y.co*m】
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）求出展开式中各项的系数和，二项式系数和，再建立方程求出n，最后根据二项式系数的性质即可得解；
（2）求出二项展开式的通项，根据系数最大列出不等式组即可作答.
【详解】
（1）令，则展开式中各项系数和为，展开式中的二项式系数和为，
依题意，，即，整理得，
于是得，解得，而5为奇数，
所以展开式中二项式系数最大项为中间两项，它们是，；
（2）由(1)知展开式通项为，
令Tr＋1项的系数最大，则有，即，
整理得，解得，而，从而得，
所以展开式中系数最大项为.
【规律方法】
二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时，展 ( http: / / www.21cnjy.com )开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.【出处：21教育名师】
【跟踪练习】（1）（2021·辽宁·凤城市第一中学高三月考）在的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】
利用二项式系数的性质，即可得出答案.
【详解】
解：因为在的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，
即最大，所以.
故选：C.
（2）（2021·浙江·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.
【答案】15
【分析】
先求得展开式的通项，令x的次数为0求常数项；设系数最大的项为项，由求解.
【详解】
展开式的通项为，
令，解得，
所以，即常数项为15，
设系数最大的项为项，
则，即，
解得，
所以系数最大的项为.
故答案为：15；
1.（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
本题可通过二项式系数的定义得出结果.
【详解】
第项的二项式系数为，
故选：A.
2．（2021·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0 B． C． D．32
【答案】D
【分析】
根据的二项展开式系数之和为求解即可
【详解】
的二项展开式中所有项的二项式系数之和为
故选：D
3．（2021·江苏·高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
写出x2项，进一步即可解出.
【详解】
，所以.
故选：A.
4．(2021·浙江卷) ( http: / / www.21cnjy.com ) 已知多项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　　　;a2+a3+a4=　　　　　.
【答案】5　10　
【解析】 因为(x-1)3+(x+1)4= ( http: / / www.21cnjy.com )x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,由二项式展开定理可得,a1=+=5,令x=1可得各项系数和:24=1+a1+a2+a3+a4,所以a2+a3+a4=16-a1-1=10.
5. (2021·北京卷) 的展开式中的常数项是　　　　　.
【答案】 -4
【解析】,令得=-4.
6. (2020·北京卷) 在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　)
A．－5 B．5 C．－10 D．10
【答案】　C
【解析】　Tr＋1＝C()5－r(－2)r＝Cx·(－2)r，
令＝2，∴r＝1.x2的系数为C(－2)1＝－10.故选C.
7. (2020·浙江卷) 二项展 ( http: / / www.21cnjy.com )开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.
【答案】　80　122
【解析】由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80.
当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①
当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1.②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，
可得a1＋a3＋a5＝122.
8.（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
【答案】160
【分析】
求出二项式的展开式通项，令的指数为6即可求出.
【详解】
的展开式的通项为，
令，解得，
所以的系数是.
故答案为：160.
9.（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．
【答案】10
【分析】
写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．
【详解】
因为的展开式的通项公式为，令，解得．
所以的系数为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．
10.（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】
利用赋值法，令即可求解.
【详解】
解：因为=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且a0+a1+a2+…+an=16，
令，则= a0+a1+a2+…+an=16，
所以，
故选：C.
11．（2021·全国· ( http: / / www.21cnjy.com )高二课时练习）设(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于（ ）
A．4 B．－71 C．64 D．199
【答案】C
【分析】
令x＝0即可得答案.
【详解】
∵(2－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，
令x＝0，
∴a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26＝64.
故选：C.
12．（2021·全国·高二课时练习）已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为（ ）
A．28 B．28－1
C．27 D．27－1
【答案】B
【分析】
利用赋值法可得n＝8，再利用二项式系数性质即求.
【详解】
设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.
则A＝a1＋a3＋a5＋，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋.
由已知可知：B－A＝38,
令x＝－1，得：a0－a1＋a2－a3＋＋an(－1)n＝(－3)n，
即：(a0＋a2＋a4＋a6＋)－(a1＋a3＋a5＋a7＋)＝(－3)n，
即：B－A＝(－3)n，
∴(－3)n＝38＝(－3)8，
∴n＝8，
由二项式系数性质可得：＋＋＋＋.
故选；B.
13．（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
【答案】AD
【分析】
写出二项式展开式的通项公式，对4个选项进行分析
【详解】
A选项：当时，，其中为整数，且，令，解得：，此时，故常数项为60；A正确；
B选项：，其中为整数，且，
当时，，当时，，，当时，，，当时，，满足有理项要求，故有4项，故B错误；
C选项：令中的得：，所以或，故C错误；
D选项：展开式共有7项，最中间一项二项式系数最大，而最中间为第4项，所以展开式中二项式系数最大为第4项，D正确21cnjy.com
故选：AD
14．（2021·全国·高三专题练习）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】
令，求出，可判断选项A；根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出，可判断选项B；令，求出结合值，可判断选项C；利用展开式所有项系数和为，结合值，可判断选项D.
【详解】
令，，所以A正确；
五项相同的因式相乘，要得到含的项，可以是五个因式中，一个取其他四个因式取2，或两个因式取其他三个因式取2，所以，所以B不正确；21教育名师原创作品
令，则，
所以，所以C不正确；
展开式所有项系数和为，
令，得，
所以，所以D正确.
故选：AD．
15．（2021·江苏·泰州中学高三月考）已知，则（ ）
A．的展开式中的常数项是56
B．的展开式中的各项系数之和为0
C．的展开式中的二项式系数最大值是70
D．的展开式中不含的项
【答案】BC
【分析】
写出二项展开式通项公式，由的指数为0可得常数项，判断A，在原式中令可得所有项系数和，判断B，根据二项式系数的性质得最大值，判断C，由的指数是否为0可判断D．
【详解】
二项展开式通项公式为，
，，常数项为，A错；
，，第6项是含的项，D错；
令得所有项系数和，B正确；
，因此二项式系数的最大值为，C正确．
故选：BC．
16．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.
【答案】; .
【分析】
根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论.
【详解】
，
，
所以，
，
所以.
故答案为：.
17．（2021·全国·高二课时练习）已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：
（1）n的值为________；
（2）含x的整数次幂的项有________个．
【答案】10 6
【分析】
（1）写出二项展开式的通项，根据第9项为常数项求出n的值；（2）要使2nk，即为整数，得出k的取值.
【详解】
二项展开式的通项Tk+1==．
（1）因为第9项为常数项，即当k=8时，2n－k=0，解得n=10．
（2）要使2n－k，即为整数，只需k为偶数，由于k=0，1，2，3，…，9，10，
故符合要求的有6项，分别为展开式的第1，3，5，7，9，11项．
故答案为：10；6.
18．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______．
【答案】，10，11
【分析】
根据二项式系数的性质求解．
【详解】
由二项式系数性质知，当是偶数时，第项的二项式系数最大，，，
当是奇数时，第项和第项的二项式系数相等且最大，
　，解得或．
故答案为：9，10，11．
19．（2021·全国·高二课时练习）设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】
（1）
（2）
（3）
【分析】
（1）分别令和，作差即可得到结果；
（2）令即可求得结果；
（3）由和所得式子作和即可推导得到结果.
（1）
令得：；令得：，
.
（2）
令得：.
（3）
由（1）（2）知：，
两式作和得：，.
20．（2021·全国·高二课时练习）已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项.
【答案】（1）－8064；（2）－15360x4.
【分析】
（1）先根据二项式系数和列方程求，再根据组合数性质确定二项式系数最大的项，最后根据二项展开式通项公式求结果；
（2）先根据二项展开式通项公式得各项系数，根据条件列方程组，解得系数的绝对值最大的项的项数，再代入二项展开式通项公式得结果
【详解】
由题意，解得n＝5.
（1）的展开式中第6项的二项式系数最大，
即
（2）设第项的系数的绝对值最大，
因为
，
∴，即
,
即系数的绝对值最大的项为－15360x4.
21．（2021·全国·高二 ( http: / / www.21cnjy.com )课时练习）杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（3）在第2斜列中，前5个数依次为1,3, ( http: / / www.21cnjy.com )6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明.21·cn·jy·com
【答案】（1）1140；（2）2n＋1－1；（3）证明见解析.
【分析】
（1）计算即得解；
（2）计算1＋2＋22＋…＋2n即得解；
（3）根据题意，所求结论可表示为、且．再由组合数的性质：，代入等式的左边进行化简整理，即可得到该等式成立
【详解】
（1）由题意，得第行的从左到右第个数，，且，所以第20行中从左到右的第4个数为＝1140；www.21-cn-jy.com
（2）n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和为1＋2＋22＋…＋2n＝；
（3）用公式表示为：、且
证明：左式
右式
即等式、且成立．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1.1
例1.2
例2
例3
真题演练
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专题七 概率与统计
06 二项式定理
考纲对本模块内容的具体要求如下：
对二项式定理的考查，主要是利用通项求展开 ( http: / / www.21cnjy.com )式的特定项及参数值.利用二项式定理展开式的性质求有关系数、最值、参数等问题.一般以选择、填空的形式出现，难度中等.
1. 能用计数原理证明二项式定理.
2. 会用二项式定理解决与二项式展开式有关的简单问题.
数学抽象：能从教材实例中抽象出二项式定理及其展开式的通项公式.
数学运算：1.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单问题.
2.能用计数原理证明二项式定理.
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝____________(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝______，它表示第______项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质 性质描述
对称性 与首末等距离的两个二项式系数相等，即______
增减性 二项式系数C 当k＜(n∈N*)时，是______的
当k＞(n∈N*)时，是______的
二项式系数最大值 当n为偶数时，中间的一项______取得最大值
当n为奇数时，中间的两项______与______相等且取得最大值
3．各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝______．
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝______．21教育网
【常用结论】
(a＋b)n的展开式形式上的特点
(1)项数为n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.21·cn·jy·com
(4)二项式系数从C，C，一直到C，C.
考点一　通项公式及其应用
考法1 求二项展开式的特定项
（1）（2021·湖南·高考真题）的展开式中常数项是______．（用数字作答）
（2）（2021·全国·高二单元测试）的展开式中的第7项为（ ）
A．3546 B．5437 C．4532 D．5376
（3）（2021·全国·模拟预测）若二项式展开式的各项系数和为81，则展开式中的常数项是___________.2·1·c·n·j·y
考法2 求二项展开式的特定项的系数
（1）（2021·全国·高二课时练习）的展开式中含项的二项式系数为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））已知的展开式中的系数等于8，则展开式中的系数等于（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．4 B．7 C．-5 D．-8
【规律方法】
求二项展开式中的特定项的方法,求 ( http: / / www.21cnjy.com )二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k＝0，1，2，…，n).www-2-1-cnjy-com
(1)第m项：此时k＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.,特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.21*cnjy*com
(4)求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.
【跟踪练习】（1）（2020·全国·高考真题（理））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．【来源：21cnj*y.co*m】
（2）（2021·全国·高二课时练习）如果n的展开式中，x2项为第3项，则自然数n＝________，其x2项的系数为________．【版权所有：21教育】
考点二 二项式系数和与各项系数的和问题
(1) (2020·山西八校联考)已知(1＋x)n的展开式中第5项和第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．29 B．210 C．211 D．212
（2）（2021·江西·贵溪市实验中学高三月考）已知的展开式中，第3项与第11项的二项式系数相等，则二项式系数和是（ ）
A． B． C． D．
（3）（2021·广东茂名·高三月考）在二项式的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A．第5项的系数最大 B．所有项的系数和为
C．所有奇数项的二项式系数和为 D．所有偶数项的二项式系数和为
【规律方法】
（1）“赋值法”普遍适用于恒 ( http: / / www.21cnjy.com )等式，对形如 ax＋b n， ax2＋bx＋c m a，b，c∈R 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法.
（2）若f x ＝a0＋a1x＋a ( http: / / www.21cnjy.com )2x2＋…＋anxn，则f x 展开式中各项系数之和为f 1 ，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝
【跟踪练习】（2021·全国·高二课时练习）在二项式(2x－3y)9的展开式中，求：
（1）二项式系数之和；
（2）各项系数之和；
（3）所有奇数项系数之和；
（4）系数绝对值的和.
考点三 二项式系数的最值问题
（1）（2021·全国·高二单元测试）在关于的二项式的展开式中，末尾两项的二项式系数之和为，且二项式系数最大的项的值为，则（ ）
A． B．或 C． D．或
（2）（2021·上海建平中学高三月考）在的二项展开式中，系数最大的是第（ ）项
A．3 B．4 C．5 D．6
（3）（2021·全国·高二课时练习）已知f(x)＝(＋3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.21·世纪*教育网
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【规律方法】
二项式系数最大项的确定方法：当n为偶数时， ( http: / / www.21cnjy.com )展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为Cn或Cn.
【跟踪练习】（1）（2021·辽宁·凤城市第一中学高三月考）在的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
（2）（2021·浙江·模拟预测）二项式的展开式中，常数项为___________，系数最大的项为______________.
1.（2020·山东·高考真题）在的二项展开式中，第项的二项式系数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东·高考真题）的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）
A．0 B． C． D．32
3．（2021·江苏·高考真题）已知的展开式中的系数为40，则等于（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．(2021·浙江卷) 已知多 ( http: / / www.21cnjy.com )项式(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,则a1=　　　　　;a2+a3+a4=　　　　　. 【出处：21教育名师】
5. (2021·北京卷) 的展开式中的常数项是　　　　　.
6. (2020·北京卷) 在(－2)5的展开式中，x2的系数为(　　)
A．－5 B．5 C．－10 D．10
7. (2020·浙江卷) 二项展开式( ( http: / / www.21cnjy.com )1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________.21*cnjy*com
8.（2021·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是__________．
9.（2020·天津·高考真题）在的展开式中，的系数是_________．
10.（2021·河北·藁城新冀明中学高二月考）已知=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a0+a1+a2+…+an=16，则自然数n等于（ ）21教育名师原创作品
A．6 B．5 C．4 D．3
11．（2021·全国·高二课时练习）设(2 ( http: / / www.21cnjy.com )－x)6＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a6(1＋x)6，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于（ ）21cnjy.com
A．4 B．－71 C．64 D．199
12．（2021·全国·高二课时练习）已知(2x－1)n二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则＋＋＋…＋的值为（ ）2-1-c-n-j-y
A．28 B．28－1
C．27 D．27－1
13．（2021·湖北武汉·高三期中）已知二项式，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则展开式的常数为60
B．展开式中有理项的个数为3
C．若展开式中各项系数之和为64，则
D．展开式中二项式系数最大为第4项
14．（2021·全国·高三专题练习）若，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2021·江苏·泰州中学高三月考）已知，则（ ）
A．的展开式中的常数项是56
B．的展开式中的各项系数之和为0
C．的展开式中的二项式系数最大值是70
D．的展开式中不含的项
16．（2021·浙江·高考真题）已知多项式，则___________，___________.21世纪教育网版权所有
17．（2021·全国·高二课时练习）已知在n的展开式中，第9项为常数项，则：
（1）n的值为________；
（2）含x的整数次幂的项有________个．
18．（2021·江苏·海安高级中学高三月考）的展开式中第6项的二项式系数最大，则n可以为______．
19．（2021·全国·高二课时练习）设，求：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（2021·全国·高二课时练习）已知的展开式的系数和比的展开式的系数和大992，求的展开式中：
（1）二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项.
21．（2021·全国·高二课时练习） ( http: / / www.21cnjy.com )杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角：
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求第20行中从左到右的第4个数；
（2）求n阶（包括0阶）杨辉三角的所有数的和；
（3）在第2斜列中，前5 ( http: / / www.21cnjy.com )个数依次为1,3,6,10,15；第3斜列中，第5个数为35.显然，1＋3＋6＋10＋15＝35.事实上，一般地有这样的结论：第m－1斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数.试用含有m，k(m，k∈N*)的数字公式表示上述结论，并给予证明.www.21-cn-jy.com
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1.1
例1.2
例2
例3
真题演练
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